数学（新高考Ⅰ卷A卷）-学易金卷：2023年高考第—次模拟考试卷

2023年高考数学第一次模拟考试卷（新高考Ⅰ卷）

高三数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，集合，则（    ）

A．    B．    C．   D．

2．欧拉是世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况．根据欧拉公式，（       ）

A． B． C． D．

3．如果对于任意实数表示不超过的最大整数，那么“”是“成立”的（    ）.

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件   C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

4．生物学家采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据，并经过研究得到体重和脉搏率的对数型关系：（其中是脉搏率（心跳次数，体重为，为正的常数），则体重为的豚鼠和体重为的小狗的脉搏率之比为（    ）

A． B． C．3 D．27

5．如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH，其中，则以下结论错误的是（　　）

A．   B．   C．   D．

6．已知双曲线（，）的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为（    ）.

A．1 B． C． D．

8．在正四棱台中，，．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则正确的是（    ）

A．骑车时间的中位数的估计值是22分钟

B．骑车时间的众数的估计值是21分钟

C．坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟

D．坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值

10．在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为，则（    ）

A．的周长为            B．（不重合时）平分

C．面积的最大值为6    D．当时，直线与轨迹相切

11．对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：①，；②，，，则称函数为“函数”.下列结论正确的是（    ）

A．若为“函数”，则其图象恒过定点

B．函数在上是“函数”

C．函数在上是“函数”（表示不大于的最大整数）

D．若为“函数”，则一定是上的增函数

12．已知为坐标原点，抛物线：（）的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，点为抛物线上的动点，则（    ）

A．的最小值为   B．的准线方程为

C．                D．当时，点到直线的距离的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知定义在上的偶函数满足，则的一个解析式为___________．

14． 2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气，如图所示，

相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到大雪的日晷长的和为______尺.

15．为普及空间站相关知识，某航天部门组织了空间站建造过程模拟编程竞赛活动．该活动由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等8个程序题目组成，则该活动的题目顺序安排中，全尺寸太阳能排在前两位，且太空发射与自定义漫游相邻，但两者均不与空间运输相邻的概率为 __．

16．若存在，，满足，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是___________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知的内角的对边分别为,且.(1)求的值;(2)给出以下三个条件:条件①:;条件②:,;条件③:.这三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件并回答下面的问题:（i）求的值;（ii）求的角平分线的长.

18．（12分）已知数列的各项均为正数，前项和为，若．

(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求证：；

(3)设，数列的前项和为，求满足的最小正整数的值．

19．（12分）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：

(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；

(2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记为选出“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；

(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？

20．（12分）已知矩形中，，，是的中点，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面.

(1)证明：；(2)若是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

21．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．(1)求椭圆的方程；(2)如图，、是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为的直线交椭圆于点、，直线与直线交于点．记、、的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？

22．（12分）已知函数．

(1)当时，求证：；(2)求证：．