2023年陕西省西安市高新第一中学中考三模数学试卷

这是一份2023年陕西省西安市高新第一中学中考三模数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，四象限，那么一次函数的图象经过，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年陕西省西安市高新一中中考数学三模试卷
一、选择题（本题共10题，每小题3分，计30分）
1.（3分）的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2.（3分）如图，在正方体的一角截去一个小正方体，所得立体图形的主视图是（ ）

A. B. C. D.
3.（3分）如图，将含30°角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，已知，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
4.（3分）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么一次函数的图象经过（ ）
A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限
5.（3分）下面的计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.（3分）已知直线过点，且与直线在第四象限交于点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.（3分）如图，中，，斜边，为的中点，为上一点，且，过点作交的延长线于点，则的长为（ ）

A.6 B.4 C.7 D.12
8.（3分）如图，在矩形中，点、分别在边、上，且，将矩形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，下列结论正确的是（ ）

A. B. C. D.
9.（3分）如图，四边形内接于圆，，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
10.（3分）二次函数（，，为常数，且）中与的部分对应值如下表，下列结论，正确的个数有（ ）

-1
0
1
3

-1
3
5
3
①
②当时，的值随值的增大而减小；
③4是方程的一个根；
④当时，
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11.（3分）在实数，0，，中，最大的一个数是___________.
12.（3分）已知一个圆的半径为，则它的内接正六边形的边长为___________.
13.（3分）如图，反比例函数的图象如图，点在图象上，连接并延长到点，使，过点作轴，交的图象于点，连接，，则___________.

14.（3分）如图，在，，，，点在线段上，点在线段的延长线上，且，则的最小值是_________.

三、解答题（共11小题，满分78分）
15.（5分）计算：
16.（5分）先化简，再在1，2，3中选取一个适当的数代入求值.
17.（5分）如图，中，点，分别在边，上，求作线段，使，且（保留作图痕迹，不写作法）

18.（5分）如图，点在线段上，，，，求证：.

19.（7分）为了解某小区某月家庭用水量的情况，从该小区随机抽取部分家庭进行调查，根据调查数据绘制如下不完整的统计图表，回答下列问题：
分组
家庭用水量（吨）
家庭数（户）


4


13


_________


_________


6


3

（1）本次调查的家庭数为__________户，组的家庭数为__________户，组的家庭数为________户；
（2）家庭用水量的中位数落在_________组；
（3）若该小区共有200户家庭，请估计该月用水量不超过的家庭数.
20.（7分）小亮和同学们想用一些测量工具和所学的几何知识测量学校旗杆的高度，检验自己掌握知识和运用知识的能力，如图，在阳光下，小亮站在水平地面的处，此时小亮身高的影子顶端与旗杆的影子顶端重合，这时小亮身高的影长米，一段时间后，小亮从点沿的方向走了2.6米到达处，此时小亮身高的影子顶端与旗杆的影子顶端重合，这时小亮的影长米，已知小亮的身高米，点、、均在直线上，，，，请你根据题中提供的相关信息，求出旗杆的高度.

21.（7分）为绿化校园，某校计划购进、两种树苗，共21棵.已知种树苗每棵90元，种树苗每棵70元.设购买种树苗棵，购买两种树苗所需费用为元.
（1）与的函数关系式为：__________；
（2）若购买种树苗的数量少于种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用.
22.（7分）一个不透明的口袋中装有4个分别标有数1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小红先从口袋里随机摸出一个小球记下数为，小颖在剩下的3个球中随机摸出一个小球记下数为，这样确定了点的坐标.
（1）小红摸出标有数3的小球的概率是_________.
（2）请你用列表法或画树状图法求点在函数图象上的概率.
23.（8分）如图，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与，相交于点，，连结.已知.

（1）求证：是的切线.
（2）若，，求的半径.
24.（10分）如图，已知二次函数的图象经过，两点，顶点为.

（1）求该二次函数的解析式和顶点的坐标
（2）设图象的对称轴为，点是图象上一动点，当的面积为时，点关于的对称点为，能否在图象和上分别找到点，，使得以点、、、为顶点的是四边形为平行四边形?若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由.
25.（12分）在四边形中，，；

（1）如图1，已知，求得的大小为__________.
（2）已知，，在（1）的条件下，利用图1，连接，并求出的长度；
（3）问题解决；如图2，已知，，现需要截取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧符合如图2所示的四边形，为了尽可能节约，你能求出这种四边形面积的最小值吗?如果能，请求出此时四边形面积的最小值；如果不能，请说明理由.
2023年陕西省西安市高新一中中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10题，每小题3分，计30分）
1.（3分）
【分析】直接利用倒数的定义化简得出答案.
【解答】解：的倒数是：.
故选：D.
【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键.
2.（3分）
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案.
【解答】解：从正面看是一个大正方形内的左上角是一个小正方形，
故选：D.
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图.
3.（3分）
【分析】根据平行线的性质求出，根据三角形的外角性质求出，代入求出即可.

【解答】解：
，，
，
，
，
故选：D.
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能求出的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等.
4.（3分）
【分析】根据正比例函数经过第二、四象限，得出的取值范围，进而解答即可.
【解答】解：因为正比例函数的图象经过第二、四象限，
所以，
所以一次函数的图象经过三、二、四象限，
故选：B.
【点评】此题考查正比例函数的图象，关键是根据正比例函数经过第二、四象限，得出的取值范围.
5.（3分）
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案.
【解答】解：A、，故此选项错误；
B、，正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：B.
【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.
6.（3分）
【分析】将点代入，可求，再由直线交点的求法，联立方程可得，根据在第四象限，则有，，即可求解.
【解答】解：将点代入，
，
，
与直线在第四象限交于点，
则有，
，
在第四象限，
，
；
故选：A.
【点评】本题考查一次函数的图象及性质；能够掌握直线交点坐标的求法，牢记象限内点的坐标特点是解题的关键.
7.（3分）
【分析】先根据直角三角形的性质求出的长，再由三角形中位线定理即可得出结论.
【解答】解：中，，斜边，为的中点，
.
，
.

是的中位线，
.
故选：A.
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键.
8.（3分）
【分析】由折叠的性质得到，求得，根据矩形的性质得到，，求得，得到，根据直角三角形的性质即可得到结论.
【解答】解：将矩形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
将矩形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，
，，

，，
，，
，，
，
，
故选：C.
【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键，难度偏大.
9.（3分）
【分析】根据平行线的性质求出，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理解答.
【解答】解：，
，
四边形内接于圆，
，
由圆周角定理得，，
故选：B.
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.
10.（3分）
【分析】当时，，则；当时，；当时，，代入即可求函数解析式；进而可以进行判断.
【解答】解：当时，，则；
当时，；当时，，
则有，
，
；
①
②函数的对称轴为，当时，的值随值的增大而减小；
③可化为，
或；
④时，
或，
当时，；
故选：B.
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够利用待定系数法准确求出函数的解析式是解题的关键.
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11.（3分）
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可.
【解答】解：，
在实数，0，，中，最大的一个数是.
故答案为：.
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小.
12.（3分）
【分析】首先根据题意画出图形，六边形是正六边形，易得是等边三角形，又由圆的半径为，即可求得它的内接六边形的边长.
【解答】解：如图，连接，，
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
，
即它的内接六边形的边长为：.
故答案为：.

【点评】此题考查了正多边形与圆的性质.此题难度不大，注意根据题意得到是等边三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用.
13.（3分）
【分析】作轴于，延长交轴于，则，根据相似三角形的判定得到，所以，设，则，则点坐标为，，所以，根据三角形面积公式和的几何意义得到利用进行计算即可.
【解答】解：作轴于，延长交轴于，如图，
轴，
，
，
，
而，
，
设，则，
点和点在反比例函数的图象上，
点坐标为，
，
，
，
，
.
故答案为.

【点评】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为.也考查了相似三角形的判定与性质.
14.（3分）
【分析】作点关于的对称点，连接，，，依据是等边三角形，可得，以，为边作平行四边形，则，，当，，在同一直线上时，连接，的最小值等于的长，依据勾股定理求得的长，即可得的最小值.
【解答】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，，，
则，，，，
是等边三角形，
，
如图，以，为边作平行四边形，则，，
，，

当，，在同一直线上时，连接，的最小值等于的长，
中，，，，
，，

，
平行四边形中，，
中，，
的最小值等于，
故答案为：.

【点评】本题主要考查了最短路线问题、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.
三、解答题（共11小题，满分78分）
15.（5分）
【分析】直接利用二次根式的性质以及负指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案.
【解答】解：原式

.
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.
16.（5分）
【分析】先算括号内的减法，再算乘法，最后代入求出即可.
【解答】解：原式

，
，
且，
只能选取2，
把代入得：原式.
【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键.
17.（5分）
【分析】作的角平分线交于，作交于，线段即为所求.
【解答】解：如图，线段即为所求.

【点评】本题考查作图-复杂作图，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型.
18.（5分）
【分析】由平行线的性质可得，由“”可证，可得.
【解答】证明：

，，


【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.
19.（7分）
【分析】（1）利用组所占百分比及户数可算出调查家庭的总数，从而算出组的家庭数、组的家庭数；
（2）从第二问知道调查户数为50，则中位数为第25、26户的平均数，由表格可得知落在组；
（3）计算调查户中用水量不超过9.0吨的百分比，再乘以小区内的家庭数就可以算出.
【解答】解：（1）调查的家庭数为：，
组的家庭数为：，
组的家庭数为：；
填表如下：
分组
家庭用水量（吨）
家庭数（户）


4


13


15


9


6


3
（2）调查的家庭数为50户，则中位数为第25、26户的平均数，从表格观察都落在组；
（3）调查家庭中不超过9.0吨的户数有：，
（户）.
答：该月用水量不超过9.0吨的家庭数为128户.
故答案为：15，9；50，15，9；.
【点评】本题考查了扇形统计图、统计表，解题的关键是要明确题意，找出所求问题需要的条件.
20.（7分）
【分析】先证明，利用相似比得到①，再证明得到②，然后解由①②组成的方程组求出即可.
【解答】解：，
，
，即①，
，
，
，即②，
由①②得，解得，
，解得.
答：旗杆的高度为.
【点评】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“”型或“”型相似图，为了使问题简便，尽量构造直角三角形，然后利用三角形相似，对应边成比例可求出相应线段的长.
21.（7分）
【分析】（1）根据购买两种树苗所需费用种树苗费用种树苗费用，即可解答；
（2）根据购买种树苗的数量少于种树苗的数量，列出不等式，确定的取值范围，再根据（1）得出的与之间的函数关系式，利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可得出更合算的方案.
【解答】解：（1），
故答案为：.
（2）购买种树苗的数量少于种树苗的数量，
，
解得：，
又，
的取值范围为：，且为整数，
，，
随的增大而减小，
当时，有最小值，最小值为：，
使费用最省的方案是购买种树苗10棵，种树苗11棵，所需费用为1690元.
【点评】本题考查的是一元一次不等式及一次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系.
22.（7分）
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可得到小红摸出标有数3的小球的概率；
（2）首先利用树状图展示所有12种等可能的结果数，再利用一次函数图象上点的坐标特征得到在函数的图象上的结果数，然后根据概率公式求解.
【解答】解：（1）小红摸出标有数3的小球的概率是；故答案为；
（2）画树状图为：

由列表或画树状图可知，点的坐标可能是，，，，，，，，，，，共12种情况，其中在函数的图象上的有4种，即，，，
所以点在函数图象上的概率.
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率.也考查了一次函数图象上点的坐标特征.
23.（8分）
【分析】（1）连接，由，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到，求出为90°，即可得证；
（2）设圆的半径为，利用锐角三角函数定义求出的长，再利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果.
【解答】（1）证明：连接，
，
，
，
，
在中，，
，

则为圆的切线；
（2）设圆的半径为，
在中，，
根据勾股定理得：，

在中，，
，
根据勾股定理得：，
在中，，即，
解得：.

【点评】此题考查了切线的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键.
24.（10分）
【分析】（1）由、两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）可设出点坐标，从而表示出的面积，由条件求得点坐标，可求得的长，当为边时，根据平行四边形的性质可得到，从而可求得点坐标；当为对角线时，可知点为抛物线的顶点，可求得点坐标.
【解答】解：（1）将、代入，
得：，
解得，
该二次函数的解析式为.
，
顶点的坐标为；
（2）能.理由如下：
如图，过点作轴的垂线交于点，

，
.
点在图象上，
.
的面积为，
，即，
解得.
.
，
图象的对称轴为.
点关于的对称点为，
，
，
若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，有两种情况：
当为边时，则有且.
点的横坐标为或，
点的纵坐标为，
点的坐标为或；
当为对角线时，则可知点为抛物线的顶点，即；
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或.
【点评】本题主要考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质等知识点.在（1）中注意二次函数解析式三种形式的灵活运用，在（2）中求得点的坐标从而求得的长是解题的关键.本题考查知识点较多，综合性质较强，难度较大.
25.（12分）
【分析】（1）根据四边形的内角和为360°求解可得；
（2）将绕点逆时针旋转60°得，由旋转性质知，，，，再证是等边三角形得，证可得答案；
（3）是等边三角形，所以可以将绕点逆时针旋转60°得到，连接.由，可知当面积最大时，四边形的面积最小，只要求出的面积的最大值即可解决问题.
【解答】解：（1），且、，
，
故答案为：270°；
（2）如图1，将绕点逆时针旋转60°得，

则，，，，

，即，
是等边三角形，
，
，
，
，
则；
（3）如图②，将绕点逆时针旋转60°得，连接，

由（2）知是等边三角形，
，
当面积最大时，四边形的面积最小，
，，
，

，
点在定圆上运动，当、、共线时，的面积最大，此时，设交于，则，
，
，在上取一点，使得，则是等腰直角三角形，设，则，
，
，
的面积最大值，
四边形的面积的最小值.
【点评】本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理，圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题.