必刷卷03——2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（上海专用）

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2023年中考数学考前信息必刷卷03
数学（上海专用）

2023年上海中考数学试卷结构和内容和理念保持不变。2023年数学试卷满分150分，共25题：6（选择题）+12（填空题）+7，根据最新考试信息以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，要关注学科主干知识，对学科基本概念、基本原理和思想方法的考查；从考查内容上看，随着数学教学的逐步深入，为体现数学课程标准对数学教学.从知识点的分布看，实数的有关概念及其运算，代数式的化简求值，方程不等式组的解法及函数知识的综合应用，仍将是考试的重点。对于函数，侧重考查一次函数、反比例函数的性质以及函数的应用、函数与方程不等式之间的联系，二次函数的综合问题常以解答的形式出现；几何方面，侧重对三角形的全等、相似的证明，特殊四边形的判定及性质的应用，也将以解答题的形式出现；锐角三角函数与生活的应用也是常考题型，对于圆的考查，总体难度会有所降低。此外，统计与概率也是必考内容。强化数学意识的转化和应用能力。

通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的深度和广度..同时应加强学生的画图能力、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力，注重数学思维方法的训练.对于创新型试题要增加思维的含量，重点考查学生将新知识转化为旧知识的能力。在教学中应引导学生弄清算理来提高运算能力. 选择题1-6题涉及实数的有关概念、科学计数法、平行线的性质、中心对称图形等；第7-16题主要是方程、函数与不等式的联系、概率统计、圆中阴影部分面积的计算、相似三角形、二次函数的基础题；主要涉及因式分解、多边形的内角与外角、解方程、统计、一次函数与生活问题、三角函数；第18是图形的翻折和对称相关题型。第19题主要是数与式的计算、解方程与不等式，第20题考查频数分布表的意义和制作方法，中位数、众数的意义、树状图求概率；第21题考查了圆中相关知识应用，第22题考查了方程及函数的应用，第23题考查了相似三角形及四边形的性质和判定、并作出合理的辅助线是解题的关键；第24题属于二次函数综合题、考查二次函数的图像和性质，线段和角之间的关系、二次函数的和四边形和圆的应用等知识.第25题主要考查了四边形和圆的相关综合知识，综合性较强，属于中考压轴题．

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题
1．下列实数中，是有理数的为（ ）
A． B． C．π D．0
【答案】D
【详解】是无理数，A不正确；
是无理数，B不正确；
π是无理数，C不正确；
0是有理数，D正确；
故选D．
2．下列单项式中，与是同类项的是（   ．）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式为同类项，据此逐一判断即可．
【详解】A．与是同类项，符合题意，
B．与中，相同字母指数不相同，不是同类项，不符合题意，
C．与中，相同字母指数不相同，不是同类项，不符合题意，
D．与中，相同字母指数不相同，不是同类项，不符合题意，
故选：A．
3．将一副三角板按如图所示摆放，使含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，则的角度为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得的度数，再根据三角形内角和定理可得的度数．
【详解】解：∵含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，如图所示：

∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板中角度的特点，三角形内角和定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
4．甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别.分别从每个口袋中随机摸出1个球.下列事件中，概率最大的是（      ）
A．摸出的2个球颜色相同 B．摸出的2个球颜色不相同
C．摸出的2个球中至少有1个红球 D．摸出的2个球中至少有1个白球
【答案】D
【分析】先画出树状图表示所有等可能的结果，再根据概率公式分别计算每种情况的概率，据此解答．
【详解】解：画树状图如下，

所有等可能的结果共6种，
摸出2个球颜色相同的概率为：；
摸出2个球颜色不相同的概率为：；
摸出2个球中至少有1个红球的概率为：；
摸出2个球中至少有1个白球的概率为：；
所以概率最大的是摸出2个球中至少有1个白球，
故选：D．
【点睛】本题考查列表法或树状图表示概率，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
5．如图，为的直径，弦交于点E，，，，则的长为（    ）

A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】连接，根据垂径定理的推论可得，再由圆周角定理可得，根据锐角三角函数可得，，即可求解．
【详解】解：如图，连接，

∵为的直径，，
∴，
∵，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、解直角三角形，熟练掌握垂径定理、圆周角定理、特殊角的三角函数值是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，的半径是2，点在y轴上移动，当与x轴相交时，m的取值范围是（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【分析】当与x轴相交时，则圆心P到x轴的距离小于2，即得，进而可得答案．
【详解】解：当与x轴相交时，则圆心P到x轴的距离小于2，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基本题目，熟知直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径是解题的关键．
二、填空题
7．函数的自变量的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0是解题的关键．
8．如图所示，用量角器度量，可以读出的度数为________．

【答案】
【分析】由图形可直接得出．
【详解】解：由图形所示，的度数为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．
9．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为___________．
【答案】5x+45=7x-3
【分析】根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱”，即可得出关于x的方程，此题得解．
【详解】解：依题意，得：5x+45=7x-3．
故答案为：5x+45=7x-3．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
10．如图，在中，点，，分别是边，，的中点，使四边形为菱形，应添加的条件是________（添加一个条件即可）．

【答案】
【分析】根据三角形的中位线定理可得DF∥AC，DE∥AB，即可得四边形AFDE为平行四边形，添加条件AF=AE，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判定四边形AFDE为菱形.
【详解】添加AF=AE，
∵点D、E、F分别是边BC，CA，AB的中点，
∴DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE为平行四边形，
∵AF=AE，
∴四边形AFDE为菱形，
故答案为AF=AE．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定，证明四边形AFDE为平行四边形，再根据菱形的判定方法添加条件是解决本题的基本思路.
11．正n边形的中心角为72°，则______．
【答案】5
【分析】根据正多边形的中心角之和为360°计算即可．
【详解】根据题意有：，
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角之和为360°是解答本题的关键．
12．已知“若，则”是真命题，请写出一个满足条件的c的值是__________．
【答案】（答案不唯一，负数即可）
【分析】当，要使符号变号，则只需不等式两边同时乘同一个负数即可．
【详解】当，要使成立，即不等式两边同时乘一个符号会变号，则使是负数即可，则可使．
【点睛】本题考查了真命题和不等式的性质知识点，不等式符号要变号，就使不等式两边同时乘或除同一个负数即可，这一性质是解题的关键．
13．平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的三点.若，则k的值为___________．
【答案】/0.75
【分析】由点A、B、C的坐标可知，m＝n，点B、C关于原点对称，求出直线BC的解析式，不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，根据列式求出，进而可得k的值．
【详解】解：∵点是函数图象上的三点，
∴，，
∴m＝n，
∴，，
∴点B、C关于原点对称，
∴设直线BC的解析式为，
代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，
把x＝m代入得：，
∴D（m，），
∴AD＝，
∴，
∴，
∴，
而当m＜0时，同样可得，
故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，中心对称的性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握反比例函数的图象和性质，学会利用数形结合的数学思想解答是解题的关键．
14．如图，A、B是反比例函数y＝（k>0）图象上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC＝6．则k＝_______．

【答案】4
【详解】解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E．
则AD∥BE，AD=2BE=，
∴B、E分别是AC、DC的中点．
∴△ADC∽△BEC，
∵BE：AD=1：2，
∴EC：CD=1：2，
∴EC=DE=a，
∴OC=3a，
又∵A（a， ），B（2a， ），
∴S△AOC=AD×CO=×3a× ==6，
解得：k=4．
故答案为：4．

15．某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：
时间（小时）
5
6
7
8
人数
10
15
20
5
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是________．若该中学共有2000名学生，请你估计这所中学一周在校的体育锻炼时间达到8小时的同学有________名．
【答案】 小时 200
【分析】根据平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数进行计算；再用2000乘以8小时所占样本的比例即可．
【详解】解：．
∴这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是小时，
，
∴这所中学一周在校的体育锻炼时间达到8小时的同学有200名，
故答案为：小时，200．
【点睛】此题考查了加权平均数，样本估计总体，用到的知识点是加权平均数的计算公式，根据加权平均数的计算公式列出算式是解题的关键．
16．如图所示的曲边三角形是这样画的：先画一个等边三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长长为半径画弧，三段弧围成的图形就是一个曲边三角形．若中间等边三角形的边长是10，则曲边三角形的周长是__________．

【答案】
【分析】根据等边三角形的性质，得出每一条弧对应的圆心角是，所在圆的半径都是10，再根据弧长公式求出即可．
【详解】解：是等边三角形，
，，
，
曲边三角形的周长为．
故答案为：．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质和弧长的计算，熟记圆心角为，半径为的弧的长度是解题的关键．
17．在同一平面直角坐标系中，如果两个二次函数与的图象的形状相同，并且对称轴关于轴对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数.如二次函数与互为梦函数，写出二次函数的其中一个梦函数________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由一对梦函数的图象的形状相同，并且对称轴关于y轴对称，可知，与互为相反数，由此可解．
【详解】解：由题意知，若与互为梦函数，则，，
因此二次函数的其中一个梦函数是，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，读懂题意，得出变换的规律是解题的关键．
18．图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，则的值为_________．

【答案】9
【分析】设直角三角形另一直角边为a，然后分别用a表示出两个阴影部分的面积，最后求解即可．
【详解】解：设直角三角形另一直角边为a，则，


故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了三角形和正方形面积的求法，解题的关键在于能够熟练地掌握相关的知识点．
是解题的关键．
三、解答题
19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

【答案】；解集表示见解析
【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：原不等式组为，
解不等式①，得；
解不等式②，得．
∴原不等式组的解集为 ，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
20．先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【分析】先通分计算括号内的，然后将除法转化为乘法化简，最后求解出的值并代入．
【详解】解：原式

，
原式．
【点睛】本题考查分式的化简、三角函数的求值，注意在分式化简的过程中，合理利用乘法公式可简化计算．
21．初中学习生活就要结束了，小明就本班同学的升学志愿进行了一次调查统计，他通过采集数据后，绘制了两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)求出该班的总人数；
(2)通过计算把统计图补充完整；
(3)如果小华所在年级共有400名学生，请你估计该年级报考普高的学生有多少人．
【答案】(1)50人
(2)见解析
(3)160人
【分析】（1）根据重高人数25和所占的百分比是可以求得该班的总人数；
（2）根据条形统计图可以得到普高的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）用总人数乘以样本中普高人数所占百分比．
【详解】（1）解：该班的总人数为（人）；
（2）解：“普高”人数为，所占百分比为，
则“职高”人数为，
补全图形如下：

（3）解：估计该年级报考普高的学生有（人）．
该年级报考普高的学生有160人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22．如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面，坡角．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为，在坡面上的影长为．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．

【答案】(170+60)cm
【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可．
【详解】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，

在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，
则DF=CD=90（cm），CF=CD•cos∠DCF=180×=90（cm），
由题意得：=，即=，
解得：EF=135，
∴BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm，
则=，
解得：AB=170+60，
答：立柱AB的高度为(170+60)cm．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关键是数形结合，正确作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算．
23．某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/、12元/，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的关系如图所示．

(1)写出图中点B表示的实际意义；
(2)分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元．求a的值．
【答案】(1)当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等
(2)，
(3)80
【分析】（1）结合图象可知：B点表示的意义为：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）分别表示出甲的利润，乙的利润，再根据甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由图可知：
B表示的实际意义：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等．
（2）解：由图可知：过，，
设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：，
∴，解得：，
∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：；
当时，乙函数图象过，，
设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：，利用待定系数法得：，解得：，
∴；
当时，乙函数图象过，，
设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：，利用待定系数法得：，解得：，
∴；
综上所述：乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为；
（3）解：甲的利润为：，
乙的利润为：
∴当时，
甲乙的利润和为：，解得（舍去）；
当时，
甲乙的利润和为：，解得；
∴当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元．
【点睛】本题考查一次函数图象的实际应用，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，结合图象获取有用信息．
24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在线段AB上，且．
（1）求点C的坐标（用含有m的代数式表示）；
（2）将△AOC沿x轴翻折，当点C的对应点C′恰好落在抛物线上时，求该抛物线的表达式；
（3）设点M为（2）中所求抛物线上一点，当以A、O、C、M为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．

【答案】（1）（3，-2m）；（2）；（3）或（或．
【分析】（1）令x=0，即可求得B的纵坐标，令x=0求得x，则A、B的坐标即可求得，根据．可以得到C是AB的中点，据此即可求得C的坐标.
（2）求得C关于x轴的对称点，代入抛物线的解析式，即可求得m的值，进而求得抛物线解析式.
（3）分AO是平行四边形的对角线，OC是平行四边形的对角线，AC是平行四边形的对角线三种情况进行讨论，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求解．
【详解】（1）在直线中，令x=0，解得：y=-4m，则B的坐标是（0，-4m），
令y=0，解得：x=6，则A的坐标是（6，0）．
∵．
∴C是AB的中点.
∴C的坐标是（3，-2m）.
（2）∵将△AOC沿x轴翻折，点C的对应点为C′，
∴C′的坐标是（3，2m），
代入抛物线的解析式得：，解得：.
∴抛物线的解析式是：.
（3）设M的坐标是（x，y），
又C的坐标是，
当AO是对角线时，AO的中点是（3，0），则解得：.
则M的坐标是，满足函数的解析式.
当AC是平行四边形的对角线时，AC的中点是：，则M的坐标是是抛物线上的点.
当OC是平行四边形的对角线时，OC的中点是，
则，解得：.
则M的坐标是．点是抛物线上的点．
综上所述，M的坐标是：或（或．
25．如图：在中，为的半径，弦于，为上一点，连接、．

(1)求证：；
(2)过点作于，连接，求证：；
(3)在（2）的条件下，延长交于，连接，若，，，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由垂径定理可知，再根据等弧所对的圆周角相等即可证明；
（2）如图所示，延长交于E，证明，，再证明是的中位线，即可证明；
（3）如图所示，连接，过点C作于E，设交于Q，先解直角三角形，求出，进而求出，由（2）可知，，则可证是等边三角形，得到，证明，得到，；设则，，利用勾股定理得到，解得，则，，，，证明，得到，代值计算即可．
【详解】（1）证明：∵为的半径，弦，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，延长交于E，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴点H为的中点，
∴是的中位线，
∴；

（3）解：如图所示，连接，过点C作于E，设交于Q，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知，，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
设，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得（负值舍去），
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴．

【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．