数学（上海B卷）-学易金卷：2023年高考第一次模拟考试卷

2023年高考数学第一次模拟考试卷

数学·全解全析

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

一、填空题

1．用列举法表示______．

【答案】

【分析】根据且求出的值，即可求出，从而列举即可.

【解析】解：因为且，所以或或或，

解得或或或，

所以对应的分别为、、、，

即；

故答案为：

2．已知变量y与x线性相关，若，且y与x的线性回归直线的斜率为2，则线性回归方程是______________．

【答案】

【分析】设线性回归方程为，根据回归方程的性质，把已知数据代入求得，则线性回归方程可求．

【解析】解：设线性回归方程为，

，，与的线性回归直线的斜率为2，即，

．

关于的线性回归方程为．

故答案为：．

3．已知函数的图象关于点对称，且，则实数的值为___________.

【答案】或1

【分析】根据正切函数的性质，代入点，求解参数的值.

【解析】∵函数的图象关于点对称，且，

∴，，或，

则令，可得实数或，

故答案为：或1.

4．若函数是偶函数，则的单调递增区间是___________

【答案】

【分析】由函数为偶函数，以及偶函数定义域关于原点对称，故，结合二次函数的性质判断即可.

【解析】由题意，函数的定义域为，

若函数为偶函数，则函数定义域关于原点对称，故，

即，

由于为开口向上的二次函数，对称轴为，

故函数的单调递增区间为：.

故答案为：

5．若关于x的方程有纯虚数根，则实数t的值为___________．

【答案】2

【分析】设(且)为方程的根，代入方程，根据复数的概念即可列式求解.

【解析】设(且)为方程的根，

则

.

故答案为：2.

6．直线被圆所截得的弦长为______．

【答案】

【分析】根据所给圆，确定圆心以及半径，再结合点线距离即可求解.

【解析】依据题意得圆心为，半径，圆心到直线的距离.

则直线被圆截得的弦长为.

故答案为：

7．已知是奇函数，且当时，若，则_______.

【答案】

【分析】首先利用奇函数的性质，变形为，再代入函数解析式，即可求解.

【解析】因为是奇函数，所以，所以，所以，又当时，所以，即，解得.

故答案为：

8．函数的图象的顶点A在直线上，其中，则的最小值为______．

【答案】8

【分析】先根据二次函数求出顶点坐标,然后代入直线方程可得,然后中的1用代入,2用代入化简,利用基本不等式可求出最小值．

【解析】解：由题意可得顶点,又点A在直线上,,

则,

当且仅当时,等号成立,

故答案为：8．

【点睛】本题主要考查了二次函数的定点以及基本不等式的应用,属于中等题型.

9．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式___________.（结果用数值表示）

【答案】48

【分析】由分步计算原理求解即可

【解析】由题意，可分步进行，

第一步，安排公益广告，不同的安排方式有种，

第二步，安排商业广告，不同的安排方式有种，

故总的不同安排方式有种，

故答案为：48

10．圆锥的底面圆直径为2，母线长为6，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为_____．

【答案】

【分析】要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

【解析】

由题意知底面圆的直径AB＝2，故底面周长等于 .

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，展开后扇形的弧长为

根据底面周长等于展开后扇形的弧长得＝，故

所以展开图中，

在中，

由余弦定理得

所以小虫爬行的最短距离为.

故答案为：

11．抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与交于，两点，的准线与轴的交点为，若的面积为，则___________.

【答案】2或

【分析】先求出抛物线的标准方程，再设出直线方程，与抛物线联立，求出弦长，求出点M到直线的距离为d，表达出的面积，求出m的值（注意分两种情况），再分别求出与的长，求出结果

【解析】抛物线化为标准形式为：

∵抛物线的焦点到准线的距离为2

∴，即

∴抛物线方程为，焦点

∵过点的直线与交于A，两点

∴设直线方程为：

与抛物线方程联立得：

设，，不妨假设A点在x轴上方，B点在x轴下方.

则，

则

设点M到直线的距离为d

则

∴

解得：

∴

当时，，

解得：

此时：

∴，

∴2

当时，，

解得：

此时：

∴，

∴

故答案为：2或

12．已知函数，数列是公差为4的等差数列，若，则数列的前n项和______.

【答案】

【分析】由题意判断的奇偶性以及单调性，结合的特征，构造函数，判断其性质，结合等差数列的性质可推得，继而求得首项，即可求得答案.

【解析】由函数可知,

由

，

故为偶函数，当时，知，在上单调递增且，

设，则为奇函数且时，，

故此时单调递增，则时，单调递增，

故结合奇函数的对称性可得在单调递增，

由题意，

得，又是等差数列，可得，

当时，，

同理，即，不合题意，

当时，同理可得，也不合题意；

所以，又公差为4，可得，则 ，

所以，

故答案为：.

【点睛】本题考查了等差数列的前n项和的求解，考查了导数的应用，涉及到对数型函数的奇偶性以及单调性的应用，综合性较强，解答时要能综合应用函数的相关知识灵活解答,解答的关键是分类讨论，判断，进而求得数列首项.

二、单选题

13．已知向量满足，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【解析】解：∵，

又∵

∴9，

∴

故选：C.

14．用反证法证明命题①：“已知，求证：”时，可假设“”；命题②：“若，则或”时，可假设“或”.以下结论正确的是

A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确

C．①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确

【答案】C

【解析】分析：利用命题的否定的定义判断即可.

详解：①的命题否定为，故①的假设正确.

或”的否定应是“且”② 的假设错误，

所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.

点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原命题的全面否定.

15．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.

【解析】[方法一]:常规解法

因为，

所以，，得到，

同理，可得，

又因为，

故，；

以此类推，可得，，故A错误；

，故B错误；

，得，故C错误；

，得，故D正确.

[方法二]：特值法

不妨设则

故D正确.

16．如图，在矩形中，，，、分别为边、的中点，沿将折起，点折至处（与不重合），若，分别为线段、的中点，则在折起过程中，下列选项正确的是（    ）

A．可以与垂直

B．不能同时做到平面且平面

C．当时，平面

D．直线、与平面所成角分别、，、能够同时取得最大值

【答案】D

【分析】A假设，利用线面垂直的判定有DE⊥面，进而可得得矛盾即可判断；B取DE，DC中点G，F，连接GM，GN，FK，FB，由线面平行的判定有面，面，再由面面垂直的判定、性质得面，同理判断平面是否成立；C：连接ME，EN，利用勾股定理判断是否成立；D根据题设确定的轨迹，连接EC，取EC中点T，连接TK，TB，应用余弦定理求得，由线面角的定义研究、是否能够同时取最大值.

【解析】A：连接EC，假设，

因为，，所以，

因为，面，所以DE⊥面，

因为面，所以，与矛盾，错误；

B：取DE，DC中点G，F，连接GM，GN，FK，FB，则，

因为面，面，所以面，

因为，，则四边形BEDC为梯形，且BE，CD为底，

又G，N分别为DE，BC的中点，所以，

因为面，面，所以面，

因为，面，所以面面，

因为面MGN，所以面，同理面，错误；

C：连接ME，EN，DN，当时，，

又，所以，故MN与ME不垂直，从而MN不垂直于平面，错误；

D：因为在以DE为直径的球面上，球心为G，

所以的轨迹为的外接圆（与F不重合，F为CD的中点），

连接EC，取EC中点T，连接TK，TB，则，，且，则，

在△KTB中，，，

由余弦定理得，所以，

当直线BK与面BCDE所成角取最大值时，K到面BCDE距离最大，

由K为的中点，此时到面BCDE距离最大，

由，当直线与面BCDE所成角取最大值时，到面BCDE距离最大，

所以直线、BK与面BCDE所成角、能够同时取得最大值，正确.

故选：D

三、解答题

17．如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD与平面CBD所成二面角为直角，平面ABD，且.

(1)求证：直线EC与平面ABD平行；

(2)求点C到平面BED的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，连接、，证明平面即可得解；

（2）在三棱锥中，利用等体积法即可求出点到平面的距离.

【解析】（1）证明：取的中点，连接、，如图，

依题意，在中，，则，

而平面与平面所成二面角为直角，即平面平面，

又平面平面，平面，于是得平面，且，

因平面，且，则有，且，

从而得四边形为平行四边形，，

又平面，平面，

则平面；

（2）解：由（1）可得平面，

于是得平面，，

则等腰底边上的高，，

而，设点C到平面BED的距离为d，

由得，

即，解得，

所以点C到平面BED的距离为1 .

18．已知函数.

（1）求函数在区间上的值域；

（2）若方程在区间上至少有两个不同的解，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用及二倍角公式和辅助角公式将函数化简整理为，再根据正弦函数的图像与性质求出函数的值域；

（2）由已知得由，得，且或，结合方程在区间上至少有两个不同的解，可得，解不等式可得解.

【解析】（1），

令，，

由的图像知，，即，，

所以函数的值域为.

（2）

，，即

，，且或

由于方程在区间上至少有两个不同的解，

所以，解得，

所以的取值范围为.

【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：

（1）将函数化简整理为，再利用三角函数性质求值域；

（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.

19．已知函数.

(1)若在上恒成立,求实数的取值范围;

(2)若函数在上单调递增,求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)对全分离,将在上恒成立,转化为,构造新函数,求导求单调性求最值即可.

(2)由在上单调递增,即在上恒成立,求导后全分离转化为,构造新函数,求导求单调性求最值即可.

【解析】（1）解:由题知在上恒成立,

即,

,

只需即可,

即,

记,

,

,

,

,

在单调递减,

;

（2）由题知,在上单调递增,

即在上恒成立,

即恒成立,

,只需恒成立,

即,

记,

,

,,

在单调递增,

,

只需即可,

综上:.

20．如图，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，已知， 且 过作的不垂直于轴的弦，为的中点，直线与交于、两点.

(1)求、的方程；

(2)若四边形为平行四边形，求直线的方程；

(3)求四边形面积的最小值.

【答案】(1)，

(2)或

(3)

【分析】（1）由椭圆和双曲线的离心率公式可得出，由可求得、的值，即可得出椭圆和双曲线的方程；

（2）设直线的方程为，设点、、，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，分析可知为线段的中点，可得出点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出直线的方程；

（3）求出，可得出直线的方程，求出、两点的坐标，求出、两点到直线的距离之和，可得出四边形的面积，进而可求得该四边形面积的最小值.

【解析】（1）解：由题意可得，，，则，

，，，

所以，椭圆的方程为，双曲线的方程为.

（2）解：由（1）可知，因为直线不垂直于轴，设直线的方程为，

设点、、，

联立可得，，

由韦达定理可得，，

则，，所以，点，

因为四边形为平行四边形，则为线段的中点，故点，

将点的坐标代入双曲线的方程可得，即，

解得，

因此，直线的方程为或.

（3）解：由（2）可得，

，所以，直线的方程为，

联立可得，所以，，

不妨取点、，

所以点到直线的距离为，

点到直线的距离为，

则，

所以，四边形的面积为

，

故当时，四边形的面积取最小值.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

21．若项数为且的有穷数列满足：，则称数列具有“性质”．

(1)判断下列数列是否具有“性质”，并说明理由；

①1，2，4，3；②2，4，8，16．

(2)设，2，，，若数列具有“性质”，且各项互不相同．求证：“数列为等差数列”的充要条件是“数列为常数列”；

(3)已知数列具有“性质”．若存在数列，使得数列是连续个正整数1，2，，的一个排列，且，求的所有可能的值．

【答案】(1)数列1，2，4，3不具有“性质M”；数列2，4，8，16具有“性质M”

(2)证明见解析

(3)或5

【分析】（1）按照题目给出的定义：数列具有“性质”直接判断；

（2）根据充要条件的概念直接证明；

（3）根据条件可知，，逐渐增大，且最小值为1，分情况可求之．

【解析】（1）解：，该数列不具有“性质”；

，该数列具有“性质”；

（2）证明：充分性，若数列是常数列，则，即，或

又数列且各项互不相同，，数列为等差数列；

必要性，若数列为等差数列，则，即，数列为常数列；

（3）解：数列是连续个正整数1，2，，的一个排列，当时，，，不符合题意；

当时，数列3，2，4，1满足，，符合题意；当时，数列2，3，4，5，1满足，符合题意；

当时，令，2，，，则，且，的取值有以下三种可能

①，②，③，

当时，，由（2）知，，，是公差为1或的等差数列，

若公差为1时，由得或，，不合题意，不合题意；

若公差为，同上述方法可得不符合题意；

当满足②，③时，同理可证不符合题意，

故：或5．

【点睛】本题考查了给出新定义求解问题，数列的通项公式，充要条件等知识，综合性较强，是难题．