数学（北京A卷）-学易金卷：2023年高考第一次模拟考试卷

高考『练兵场』之模拟训练的重要性

高中特级教师用3句话来告诉你模拟考试有多么的重要！

1、锻炼学生的心态。能够帮助同学们树立良好的心态，增加自己的自信心。

2、锻炼学生管理时间。通过模拟考试就会让同学们学会分配时间，学会取舍。

3、熟悉题型和考场。模拟考试是很接近高考的，让同学们提前感受到考场的气氛和布局。

高考的取胜除了平时必要的学习外，还要有一定的答题技巧和良好心态。此外，通过模拟考试还能增强学生们面对高考的信心，希望考生们能够重视模拟考试。

2023年高考数学第一次模拟考试卷（北京A卷）

高三数学·参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11.   12. （答案不唯一）13.    

14. 或；     .    15. ①③④

三、解答题共6小题，共85分．

16.（本小题13分）

【答案】(1)；(2).

【详解】（1）由，

，……………………………….3分

，            ……………………………….4分

.……………………………….5分

（2），，，……………………………….6分

，……………………………….8分

根据正弦定理，得，……………………………….10分

解得，；……………………………….12分

因此三角形周长为.……………………………….13分

17．（本小题14分）

【答案】（1）证明见解析；（2）

【详解】（1）连接，交于，连接，

底面是菱形，为中点，

为中点，，……………………………….2分

平面，平面，……………………………….3分

平面；……………………………….4分

（2）选①：

以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图空间直角坐标系，

……………………………….5分

底面是菱形，，，

，……………………………….6分

则，……………………………….9分

设平面的法向量为，

则，取可得，……………………………….11分

设与平面所成的角为，

则，……………………………….13分

所以与平面所成的角为；……………………………….14分

选②：

以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图空间直角坐标系，

……………………………….5分

取中点，连接，

底面是菱形，，，平面，为的中点，

，平面，，，

，……………………………….6分

则，……………………………….9分

设平面的法向量为，

则，取可得，……………………………….11分

设与平面所成的角为，

则，……………………………….13分

所以与平面所成的角为；……………………………….14分

18．（本小题13分）

【答案】(1)仅使用手机的概率为，仅使用平板的概率为

(2)分布列见解析，

(3)

【详解】

（1）解：学生上网课仅使用手机的概率为，……………………………….2分

学生上网课仅使用平板的概率为；……………………………….4分

（2）解：学生上网课仅使用电脑的概率为，……………………………….5分

可取，且，……………………………….7分

， ，

， ，……………………………….9分

则分布列为：

；……………………………….10分

（3）解：，

，

所以，

，……………………………….11分

，

，

所以，

，……………………………….12分

所以.……………………………….13分

19．（本小题15分）

【答案】(1)；

(2)．

【详解】

 (1)解：由题意，有，……………………………….2分

解得，，……………………………….3分

所以椭圆的方程为；……………………………….4分

(2)解：由题意，点在轴上方且过点，则直线的斜率不为0，

设直线的方程为，，，……………………………….5分

则，，

由，可得，……………………………….6分

，

，，          ……………………………….8分

所以，即，……………………………….9分

由，，

所以，则直线的方程为，……………………………….10分

令，得，所以，……………………………….11分

所以，则直线的方程为，……………………………….12分

令，得，所以，……………………………….13分

所以，……………………………….15分

所以．

20．（本小题15分）

【答案】(1)

(2)①；②证明见解析

【详解】（1）设切点，，……………………………….1分

得，，所以，……………………………….2分

代入直线方程得；……………………………….3分

（2）①由（1）知，若曲线与直线有两个公共点，

则等价于有2个实数根，，……………………………….4分

设，则，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，……………………………….6分

，

当趋向于正无穷大时，趋向于0，当趋向于负无穷大时，趋向于负无穷大，

则；……………………………….9分

②，即，等价于，

令，，……………………………….10分

，

因为，所以，故，

所以在上单调递增，故,……………………………….12分

不妨设，故，即，

由已知，所以，……………………………….14分

由①知，当时，单调递增，

故，所以，

所以.……………………………….15分

21．（本小题15分）

【答案】(1)数列1，2，4，3不具有“性质M”；数列2，4，8，16具有“性质M”

(2)证明见解析

(3)或5 

【详解】（1）解：，该数列不具有“性质”； ……………………………….2分

，该数列具有“性质”； ……………………………….4分

（2）证明：充分性，若数列是常数列，则，

即，

或

又数列且各项互不相同，

，

数列为等差数列；……………………………….7分

必要性，若数列为等差数列，则，即，数列为常数列；……………………………….9分

（3）解：数列是连续个正整数1，2，，的一个排列，

当时，，，不符合题意；

当时，数列3，2，4，1满足，，符合题意；

当时，数列2，3，4，5，1满足，符合题意；

……………………………….11分

当时，令，2，，，则，且，的取值有以下三种可能

①，②，③，

当时，，由（2）知，，，是公差为1或的等差数列，

若公差为1时，由得或，，不合题意，不合题意；

若公差为，同上述方法可得不符合题意；                ……………………………….13分

当满足②，③时，同理可证不符合题意，

故：或5．                                               ……………………………….15分