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2022-2023学年山西大学附中七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山西大学附中七年级（下）期中数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西大学附中七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．如图，AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠BAD＝46°，则∠ACD的度数是（ ）
A．120° B．125° C．127° D．104°
2．如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，则下列结论错误的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠B＝∠E C．AB＝DE D．CD＝CE
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝12，CD＝5，则ED的长度是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
4．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积＝2AC•BD，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．利用尺规作图，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．已知两边及其中一边的对角
B．已知三边
C．已知两边及其夹角
D．已知两角及其夹边
6．如图，AD、BE是△ABC的中线，则下列结论中，正确的个数有（ ）
（1）S△AOE＝S△COE； （2）S△AOB＝S四边形EODC；
（3）S△BOC＝2S△COE； （4）S△ABC＝4S△BOC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下面由卡塔尔世界杯logo组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，直线l，m相交于点O，点P为这两直线外一点，且OP＝2.7，若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1、P2，PP1交直线l与点A，PP2交直线m与点B，则A，B之间的距离可能是（ ）
A．3 B．2.7 C．1.8 D．0
10．苏州的景色非常优美，其中以苏州园林最具代表性．苏州园林溯源于春秋，发展于晋唐，繁荣于两宋，全胜于明清，现存五十多处．如图是苏州园林中的一种窗格，下面从窗格图案中提取的几何图形，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．矩形 B．正八边形 C．平行四边形 D．等腰三角形
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11．把等腰直角三角形纸板ABC按如图所示的方式直立在桌面上，顶点A顶着桌面，若另外两个顶点与桌面的距离分别为5cm和3cm，过另外两个顶点向桌面作垂线，则两个垂足之间的距离DE为 ．
12．如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是 ．（只填一个即可）
13．如图，若AB＝AC、BD＝CD，∠C＝20°，∠A＝80°，则∠BDC＝ ．
14．一张长方形纸片沿直线AB折成如图所示图案，已知∠1＝50°，则∠OBA＝ ．
15．如图，已知∠ABC＝135°，AB＝3，BC＝6，点P是边AC上任意一点，连接BP，将△CPB沿PB翻折，得到△C′PB．当C′P⊥AC时，AP的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．先化简，再求值：[（a+2b）2﹣（2a﹣b）（3a﹣4b）]÷（﹣5a），其中a＝﹣1，b＝2
17．“黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料（氢）已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏（Schwarzschild）半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体一黑洞．施瓦氏半径（单位：m）的计算公式是．R＝，其中G＝6.67×10﹣11N•m2/kg2，为万有引力常数；M表示星球的质量（单位：kg）；c＝3×108m/s，为光在真空中的速度．
已知太阳质量为2×1030kg，计算太阳的施瓦氏半径．
18．如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE．
求证：BD＝CE．
19．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF．
20．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（﹣1，2）、B（﹣3，1）、C（﹣2，﹣1）均在格点上．
（1）请在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）点A、C'的距离是 ．
21．阅读下列材料，回答问题．如图1，小明将三角形纸片ABC折叠，使点B和C重合，折痕为DE，连接AD，展开纸片后小明认为△ABD和△ACD的面积相等．理由如下：由折叠知，BD＝CD，过点A作AF⊥BC于点F，，，所以S△ABD＝S△ACD．请你根据以上信息，利用无刻度的直尺和圆规将图2中的三角形分为面积相等的两个三角形．
22．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
23．【问题情境】如图1，已知点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．
小军的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点P即为所求．
【启发应用】请参考小军同学的思路，探究并解答下列问题：
（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为点C，过点B作BD⊥l，垂足为点D．若CP＝1，PD＝2，AC＝1，求出此时AP+BP的最小值；
（2）如图3，若AC＝1，BD＝2，CD＝6，则此时AP+BP的最小值为 ；
（3）【解决问题】根据以上解决问题的思路，直接写出的最小值．
参考答案
一、选择题（共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．如图，AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠BAD＝46°，则∠ACD的度数是（ ）
A．120° B．125° C．127° D．104°
【分析】证△ABC≌△ADC，得出∠B＝∠D＝30°，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝23°，根据三角形内角和定理求出即可．
解：∵在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC，
∴∠B＝∠D＝30°，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝×46°＝23°，
∴∠ACD＝180°﹣∠D﹣∠DAC＝180°﹣30°﹣23°＝127°，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等．
2．如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，则下列结论错误的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠B＝∠E C．AB＝DE D．CD＝CE
【分析】由“SAS”可证，可得AB＝DE．
解：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，
即∠DCE＝∠ACB，
在△ACB和△DCE中，
，
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定SAS是解本题的关键．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝12，CD＝5，则ED的长度是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】易证∠CAD＝∠BCE，即可证明△CDA≌△BEC，可得CD＝BE，CE＝AD，根据DE＝AD﹣CD，即可解题．
解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△CDA和△BEC中，
，
∴△CDA≌△BEC（AAS），
∴CD＝BE，CE＝AD，
∵DE＝CE﹣CD，
∴DE＝AD﹣CD，
∵AD＝12，CD＝5，
∴DE＝12﹣5＝7．
故选：B．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（全等三角形的对应边、对应角相等）是解题的关键．
4．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积＝2AC•BD，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断．
解：在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），故①正确；
∴∠ADB＝∠CDB，
在△AOD与△COD中，
，
∴△AOD≌△COD（SAS），
∴∠AOD＝∠COD＝90°，AO＝OC，
∴AC⊥DB，故②正确；
四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BDC＝AC•BD，故③错误；
故选：C．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS证明△ABD与△CBD全等和利用SAS证明△AOD与△COD全等．
5．利用尺规作图，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．已知两边及其中一边的对角
B．已知三边
C．已知两边及其夹角
D．已知两角及其夹边
【分析】三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可．
解：∵三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，
∴A、根据已知两边及其中一边的对角不能作出唯一三角形，故本选项正确；
B、根据SSS定理可知能作出唯一三角形，故本选项错误；
C、根据SAS定理可知能作出唯一三角形，故本选项错误；
D、根据ASA定理可知能作出唯一三角形，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
6．如图，AD、BE是△ABC的中线，则下列结论中，正确的个数有（ ）
（1）S△AOE＝S△COE； （2）S△AOB＝S四边形EODC；
（3）S△BOC＝2S△COE； （4）S△ABC＝4S△BOC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】如图，首先证明∴S△AOE＝S△COE（设为λ），S△BOD＝S△COD（设为μ）；进而证明S△AOB＝S△COB＝2μ，S△AOC＝S△BOC＝2μ，得到S△AOC＝S△BOC＝2μ，进而得到λ＝μ，此为解决问题的关键性结论，运用该结论即可解决问题
解：∵AD、BE是△ABC的中线，
∴AE＝CE，BD＝CD；
∴S△AOE＝S△COE（设为λ），
S△BOD＝S△COD（设为μ），
S△ABE＝S△CBE，
∴S△AOB＝S△COB＝2μ；
同理可证：S△AOC＝S△BOC＝2μ，
即2λ＝2μ，λ＝μ；
∴选项（1）、（2）、（3）均成立，
选项（4）不成立，
故选：C．
【点评】该题主要考查了三角形中线的定义、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用等底同高的两个三角形的面积相等这一规律，来分析、判断、推理或解答．
7．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PN＝PD，
∵PN⊥BF，PD⊥AC，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．下面由卡塔尔世界杯logo组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
9．如图，直线l，m相交于点O，点P为这两直线外一点，且OP＝2.7，若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1、P2，PP1交直线l与点A，PP2交直线m与点B，则A，B之间的距离可能是（ ）
A．3 B．2.7 C．1.8 D．0
【分析】连接OP1，OP2，P1P2，AB，根据轴对称的性质和三角形三边关系及中位线的性质可得结论．
解：如图，连接OP1，OP2，P1P2，AB，
∵P1是P关于直线l的对称点，
∴直线l是P1P的垂直平分线，点A为P1P的中点，
∴OP1＝OP＝2.7，
∵P2是P关于直线m的对称点，
∴直线m是P2P的垂直平分线，点B为P2P的中点，
∴OP1﹣OP2＜P1P2＜OP1+OP2，AB为△PP1P2的中位线，
即0＜P1P2＜5.4，
∴0＜AB＜2.7，
只有选项C符合题意，
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称变换及三角形中位线的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键．
10．苏州的景色非常优美，其中以苏州园林最具代表性．苏州园林溯源于春秋，发展于晋唐，繁荣于两宋，全胜于明清，现存五十多处．如图是苏州园林中的一种窗格，下面从窗格图案中提取的几何图形，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．矩形 B．正八边形 C．平行四边形 D．等腰三角形
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
解：A、矩形一定是轴对称图形，不符合题意；
B、正八边形一定是轴对称图形，不符合题意；
C、平行四边形不一定是轴对称图形，符合题意；
D、等腰三角形一定是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11．把等腰直角三角形纸板ABC按如图所示的方式直立在桌面上，顶点A顶着桌面，若另外两个顶点与桌面的距离分别为5cm和3cm，过另外两个顶点向桌面作垂线，则两个垂足之间的距离DE为 8cm ．
【分析】利用互余关系找两个三角形对应角相等，根据等腰直角三角形找对应边相等，两个对应直角相等，判断三角形全等，从而AE＝BD，AD＝CE，DE＝AE+AD＝BD+CE＝3+5＝8．
解：∵∠CEA＝∠ADB＝∠CAB＝90°，
∴∠ECA+∠EAC＝∠EAC+∠DAB＝∠DAB+∠DBA＝90°，
∴∠ECA＝∠DAB，∠EAC＝∠DBA，
在△AEC和△BAD中
，
∴△AEC≌△BAD（ASA），
∴AE＝BD＝3cm，AD＝CE＝5cm，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE＝3+5＝8．
故答案为：8cm．
【点评】本题考查了全等三角形判定及性质的应用；通过三角形全等，对应线段相等，对线段长度进行转化．本题的关键是证明△AEC≌△BAD，利用全等三角形的性质进行等量代换求解．
12．如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是 AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等） ．（只填一个即可）
【分析】利用全等三角形的判定方法添加条件．
解：∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，
∴当添加AD＝AC时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠D＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠ABD＝∠ABC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC．
故答案为AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
13．如图，若AB＝AC、BD＝CD，∠C＝20°，∠A＝80°，则∠BDC＝ 120° ．
【分析】连接AD，可以证明△ABD≌△ACD，从而可求得∠ADB＝∠ADC＝120°，再利用周角计算∠BDC的度数．
解：连接AD，如下图
∵AB＝AC、BD＝CD、AD＝AD
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，∠B＝∠C＝20°
∴∠ADB＝∠ADC＝120°
于是∠BDC＝360°﹣120°×2＝120°
故答案为120°．
【点评】本题考查的是全等三角形的应用，利用全等对相等的角及线段进行转化是解题中常用的思想．本题也可以利用连接BC，利用等腰三角形的性质解题．
14．一张长方形纸片沿直线AB折成如图所示图案，已知∠1＝50°，则∠OBA＝ 65° ．
【分析】根据折叠的性质可得出2∠OBA+∠1＝180°，代入∠1的度数即可得出答案．
解：由折叠可得出2∠OBA+∠1＝180°，
∵∠1＝50°，
∴∠OBA＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
15．如图，已知∠ABC＝135°，AB＝3，BC＝6，点P是边AC上任意一点，连接BP，将△CPB沿PB翻折，得到△C′PB．当C′P⊥AC时，AP的长为 或 ．
【分析】分两种情况讨论，根据翻折的性质证明△CPB∽△CBA，过点C作CH⊥AB交AB延长线于点H，根据勾股定理即可求出CP的长，即可求解．
解：①由翻折可知：∠CPB＝∠C'PB
∵∠C'PC＝90°，
∴∠CPB＝135°，
∴∠CPB＝∠CBA，
∴△CPB∽△CBA，
∴，
过点C作CH⊥AB交AB延长线于点H，
∴∠CBH＝45°，BC＝6，
∴CH＝BH＝3，
∴AH＝6，
在Rt△CAH中，CA＝＝＝3，
∴CP＝＝＝，
∴AP＝；
②如图，
由翻折可知：∠CPB＝∠C'PB
∵∠C'PC＝90°，
∴∠CPB＝45°，
∴∠APB＝45°，
∴∠APB＝∠ABC，
∴△APB∽△ABC，
∴，
∴AB2＝AC•AP，
∵AB＝3，AC＝3，
∴AP＝，
∴AP的长为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了翻折变换，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用分类讨论是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．先化简，再求值：[（a+2b）2﹣（2a﹣b）（3a﹣4b）]÷（﹣5a），其中a＝﹣1，b＝2
【分析】直接利用完全平方公式以及多项式乘法分别化简进而求出答案．
解：原式＝[（a2+4b2+4ab）﹣（6a2﹣11ab+4b2）]÷（﹣5a）
＝（﹣5a2+15ab）÷（﹣5a）
＝a﹣3b，
当a＝﹣1，b＝2时，原式＝﹣1﹣3×2＝﹣7．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17．“黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料（氢）已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏（Schwarzschild）半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体一黑洞．施瓦氏半径（单位：m）的计算公式是．R＝，其中G＝6.67×10﹣11N•m2/kg2，为万有引力常数；M表示星球的质量（单位：kg）；c＝3×108m/s，为光在真空中的速度．
已知太阳质量为2×1030kg，计算太阳的施瓦氏半径．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：R＝＝2.96×103（m）．
答：太阳的施瓦氏半径为2.96×103m．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
18．如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE．
求证：BD＝CE．
【分析】先证明∠CAE＝∠BAD，结合已知可得△ABD≌△ACE，从而BD＝CE．
【解答】证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD．
又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（ASA）．
∴BD＝CE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明线段相等的方法一般是先证明与之有关的两个三角形全等，根据全等三角形的性质再说明线段相等．
19．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF．
【分析】求出BF＝CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
在△ABF和△DCE中
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠GEF＝∠GFE，
∴EG＝FG．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
20．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（﹣1，2）、B（﹣3，1）、C（﹣2，﹣1）均在格点上．
（1）请在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）点A、C'的距离是 3 ．
【分析】（1）利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；
（2）AC′＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，解答本题的关键是运用轴对称的性质得到对称点的位置．
21．阅读下列材料，回答问题．如图1，小明将三角形纸片ABC折叠，使点B和C重合，折痕为DE，连接AD，展开纸片后小明认为△ABD和△ACD的面积相等．理由如下：由折叠知，BD＝CD，过点A作AF⊥BC于点F，，，所以S△ABD＝S△ACD．请你根据以上信息，利用无刻度的直尺和圆规将图2中的三角形分为面积相等的两个三角形．
【分析】作A′B′的垂直平分线交A′B′于点M，再连接C′M即可．
解：
【点评】本题考查了复杂作图，掌握中线的作用是解题的关键．
22．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE；
（2）由条件可知∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，可得∠DBA＝∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；
（3）由条件可知EM＝AH＝GN，可得EM＝GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点．
解：（1）如图1，
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）DE＝BD+CE．
如图2，
证明如下：
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中．
．
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE
（3）如图3，
过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．
∴∠EMI＝GNI＝90°
由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN
∴EM＝GN
在△EMI和△GNI中，
，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI＝GI，
∴I是EG的中点．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD＝AE、CE＝AD是解题的关键．
23．【问题情境】如图1，已知点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．
小军的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点P即为所求．
【启发应用】请参考小军同学的思路，探究并解答下列问题：
（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为点C，过点B作BD⊥l，垂足为点D．若CP＝1，PD＝2，AC＝1，求出此时AP+BP的最小值；
（2）如图3，若AC＝1，BD＝2，CD＝6，则此时AP+BP的最小值为 3 ；
（3）【解决问题】根据以上解决问题的思路，直接写出的最小值．
【分析】（1）根据等腰三角形的判定证得△ACP和△BDP为等腰直角三角形，利用勾股定理求得PA和PB，从而求得PA+PB；
（2）作A′E∥l，交BD的延长线于E，根据已知条件求得BE、A′E，然后根据勾股定理即可求得A′B，从而求得AP+BP的值；
（3）设AC＝5m﹣3，PC＝1，可得PA，设BD＝8﹣5m，PD＝3，可得PB，结合（2）即可求解．
解：（1）∵AA′⊥l，AC＝1，PC＝1，
∴AC＝CP，∠ACP＝90°，
∴∠CAP＝∠CPA＝45°，
∴PA＝，
∵点A关于直线l的对称点为A'，
∴PA′＝PA＝，
∴∠CPA′＝∠CPA＝45°，
∵BD⊥l，∠BPD＝∠CPA′＝45°，
∴∠PBD＝90°﹣45°＝45°＝∠BPD，
∴BD＝PD＝2，
∴PB＝，
∴AP+PB的最小值为＝；
（2）作A′E∥l，交BD的延长线于E，如图3，则四边形A′EDC是矩形，
∴A′E＝DC＝6，DE＝A′C＝AC＝1，
∵BD＝2，
∴BD+AC＝BD+DE＝3，
即BE＝3，
在Rt△A′BE中，A′B＝，
∴AP+BP＝A′P+BP＝A′B＝，
故答案为：3；
（3）如图3，设AC＝5m﹣3，PC＝1，则PA＝，
设BD＝8﹣5m，PD＝3，则PB＝，
∵DE＝AC＝5m﹣3，
∴BE＝BD+DE＝5，A′E＝CD＝PC+PD＝4，
∴PA+PB＝A′B＝，
∴＝．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键．
2022-2023学年山西大学附中七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．如图，AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠BAD＝46°，则∠ACD的度数是（ ）
A．120° B．125° C．127° D．104°
2．如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，则下列结论错误的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠B＝∠E C．AB＝DE D．CD＝CE
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝12，CD＝5，则ED的长度是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
4．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积＝2AC•BD，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．利用尺规作图，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．已知两边及其中一边的对角
B．已知三边
C．已知两边及其夹角
D．已知两角及其夹边
6．如图，AD、BE是△ABC的中线，则下列结论中，正确的个数有（ ）
（1）S△AOE＝S△COE； （2）S△AOB＝S四边形EODC；
（3）S△BOC＝2S△COE； （4）S△ABC＝4S△BOC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下面由卡塔尔世界杯logo组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，直线l，m相交于点O，点P为这两直线外一点，且OP＝2.7，若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1、P2，PP1交直线l与点A，PP2交直线m与点B，则A，B之间的距离可能是（ ）
A．3 B．2.7 C．1.8 D．0
10．苏州的景色非常优美，其中以苏州园林最具代表性．苏州园林溯源于春秋，发展于晋唐，繁荣于两宋，全胜于明清，现存五十多处．如图是苏州园林中的一种窗格，下面从窗格图案中提取的几何图形，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．矩形 B．正八边形 C．平行四边形 D．等腰三角形
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11．把等腰直角三角形纸板ABC按如图所示的方式直立在桌面上，顶点A顶着桌面，若另外两个顶点与桌面的距离分别为5cm和3cm，过另外两个顶点向桌面作垂线，则两个垂足之间的距离DE为 ．
12．如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是 ．（只填一个即可）
13．如图，若AB＝AC、BD＝CD，∠C＝20°，∠A＝80°，则∠BDC＝ ．
14．一张长方形纸片沿直线AB折成如图所示图案，已知∠1＝50°，则∠OBA＝ ．
15．如图，已知∠ABC＝135°，AB＝3，BC＝6，点P是边AC上任意一点，连接BP，将△CPB沿PB翻折，得到△C′PB．当C′P⊥AC时，AP的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．先化简，再求值：[（a+2b）2﹣（2a﹣b）（3a﹣4b）]÷（﹣5a），其中a＝﹣1，b＝2
17．“黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料（氢）已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏（Schwarzschild）半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体一黑洞．施瓦氏半径（单位：m）的计算公式是．R＝，其中G＝6.67×10﹣11N•m2/kg2，为万有引力常数；M表示星球的质量（单位：kg）；c＝3×108m/s，为光在真空中的速度．
已知太阳质量为2×1030kg，计算太阳的施瓦氏半径．
18．如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE．
求证：BD＝CE．
19．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF．
20．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（﹣1，2）、B（﹣3，1）、C（﹣2，﹣1）均在格点上．
（1）请在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）点A、C'的距离是 ．
21．阅读下列材料，回答问题．如图1，小明将三角形纸片ABC折叠，使点B和C重合，折痕为DE，连接AD，展开纸片后小明认为△ABD和△ACD的面积相等．理由如下：由折叠知，BD＝CD，过点A作AF⊥BC于点F，，，所以S△ABD＝S△ACD．请你根据以上信息，利用无刻度的直尺和圆规将图2中的三角形分为面积相等的两个三角形．
22．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
23．【问题情境】如图1，已知点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．
小军的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点P即为所求．
【启发应用】请参考小军同学的思路，探究并解答下列问题：
（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为点C，过点B作BD⊥l，垂足为点D．若CP＝1，PD＝2，AC＝1，求出此时AP+BP的最小值；
（2）如图3，若AC＝1，BD＝2，CD＝6，则此时AP+BP的最小值为 ；
（3）【解决问题】根据以上解决问题的思路，直接写出的最小值．
参考答案
一、选择题（共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．如图，AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠BAD＝46°，则∠ACD的度数是（ ）
A．120° B．125° C．127° D．104°
【分析】证△ABC≌△ADC，得出∠B＝∠D＝30°，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝23°，根据三角形内角和定理求出即可．
解：∵在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC，
∴∠B＝∠D＝30°，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝×46°＝23°，
∴∠ACD＝180°﹣∠D﹣∠DAC＝180°﹣30°﹣23°＝127°，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等．
2．如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，则下列结论错误的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠B＝∠E C．AB＝DE D．CD＝CE
【分析】由“SAS”可证，可得AB＝DE．
解：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，
即∠DCE＝∠ACB，
在△ACB和△DCE中，
，
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定SAS是解本题的关键．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝12，CD＝5，则ED的长度是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】易证∠CAD＝∠BCE，即可证明△CDA≌△BEC，可得CD＝BE，CE＝AD，根据DE＝AD﹣CD，即可解题．
解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△CDA和△BEC中，
，
∴△CDA≌△BEC（AAS），
∴CD＝BE，CE＝AD，
∵DE＝CE﹣CD，
∴DE＝AD﹣CD，
∵AD＝12，CD＝5，
∴DE＝12﹣5＝7．
故选：B．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（全等三角形的对应边、对应角相等）是解题的关键．
4．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积＝2AC•BD，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断．
解：在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），故①正确；
∴∠ADB＝∠CDB，
在△AOD与△COD中，
，
∴△AOD≌△COD（SAS），
∴∠AOD＝∠COD＝90°，AO＝OC，
∴AC⊥DB，故②正确；
四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BDC＝AC•BD，故③错误；
故选：C．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS证明△ABD与△CBD全等和利用SAS证明△AOD与△COD全等．
5．利用尺规作图，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．已知两边及其中一边的对角
B．已知三边
C．已知两边及其夹角
D．已知两角及其夹边
【分析】三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可．
解：∵三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，
∴A、根据已知两边及其中一边的对角不能作出唯一三角形，故本选项正确；
B、根据SSS定理可知能作出唯一三角形，故本选项错误；
C、根据SAS定理可知能作出唯一三角形，故本选项错误；
D、根据ASA定理可知能作出唯一三角形，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
6．如图，AD、BE是△ABC的中线，则下列结论中，正确的个数有（ ）
（1）S△AOE＝S△COE； （2）S△AOB＝S四边形EODC；
（3）S△BOC＝2S△COE； （4）S△ABC＝4S△BOC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】如图，首先证明∴S△AOE＝S△COE（设为λ），S△BOD＝S△COD（设为μ）；进而证明S△AOB＝S△COB＝2μ，S△AOC＝S△BOC＝2μ，得到S△AOC＝S△BOC＝2μ，进而得到λ＝μ，此为解决问题的关键性结论，运用该结论即可解决问题
解：∵AD、BE是△ABC的中线，
∴AE＝CE，BD＝CD；
∴S△AOE＝S△COE（设为λ），
S△BOD＝S△COD（设为μ），
S△ABE＝S△CBE，
∴S△AOB＝S△COB＝2μ；
同理可证：S△AOC＝S△BOC＝2μ，
即2λ＝2μ，λ＝μ；
∴选项（1）、（2）、（3）均成立，
选项（4）不成立，
故选：C．
【点评】该题主要考查了三角形中线的定义、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用等底同高的两个三角形的面积相等这一规律，来分析、判断、推理或解答．
7．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PN＝PD，
∵PN⊥BF，PD⊥AC，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．下面由卡塔尔世界杯logo组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
9．如图，直线l，m相交于点O，点P为这两直线外一点，且OP＝2.7，若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1、P2，PP1交直线l与点A，PP2交直线m与点B，则A，B之间的距离可能是（ ）
A．3 B．2.7 C．1.8 D．0
【分析】连接OP1，OP2，P1P2，AB，根据轴对称的性质和三角形三边关系及中位线的性质可得结论．
解：如图，连接OP1，OP2，P1P2，AB，
∵P1是P关于直线l的对称点，
∴直线l是P1P的垂直平分线，点A为P1P的中点，
∴OP1＝OP＝2.7，
∵P2是P关于直线m的对称点，
∴直线m是P2P的垂直平分线，点B为P2P的中点，
∴OP1﹣OP2＜P1P2＜OP1+OP2，AB为△PP1P2的中位线，
即0＜P1P2＜5.4，
∴0＜AB＜2.7，
只有选项C符合题意，
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称变换及三角形中位线的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键．
10．苏州的景色非常优美，其中以苏州园林最具代表性．苏州园林溯源于春秋，发展于晋唐，繁荣于两宋，全胜于明清，现存五十多处．如图是苏州园林中的一种窗格，下面从窗格图案中提取的几何图形，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．矩形 B．正八边形 C．平行四边形 D．等腰三角形
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
解：A、矩形一定是轴对称图形，不符合题意；
B、正八边形一定是轴对称图形，不符合题意；
C、平行四边形不一定是轴对称图形，符合题意；
D、等腰三角形一定是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11．把等腰直角三角形纸板ABC按如图所示的方式直立在桌面上，顶点A顶着桌面，若另外两个顶点与桌面的距离分别为5cm和3cm，过另外两个顶点向桌面作垂线，则两个垂足之间的距离DE为 8cm ．
【分析】利用互余关系找两个三角形对应角相等，根据等腰直角三角形找对应边相等，两个对应直角相等，判断三角形全等，从而AE＝BD，AD＝CE，DE＝AE+AD＝BD+CE＝3+5＝8．
解：∵∠CEA＝∠ADB＝∠CAB＝90°，
∴∠ECA+∠EAC＝∠EAC+∠DAB＝∠DAB+∠DBA＝90°，
∴∠ECA＝∠DAB，∠EAC＝∠DBA，
在△AEC和△BAD中
，
∴△AEC≌△BAD（ASA），
∴AE＝BD＝3cm，AD＝CE＝5cm，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE＝3+5＝8．
故答案为：8cm．
【点评】本题考查了全等三角形判定及性质的应用；通过三角形全等，对应线段相等，对线段长度进行转化．本题的关键是证明△AEC≌△BAD，利用全等三角形的性质进行等量代换求解．
12．如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是 AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等） ．（只填一个即可）
【分析】利用全等三角形的判定方法添加条件．
解：∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，
∴当添加AD＝AC时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠D＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠ABD＝∠ABC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC．
故答案为AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
13．如图，若AB＝AC、BD＝CD，∠C＝20°，∠A＝80°，则∠BDC＝ 120° ．
【分析】连接AD，可以证明△ABD≌△ACD，从而可求得∠ADB＝∠ADC＝120°，再利用周角计算∠BDC的度数．
解：连接AD，如下图
∵AB＝AC、BD＝CD、AD＝AD
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，∠B＝∠C＝20°
∴∠ADB＝∠ADC＝120°
于是∠BDC＝360°﹣120°×2＝120°
故答案为120°．
【点评】本题考查的是全等三角形的应用，利用全等对相等的角及线段进行转化是解题中常用的思想．本题也可以利用连接BC，利用等腰三角形的性质解题．
14．一张长方形纸片沿直线AB折成如图所示图案，已知∠1＝50°，则∠OBA＝ 65° ．
【分析】根据折叠的性质可得出2∠OBA+∠1＝180°，代入∠1的度数即可得出答案．
解：由折叠可得出2∠OBA+∠1＝180°，
∵∠1＝50°，
∴∠OBA＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
15．如图，已知∠ABC＝135°，AB＝3，BC＝6，点P是边AC上任意一点，连接BP，将△CPB沿PB翻折，得到△C′PB．当C′P⊥AC时，AP的长为 或 ．
【分析】分两种情况讨论，根据翻折的性质证明△CPB∽△CBA，过点C作CH⊥AB交AB延长线于点H，根据勾股定理即可求出CP的长，即可求解．
解：①由翻折可知：∠CPB＝∠C'PB
∵∠C'PC＝90°，
∴∠CPB＝135°，
∴∠CPB＝∠CBA，
∴△CPB∽△CBA，
∴，
过点C作CH⊥AB交AB延长线于点H，
∴∠CBH＝45°，BC＝6，
∴CH＝BH＝3，
∴AH＝6，
在Rt△CAH中，CA＝＝＝3，
∴CP＝＝＝，
∴AP＝；
②如图，
由翻折可知：∠CPB＝∠C'PB
∵∠C'PC＝90°，
∴∠CPB＝45°，
∴∠APB＝45°，
∴∠APB＝∠ABC，
∴△APB∽△ABC，
∴，
∴AB2＝AC•AP，
∵AB＝3，AC＝3，
∴AP＝，
∴AP的长为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了翻折变换，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用分类讨论是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．先化简，再求值：[（a+2b）2﹣（2a﹣b）（3a﹣4b）]÷（﹣5a），其中a＝﹣1，b＝2
【分析】直接利用完全平方公式以及多项式乘法分别化简进而求出答案．
解：原式＝[（a2+4b2+4ab）﹣（6a2﹣11ab+4b2）]÷（﹣5a）
＝（﹣5a2+15ab）÷（﹣5a）
＝a﹣3b，
当a＝﹣1，b＝2时，原式＝﹣1﹣3×2＝﹣7．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17．“黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料（氢）已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏（Schwarzschild）半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体一黑洞．施瓦氏半径（单位：m）的计算公式是．R＝，其中G＝6.67×10﹣11N•m2/kg2，为万有引力常数；M表示星球的质量（单位：kg）；c＝3×108m/s，为光在真空中的速度．
已知太阳质量为2×1030kg，计算太阳的施瓦氏半径．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：R＝＝2.96×103（m）．
答：太阳的施瓦氏半径为2.96×103m．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
18．如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE．
求证：BD＝CE．
【分析】先证明∠CAE＝∠BAD，结合已知可得△ABD≌△ACE，从而BD＝CE．
【解答】证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD．
又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（ASA）．
∴BD＝CE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明线段相等的方法一般是先证明与之有关的两个三角形全等，根据全等三角形的性质再说明线段相等．
19．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF．
【分析】求出BF＝CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
在△ABF和△DCE中
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠GEF＝∠GFE，
∴EG＝FG．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
20．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（﹣1，2）、B（﹣3，1）、C（﹣2，﹣1）均在格点上．
（1）请在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）点A、C'的距离是 3 ．
【分析】（1）利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；
（2）AC′＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，解答本题的关键是运用轴对称的性质得到对称点的位置．
21．阅读下列材料，回答问题．如图1，小明将三角形纸片ABC折叠，使点B和C重合，折痕为DE，连接AD，展开纸片后小明认为△ABD和△ACD的面积相等．理由如下：由折叠知，BD＝CD，过点A作AF⊥BC于点F，，，所以S△ABD＝S△ACD．请你根据以上信息，利用无刻度的直尺和圆规将图2中的三角形分为面积相等的两个三角形．
【分析】作A′B′的垂直平分线交A′B′于点M，再连接C′M即可．
解：
【点评】本题考查了复杂作图，掌握中线的作用是解题的关键．
22．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE；
（2）由条件可知∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，可得∠DBA＝∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；
（3）由条件可知EM＝AH＝GN，可得EM＝GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点．
解：（1）如图1，
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）DE＝BD+CE．
如图2，
证明如下：
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中．
．
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE
（3）如图3，
过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．
∴∠EMI＝GNI＝90°
由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN
∴EM＝GN
在△EMI和△GNI中，
，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI＝GI，
∴I是EG的中点．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD＝AE、CE＝AD是解题的关键．
23．【问题情境】如图1，已知点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．
小军的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点P即为所求．
【启发应用】请参考小军同学的思路，探究并解答下列问题：
（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为点C，过点B作BD⊥l，垂足为点D．若CP＝1，PD＝2，AC＝1，求出此时AP+BP的最小值；
（2）如图3，若AC＝1，BD＝2，CD＝6，则此时AP+BP的最小值为 3 ；
（3）【解决问题】根据以上解决问题的思路，直接写出的最小值．
【分析】（1）根据等腰三角形的判定证得△ACP和△BDP为等腰直角三角形，利用勾股定理求得PA和PB，从而求得PA+PB；
（2）作A′E∥l，交BD的延长线于E，根据已知条件求得BE、A′E，然后根据勾股定理即可求得A′B，从而求得AP+BP的值；
（3）设AC＝5m﹣3，PC＝1，可得PA，设BD＝8﹣5m，PD＝3，可得PB，结合（2）即可求解．
解：（1）∵AA′⊥l，AC＝1，PC＝1，
∴AC＝CP，∠ACP＝90°，
∴∠CAP＝∠CPA＝45°，
∴PA＝，
∵点A关于直线l的对称点为A'，
∴PA′＝PA＝，
∴∠CPA′＝∠CPA＝45°，
∵BD⊥l，∠BPD＝∠CPA′＝45°，
∴∠PBD＝90°﹣45°＝45°＝∠BPD，
∴BD＝PD＝2，
∴PB＝，
∴AP+PB的最小值为＝；
（2）作A′E∥l，交BD的延长线于E，如图3，则四边形A′EDC是矩形，
∴A′E＝DC＝6，DE＝A′C＝AC＝1，
∵BD＝2，
∴BD+AC＝BD+DE＝3，
即BE＝3，
在Rt△A′BE中，A′B＝，
∴AP+BP＝A′P+BP＝A′B＝，
故答案为：3；
（3）如图3，设AC＝5m﹣3，PC＝1，则PA＝，
设BD＝8﹣5m，PD＝3，则PB＝，
∵DE＝AC＝5m﹣3，
∴BE＝BD+DE＝5，A′E＝CD＝PC+PD＝4，
∴PA+PB＝A′B＝，
∴＝．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键．
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