必刷卷02——2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（江苏南通专用）

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2023年中考数学考前信息必刷卷01
数 学（江苏南通专用）

2023年江苏南通中考数学试卷结构和内容没有太大变化！2023年数学试卷满分150分，共26题试题，试卷结构为10道选择题（3分×10共30分）+8道填空题（3分×2＋4分×6共30分）+8道解答题（共90分）。根据最新考试信息以及模拟考试可以发现：关注学科主干知识，重点对学科基本概念、基本原理的考查。考查内容重基础、重应用，重视学生的数学活动，注重和高中知识接轨，注重古代文化的渗透。压轴题具有综合性和创新性，但不偏不怪。不考特别简单的送分题，不会单纯考查学生的死记硬背的机械记忆力，试题避免繁难的计算。注重发展学生的数感，符号感，空间观念，统计观念、推理能力以及思想方法，强化数学意识的转化和应用能力。从知识点的分布看，实数的有关概念及其运算，代数式的化简求值，方程不等式组的解法及函数知识的综合应用，仍将是考试的重点。对于函数，侧重考查一次函数、反比例函数的图象和性质、函数与方程不等式之间的联系以及函数的应用，二次函数大概率是含参纯二次函数，可能以新定义形式出现。几何方面，侧重对特殊四边形的判定及性质的应用，以解答题的形式出现，综合三角形的全等与相似及锐角三角函数，形式通常是证明加计算。解直角三角形的应用也是常考题型；对于圆的考查，着重于证明和计算，总体难度不会很高。此外，统计与概率也是必考内容。

通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的深度和广度。同时应加强学生的画图能力、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力，注重数学思维方法的训练。对于创新型试题要增加思维的含量，重点考查学生将旧知识转化为新知识的能力。在教学中应引导学生弄清算理来提高运算能力。选择题1到5题道涉及有理数、实数的有关概念及计算、科学计数法、三视图、数据统计以及平行线；第6-8题主要是方程组的应用、含参不等式及四边形问题；第9题、第10题一般考查反比例函数与几何图形综合，函数图象信息题，以及几何最值或代数最值问题；填空题11,12题，主要涉及因式分解、多边形的内角与外角、解方程、统计、第13到16题，一般考查一次函数的图象和性质、四边形的翻折，角直角三角形的应用、一元二次方程根与系数关系以及圆的计算；第17和18一般考查反比例函数与几何综合，几何综合计算，几何图形的翻折、旋转变换；解答题第19题是基本计算，主要是数与式的计算、解方程与不等式，第20题考查数据的统计和分析；第21题一般是概率题；第22题考查圆的计算或证明，作出合理的辅助线是解题的关键；第23题是解直角三角形的应用或特殊四边形的判定和性质；第24题考查函数的的实际应用；第25题主要考查特殊四边形的性质或图形的翻折旋转变换，综合性较强，解题方法丰富，属于中考压轴题．第26题主要考查含参二次函数，可以与一次函数或反比例函数综合，一般不与几何图形综合，往往以新定义形式出现．

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．如果水位升高3m记为+3m，那么水位下降3m可记为（　　）
A．3m B．﹣3m C．6m D．﹣6m
【答案】B
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：如果水位升高3m记为+3m，那么水位下降3m可记为﹣3m．
故选：B．
【点睛】本题主要考查正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
2．下面是科学防控新冠知识的图片，其中的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3．中国信息通信研究院测算，2020﹣2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（　　）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：10.6万亿＝106000 0000 0000＝1.06×1013．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．已知一个三角形的两边长是3cm，5cm，那么它的第三边的长不可能是（　　）
A．3cm B．5cm C．132cm D．8cm
【答案】D
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】解：根据三角形三边关系，
∴三角形的第三边x满足：5﹣3＜x＜3+5，即2＜x＜8，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
5．如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
【详解】解：从上面看，是一行两个矩形．
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
6．某型号手机原来销售单价是4000元，经过两次降价促销，现在的销售单价是2560元，若两次降价的百分率相同，则平均每次降价（　　）
A．10% B．15% C．20% D．25%
【答案】C
【分析】设两次降价的百分率为x，由题意得关于x的一元二次方程，求解方程，并求解作出取舍，问题得解．
【详解】解：设两次降价的百分率为x，由题意得：
4000（1﹣x）2＝2560
∴（1﹣x）2=256400
∴1﹣x＝±0.8
∴x1＝1.8（舍），x2＝0.2＝20%
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，明确题目中的数量关系，是解题的关键．
7．将一块三角板和一把直尺按如图所示摆放，若∠1＝41°，则∠2的度数为（　　）

A．149° B．139° C．131° D．492°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：如图所示，∵DG∥MN，

∴∠2＝∠CBE，
∵∠CBE＝∠A+∠1，∠1＝41°，∠A＝90°，
∴∠CBE＝41°+90°＝131°，
∴∠2＝131°，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
8．如图，一次函数y＝x+b的图象过点（﹣2，3），则不等式x+b＞3的解是（　　）

A．x＞﹣2 B．x＞3 C．x＞0 D．x＞2
【答案】A
【分析】结合图象，写出直线数y＝x+b在直线y＝3上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：如图所示：∵一次函数y＝x+b的图象过点（﹣2，3），
∴不等式x+b＞3的解是：x＞﹣2．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题关键．
9．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是（　　）

A．23 B．43 C．3+3 D．6+23
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，求出BE、BF、EF，根据相似得出CH＝1，EH=3，根据三角形的面积公式求△DFH的面积，即可求出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4，AB∥CD，AB＝CD＝3，
∵E为BC中点，
∴BE＝CE＝2，
∵∠B＝60°，EF⊥AB，
∴∠FEB＝30°，
∴BF＝1，
由勾股定理得：EF=3，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠ECH，
在△BFE和△CHE中，
∠B=∠ECHBE=CE∠BEF=∠CEH，
∴△BFE≌△CHE（ASA），
∴EF＝EH=3，CH＝BF＝1，
∵S△DHF=12DH•FH＝43，
∴S△DEF=12S△DHF＝23．
故选：A．

【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
10．如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，tanA=34．点P从点A出发，沿边AB向点B运动．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，PQ交△ABC的边于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y．y与x之间的函数关系大致如图2所示，则当x＝4时，y的值为（　　）

A．3 B．2 C．83 D．32
【答案】C
【答案】【分析】根据题意可知，当x＝5时，y＝0，即AB＝5，再根据∠ACB＝90°，tanA=34即可求出答案．
【详解】解：根据题意可知当x＝5时，y＝0，即AB＝5，
∵∠ACB＝90°，tanA=34，
∴BCAC=34，
当x＝4时，如图，

AP＝4，BP＝1，
在Rt△BPQ中，tanB=PQPB=ACBC=43，
∴PQ=43，
∴y=12×4×43=83．
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象和锐角三角函数的有关知识，解答关键是分析动点到达临界点前后的图形变化
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．下列调查中，调查方式选择正确的是 　①②　.①为了了解一批灯泡的使用寿命，选择抽样调查．②为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查．③为了了解某1000枚炮弹的杀伤半径，选择全面调查．④为了了解一批袋装食品是否有防腐剂，选择全面调查．
【答案】①②．
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断．
【详解】解：①了解1000个灯泡的使用寿命，③了解生产的一批炮弹的杀伤半径，④了解一批袋装食品是否含有防腐剂，都是具有破坏性的调查，无法进行普查，故不适于全面调查．②了解某公园全年的游客流量，工作量大，时间长，故需要用抽样调查．
故答案为：①②．
【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
12．若对任何x，分式x-1x2+x+a均有意义，则字母a的取值范围是　a＞14　．
【答案】a＞14．
【分析】根据题意得到：分母x2+x+a≠0，所以Δ＜0．
【详解】解：根据题意得到：x2+x+a≠0，
所以△＝1﹣4a＜0．
解得a＞14．
故答案是：a＞14．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，涉及的知识点为：分式有意义，分母不为零．
13．甲、乙两车从A、B两地相向而行，甲车比乙车早出发15分钟，甲、乙两车的速度比为2：3，相遇时甲比乙少走6千米，已知乙车走了1小时30分，求甲、乙两车的速度和两地距离．设甲车速度为2x千米/时，则列出的方程为　32×3x﹣（32+14）×2x＝6　．
【答案】32×3x﹣（32+14）×2x＝6．
【分析】设甲车速度为2x千米/时，则乙车的速度为3x千米/时，根据路程＝速度×时间，结合相遇时甲比乙少走6千米，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：15分钟=14小时，1小时30分=32小时．
设甲车速度为2x千米/时，则乙车的速度为3x千米/时，
依题意得：32×3x﹣（32+14）×2x＝6．
故答案为：32×3x﹣（32+14）×2x＝6．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
14．如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“SAS”需添加条件 　AB＝AC　．

【答案】AB＝AC．
【分析】根据已知和图形得出∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，再根据全等三角形的判定定理得出即可．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD＝AD，
∴要使△ABD≌△ACD，根据“SAS”可添加条件AB＝AC；
故答案为：AB＝AC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
15．用长12m的铝合金条制成矩形窗框（如图所示），那么这个窗户的最大透光面积是 　6m2　．（中间横框所占的面积忽略不计）

【答案】6m2．
【分析】设窗的高度为xm，宽为12-2x3m，则根据矩形面积公式列出二次函数，求函数值的最大值即可．
【详解】解：设窗的高度为xm，宽为（12-2x3）m，
由矩形面积公式得：S=12-2x3•x=-23x2+4x=-23（x﹣3）2+6，
∴当x＝3时，S最大值为6．
故答案为：6m2．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用以及矩形面积公式的计算．正确的列出函数关系式是解决问题的关键．
16．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120m，这栋楼的高度BC是 　277　m．（3≈1.732，结果取整数）

【答案】277．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120m，然后利用锐角三角函数定义求解即可．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120m，
在Rt△ABD中，BD＝AD•tan30°＝120×33=403（m），
在Rt△ACD中，CD＝AD•tan60°＝120×3=1203（m），
∴BC＝BD+CD＝1603≈277（m）．
故答案为：277．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．熟练掌握锐角三角函数定义是解此题的关键．
17．如图，点A，B为反比例函数y=kx（x＞0）图象上的两点，过点A作x轴的垂线，垂足为C，AC与OB交于点D，OD=23OB．若△OCD的面积为2，则k的值为 　9　．

【答案】9．
【分析】先设点D坐标为（a，b），得出点B的坐标为（32a，32b），再根据△OCD的面积为2，列出关系式求得k的值．
【详解】解：作BE⊥x轴于E，
∵AC⊥x轴于C，
∴AC∥BE，
∴BECD=OEOC=OBOD，
设点D坐标为（a，b），
∵OD=23OB，
∴BE=32CD，OE=32OC，
∴点B的坐标为（32a，32b），
∴k=94ab，
∵△OCD的面积为2，
∴12ab＝2，
∴ab＝4，
∴k=94ab＝9．
故答案为：9．

【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及运用待定系数法求反比例函数解析式，根据△COD的面积为2列出关系式是解题的关键．
18．（2022•启东市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（0，4），点A是x轴正半轴上的动点，以AB为边在第一象限作矩形ABCD，矩形ABCD的面积为24，则OC的最大值为 　 　．

【答案】8．
【分析】如图，作BE∥OA交CD于点E，取BE的中点F，连接CF，OF．利用相似三角形的性质求出BE＝6，再求出OF，CF，可得结论．
【详解】解：如图，作BE∥OA交CD于点E，取BE的中点F，连接CF，OF．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠OBE＝90°，
∴∠CBE＝∠OBA，
∵∠BCE＝∠AOB＝90°，
∴△AOB∽△ECB，
∴BCOB=BEAB，
∴AB•BC＝OB•BE，
∵B（0，4），AB•BC＝24，
∴OB＝4，
∴BE＝6，
∴BF＝EF＝3，
∴OF=OB2+BF2=42+32=5，CF=12BE＝3，
∵OC≤CF+OF＝8，
∴OC的最大值为8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（12分）（1）解不等式组2x+1＞02-x2≥x+33．
（2）化简：（1-1x）÷x2-2x+1x2-1．
【答案】（1）-12＜x≤0；（2）x+1x．
【分析】（1）分别解出每个不等式的解集，再求公共解集即可；
（2）先通分，把除化为乘，分子、分母分解，再因式约分即可．
【详解】解：（1）2x+1＞0①2-x2≥x+33②，
由①得：x＞-12，
由②得x≤0，
∴不等式组的解集是-12＜x≤0；
（2）原式=x-1x•(x-1)(x+1)(x-1)2
=x+1x．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组及分式的化简，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤及分式化简的方法．
20．（10分）中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：

请你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）写出扇形图中a＝　25　%，并补全条形图；
（2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是　5　个、　5　个．
（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用1减去其他天数所占的百分比即可得到a的值，用360°乘以它所占的百分比，即可求出该扇形所对圆心角的度数；
（2）根据众数与中位数的定义求解即可；
（3）先求出样本中得满分的学生所占的百分比，再乘以1800即可．
【详解】解：（1）扇形统计图中a＝1﹣30%﹣15%﹣10%﹣20%＝25%，
设引体向上6个的学生有x人，由题意得
x25%=2010%，解得x＝50．
条形统计图补充如下：


（2）由条形图可知，引体向上5个的学生有60人，人数最多，所以众数是5；
共200名同学，排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，故中位数为（5+5）÷2＝5

（3）50+40200×1800＝810（名）．
答：估计该区体育中考选报引体向上的男生能获得满分的同学有810名．
故答案为：25；5，5．
【点睛】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数．也考查了条形统计图、扇形统计图与用样本估计总体．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，连接AD，分别过点A，C作AE∥BC，CE∥AD交于点E，连接DE，交AC于点O．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若AB＝10，sin∠COE=45，求CE的长．

【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC于点D，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）过点E作EF⊥AC于F．解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC于点D，
∵AE∥BC，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴平行四边形ADCE是矩形；
（2）解：过点E作EF⊥AC于F．
∵AB＝10，
∴AC＝10，
∵对角线AC，DE交于点O，
∴DE＝AC＝10，
∴OE＝5，
∵sin∠COE=45，
∴EF＝4，
∴OF＝3，
∵OE＝OC＝5，
∴CF＝2．
∴CE=25．

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，熟记特殊四边形的判定与性质是解题的关键．
22．（10分）某学校到红色景区开展红色研学活动，研学活动中有一个重温石林会议召开的场景活动，该活动需要派杨老师去领取四个灯笼，灯笼上分别写有“军”“民”“一”“家”（外观完全一样）．
（1）杨老师从四个灯笼中任取一个，取到写有“一”的灯笼的概率是　14　．
（2）杨老师从四个灯笼中不放回地先后取出两个灯笼，请用列表或画树状图的方法求杨老师恰好取到写有“军”“民”的两个灯笼的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，杨老师恰好取到写有“军”“民”的两个灯笼的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）杨老师从四个灯笼中任取一个，取到写有“一”的灯笼的概率是14，
故答案为：14；
（2）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，杨老师恰好取到写有“军”“民”的两个灯笼的结果有2个，
∴杨老师恰好取到写有“军”“民”的两个灯笼的概率为212=16．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）如图在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，以直角边AC为直径作圆O，作∠ACB的角平分线交圆O于点E，交AB于点F，连接AE和BE．
（1）求BE的长．
（2）求EFAE的值．

【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由条件可以证明四边形OCBE是正方形，即可求出BE长；
（2）由△EBF∽△CAF得到EF：FC＝1：2，推出EF：EC＝1：3，由OE垂直平分AC得到AE＝CE，即可求解．
【详解】解（1）∵CE平分∠ACB，∠ACB＝90°，
∴ACE=12∠ACB＝45°，
∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，
∵∠ACB＝∠AOE＝90°，
∴OE∥BC，
∵BC＝OC＝OE＝2，
∴四边形OCBE是正方形，
∴BE＝OC＝2；
（2）∵OE垂直平分AC，
∴CE＝AE，
∵BE∥AC，
∴△EBF∽△CAF，
∴EFFC=BEAC=12，
∴EFEC=13，
∴EFAE=13．

【点睛】本题考查圆周角定理，角平分线定义，正方形的判定和性质，相似三角形的性质，关键是熟练掌握以上知识点．
24．（12分）小美打算在“母亲节”买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．
（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且康乃馨不多于9支，设买康乃馨x支，买这束鲜花所需总费用为w元．
①求w与x之间的函数关系式；
②请你帮小美设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设买一支康乃馨需m元，买一支百合需n元，根据题意列方程组求解即可；
（2）①根据康乃馨和百合的费用之和列出函数关系式；②根据函数的性质和康乃馨不多于9支求函数的最小值即可．
【详解】解：（1）设买一支康乃馨需m元，买一支百合需n元，
则根据题意得：m+2n=143m-2n=2，
解得：m=4n=5，
答：买一支康乃馨需4元，买一支百合需5元；
（2）①根据题意得：w＝4x+5（11﹣x）＝﹣x+55；
②∵康乃馨不多于9支，
∴x≤9，
∵﹣1＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝9时，w最小，
即买9支康乃馨，买11﹣9＝2支百合费用最少，wmin＝﹣9+55＝46（元），
答：w与x之间的函数关系式：w＝﹣x+55，买9支康乃馨，买2支百合费用最少，最少费用为46元．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质和二元一次方程组的应用，关键是利用题意写出函数关系式．
25．（13分）在△ABC中，∠BAC＝60°．
（1）如图1，若AB＝AC，点P在△ABC内，且∠APC＝150°，PA＝3，PC＝4，把△APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B，得到△ADB，连接DP，补完全图，直接写出PB的长．
（2）如图2，若AB＝AC，点P在△ABC外，且PA＝3，PB＝5，PC＝4，求∠APC的度数；
（3）如图3，若AB＝2AC，点P在△ABC内，且PA=3，PB＝5，∠APC＝120°，直接写出PC的长．

【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由旋转的性质得到△ADP为等边三角形，从而判断出△BPD为直角三角形，根据勾股定理计算即可；
（2）由旋转的性质得到△DAP是等边三角形，根据勾股定理的逆定理判断出△BPD为直角三角形，即可；
（3）作出△ABQ∽△ACP，判断出△APQ为直角三角形，从而得到△BPQ为直角三角形，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）依题意补全图形，如图1所示，

由旋转有，AD＝AP，BD＝PC，∠DAB＝∠PAC，
∴∠DAP＝∠BAC＝60°，
∴△ADP为等边三角形，
∴DP＝PA＝3，∠ADP＝60°，
∵∠ADB＝∠APC＝150°，
∴∠BDP＝90°，
在Rt△BDP中，BD＝4，DP＝3，
∴PB=BD2+DP2=16+9=5；
（2）如图2，把△APC绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，得到△ADB，连接PD，

∴△APC≌△ADB，
∴AD＝AP＝3，DB＝PC＝4，∠PAC＝∠DAB，∠APC＝∠2，
∴∠DAP＝∠BAC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠DAP＝60°，
∴△DAP是等边三角形，
∴PD＝3，∠1＝60°，
∴PD2+DB2＝32+42＝52＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠2＝30°，
∴∠APC＝30°；
（3）如图3，作△ABQ，使得：∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP，则△ABQ∽△ACP，

∴∠AQB＝∠APC＝120°，
∵AB＝2AC，
∴△ABQ与△ACP相似比为2，
∴AQ＝2AP＝2 3，BQ＝2CP，∠QAP＝∠QAB+∠BAP＝∠PAC+∠BAP＝∠BAC＝60°，
∵AQAP=2，
∴∠APQ＝90°，PQ＝3，
∴∠AQP＝30°
∴∠BQP＝∠AQB﹣∠AQP＝120°﹣30°＝90°，
根据勾股定理得，BQ=PB2-PQ2=25-16=4，
∴PC=12BQ＝2．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质和判断方法，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形和相似三角形是解本题的关键．
26．（13分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．
（1）填空：b＝　﹣2a　（用含a的代数式表示）；
（2）当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴的最大距离为5，求a的值；
（3）若点A的坐标为（﹣1，0），点E的坐标为（x，0）（其中x≥0），点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式x=-b2a=1即可解决问题；
（2）分别算出﹣x＝1和x＝0对应的函数值即可求得a的值；
（3）分类讨论，应用一线三直角模型构造全等三角形，找到线段关系，从而求出点坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3对称轴为直线x＝1，
∴对称轴为直线x=-b2a=1，
∴b＝﹣2a，
故答案为：﹣2a；

（2）当x＝0时，y＝﹣3，此时点（0，﹣3）到x轴的距离小于5，
当x＝﹣1时，y＝a+2a﹣3＝3a﹣3.3a﹣3＝5，
解得a=83；

（3）存在，
∵△CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，
∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），
①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，
∵∠CEQ＝90°，
∴∠QEN+∠CEM＝90°，
∵∠QEN+∠NQE＝90°，
∴∠EQN＝∠CEM，

∵∠CME＝∠QNE＝90°，EC＝EQ，
∴△ENQ≌△CME（AAS），
∴CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，
∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，
解得x=3-332或x=3+332（舍去），
∴OE＝CM=9-332，
∴E（9-332，0）；
②如图，

∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，
∴B点的坐标为（3，0）．
∴点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0）；
③如图，过点E作x轴的垂线l'，再分别过点C和点Q作垂线l'的垂线，分别交于点M'和点N'，

同理：△EM'C≌△QN'E（AAS），
CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，
∴x+3＝x2﹣2x﹣3，
解得x=3+332，x=3-332（舍去），
∴OE＝CM=9+332，
∴E（9+332，0），
综上所述，点E的坐标为（9-332，0）或（0，0）或（9+332，0）．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及一线三直角模型的应用，解决此题的关键是熟悉一线三直角模型，从而构造全等三角形．