必刷卷02——2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（江苏南京专用）

2023年中考数学考前信息必刷卷02

数  学（江苏南京专用）

2023年南京中考数学试卷结构和内容基本没变！2023年数学试卷满分120分，共27题：6（选择题）+10（填空题）+11（解答题），根据最新考试信息以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，要关注学科主干知识，对学科基本概念、基本原理和思想方法的考查；从考查内容上看，体现数学课程标准对数学教学要求，对课标内知识的考查覆盖较为全面。从知识点的分布看，实数的有关概念及其运算，代数式的运算及化简求值，方程不等式组的概念在选择题和填空中的比重较大，在综合题的考察方面，题型较为全面，知识点覆盖面广，主要包括方程不等式的解法、代数式的化简求值、几何的证明与计算，统计中数据的收集和处理、概率的计算，解三角形、列方程解应用题，尺规作图以及函数的考查等。最后的压轴题多为动手操作型，创新性明显。

通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的深度和广度.同时应加强学生的作图能力、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力，注重数学思维方法的训练.对于创新型试题要增加思维的含量，重点考查学生将新知识转化为旧知识的能力。在教学中应引导学生弄清算理来提高运算能力. 选择题前3道涉及科学计数法、整式的运算、实数的运算；第4题主要考查了几何图形中的平行线的性质和三角形的外角定义及性质；第5题主要考查的是根据分式方程解的情况求参数问题；第6题较难，主要涉及了等边三角形的性质，弧长、旋转的的性质和解直角三角形；填空题的前2道题主要涉及实数和代数式的有关运算，第9-10题主要考查统计和数据处理的相关知识；第11-15题主要涉及了圆周角定理、求一次函数解析式、根据矩形的性质求线段长以及锐角三角函数的知识；填空题第16题较难，主要考查矩形的折叠问题和直径所对的圆周角是90°的性质；解答题第17-19是基本计算，主要涉及解方程与不等式组以及代数式的化简求值，第20题考查了利用平行四边形的性质求解的问题；第21题考查扇形统计图以及频数分布表和频数分布直方图的有关知识；第22题考查了根据概率公式计算概率和列表法、树状图法求概率；第23题考查了解三角形的有关知识；第24题考查了反比例函数与几何的综合。第25题主要考查了尺规作图、垂径定理和切线的性质；第26题主要考查了二次函数的图像与性质；第27题主要考查了以几何图形的操作为背景的实践探究，注重提升学生的动手能力和探究能力．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.）

1．根据今年的政府工作报告，2023年经济形势明显成上升势头，城镇新增就业目标为1200万人左右，1200万用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：1200万即的绝对值大于表示成的形式，

∵，，

∴1200万表示成，

故选：C．

2．计算：（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】解：，故选A．

3．若实数的绝对值是，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：实数的绝对值是，则的值是，故选：C．

4．如图，，，相交于点O，，，则的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：∵，

∴，

∴，

故选：B．

5．已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是（　　　）

A． B．且 C． D． 或

【答案】B

【详解】去分母得，，

，

方程的解是负数，

，

即，

又，

的取值范围是且．

故选：．

6．将边长为3的等边三角形和另一个边长为1的等边三角形如图放置（EF在边上，且点 与点重合）．第一次将以点为中心旋转至，第二次将以点为中心旋转至的位置，第三次将以点为中心旋转至的位置，…，按照上述办法旋转，直到再次回到初始位置时停止，在此过程中的内心点运动轨迹的长度是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：连接，，作，

∵点等边三角形的内心，则，分别平分，，

∴，

∴，

∵，

∴，则，

由等边三角形边长为3，等边三角形边长为1可知，在上，分别以，为旋转中线旋转，旋转角均为，在以点为旋转中线旋转，旋转角为，

……

可知，点每次旋转的半径为，旋转的角度分别为：，，，，，，，，，

∴在此过程中的内心点运动轨迹的长度为：，

故选：D．

二、填空题：（本大题共10个小题，每小题2分，共20分.）

7．计算：_____．

【答案】

【详解】解：

，

故答案为：．

8．已知，则的值为______．

【答案】

【详解】解： ∵，，，

∴，，

解得：，，

∴

故答案为；

9．近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有8只佩有识别卡，由此估计该湿地约有___________只A种候鸟．

【答案】

【详解】解：设该湿地约有x只A种候鸟，

则，

解得．

故答案为：．

10．已知3、2、n的平均数与、3、n、3、5的唯一众数相同，则这8个数的中位数是______．

【答案】3.5

【详解】∵、3、n、3、5有唯一众数

∴、3、n、3、5这组数中的众数为3

∵3、2、n的平均数与、3、n、3、5的唯一众数相同

∴3、2、n的平均数为3

∴

∴这8个数从小到大排列一次是：2、3、3、3、4、4、5、8

∴这8个数的中位数是．

故答案为：3.5．

11．如图，四边形为平行四边形，则点的坐标为_______．

【答案】

【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，且，

∴点A是点D向左平移4个单位所得，

∵，

∴．

故答案为：．

12．如图，是的直径，是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径AB两侧），若，则等于______．

【答案】/35度

【详解】解：，

，

，

故答案为：．

13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，且，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则直线的函数表达式是 _____．

【答案】

【详解】解：将代入得，

∴，即，，

∴，

在中，由勾股定理得，

如图，延长，过作于，

∵，，

∴，

∴，即，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

令，则，，

∴，

解得，

∴，，

∴，

设直线的表达式为，

将，代入得，，

解得，

∴直线的表达式为，

故答案为：．

14．如图，矩形中，为对角线，是上一点，连接，，，，则的长为________．

【答案】

【详解】解：连接交于点，

∵四边形是矩形，，

∴，，，，，，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为．

15．把量角器和含角的三角板按如图1方式摆放，将其抽象为图2：若与相切于点E，，．则阴影部分的面积为______．

【答案】

【详解】解：由题意知，，，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

16．如图，在矩形中，，，点E为线段的中点，动点F从点C出发，沿 的方向在CB和BA上运动，将矩形沿EF折叠，点C的对应点为，当点C'恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），点F运动的距离为__________.

【答案】2或

【详解】解：分两种情况：

①当点落在对角线上时，连接，如图1所示：

∵将矩形沿折叠，点C的对应点为点，且点恰好落在矩形的对角线上，

∴，

∵点E为线段的中点，

∴，

∴点D、C、在以E为圆心，DE为半径的圆上

∴，即，

∴，

∴

∴点F是的中点，

∵在矩形中，，

∴，

∴，

∴点F运动的距离为3；

②当点落在对角线上时，作于H，则，

四边形为矩形，如图2所示：

在矩形中，

∴

∴

∵

∴

∴

∵四边形为矩形，

∴

∴

∵

∴

∴点F运动的距离为

综上所述：点F运动的距离为2或

故答案为：2或

三、解答题：（本大题共11个小题，共88分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤。）

17．（本题满分6分）解不等式组：．

【答案】

【详解】解：由，得：；

由，解得：；

∴不等式组的解集为：．

18．（本题满分6分）解方程：．

【答案】

【详解】解：方程两边都乘以得，

，

解得，

检验：当时，，

所以是分式方程的解；

19．（本题满分8分）先化简，再求值：，其中，．

【答案】，

【详解】解：

，

当，时，

原式．

20．（本题满分8分）如图，在中，是上一点，连接交于点，且，．

(1)的度数；

(2)当时，求的度数．

【答案】(1)；(2)

【详解】（1）解：四边形是平行四边形，

，

，

，

，

（2）四边形是平行四边形，

，

，

，

，

．

21．（本题满分8分）第19届亚洲运动会将于2023年9月在浙江杭州举行，某校为了解九年级学生对亚运会相关知识的掌握情况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下：

测试成绩等级标准：

九年级学生成绩频数分布直方图和各等级人数的扇形统计图（如图）：

请根据以上信息回答下面问题：

(1)本次调查中“E”等级有___________人

(2)本次共调查了__________人，成绩在分的有___________人

(3)求扇形统计图中“D”等级对应扇形的圆心角的大小为__________度．

【答案】(1)5

(2)50，12

(3)

【详解】（1）解：由频数分布直方图可知：本次调查中“”等级有5人，

故答案为：5；

（2）本次共调查了：（人），

成绩在分的有：（人），

故答案为：50，12；

（3）扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为：，

故答案为：．

22．（本题满分8分）2023年3月19日，全国马拉松锦标赛（无锡站）正式鸣枪开跑．某校5名学生幸运成为该活动志愿者，负责某区域运动员的物资发放，其中男性3人，女性2人．

(1)若从这5人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是_________；

(2)若从这5人中选2人进行物资发放，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．

【答案】(1)；(2)

【详解】（1）解：∵有男性3人，女性2人，每名学生被选中的概率相同，

∴从这5人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是，

故答案为：

（2）解：3名男性分别用A、B、C表示，两名女性分别用D、E表示，列表如下：

共有20种等可能的结果，其中符合题意的结果共有12种，

∴恰好选中一男一女的概率为．

23．（本题满分8分）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开启侧面示意图，具体数据如图所示（单位：）且，，箱盖开启过程中，点B，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点，的位置，点在线段的延长线上．若直线．

(1)求旋转角的度数．

(2)若，求的长度．

【答案】(1)；(2)

【详解】（1）解：如图，过A作，垂足为G，

由旋转可得：，且都为旋转角，，

∵，

∴，

∴，则，

∵，则，

∴；

（2）如图，过点作于，过点作于，

则，

，

，

，

在中，，

设，则，

，

，

，

由（1）可知：，，，

，，

，

，

，

，

四边形是矩形，

，

，

，

，

．

24．（本题满分8分）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于、B两点，点C在第三象限，轴．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)以为边作菱形，求D点坐标．

【答案】(1)；(2)

【详解】（1）∵点在直线上，

∴，

即点A的坐标为，

∵点在反比例函数的图象上，

∴，

∴反比例函数的表达式是：；

（2）由题意得：，

解得：或，

经检验或是原方程的解，

∴，

∵点，

∴，

∵菱形是以为边，且轴，

∴，

∴．

25．（本题满分8分）（1）如图，已知A是直线外一点．用直尺和圆规作，使过A点，与直线相切于Q，且．（请保留作图痕迹，不写做法）

（2）在（1）的条件下，若，则的半径长为______，的内接的面积最大值为______．

【答案】（1）见解析；（2），

【详解】解：（1）过点A作的垂线，垂足为P．在上截取．过点Q作的垂线，与过点P且垂直于的直线的交点为圆心O，以O为圆心，为半径，作．

理由：根据作法得：，，，，

∴是等腰直角三角形，

∴垂直平分，，

∴，

∵，

∴过A点，与直线相切于Q；

（2）设交于点C，

由（1）得：垂直平分，

∴，

∵，，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，，

即的半径长为；

根据题意得：当的边上的高最大时，的面积最大，

设线段的延长线交于点T，此时最大，则，

∴，

∴．

故答案为：，

26．（本题满分10分）在直角坐标系中，设函数（a，b，c是常数，）．

(1)当时，

①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式；

②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：；

(2)已知该函数的图象经过点，．若，，求a的取值范围．

【答案】(1)①；②见解析；(2)

【详解】（1）解：①∵，

∴该函数解析式为．

∵该函数图象的对称轴为直线，

∴，

解得：．

∵该函数图象过点，

∴，

解得：，

∴该函数解析式为；

②∵该函数解析式为，且其图象与x轴有且只有一个交点，

∴方程有且只有一个实数解，

∴，

整理，得：，即，

∴．

∵，

∴；

（2）解：∵该函数的图象经过点，，

∴，，

∴，

整理，得：，

∴．

∵，

∴．

又∵，

∴，即．

∵，

∴，

解得：．

27．（本题满分10分）综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．

(1)操作判断

操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；

操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．

根据以上操作，填空：

①图1中四边形的形状是  ；

②图2中与的数量关系是  ；四边形的形状是  ．

(2)迁移探究

小航将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为，过程如下：

将三角板按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长．

(3)拓展应用

在（2）的探究过程中：

①当为等腰三角形时，请直接写出的长；

②直接写出的最小值．

【答案】(1)①正方形；②，平行四边形

(2)是菱形，6厘米

(3)①6厘米或厘米或18厘米；②

【详解】（1）①∵和是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴四边形是矩形，

又∵，

∴四边形是正方形，

故答案为：正方形；

②∵四边形是正方形，

∴，

∵将三角板沿方向平移，

∴，

∴，

∴四边形是平行四边形，

故答案为：，平行四边形；

（2）四边形的形状可以是菱形，

如图3，连接，

∵，

∴，

∵将三角板沿方向平移，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∴当时，四边形是菱形，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

∴；

（3）①当时，为等腰三角形，如图，

∵，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∴；

当时，为等腰三角形；

当时，为等腰三角形，

如图，过点B作于H，

∵，

∴，

∵，

∴，

综上所述：的长为，或；

②如图5，连接，

∵四边形是平行四边形，

∴，

∴，

∵将三角板沿方向平移，

∴，

∴，

作点A关于直线的对称点N，连接，连接交直线于P，即的最小值为的长，

过点N作直线于E，

∵点A，点N关于对称，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴的最小值为．