数学（江苏B卷）-学易金卷：2023年高考第一次模拟考试卷

2023年高考数学第一次模拟考试卷

数学·参考答案

13．135（5分）

14．（5分）

15．1（5分）

16． （2分）    （3分）

17．（1）公差d不为0的等差数列中，成公比为的等比数列，

所以，则，即，解得，   （2分）

在公差不为0的等差数列中，由，可得，

代入，可得，整理可得，解得，   （4分）

所以.   （5分）

（2）由（1）可得，

当n为偶数时，

；   （7分）

当n为奇数时，

.   （9分）

所以    （10分）

18．（1）∵，

∴

∵

∴   （2分）

∵，∴，即，

∵，

∴   （4分）

∵的面积为，

∴   （5分）

∴

∵，

∴，，

∴，解得.   （6分）

（2）∵由（1）知，

∴为正三角形，从而

在中，由正弦定理得   （7分）

∴

∴

   （10分）

∵，∴

所以当，即时，   （12分）

19．（1）作于H，

∵平面平面，平面平面

∴平面   （2分）

∵平面，

∴，

∵，平面，

∴平面；   （5分）

（2）设，以B为原点，以所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则，

由（1）可知平面，∴，   （6分）

∵，∴

∵∴

∵Q是的重心，∴，   （7分）

而

设直线与所成角为，则

．   （9分）

此时

设平面的一个法向量为

由

令，则，取   （11分）

设直线和平面所成角为，则

.   （12分）

20．（1）,

   （3分）

故分布列为：

.   （5分）

（2）（i）设池塘乙中鱼数为,则,解得,故池塘乙中的鱼数为200.   （6分）

（ii）设池塘乙中鱼数为,令事件“再捉20条鱼,5条有记号”,事件“池塘乙中鱼数为”

则,由最大似然估计法,即求最大时的值,其中,

   （9分）

当时，

当时，

当时

所以池塘乙中的鱼数为199或200.   （12分）

21．（1）因为，故，故抛物线的方程为：.   （3分）

（2）[方法一]：通式通法

设，，，

所以直线，由题设可得且.

由可得，故，   （5分）

因为，故，故.

又，由可得，

同理，   （7分）

由可得，

所以，

整理得到，   （9分）

故，

令，则且，

故，

故即，   （11分）

解得或或.

故直线在轴上的截距的范围为或或.   （12分）

[方法二]：利用焦点弦性质

设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，由题设可得且．

由得，所以．   （5分）

因为，

，．

由得．

同理．

由得．   （8分）

因为，

所以即．

故．   （10分）

令，则．

所以，解得或或．

故直线在x轴上的截距的范围为．   （12分）

[方法三]最优解

设，

由三点共线得，即．   （5分）

所以直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．

设直线的方程为，   （7分）

则．

所以．   （9分）

故（其中）．

所以，且，

因此直线在x轴上的截距为．   （12分）

22．（1）因为，所以，

，

所以的图象在处的切线方程为，即.   （4分）

（2）当时，有，则.

当时，，不符合题意；

当时，，则在上单调递减，即，不符合题意；

当时，.则在上单调递增，

即，解得.   （6分）

令，则在上单调递增.

因为，所以在内存在唯一的零点.

当时，，

令，则，

所以当时，有，则，即在上单调递减，  （8分）

因为，

所以在内存在唯一零点，即，

所以当时，，即在上单调递增，

所以有，即在内无零点，   （10分）

当时，，所以在上单调递减.

因为，所以在内有且仅有一个零点.

综上，关于x的方程在内有两个不相等的实数根.   （12分）