高考数学大课堂专题2“信息迁移”类型

专题2 “信息迁移”类型

模块一  高考新动向

专题2 “信息迁移”类型

数学信息迁移题即以学生已有的知识为基础，以全新的数学情境为载体，以新信息为主要内容，要求考生在阅读理解的基础上提取和运用有效信息，进而作出判断、推理、概括、运算和表述的一种题型.其形式生动活泼、内容新颖、背景公平、设问方式灵活，同时它能有效地考查学生阅读理解能力、探索能力、创新能力、抽象思维能力和综合运用数学知识的能力，有利于在数学教学中深化素质教育.

近年高考试题以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，在考查基础知识的同时，注重对考生创新意识的考查.试题遵循“相对稳定，突出重点，稳中求变，变中有新，适度创新”的基本思路数学信息迁移题作为一类常考常新的题型更是备受青睐.心理学理论认为，迁移是一种学习对另一种学习的影响，通俗地讲，迁移就是能够在新的情境下运用已学的东西.李士锜先生曾指出，只有当学习的东西发挥了新的作用，才是形成了迁移.

定义型信息迁移题

考点讲解：定义型信息迁移题是近年高考中出现频率较高的题型之一，其通过定义新概念、新运算、新法则，展现新性质，考查考生阅读、理解、内化、运用新信息解决问题的能力.

角度1：新定义类：

【例1】【2023陕西咸阳礼泉县二中月考】

1．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在上，其解析式如下：．若函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【变1】【2023北京师范大学附中期中】

2．在直角坐标系中，对于点，定义变换：将点变换为点，使得其中.这样变换就将坐标系内的曲线变换为坐标系内的曲线.则四个函数，，，在坐标系内的图像，变换为坐标系内的四条曲线（如图）依次是（    ）

A．②，③，①，④

B．③，②，④，①

C．②，③，④，①

D．③，②，①，④

角度2：新运算类：

【例2】（多选题）【2021年全国新高考II卷】

3．设正整数，其中，记．则（    ）

A． B．

C． D．

【变1】【2022山东潍坊三模】

4．定义平面向量的一种运算“”如下：对任意的两个向量，，令，下面说法一定正确的是（    ）

A．对任意的，有

B．存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立

C．若与垂直，则与共线

D．若与共线，则与的模相等

在有限的时间内，考生要通过对所给新信息的“现场自学”，把握信息的本质，进一步运用其解决问题，无疑对其有较高要求，而考生往往或急于得出结论或囿于已有知识的干扰，从而不能正确理解题目中涉及的新概念、新法则、新定义，从而由于对题目理解有误而导致错解.

类比型信息迁移题

考点讲解：《普通高中数学课程标准》要求“结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用”.此类题目重在考查思维的灵活性、广阔性及观察与推理能力.

【例3】【2022年高考全国乙卷数学（理）】

5．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（    ）

A． B． C． D．

【变1】【2023辽宁葫芦岛协作校联考】

6．定义矩阵运算，则（    ）

A． B．

C． D．

开放型信息迁移题

考点讲解：开放型信息迁移题主要指条件不完备或结论不明确及条件和结论都不唯一的试题，因为此类题目答案往往不唯一，进而给考生留有较大的探索空间，此类题目多以填空题出现.

角度1　条件开放性问题

【例4】【2022年新高考北京数学】

7．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．

(1)求证：平面；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．

条件①：；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

【变1】【2023江苏淮安涟水一中阶段检测】

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

(1)求角B的大小；

(2)若M是AC的中点，且，在下面两个问题中选择一个进行解答．

①求△ABM面积的最大值；          

②求BM的最大值．

角度2　结论开放性问题

【例5】【2023江苏泰州泰兴期中】

9．已知函数同时满足（1）；（2），其中，则符合条件的一个函数解析式＝_____．

【变1】【2023四川雅安高三零诊】

10．给出两个条件：①，；②当时，（其中为的导函数）．请写出同时满足以上两个条件的一个函数______．（写出一个满足条件的函数即可）

角度3　结构不良型问题

【例6】【2022年新高考全国II卷】

11．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．

(1)求C的方程；

(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在上；②；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【变1】【2023浙江浙里卷天下10月测试】

12．在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.

①；②；③.

已知为数列的前项和，满足，_____.

(1)求的通项公式；

(2)若，其中表示不超过的最大整数，求数列的前100项和.

对于“开放”型问题，考生看到结论或条件开放型题目往往易于放松警惕，思维天马行空，导致得出错解.导致错误.

[素养落地]---逻辑推理

【解读素养】指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程，主要包括两类，一类是从小范围成立的命题推断更大范围内成立的命题的推理，主要有归纳、类比；一类是从大范围成立的命题推断小范围内也成立的推理，主要有演绎推理.

【典例剖析】

【2022年新高考全国II卷】

13．图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9

【2023北京第一零九中学月考】

14．中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出．如7738可用算筹表示为．

1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则的运算结果可用算筹表示为（    ）

A． B．

C． D．

【2023年上海高考数学模拟卷】

15．设等差数列的前项和为，则、、成等差数列．类比研究等比数列有下面三个命题：

①设等比数列的前项的和为，则、、成等差数列；

②设等比数列的前项的和为，则、、成等比数列；

③设等比数列的前项的积为，则、、成等比数列；

④设等比数列的前项的积为，则、、成等比数列．

其中真命题的个数是（    ）

A． B． C． D．

【2022四川内江三模】

16．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式中“…”既代表无限次重复，但原式却又是个定值，它可以通过方程解得，类比上述方法，则（    ）

A． B． C． D．

【2023江西省赣南五校高三期中联考】

17．已知定义域为的奇函数满足：当时，；当时，．现有下列四个结论：

①的周期为2；

②当时，；

③若，则；

④若方程在上恰有三个根，则实数k的取值范围是．

其中所有正确结论的序号是（    ）

A．①③ B．②③④ C．②④ D．②③

 (多选题)【2023黑龙江哈尔滨七十三中学月考】

18．定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（    ）

A．在上是“弱减函数”

B．在上是“弱减函数”

C．若在上是“弱减函数”，则

D．若在上是“弱减函数”，则

（多选）【2023重庆市缙云教育联盟质量检测】

19．类比三角函数的定义，把角的终边与双曲线交点的纵坐标和横坐标分别叫做的双曲正弦函数、双曲余弦函数．已知，下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．若直线（c为常数）与曲线共有三个交点，横坐标分别为，则

【2022浙江绍兴一中5月高考适应性考试】

20．定义两个向量组的运算，设为单位向量，向量组分别为的一个排列，则的最小值为_______．

【2023安徽省江淮名校高三9月质量检测】

21．双曲函数是由以为底的指数函数和所产生的．其定义为：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切．类比三角函数的公式，我们给出如下双曲函数的公式，其中正确公式的序号为______．

①

②

③

④

【2023广东省广州市越秀区届高三上学期10月阶段测试】

22．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图“”．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．猜想的递推关系如下：已知数列满足（为正整数），;

(1)当时，试确定使得需要多少步雹程；

(2)若，求所有可能的取值集合．

【2023北京师范大学附属实验中学高三期中】

23．设为实数，定义生成数列和其特征数列如下：

（i）；

（ii），其中.

(1)直接写出生成数列的前4项；

(2)判断以下三个命题的真假并说明理由；

①对任意实数，都有；

②对任意实数，都有；

③存在自然数和正整数，对任意自然数，有，其中为常数.

(3)从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为原数列的一个无穷递增子列.求证：对任意正实数生成数列存在无穷递增子列.

参考答案：

1．B

2．C

3．ACD

4．AD

5．D

6．A

7．(1)见解析

(2)见解析

8．(1)

(2)若选①， ；若选②，.

9．（答案不唯一）

10．（答案不唯一）

11．(1)

(2)见解析

12．(1)

(2)147

13．D

14．D

15．B

16．D

17．C

18．BD

19．BCD

20．##

21．②④

22．(1)16

(2)

23．(1)；；；

(2)命题①为假命题；命题②为假命题；命题③为真命题

(3)证明见详解