人教版 (2019)必修 第一册3 牛顿第二定律学案设计

3　牛顿第二定律

[课标引领]

一、牛顿第二定律的表达式

如图所示是一辆方程式赛车,车身结构一般采用碳纤维等材料进行轻量化设计,比一般小汽车的质量小得多,而且还安装了功率很大的发动机,可以在4～5 s的时间内从静止加速到 100 km/h。你知道为什么要使赛车具备质量小、功率大两个特点吗?

答案:赛车的质量小,赛车的运动状态容易改变;功率大,可以为赛车提供较大的动力。因此这两大特点可以使赛车提速非常快(加速度大)。

1.内容:物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比跟它的质量成反比,加速度的方向跟作用力的方向相同。

2.表达式:F=kma,其中k是比例系数,力F指的是物体所受的合力。

二、力的单位

在应用公式F=ma进行计算时,F的单位用牛顿(N),m的单位用克(g)是否可以?

答案:不可以。公式中的各量必须用国际单位。若不然,公式中的比例系数就不等于1。

1.在国际单位制中力的单位是牛顿,符号是N。

2.1 N的物理意义:使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力,称为1 N,即1 N=1 kg·m/s2。 

3.比例系数k的意义:k的数值取决于F、m、a的单位的选取,若三量都取国际单位,则k=1,牛顿第二定律可表述为F=ma。

1.判断

(1)由牛顿第二定律知,合力大的物体的加速度一定大。(　×　)

(2)任何情况下,物体的加速度方向一定与它的合力方向相同。(　√　)

(3)加速度的两单位N/kg和m/s2是等价的。(　√　)

2.甲、乙两同学对加速度有如下认识,甲说:“由a=可知物体的加速度a与Δv成正比,与Δt成反比。”乙说:“由a=可知物体的加速度a与F成正比,与m成反比。”你认为哪一种说法是正确的?

答案:乙的说法正确。物体的加速度的大小是由物体所受合力的大小和物体的质量共同决定的,与速度的变化量及所用时间无关。其中a=是定义式,描述了加速度的大小,而a=是决定式,揭示了物体产生加速度的原因及影响物体加速度的因素。

3.从匀速上升的气球上掉下一个物体(不计空气阻力),物体离开气球的瞬间,物体的加速度和速度情况如何?

答案:物体离开气球瞬间只受重力,加速度大小为g,方向竖直向下;速度方向向上,大小与气球速度相同。

探究点一　对牛顿第二定律的理解

质量均为m的物体A、B置于光滑水平面上。

(1)拉力FA能对B产生加速度吗?

答案:不能。F、m、a是对应同一个物体而言的——牛顿第二定律的同体性特征。

(2)向右的水平力F产生的加速度的方向向哪里?当向右的水平力F改为向左时产生的加速度方向向哪里?分析F与a的方向关系。

答案:水平力F向右时,它产生的加速度方向向右;F向左时,则加速度方向向左。由于加速度和力都是矢量,所以加速度的方向跟产生该加速度的力的方向相同——牛顿第二定律的矢量性特征。

(3)物体受拉力F之前做什么运动?物体受拉力F之后做什么运动?撤去拉力F后物体做什么运动?说明了什么?

答案:物体分别对应的状态:静止—加速运动—匀速运动。物体运动的加速度随合力的变化而变化,存在着瞬时对应的关系——牛顿第二定律的瞬时性特征。

(4)如果水平面不光滑,水平方向受到哪些力?这些力会产生加速度吗?这些力可以合成吗?加速度呢?合力跟合加速度有什么关系?说明了什么?

答案:如果水平面不光滑,水平方向物体受拉力F和水平面的摩擦力Ff。这些力会产生加速度。因为F、Ff的方向在同一直线上,可以合成为F合=F-Ff,合加速度为a合=aF-af,并且F合=ma合。物体受到几个力作用时,分力产生分加速度,合力产生合加速度——牛顿第二定律的独立性特征。

1.表达式F=ma的理解

(1)单位统一:表达式中F、m、a三个物理量的单位都必须是国际单位。

(2)F的含义:F是合力时,a指的是合加速度,即物体的加速度;F是某个分力时,a是该力产生的分加速度。

2.牛顿第二定律的六大特性

[例1] (多选)下列对牛顿第二定律的表达式F=ma及其变形公式的理解,正确的是(　CD　)

A.由F=ma可知,物体所受的合力与物体的质量成正比,与物体的加速度成反比

B.由m=可知,物体的质量与其所受合力成正比,与其运动的加速度成反比

C.由a=可知,物体的加速度与其所受合力成正比,与其质量成反比

D.由m=可知,物体的质量可以通过测量它的加速度和它所受到的合力而求出

解析:牛顿第二定律的表达式F=ma表明了各物理量之间的数量关系,即知二可求一,但物体的质量是由物体本身决定的,与受力无关;作用在物体上的合力,是由和它相互作用的物体作用产生的,与物体的质量和加速度无关。故排除A、B,选C、D。

(2)力与速度无因果关系:合力方向与速度方向可以相同,可以相反,还可以有夹角。合力方向与速度方向相同时,物体做加速运动,相反时物体做减速运动。

[针对训练1] 如图所示,轻弹簧下端固定在水平面上。一个小球从弹簧正上方某一高度处由静止开始自由下落,则小球从接触弹簧到下降到最低点的过程中(　C　)

A.小球刚接触弹簧瞬间速度最大

B.小球的加速度方向都是竖直向上

C.小球的速度先增大后减小

D.小球的加速度先增大后减小

解析:在接触弹簧前小球只受到重力作用,做自由落体运动。接触弹簧后小球受到向上的弹力作用,随着形变量增加,弹力逐渐增大,在弹力小于重力的时候,小球仍具有向下的加速度,但是加速度大小随弹力增加而减小;在弹力大于重力的时候小球具有向上的加速度,开始做减速运动。小球接触弹簧后仍做加速运动,当弹力等于重力时速度最大,故A错误;当弹力大于重力后合力才变为竖直向上,故B错误;由过程分析可知,小球接触弹簧后先做加速度不断减小的加速运动,后做加速度不断增大的减速运动,故C正确,D错误。

探究点二　牛顿第二定律的简单应用

行车时驾驶员及乘客必须系好安全带,以防止紧急刹车时造成意外伤害。请思考:

(1)汽车突然刹车,要在很短时间内停下来,会产生很大的加速度,这时如何知道安全带对人的作用力大小呢?

答案:汽车刹车时的加速度可由刹车前的速度及刹车时间求得,由牛顿第二定律F=ma可求得安全带产生的作用力大小。

(2)汽车启动时,安全带对驾驶员产生作用力吗?

答案:汽车启动时,有向前的加速度,此时座椅的后背对驾驶员产生向前的作用力,安全带不会对驾驶员产生作用力。

　牛顿第二定律的解题方法

[例2] 如图所示,沿水平方向做匀变速直线运动的车厢中,悬挂小球的悬线偏离竖直方向的角度θ=37°,小球和车厢相对静止,小球的质量为1 kg,不计空气阻力。求: (sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2)

(1)车厢运动的加速度并说明车厢的运动情况;

(2)悬线对小球的拉力大小。

解析:法一　矢量合成法

(1)小球和车厢相对静止,加速度相同且沿水平方向,故小球所受合力F沿水平方向。

选小球为研究对象,受力分析如图甲所示。

由几何关系可得F=mgtan θ,

由牛顿第二定律得小球的加速度

a==gtan θ=7.5 m/s2,方向向右,

则车厢做向右的匀加速直线运动或向左的匀减速直线运动。

(2)由图甲可知悬线对小球的拉力大小为

FT==12.5 N。

法二　正交分解法

建立坐标系如图乙所示,将悬线对小球的拉力FT正交分解,根据牛顿第二定律

水平方向有FTsin θ=ma,

竖直方向有FTcos θ-mg=0,

联立解得

a=7.5 m/s2,FT=12.5 N

且加速度方向向右,故车厢做向右的匀加速直线运动或向左的匀减速直线运动。

答案:(1)见解析　(2)12.5 N

[针对训练2] 如图所示,自动扶梯与水平面夹角为θ,上面站着质量为m的人,当自动扶梯以加速度a加速向上运动时,求扶梯对人的弹力FN和扶梯对人的摩擦力Ff,重力加速度为g。

解析:

法一　分析人受竖直向下的重力mg、竖直向上的支持力FN和水平向右的摩擦力Ff,建立如图(甲)所示的直角坐标系,人的加速度方向正好沿x轴正方向,将各力正交分解,由牛顿第二定律可得

x轴方向:

Ffcos θ+FNsin θ-mgsin θ=ma

y轴方向:

FNcos θ-Ffsin θ-mgcos θ=0

解得FN=mg+masin θ,Ff=macos θ。

法二　建立如图(乙)所示的直角坐标系。由于人的加速度方向是沿扶梯向上的,则在x轴方向和y轴方向上各有一个加速度的分量,分别为ax=acos θ,ay=asin θ,根据牛顿第二定律有

x轴方向:Ff=max

y轴方向:FN-mg=may

解得FN=mg+masin θ,Ff=macos θ。

答案:mg+masin θ　macos θ

探究点三　瞬时加速度的求解

如图所示,用手向下压弹簧玩偶的头部,玩偶头部处于平衡状态。若人向下压的力为F,弹簧玩偶的头部质量为m,人手突然撤离时,弹簧玩偶头部的加速度为多大?

答案:人手向下压时,弹簧玩偶的头部受三个力作用:手向下的压力F、重力mg和弹簧的弹力FN,三力作用下弹簧玩偶头部处于平衡状态,所以有FN=mg+F,当人手突然撤离的瞬间,手向下的压力变为0,弹力和重力不变,所以弹簧玩偶头部的加速度为a==。

1.两种模型:加速度与合力具有瞬时对应关系,二者同时产生、变化和消失,可简化为以下两种模型。

2.求解瞬时加速度的一般思路

[例3]

如图,A、B、C三个小球质量均为m,A、B之间用一根没有弹性的轻质细绳连在一起,B、C之间用轻弹簧拴接,整个系统用细线悬挂在天花板上并且处于静止状态。现将A上面的细线剪断,使A的上端失去拉力,则在剪断细线的瞬间,A、B、C三个小球的加速度分别是(　A　)

A.1.5g、1.5g、0 B.g、2g、0

C.g、g、g D.g、g、0

解析:剪断细线前,由平衡条件可知A上端的细线拉力为3mg,A、B之间细绳的拉力为2mg,轻弹簧的拉力为mg,在剪断细线的瞬间,轻弹簧中拉力不变,小球C所受合力仍为零,所以C的加速度为0;A、B小球用一根没有弹性的轻质细绳连在一起,即将一起向下运动,整体受到二者重力和轻弹簧向下的拉力,由牛顿第二定律可得3mg=2ma,解得a=1.5g,故选项A正确,B、C、D错误。

[针对训练3]如图所示,A、B两球质量相等,光滑斜面的倾角为θ,图甲中,A、B两球用轻弹簧相连,图乙中A、B两球用轻杆相连,系统静止时,挡板C与斜面垂直,轻弹簧、轻杆均与斜面平行,重力加速度为g,则在突然撤去挡板的瞬间有(　D　)

A.两图中两球加速度均为gsin θ

B.两图中A球的加速度均为0

C.图乙)中轻杆的作用力一定不为0

D.图甲中B球的加速度是图乙中B球的加速度的2倍

解析:撤去挡板前,对整体分析,挡板对B球的弹力大小为2mgsin θ,因弹簧弹力不能突变,所以撤去挡板瞬间,图甲中A球所受合力为零,加速度为零,B球所受合力为2mgsin θ,加速度为2gsin θ;图乙中杆的弹力在撤去挡板瞬间突变为零,A、B球所受合力均为mgsin θ,加速度均为gsin θ,故D正确,A、B、C错误。

课时作业

学考基础练

知识点一　对牛顿第二定律的理解

1.(多选)下列对牛顿第二定律的理解正确的是(　CD　)

A.由F=ma可知,m与a成反比

B.牛顿第二定律说明当物体有加速度时,物体才受到外力的作用

C.加速度的方向总跟合力的方向一致

D.当外力停止作用时,加速度随之消失

解析:虽然F=ma,但m与a无关,因a是由m和F共同决定的,即a=,且a与F同时产生、同时消失、同时存在、同时改变;a与F的方向永远相同。综上所述,可知A、B错误,C、D正确。

2.关于力的单位“牛”,下列说法不正确的是(　A　)

A.“牛”这个单位是由质量为1 kg的物体所受的重力为9.8 N这个规定确定的

B.“牛”这个力的单位是根据在牛顿第二定律F=kma中取k=1时确

定的

C.1 N就是使质量为1 kg的物体产生1 m/s2加速度的力

D.地面附近质量是1 kg的物体所受的重力约为9.8 N,并不是规定的,而是根据牛顿第二定律F=ma得到的结果

解析:根据牛顿第二定律F=kma中k=1,m=1 kg,a=1 m/s2 时的力叫作“一个单位的力”,即1 kg· m/s2的力叫作1牛顿,用符号“1 N”表示,故选项B、C正确,A错误;地面附近的重力加速度g约为9.8 m/s2,因此根据牛顿第二定律F=ma可知,地面附近1 kg物体受到的重力约为9.8 N,并不是规定的,故选项D正确。

3.物体在与其初速度方向相同的合力作用下运动,取v0方向为正时,合力F随时间t的变化情况如图所示,则在0～t1这段时间内(　C　)

A.物体的加速度先减小后增大,速度也是先减小后增大

B.物体的加速度先增大后减小,速度也是先增大后减小

C.物体的加速度先减小后增大,速度一直在增大

D.物体的加速度先减小后增大,速度一直在减小

解析:由题图可知,物体所受合力F随时间t的变化是先减小后增大,根据牛顿第二定律得,物体的加速度先减小后增大;由于合力F方向与速度方向始终相同,即物体加速度方向与速度方向一直相同,所以速度一直在增大,选项C正确。

4.(多选)如图所示,轻质弹簧一端固定,另一端连接一小物块,O点为弹簧在原长时小物块的位置。小物块由A点静止释放,沿粗糙程度相同的水平面向右运动,最远到达B点。在小物块从A到B的运动过程中,下列说法正确的是(　AD　)

A.小物块加速度先减小后增大

B.小物块经过O点时的速度最大

C.小物块由A到O做匀加速运动

D.速度最大的位置在O点左侧,并且在此位置处弹簧的弹力等于小物块受到的摩擦力

解析:由于水平面粗糙且O点为弹簧在原长时小物块的位置,所以弹力与摩擦力平衡的位置在O、A之间,加速度为零时弹力和摩擦力平衡,所以小物块在从A到B的过程中加速度先减小后反向增大,故A正确;小物块在平衡位置处速度最大,所以小物块速度最大的位置在A、O之间某一位置,即在O点左侧,则小物块由A到O运动中,先做加速度减小的加速运动,然后做加速度增加的减速运动,故D正确,B、C错误。

知识点二　牛顿第二定律的简单应用

5.一个质量m=1 kg的物体放在光滑水平面上,物体受到两个水平恒力F1=2 N和F2=2 N的作用而处于静止状态,如图所示。现在突然把F1绕其作用点在竖直平面内向上转过53°,F1大小不变,则此时物体的加速度大小为(sin 53°=0.8,cos 53°=0.6)(　C　)

A.2 m/s2     B.1.6 m/s2

C.0.8 m/s2 D.0.4 m/s2

解析:开始时两力大小相等,相互平衡;将F1转过53°时,竖直方向依然平衡,物体受到的合力为F=F2-F1cos 53°=0.8 N;则由牛顿第二定律可知,加速度为a==0.8 m/s2;故C正确,A、B、D错误。

6.某人在粗糙水平地面上用水平力F推一购物车沿直线前进,已知推力大小是80 N,购物车及商品总质量是20 kg,购物车与地面间的动摩擦因数μ=0.2,g取10 m/s2,下列说法正确的是(　B　)

A.购物车受到地面的支持力是40 N

B.购物车受到地面的摩擦力大小是40 N

C.购物车沿地面做匀速直线运动

D.购物车将做加速度为a=4 m/s2的匀加速直线运动

解析:购物车沿水平面运动,则在竖直方向受到的支持力与重力满足二力平衡,所以支持力FN=200 N,A错误;购物车受到地面的摩擦力大小是Ff=μFN=40 N,B正确;推力大小是80 N,所以购物车沿水平方向受到的合力F合=F-Ff=40 N,所以购物车的加速度a==2 m/s2,则购物车沿地面做匀加速直线运动,C、D错误。

7.如图所示,在水平向右做匀加速直线运动的平板车上有一圆柱体,其质量为m且与竖直挡板及斜面间均无摩擦。当车的加速度a突然增大时,斜面对圆柱体的弹力F1和挡板对圆柱体的弹力F2的变化情况是(斜面倾角为θ,重力加速度为g)(　C　)

A.F1增大,F2不变 B.F1增大,F2增大

C.F1不变,F2增大 D.F1不变,F2减小

解析:对圆柱体受力分析,并建立坐标系如图所示,分别根据平衡条件和牛顿第二定律得F1cos θ=mg,F2-F1sin θ=ma,故随着加速度的增大,F1不变,F2增大,C正确,A、B、D错误。

8.一个小孩从滑梯上滑下的运动可看作匀加速直线运动。第一次小孩单独从滑梯上滑下,加速度为a1。第二次小孩抱上一只小狗后再从滑梯上滑下(小狗不与滑梯接触),加速度为a2。则(　A　)

A.a1=a2 B.a1<a2 

C.a1>a2 D.无法判断

解析:以滑梯上的小孩为研究对象,设滑梯倾角为α,受力分析并正交分解如图所示。x轴方向:mgsin α-Ff=ma,y轴方向:FN-mgcos α=0,且Ff=μFN,由上列各式解得a=g(sin α-μcos α),与质量无关,A

正确。

知识点三　瞬时加速度的求解

9.如图所示,物块1、2间用刚性轻质杆连接,物块3、4间用轻质弹簧连接,物块1、3质量为m,2、4质量为M,两个系统均置于水平放置的光滑木板上,并处于静止状态。现将两木板沿水平方向突然抽出,设抽出后的瞬间,物块1、2、3、4的加速度大小分别为a1、a2、a3、a4,重力加速度大小为g,则有(　C　)

A.a1=a2=a3=a4=0

B.a1=a2=a3=a4=g

C.a1=a2=g,a3=0,a4=g

D.a1=g,a2=g,a3=0,a4=g

解析:在抽出木板的瞬间,物块1、2与刚性轻杆接触处的形变立即消失,受到的合力均等于各自重力,所以由牛顿第二定律知,a1=a2=g;而物块3、4间的轻质弹簧的形变还来不及改变,此时弹簧对物块3向上的弹力大小和对物块4向下的弹力大小仍为mg,因此物块3仍受力平衡,a3=0,由牛顿第二定律得a4==g,所以C正确。

10.如图,一质量为m的物体系于轻弹簧L1和轻质不可伸长的细绳L2上,L1的一端悬挂在天花板上,与竖直方向夹角为θ,L2水平拉直,物体处于平衡状态,重力加速度为g。现将L2剪断,剪断绳瞬时物体的加速度大小为(　D　)

A.   B.   C.gsin θ D.gtan θ

解析:将L2剪断前,物体受到重力、弹簧弹力和细绳的拉力,如图所示,

将L2剪断瞬间,拉力消失,弹簧弹力不能突变,物体受重力与弹簧弹力作用,二力大小不变,由牛顿第二定律得mgtan θ=ma,解得a=

gtan θ,故D正确,A、B、C错误。

选考提升练

11.如图所示,质量为m的滑块在水平面上撞向弹簧,当滑块将弹簧压缩了x0时速度减小为0,然后弹簧又将滑块向右推开。已知弹簧的劲度系数为k,滑块与水平面间的动摩擦因数为 μ,重力加速度为 g,整个过程弹簧未超过弹性限度,则下列说法正确的是(　C　)

A.滑块向左运动过程中,加速度先减小后增大

B.滑块向右运动过程中,始终做加速运动

C.滑块与弹簧接触过程中,最大加速度为

D.滑块向右运动过程中,当滑块离开弹簧时,滑块的速度最大

解析:滑块向左接触弹簧的运动过程中,水平方向上受向右的弹簧弹力和向右的摩擦力,且弹力逐渐增大,则合力增大,滑块做加速度一直增大的减速运动,当速度减小为0时加速度最大,此时amax==,故A错误,C正确;滑块向右运动过程中,受向右的弹力和向左的摩擦力,开始时弹力较大,当形变量x=时二力等大,此时速度增加到最大,此后弹力小于摩擦力,滑块开始减速,故B、D错误。

12.避险车道是在长陡下坡路段行车道外侧增设的供刹车失灵车辆安全减速的专用车道,它由制动坡床和顶端的防撞设施等组成,坡床上铺有很多砂石,以增大摩擦,减缓车速。若某避险车道长90 m,坡底到坡顶的高度为18 m,砂石对车辆的阻力为车重的30%,g取10 m/s2。为使车辆不与防撞设施碰撞,汽车冲上坡道前的最大速度约为(　C　)

A.68 km/h B.84 km/h

C.108 km/h D.120 km/h

解析:设坡的倾角为θ,则sin θ=0.2,对车受力分析如图所示,根据牛顿第二定律有Ff+mgsin θ=ma,解得a=5 m/s2,即加速度大小为

5 m/s2,方向沿坡道向下,根据速度与位移关系可得0-v2=-2aL,解得v==30 m/s=108 km/h,故C正确,A、B、D错误。

13.如图所示的装置可以测量汽车在水平路面上做匀加速直线运动的加速度,该装置在矩形箱子的前、后壁上各安装一个压力传感器,用两根相同的轻弹簧夹着一个质量为2.0 kg的滑块,滑块可无摩擦滑动,两弹簧的另一端分别压在传感器a、b上,其压力大小可直接从传感器的液晶显示屏上读出。现将该装置沿运动方向固定在汽车上,传感器b在前,传感器a在后,汽车静止时,传感器a、b的示数均为10 N。(g取10 m/s2)

(1)若传感器a的示数为14 N,b的示数为6 N,求此时汽车的加速度大小和方向;

(2)求当汽车以怎样的加速度运动时,传感器a的示数恰为零。

解析:(1)对滑块在水平方向上受力分析,如图所示,根据牛顿第二定律得Fa-Fb=ma1

则a1=4 m/s2,方向水平向右。

(2)根据题意,设汽车静止时,两弹簧形变量均为x,当左侧弹簧弹力

Fa′=0时不发生形变,右侧弹簧的形变量由x变为2x,故弹力Fb′=

20 N，

根据牛顿第二定律有Fb′=ma2，

代入数据得a2==10 m/s2,方向水平向左。

答案:(1)4 m/s2　水平向右　(2)10 m/s2　水平向左

14.在某次无人机竖直送货实验中,无人机的质量M=1.5 kg,货物的质量m=1 kg,无人机与货物间通过轻绳相连。无人机以恒定动力F=30 N从地面开始加速上升一段时间后关闭动力,当无人机到达h=30 m处速度恰好减为0。不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。求:

(1)无人机加速上升时的加速度大小a;

(2)无人机加速上升时轻绳上的拉力大小FT;

(3)无人机加速上升的时间t。

解析:(1)在加速上升过程中,对整体受力分析,根据牛顿第二定律可知F-(M+m)g=(M+m)a，

解得a=2 m/s2。

(2)对货物受力分析,根据牛顿第二定律可知FT-mg=ma，

解得FT=12 N。

(3)在上升过程中,先加速后减速,设无人机关闭动力时的速度为v,根据匀变速运动的规律可知h=at2+其中v=at,联立解得t=5 s。

答案:(1)2 m/s2　(2)12 N　(3)5 s