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必刷卷05——2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（江苏南京专用）
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2023年中考数学考前信息必刷卷05
数 学（江苏南京专用）
2023年南京中考数学试卷结构和内容基本没变！2023年数学试卷满分120分，共27题：6（选择题）+10（填空题）+11（解答题），根据最新考试信息以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，要关注学科主干知识，对学科基本概念、基本原理和思想方法的考查；从考查内容上看，体现数学课程标准对数学教学要求，对课标内知识的考查覆盖较为全面。从知识点的分布看，实数的有关概念及其运算，代数式的运算及化简求值，方程不等式组的概念在选择题和填空中的比重较大，在综合题的考察方面，题型较为全面，知识点覆盖面广，主要包括方程不等式的解法、代数式的化简求值、几何的证明与计算，统计中数据的收集和处理、概率的计算，解三角形、列方程解应用题，尺规作图以及函数的考查等。最后的压轴题多为动手操作型，创新性明显。
通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的深度和广度.同时应加强学生的作图能力、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力，注重数学思维方法的训练.对于创新型试题要增加思维的含量，重点考查学生将新知识转化为旧知识的能力。在教学中应引导学生弄清算理来提高运算能力. 选择题前4道涉及相反数的定义、求一个数的立方根、整式的混合运算和中位数、众数的概念；第5题主要考查了一元二次方程根的判别式和参数问题；第6题较难，主要考查了二次函数综合与判断三边能否构成直角三角形。填空题的前4道题主要涉及绝对值的意义和性质、分式和二次根式有意义的条件、科学记数法以及实数的运算；第11-15题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的解、解分式方程和分式方程的解求值问题、求一次函数的解析式、切线的性质和正多边形问题以及折叠问题；填空题第16题较难主要考查几何的综合运用，涉及全等三角形和相似三角形的判定与性质、等腰三角形和正方形的性质与证明等；解答题第17-18主要是解方程组、代数式的化简求值；第19题考查了全等三角形的性质与判定；第20题考查了反比例函数与几何的综合；第21-22题考查了统计中的数据收集与分析以及概率的求解；第23题考查了解直角三角形的实际应用；第24题考查了尺规作图问题、切线的证明与相似三角形；第25题主要考查了一元一次不等式组合一次函数的实际应用；第26题主要考查了二次函数的图像与解析式问题探究；第27题主要考查了以几何图形的操作为背景的实践探究，注重提升学生的动手能力和探究能力。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.）
1．化简的结果为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】A
【分析】依据相反数的定义化简括号即可．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的定义．掌握相反数的定义是解题的关键．
2．的立方根是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据立方根的定义进行求解即可：对于两个数a，b，如果，那么a就叫做b的立方根．
【详解】解：∵，
∴的立方根为，
故选B．
【点睛】本题主要考查了立方根，熟知立方根的定义是解题的关键．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接利用同底数幂乘法法则、完全平方公式、积的乘方、合并同类项的知识进而判断得出答案．
【详解】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意；
B、，正确，该选项符合题意；
C、，原计算错误，该选项不符合题意；
D、，原计算错误，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了同底数幂乘法、完全平方公式、积的乘方、合并同类项的知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．2010年3月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．32，31 B．31，32 C．31，31 D．32，35
【答案】C
【分析】根据中位数、众数的定义求解即可．
【详解】将这组数据按从大小到大排列为：30，31，31，31，32，34，35，
∴这组数据的中位数是31；
∵31出现了3次，为最多，
∴这组数据的众数是31．
故选:C
【点睛】本题考查求一组数据的中位数和众数．掌握中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数或两个数的平均值，众数是一组数据中出现次数最多的数是解题关键．
5．已知关于x的方程有且仅有两个不同的实数解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分，三种情况讨论，前两种情况不合题意，第三种情况原方程化为，整理得①或②．因为②的判别式为，方程②必有两个不同实根．而原方程只有两个不同实根，故方程①无实根，所以它的判别式，得到．
【详解】解：当时，原方程无解，不合题意；
当时，则，
解得，方程只有1个实数根，不符合题意；
当时，原方程化为，
整理得①或②．
∵②的判别式，且当时，方程②不成立，
∴方程②必有两个不同实根．
∵原方程只有两个不同实根，当时，方程①不成立，
∴方程①无实根，
∴它的判别式，
解得．
故选D．
【点睛】本题主要考查了绝对值，分式方程，一元二次方程根的判别式，解决问题的关键是熟练运用绝对值的非负性，解分式方程，由根的情况写出根判别式的取值范围．
6．已知抛物线的图象与轴交于，两点（点在点的左则），与轴交于点，连接，直线与轴交于点D，交上方的拋物线于点，交于点，下列结论中错误的是（ ）
A．点C的坐标是 B．
C．当的值取得最大时， D．是直角三角形
【答案】C
【分析】令，，可判断选项A正确；求得点D的坐标是，可判断选项B正确；求得，，利用勾股定理的逆定理可判断选项D正确；由题意知，点E位于y轴右侧，作轴，交于点G，根据平行线截线段成比例将求的最大值转化为求的最大值，所以利用一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式以及配方法解题即可．
【详解】解：令，，
∴点C的坐标是，故选项A正确；
令，，则点D的坐标是，
∴，故选项B正确；
令，则，
解得，
∴，，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，故选项D正确；
由题意知，点E位于y轴右侧，作轴，交于点G，
∴，
∴．
∵直线与y轴交于点D，则．
∴．
∴．
设所在直线的解析式为．
将，代入，得．
解得．
∴直线的解析式是．
设，则，其中．
∴．
∴．
∵，
∴当时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是．
代入，得，
解得，故选项C错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数综合题型，需要综合运用一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法，待定系数法确定函数关系式以及平行线截线段成比例等知识点，综合性较强．
二、填空题：（本大题共10个小题，每小题2分，共20分.）
7．已知，且，则a的值为________
【答案】
【分析】根据绝对值的意义求解即可．
【详解】解：∵，
∴或，
∴或，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查解绝对值方程，理解绝对值的意义是解答的关键，易错点是只得到．
8．在函数中，自变量x的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：在函数中，
，
解得：，
故答案为：.
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
9．2023年，幸福东台抖音和微信视频号两个短视频实现新飞跃，官方抖音粉丝达70.7万，将70.7万用科学记数法表示为___________．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，为正整数；当原数绝对值时，为负整数．
【详解】解：70.7万．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示形式，正确确定和的值是解题关键．
10．计算的结果是___________．
【答案】
【分析】利用二次根式的计算公式即可求出．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】本题考查根式的计算，熟练掌握二次根式的运算公式是解此题的关键．
11．若关于x的方程的一个根为3，则m的值为_______．
【答案】
【分析】根据题意把3代入方程，得到关于m的方程，解方程即可得．
【详解】解：依题意得，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键．
12．关于x的分式方程有正数解，则符合条件的负整数m的和是______．
【答案】
【分析】解出关于的分式方程的解为，解为正数解，进而确定的取值范围，注意增根时的值除外，再根据为负整数，确定的所有可能的整数值，求和即可．
【详解】解：去分母得，，
解得，，
关于的分式方程有正数解，
，
，
又是增根，当时，，即，
，
∴且，
∴符合条件的负整数m有，，，其和为，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，理解正数解，负整数的意义是正确解答的关键．
13．已知一次函数的图像经过点，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是________．
【答案】/
【分析】设一次函数的解析式为，由题可知，，再代入点求出，进而得出一次函数解析式．
【详解】解：设一次函数解析式是，
该一次函数与直线平行，
，
一次函数的图象经过点，
，
解得：，
一次函数的解析式是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
14．如图，半径为5的与正五边形的边、相切于点M、N，则劣弧的长度为_________.
【答案】
【分析】连接，，首先根据切线的性质和正五边形的性质求得圆心角的度数，然后利用弧长公式进行计算．
【详解】解：如图：连接，，
∵与正五边形的边、相切于点M、N，
∴，
在正五边形中，，
∴，
∴劣弧的长度为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是能够连接，，从而求得劣弧所在扇形的圆心角，利用扇形弧长公式求解．
15．如图，在中，，按图进行翻折，使，，则 的度数是___________．
【答案】80
【分析】如图，根据翻折的性质可得，，，根据平行线的性质可得，，，即可得出，根据可求出、的度数，进而可得答案．
【详解】如图，
∵按图进行翻折，
∴，，，
∵，，
∴，，，
∵，
∴
∵，
∴，，
∴．
故答案为：80
【点睛】本题考查翻折的性质及平行线的性质，正确找出翻折后的对应边和对应角并熟练掌握平行线的性质是解题关键．
16．如图，在正方形中，对角线，相交于点，是线段上的动点（点F不与点O，D重合）连接，过点F作分别交，于点H，G，连接交于点M，作交于点E，交于点N．有下列结论：①当时，；②；③时，；④．其中正确的是________（填序号）．
【答案】①②③
【分析】①正确．利用面积法证明即可；
②正确．如图3中，将绕点顺时针旋转得到，连接．则，，，，证明，利用勾股定理，即可解决问题；
③正确．如图2中，过点作于，于，连接．想办法证明，再利用相似三角形的性质，解决问题即可；
④错误．假设成立，推出，显然不符合条件．
【详解】解：如图1中，过点作于．
，
，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，故①正确，
过点F作，如图所示：
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
在正方形中，，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图3中，将绕点顺时针旋转得到，连接．则，，，，
∵，
，
∵，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
∵，，O为的中点，
∴，即，
∴，
∵，
∴；
，，
，
，
，故②正确，
如图2中，过点作于，于，连接．
，，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，即，
，故③正确，
假设成立，
，
，
，显然这个条件不成立，故④错误，
故答案为：①②③．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题：（本大题共11个小题，共88分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤。）
17．（本题满分6分）二元一次方程组的解满足不等式，求a的取值范围．
【答案】
【分析】先求出原方程组的解，再代入，即可求解．
【详解】解：，
由得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
所以原方程组的解为，
因为方程组的解满足不等式，
所以，
解得：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组，解一元一次不等式的方法是解题的关键．
18．（本题满分6分）化简求值：，其中，．
【答案】，
【分析】根据分式性质先化简，再由，求出，代入求解即可得到答案．
【详解】解：
，
，，
原式．
【点睛】本题考查分式化简求值，涉及二次根式性质及运算、绝对值运算，熟练掌握分式化简求值是解决问题的关键．
19．（本题满分8分）如图，，点C、F在线段AD上，且，．
求证：．
【答案】见解析．
【分析】由得到，再由，可以证明，进而问题可解．
【详解】证明：∵，
∴
在和中，
，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质与判定，解答关键是根据题意选择适当的方法证明三角形全等．
20．（本题满分8分）如图，的直角边在轴上，，边交轴于点，点在反比例函数 第一象限的图像上，所在直线的解析式为，其中点，．
(1)求的值；
(2)将沿着轴正方向平移个单位长度得到，边与反比例函数的图像交于点，问当为何值时，四边形是平行四边形．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由待定系数法求得所在直线的解析式为，进而求出点的坐标，即可求出的值；
（2）由于，故当时，四边形是平行四边形，由题意可得点的横坐标为，得到点的纵坐标，由，解方程即可求得．
【详解】（1）解：∵直线：经过点，
∴，
∴，
∴所在直线的解析式为，
∵，，
∴当时，，
∴，，
∵点在反比例函数第一象限的图像上，
∴，
∴的值为．
（2）当时，，
∴，，
∵沿着轴正方向平移个单位长度得到，
∴，，，
∴当时，四边形是平行四边形，
由（1）得反比例函数的解析式为，
由题意可得点的横坐标为，
∴点的纵坐标，
∴，
解得：，且符合题意；
∴当为时，四边形是平行四边形．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查待定系数法求反比例函数的解析式和一次函数解析式，函数图像上点的坐标特征，平移的性质，平行四边形的判定．正确地作出图形是解题的关键．
21．（本题满分8分）为评估九年级学生在“新冠肺炎”疫情期间居家在线学习数学的效果，某中学组织了一次调研测试，并随机抽取了部分学生的数学成绩进行统计，把这些成绩分为优、良、中、不及格四类，绘制成了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)一共抽取了_____名学生的数学成绩，补全条形统计图（画图并标注相应数据）；
(2)在扇形统计图中，“优”的圆心角度数为______．；
(3)若该校九年级共有600人参加了这次调研测试，请估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩为优？
【答案】(1)50，补全条形统计图见解析；
(2)72；
(3)120名．
【分析】（1）由良的人数除以占的百分比得到调查的总人数，乘以20%即可得到中的人数；从而补全条形统计图；
（2）成绩类别为“优”的扇形所占的百分比＝成绩类别为“优”的人数÷被抽取的学生总数，其对应的圆心角的度数＝×成绩类别为“优”的扇形所占的百分比即可解答；
（3）利用样本估计总体思想求解即可．
【详解】（1）解：（名），
“中”的人数为：（名）．
补全图形如下：
故答案为：50；
（2）解：扇形统计图中“优”的圆心角度数为： ．
故答案为：72．
（3）解：（名）．
答：估计该校九年级共有120名学生的成绩为优．
【点睛】本题主要考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体等知识点，从条形统计图和扇形统计图获取所需信息是解答本题的关键．
22．（本题满分8分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“文”、“明”、“诸”、“暨”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
(1)若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是“明”的概率；
(2)从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“文明”或“诸暨”的概率．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数，以及取出的两个球上的汉字恰能组成“文明”或“诸暨”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：∵有分别标有汉字“文”、“明”、“诸”、“暨”的四个小球，每个小球被取到的概率相同，
∴从中任取一个球，球上的汉字刚好是“明”的概率为．
（2）解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“文明”或“诸暨”的结果有种，
∴取出的两个球上的汉字恰能组成“文明”或“诸暨”的概率为．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，列表法或树状图法求解概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
23．（本题满分8分）如图，在修建公路时，需要挖掘一段隧道，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，米；
(1)求隧道两端B、C之间的距离（精确到个位）；
（参考数据：，，）．
(2)原计划单向开挖，但为了加快施工进度，从B、C两端同时相向开挖，这样每天的工作效率提高了20%，结果提前2天完工．问原计划单向开挖每天挖多少米？
【答案】(1)1200米
(2)原计划单向开挖每天挖100米
【分析】（1）由题意易得，然后根据三角函数可进行求解；
（2）设原计划单向开挖每天挖x米，根据题意可得方程，然后求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，米，
∴米；
答：隧道两端B、C之间的距离为1200米．
（2）解：设原计划单向开挖每天挖x米，根据题意可得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解且满足题意，
答：原计划单向开挖每天挖100米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形及分式方程的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
24．（本题满分8分）如图，是的外接圆，直径平分交于点E．
(1)尺规作图：在的延长线上取一点F，使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图中：
①证明：是的切线；
②求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据题意在的延长线上取一点F，使得，连接；
（2）①是直径，得出，根据等角对等边，对顶角相等得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，即可得证；
②过点作于点，证明，解得，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：在的延长线上取一点F，使得，连接；
（2）①证明：∵是直径，
∴，
∵
∴，
∵平分，
∴
又∵，
∴
∴
∴，
即是的切线；
②如图所示，过点作于点，
∵，平分，
∴，
，
，
，
，，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25．（本题满分8分）为全面推进乡村振兴，某省实行城市援助乡镇的政策．该省的A市有120吨物资，B市有130吨物资．经过调研发现该省的甲乡需要140吨物资，乙乡需要110吨物资．于是决定由A、B两市负责援助甲、乙两乡、已知从A市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为300元/吨、150元/吨，从B市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为200元/吨、100元/吨．
(1)设从A市往甲乡运送x吨物资，从A、B两市向甲、乙两乡运送物资的总运费为y元，求y与x的函数解析式．
(2)请设计运费最低的运送方案，并求出最低运费．
【答案】(1)
(2)运费最低的运送方案是：从A市往甲乡运送10吨物资，从A市往乙乡运送110吨物资，从B市往甲乡运送130吨物资物资，从B市往乙乡运送0吨物资，最低运费为45500元．
【分析】（1）先根据题意列出函数关系式，然后再根据题意列出不等式组确定x的取值范围即可；
（2）根据（1）所得的函数关系式以及函数增减性可得当x＝10时，y取得最小值，据此设计方案并求出最小值即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∵，
∴x的取值范围是，
∴y与x的函数解析式为．
（2）解：∵，，
∴y随着x增大而增大，
∴当时，y取得最小值，最小值为（元），
此时从A市往甲乡运送10吨物资，从A市往乙乡运送110吨物资，从B市往甲乡运送130吨物资物资，从B市往乙乡运送0吨物资，
答：运费最低的运送方案是：从A市往甲乡运送10吨物资，从A市往乙乡运送110吨物资，从B市往甲乡运送130吨物资物资，从B市往乙乡运送0吨物资，最低运费为45500元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解答本题的关键．
26．（本题满分10分）（一）、概念理解：
在直角坐标系中，如果两个函数的图象关于某条平行于轴（包括轴）的直线轴对称，我们就称它们为“共根函数”，两函数的交点称之为“共根点”，对称轴称为“共根轴”．例如：正比例函数和是一对共根函数，y轴是它们的共根轴，原点O是共根点．
（二）、问题解决：
（1）在图一网格坐标系里作出与一次函数共根点为的共根函数图象，并写出此函数的解析式__________．
（2）将二次函数水平向右平移一个单位也可以得到它的共根函数，在图二中通过列表、描点、连线先作出图象，再按要求作出它向右平移后得到的共根函数图象，表格中_________，_________．这对共根函数的共根点坐标是_________．
…
0
1
2
3
4
…
…
8
0
3
8
…
（三）、拓展提升
（3）在（2）条件下，函数与轴的两个交点分别为，，一条平行于轴的直线与这一对共根函数图象相交，是否存在有两个交点与点，一起构成一个平行四边形，如果存在直接写出的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）作图见解析，，；（3）存在，
【分析】（1）先设一次函数共根点为共根函数经过点，设一次函数共根点为的共根函数为，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据抛物线的对称性，得出，然后根据描点法画出图象，以及平移后的图形，根据图象可知共根轴为，进而求得共根点坐标是；
（3）平行于轴，设与这一对共根函数图象相交的能构成平行四边形的两点分别为，当为平行四边形时，则，结合图形即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，
由可得，当时，，当时，，
点关于对称的点的坐标为
设一次函数共根点为的共根函数为，
则
解得：
∴一次函数共根点为的共根函数为；
故答案为：．
（2）解：如图所示，根据对称性可得
列表如下，
描点，连线如图所示，
将向右平移1个单位得到，
根据图象可知共根轴为，
由，令，解得：
∴这对共根函数的共根点坐标是，
故答案为：，．
（3）根据（2）可知当时，或，
设
∴,
∵平行于轴，设与这一对共根函数图象相交的能构成平行四边形的两点分别为，
当为平行四边形时，
则，
根据题意，，
解得：，；
解得：，
如图所示，根据函数图象可知，只有一种情形满足题意，
即
解得：
【点睛】本题考查了新定义，待定系数法求解析式，轴对称的性质，二次函数的平移，平行四边形的性质，画二次函数图象，数形结合是解题的关键．
27．（本题满分10分）【问题提出】
（1）如图1，在中，，，，则______．
【问题探究】
（2）如图2，在矩形中，，，在矩形内部有一动点，满足．小明打算找出到的最短距离．他的操作如下：
在上取一点，使得，连接，作的外接圆，圆心为，为直径，过点作的垂线，交于点，交于点，此时到的距离最短．
问：以上操作是否合理？若合理，请求出到的最短距离．若不合理，请说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，某学校的人工智能教室是矩形形状，其中米，米，为了提高课堂上小组合作学习的效率，学校想把教室设计成几部分．设计思路如下：在矩形内部找一点，连接，，，使得，且．其中是老师课堂展示部分，是小组合作交流部分，剩下的四边形是学生创造性设计部分．请计算课堂展示部分的面积．
【答案】（1）；（2）合理，；（3）
【分析】（1）利用勾股定理和锐角三角函数即可解答；
（2）合理．利用勾股定理求出，可得，再利用梯形中位线求出，即可解答；
（3）如图，作的外接圆，圆心为，交于点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，根据圆周角定理可得，利用勾股定理和锐角三角函数可得，，得出，再根据，可推出，由角平分线的判定得出平分，继而证明四边形为正方形，求出，然后在在中，利用解三角形得出，，建立关于的方程，求出即可解决问题．
【详解】解：（1）∵在中，，，，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）合理．
在上取一点，连接，作的外接圆，圆心为，为直径，过点作的垂线，交于点，交于点，
∴，，
∵是点到的最短距离，而是的半径，是定值，
∴此时是点到的距离最短，
在矩形中，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴以上操作合理；
∴，
∴，
∵，
∴和的长度不相等，
又∵，，
∴四边形是直角梯形，
∵，
∴，
∵圆心为，为直径，
∴点是的中点，
∴点是的中点，
∴是直角梯形的中位线，
∴，
∴，
∴到的最短距离为．
（3）如图，作的外接圆，圆心为，交于点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，
∴，
∵，
∴，
∴，
在矩形中，，，
∴，，
∴，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去）
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
又∵，，，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
在中，，，，，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（平方米）．
【点睛】本题考查圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，解三角形，矩形的性质，正方形的判定和性质，梯形的判定，梯形的中位互，角平分线的判定等知识点．通过构造圆来解决问题是解题的关键．
2023年中考数学考前信息必刷卷05
数 学（江苏南京专用）
2023年南京中考数学试卷结构和内容基本没变！2023年数学试卷满分120分，共27题：6（选择题）+10（填空题）+11（解答题），根据最新考试信息以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，要关注学科主干知识，对学科基本概念、基本原理和思想方法的考查；从考查内容上看，体现数学课程标准对数学教学要求，对课标内知识的考查覆盖较为全面。从知识点的分布看，实数的有关概念及其运算，代数式的运算及化简求值，方程不等式组的概念在选择题和填空中的比重较大，在综合题的考察方面，题型较为全面，知识点覆盖面广，主要包括方程不等式的解法、代数式的化简求值、几何的证明与计算，统计中数据的收集和处理、概率的计算，解三角形、列方程解应用题，尺规作图以及函数的考查等。最后的压轴题多为动手操作型，创新性明显。
通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的深度和广度.同时应加强学生的作图能力、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力，注重数学思维方法的训练.对于创新型试题要增加思维的含量，重点考查学生将新知识转化为旧知识的能力。在教学中应引导学生弄清算理来提高运算能力. 选择题前4道涉及相反数的定义、求一个数的立方根、整式的混合运算和中位数、众数的概念；第5题主要考查了一元二次方程根的判别式和参数问题；第6题较难，主要考查了二次函数综合与判断三边能否构成直角三角形。填空题的前4道题主要涉及绝对值的意义和性质、分式和二次根式有意义的条件、科学记数法以及实数的运算；第11-15题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的解、解分式方程和分式方程的解求值问题、求一次函数的解析式、切线的性质和正多边形问题以及折叠问题；填空题第16题较难主要考查几何的综合运用，涉及全等三角形和相似三角形的判定与性质、等腰三角形和正方形的性质与证明等；解答题第17-18主要是解方程组、代数式的化简求值；第19题考查了全等三角形的性质与判定；第20题考查了反比例函数与几何的综合；第21-22题考查了统计中的数据收集与分析以及概率的求解；第23题考查了解直角三角形的实际应用；第24题考查了尺规作图问题、切线的证明与相似三角形；第25题主要考查了一元一次不等式组合一次函数的实际应用；第26题主要考查了二次函数的图像与解析式问题探究；第27题主要考查了以几何图形的操作为背景的实践探究，注重提升学生的动手能力和探究能力。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.）
1．化简的结果为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】A
【分析】依据相反数的定义化简括号即可．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的定义．掌握相反数的定义是解题的关键．
2．的立方根是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据立方根的定义进行求解即可：对于两个数a，b，如果，那么a就叫做b的立方根．
【详解】解：∵，
∴的立方根为，
故选B．
【点睛】本题主要考查了立方根，熟知立方根的定义是解题的关键．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接利用同底数幂乘法法则、完全平方公式、积的乘方、合并同类项的知识进而判断得出答案．
【详解】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意；
B、，正确，该选项符合题意；
C、，原计算错误，该选项不符合题意；
D、，原计算错误，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了同底数幂乘法、完全平方公式、积的乘方、合并同类项的知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．2010年3月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．32，31 B．31，32 C．31，31 D．32，35
【答案】C
【分析】根据中位数、众数的定义求解即可．
【详解】将这组数据按从大小到大排列为：30，31，31，31，32，34，35，
∴这组数据的中位数是31；
∵31出现了3次，为最多，
∴这组数据的众数是31．
故选:C
【点睛】本题考查求一组数据的中位数和众数．掌握中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数或两个数的平均值，众数是一组数据中出现次数最多的数是解题关键．
5．已知关于x的方程有且仅有两个不同的实数解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分，三种情况讨论，前两种情况不合题意，第三种情况原方程化为，整理得①或②．因为②的判别式为，方程②必有两个不同实根．而原方程只有两个不同实根，故方程①无实根，所以它的判别式，得到．
【详解】解：当时，原方程无解，不合题意；
当时，则，
解得，方程只有1个实数根，不符合题意；
当时，原方程化为，
整理得①或②．
∵②的判别式，且当时，方程②不成立，
∴方程②必有两个不同实根．
∵原方程只有两个不同实根，当时，方程①不成立，
∴方程①无实根，
∴它的判别式，
解得．
故选D．
【点睛】本题主要考查了绝对值，分式方程，一元二次方程根的判别式，解决问题的关键是熟练运用绝对值的非负性，解分式方程，由根的情况写出根判别式的取值范围．
6．已知抛物线的图象与轴交于，两点（点在点的左则），与轴交于点，连接，直线与轴交于点D，交上方的拋物线于点，交于点，下列结论中错误的是（ ）
A．点C的坐标是 B．
C．当的值取得最大时， D．是直角三角形
【答案】C
【分析】令，，可判断选项A正确；求得点D的坐标是，可判断选项B正确；求得，，利用勾股定理的逆定理可判断选项D正确；由题意知，点E位于y轴右侧，作轴，交于点G，根据平行线截线段成比例将求的最大值转化为求的最大值，所以利用一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式以及配方法解题即可．
【详解】解：令，，
∴点C的坐标是，故选项A正确；
令，，则点D的坐标是，
∴，故选项B正确；
令，则，
解得，
∴，，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，故选项D正确；
由题意知，点E位于y轴右侧，作轴，交于点G，
∴，
∴．
∵直线与y轴交于点D，则．
∴．
∴．
设所在直线的解析式为．
将，代入，得．
解得．
∴直线的解析式是．
设，则，其中．
∴．
∴．
∵，
∴当时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是．
代入，得，
解得，故选项C错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数综合题型，需要综合运用一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法，待定系数法确定函数关系式以及平行线截线段成比例等知识点，综合性较强．
二、填空题：（本大题共10个小题，每小题2分，共20分.）
7．已知，且，则a的值为________
【答案】
【分析】根据绝对值的意义求解即可．
【详解】解：∵，
∴或，
∴或，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查解绝对值方程，理解绝对值的意义是解答的关键，易错点是只得到．
8．在函数中，自变量x的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：在函数中，
，
解得：，
故答案为：.
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
9．2023年，幸福东台抖音和微信视频号两个短视频实现新飞跃，官方抖音粉丝达70.7万，将70.7万用科学记数法表示为___________．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，为正整数；当原数绝对值时，为负整数．
【详解】解：70.7万．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示形式，正确确定和的值是解题关键．
10．计算的结果是___________．
【答案】
【分析】利用二次根式的计算公式即可求出．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】本题考查根式的计算，熟练掌握二次根式的运算公式是解此题的关键．
11．若关于x的方程的一个根为3，则m的值为_______．
【答案】
【分析】根据题意把3代入方程，得到关于m的方程，解方程即可得．
【详解】解：依题意得，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键．
12．关于x的分式方程有正数解，则符合条件的负整数m的和是______．
【答案】
【分析】解出关于的分式方程的解为，解为正数解，进而确定的取值范围，注意增根时的值除外，再根据为负整数，确定的所有可能的整数值，求和即可．
【详解】解：去分母得，，
解得，，
关于的分式方程有正数解，
，
，
又是增根，当时，，即，
，
∴且，
∴符合条件的负整数m有，，，其和为，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，理解正数解，负整数的意义是正确解答的关键．
13．已知一次函数的图像经过点，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是________．
【答案】/
【分析】设一次函数的解析式为，由题可知，，再代入点求出，进而得出一次函数解析式．
【详解】解：设一次函数解析式是，
该一次函数与直线平行，
，
一次函数的图象经过点，
，
解得：，
一次函数的解析式是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
14．如图，半径为5的与正五边形的边、相切于点M、N，则劣弧的长度为_________.
【答案】
【分析】连接，，首先根据切线的性质和正五边形的性质求得圆心角的度数，然后利用弧长公式进行计算．
【详解】解：如图：连接，，
∵与正五边形的边、相切于点M、N，
∴，
在正五边形中，，
∴，
∴劣弧的长度为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是能够连接，，从而求得劣弧所在扇形的圆心角，利用扇形弧长公式求解．
15．如图，在中，，按图进行翻折，使，，则 的度数是___________．
【答案】80
【分析】如图，根据翻折的性质可得，，，根据平行线的性质可得，，，即可得出，根据可求出、的度数，进而可得答案．
【详解】如图，
∵按图进行翻折，
∴，，，
∵，，
∴，，，
∵，
∴
∵，
∴，，
∴．
故答案为：80
【点睛】本题考查翻折的性质及平行线的性质，正确找出翻折后的对应边和对应角并熟练掌握平行线的性质是解题关键．
16．如图，在正方形中，对角线，相交于点，是线段上的动点（点F不与点O，D重合）连接，过点F作分别交，于点H，G，连接交于点M，作交于点E，交于点N．有下列结论：①当时，；②；③时，；④．其中正确的是________（填序号）．
【答案】①②③
【分析】①正确．利用面积法证明即可；
②正确．如图3中，将绕点顺时针旋转得到，连接．则，，，，证明，利用勾股定理，即可解决问题；
③正确．如图2中，过点作于，于，连接．想办法证明，再利用相似三角形的性质，解决问题即可；
④错误．假设成立，推出，显然不符合条件．
【详解】解：如图1中，过点作于．
，
，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，故①正确，
过点F作，如图所示：
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
在正方形中，，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图3中，将绕点顺时针旋转得到，连接．则，，，，
∵，
，
∵，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
∵，，O为的中点，
∴，即，
∴，
∵，
∴；
，，
，
，
，故②正确，
如图2中，过点作于，于，连接．
，，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，即，
，故③正确，
假设成立，
，
，
，显然这个条件不成立，故④错误，
故答案为：①②③．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题：（本大题共11个小题，共88分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤。）
17．（本题满分6分）二元一次方程组的解满足不等式，求a的取值范围．
【答案】
【分析】先求出原方程组的解，再代入，即可求解．
【详解】解：，
由得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
所以原方程组的解为，
因为方程组的解满足不等式，
所以，
解得：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组，解一元一次不等式的方法是解题的关键．
18．（本题满分6分）化简求值：，其中，．
【答案】，
【分析】根据分式性质先化简，再由，求出，代入求解即可得到答案．
【详解】解：
，
，，
原式．
【点睛】本题考查分式化简求值，涉及二次根式性质及运算、绝对值运算，熟练掌握分式化简求值是解决问题的关键．
19．（本题满分8分）如图，，点C、F在线段AD上，且，．
求证：．
【答案】见解析．
【分析】由得到，再由，可以证明，进而问题可解．
【详解】证明：∵，
∴
在和中，
，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质与判定，解答关键是根据题意选择适当的方法证明三角形全等．
20．（本题满分8分）如图，的直角边在轴上，，边交轴于点，点在反比例函数 第一象限的图像上，所在直线的解析式为，其中点，．
(1)求的值；
(2)将沿着轴正方向平移个单位长度得到，边与反比例函数的图像交于点，问当为何值时，四边形是平行四边形．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由待定系数法求得所在直线的解析式为，进而求出点的坐标，即可求出的值；
（2）由于，故当时，四边形是平行四边形，由题意可得点的横坐标为，得到点的纵坐标，由，解方程即可求得．
【详解】（1）解：∵直线：经过点，
∴，
∴，
∴所在直线的解析式为，
∵，，
∴当时，，
∴，，
∵点在反比例函数第一象限的图像上，
∴，
∴的值为．
（2）当时，，
∴，，
∵沿着轴正方向平移个单位长度得到，
∴，，，
∴当时，四边形是平行四边形，
由（1）得反比例函数的解析式为，
由题意可得点的横坐标为，
∴点的纵坐标，
∴，
解得：，且符合题意；
∴当为时，四边形是平行四边形．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查待定系数法求反比例函数的解析式和一次函数解析式，函数图像上点的坐标特征，平移的性质，平行四边形的判定．正确地作出图形是解题的关键．
21．（本题满分8分）为评估九年级学生在“新冠肺炎”疫情期间居家在线学习数学的效果，某中学组织了一次调研测试，并随机抽取了部分学生的数学成绩进行统计，把这些成绩分为优、良、中、不及格四类，绘制成了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)一共抽取了_____名学生的数学成绩，补全条形统计图（画图并标注相应数据）；
(2)在扇形统计图中，“优”的圆心角度数为______．；
(3)若该校九年级共有600人参加了这次调研测试，请估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩为优？
【答案】(1)50，补全条形统计图见解析；
(2)72；
(3)120名．
【分析】（1）由良的人数除以占的百分比得到调查的总人数，乘以20%即可得到中的人数；从而补全条形统计图；
（2）成绩类别为“优”的扇形所占的百分比＝成绩类别为“优”的人数÷被抽取的学生总数，其对应的圆心角的度数＝×成绩类别为“优”的扇形所占的百分比即可解答；
（3）利用样本估计总体思想求解即可．
【详解】（1）解：（名），
“中”的人数为：（名）．
补全图形如下：
故答案为：50；
（2）解：扇形统计图中“优”的圆心角度数为： ．
故答案为：72．
（3）解：（名）．
答：估计该校九年级共有120名学生的成绩为优．
【点睛】本题主要考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体等知识点，从条形统计图和扇形统计图获取所需信息是解答本题的关键．
22．（本题满分8分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“文”、“明”、“诸”、“暨”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
(1)若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是“明”的概率；
(2)从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“文明”或“诸暨”的概率．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数，以及取出的两个球上的汉字恰能组成“文明”或“诸暨”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：∵有分别标有汉字“文”、“明”、“诸”、“暨”的四个小球，每个小球被取到的概率相同，
∴从中任取一个球，球上的汉字刚好是“明”的概率为．
（2）解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“文明”或“诸暨”的结果有种，
∴取出的两个球上的汉字恰能组成“文明”或“诸暨”的概率为．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，列表法或树状图法求解概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
23．（本题满分8分）如图，在修建公路时，需要挖掘一段隧道，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，米；
(1)求隧道两端B、C之间的距离（精确到个位）；
（参考数据：，，）．
(2)原计划单向开挖，但为了加快施工进度，从B、C两端同时相向开挖，这样每天的工作效率提高了20%，结果提前2天完工．问原计划单向开挖每天挖多少米？
【答案】(1)1200米
(2)原计划单向开挖每天挖100米
【分析】（1）由题意易得，然后根据三角函数可进行求解；
（2）设原计划单向开挖每天挖x米，根据题意可得方程，然后求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，米，
∴米；
答：隧道两端B、C之间的距离为1200米．
（2）解：设原计划单向开挖每天挖x米，根据题意可得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解且满足题意，
答：原计划单向开挖每天挖100米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形及分式方程的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
24．（本题满分8分）如图，是的外接圆，直径平分交于点E．
(1)尺规作图：在的延长线上取一点F，使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图中：
①证明：是的切线；
②求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据题意在的延长线上取一点F，使得，连接；
（2）①是直径，得出，根据等角对等边，对顶角相等得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，即可得证；
②过点作于点，证明，解得，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：在的延长线上取一点F，使得，连接；
（2）①证明：∵是直径，
∴，
∵
∴，
∵平分，
∴
又∵，
∴
∴
∴，
即是的切线；
②如图所示，过点作于点，
∵，平分，
∴，
，
，
，
，，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25．（本题满分8分）为全面推进乡村振兴，某省实行城市援助乡镇的政策．该省的A市有120吨物资，B市有130吨物资．经过调研发现该省的甲乡需要140吨物资，乙乡需要110吨物资．于是决定由A、B两市负责援助甲、乙两乡、已知从A市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为300元/吨、150元/吨，从B市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为200元/吨、100元/吨．
(1)设从A市往甲乡运送x吨物资，从A、B两市向甲、乙两乡运送物资的总运费为y元，求y与x的函数解析式．
(2)请设计运费最低的运送方案，并求出最低运费．
【答案】(1)
(2)运费最低的运送方案是：从A市往甲乡运送10吨物资，从A市往乙乡运送110吨物资，从B市往甲乡运送130吨物资物资，从B市往乙乡运送0吨物资，最低运费为45500元．
【分析】（1）先根据题意列出函数关系式，然后再根据题意列出不等式组确定x的取值范围即可；
（2）根据（1）所得的函数关系式以及函数增减性可得当x＝10时，y取得最小值，据此设计方案并求出最小值即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∵，
∴x的取值范围是，
∴y与x的函数解析式为．
（2）解：∵，，
∴y随着x增大而增大，
∴当时，y取得最小值，最小值为（元），
此时从A市往甲乡运送10吨物资，从A市往乙乡运送110吨物资，从B市往甲乡运送130吨物资物资，从B市往乙乡运送0吨物资，
答：运费最低的运送方案是：从A市往甲乡运送10吨物资，从A市往乙乡运送110吨物资，从B市往甲乡运送130吨物资物资，从B市往乙乡运送0吨物资，最低运费为45500元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解答本题的关键．
26．（本题满分10分）（一）、概念理解：
在直角坐标系中，如果两个函数的图象关于某条平行于轴（包括轴）的直线轴对称，我们就称它们为“共根函数”，两函数的交点称之为“共根点”，对称轴称为“共根轴”．例如：正比例函数和是一对共根函数，y轴是它们的共根轴，原点O是共根点．
（二）、问题解决：
（1）在图一网格坐标系里作出与一次函数共根点为的共根函数图象，并写出此函数的解析式__________．
（2）将二次函数水平向右平移一个单位也可以得到它的共根函数，在图二中通过列表、描点、连线先作出图象，再按要求作出它向右平移后得到的共根函数图象，表格中_________，_________．这对共根函数的共根点坐标是_________．
…
0
1
2
3
4
…
…
8
0
3
8
…
（三）、拓展提升
（3）在（2）条件下，函数与轴的两个交点分别为，，一条平行于轴的直线与这一对共根函数图象相交，是否存在有两个交点与点，一起构成一个平行四边形，如果存在直接写出的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）作图见解析，，；（3）存在，
【分析】（1）先设一次函数共根点为共根函数经过点，设一次函数共根点为的共根函数为，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据抛物线的对称性，得出，然后根据描点法画出图象，以及平移后的图形，根据图象可知共根轴为，进而求得共根点坐标是；
（3）平行于轴，设与这一对共根函数图象相交的能构成平行四边形的两点分别为，当为平行四边形时，则，结合图形即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，
由可得，当时，，当时，，
点关于对称的点的坐标为
设一次函数共根点为的共根函数为，
则
解得：
∴一次函数共根点为的共根函数为；
故答案为：．
（2）解：如图所示，根据对称性可得
列表如下，
描点，连线如图所示，
将向右平移1个单位得到，
根据图象可知共根轴为，
由，令，解得：
∴这对共根函数的共根点坐标是，
故答案为：，．
（3）根据（2）可知当时，或，
设
∴,
∵平行于轴，设与这一对共根函数图象相交的能构成平行四边形的两点分别为，
当为平行四边形时，
则，
根据题意，，
解得：，；
解得：，
如图所示，根据函数图象可知，只有一种情形满足题意，
即
解得：
【点睛】本题考查了新定义，待定系数法求解析式，轴对称的性质，二次函数的平移，平行四边形的性质，画二次函数图象，数形结合是解题的关键．
27．（本题满分10分）【问题提出】
（1）如图1，在中，，，，则______．
【问题探究】
（2）如图2，在矩形中，，，在矩形内部有一动点，满足．小明打算找出到的最短距离．他的操作如下：
在上取一点，使得，连接，作的外接圆，圆心为，为直径，过点作的垂线，交于点，交于点，此时到的距离最短．
问：以上操作是否合理？若合理，请求出到的最短距离．若不合理，请说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，某学校的人工智能教室是矩形形状，其中米，米，为了提高课堂上小组合作学习的效率，学校想把教室设计成几部分．设计思路如下：在矩形内部找一点，连接，，，使得，且．其中是老师课堂展示部分，是小组合作交流部分，剩下的四边形是学生创造性设计部分．请计算课堂展示部分的面积．
【答案】（1）；（2）合理，；（3）
【分析】（1）利用勾股定理和锐角三角函数即可解答；
（2）合理．利用勾股定理求出，可得，再利用梯形中位线求出，即可解答；
（3）如图，作的外接圆，圆心为，交于点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，根据圆周角定理可得，利用勾股定理和锐角三角函数可得，，得出，再根据，可推出，由角平分线的判定得出平分，继而证明四边形为正方形，求出，然后在在中，利用解三角形得出，，建立关于的方程，求出即可解决问题．
【详解】解：（1）∵在中，，，，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）合理．
在上取一点，连接，作的外接圆，圆心为，为直径，过点作的垂线，交于点，交于点，
∴，，
∵是点到的最短距离，而是的半径，是定值，
∴此时是点到的距离最短，
在矩形中，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴以上操作合理；
∴，
∴，
∵，
∴和的长度不相等，
又∵，，
∴四边形是直角梯形，
∵，
∴，
∵圆心为，为直径，
∴点是的中点，
∴点是的中点，
∴是直角梯形的中位线，
∴，
∴，
∴到的最短距离为．
（3）如图，作的外接圆，圆心为，交于点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，
∴，
∵，
∴，
∴，
在矩形中，，，
∴，，
∴，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去）
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
又∵，，，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
在中，，，，，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（平方米）．
【点睛】本题考查圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，解三角形，矩形的性质，正方形的判定和性质，梯形的判定，梯形的中位互，角平分线的判定等知识点．通过构造圆来解决问题是解题的关键．
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