必刷卷05——2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（江苏苏州专用）

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2023年中考数学考前信息必刷卷05
数 学（苏州专用）

2023年苏州中考数学试卷结构和内容延续去年，2023年数学试卷共27题：8（选择题）+8（填空题）+11，根据最新考试信息以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，会降低二次函数难度，大概率会改为动态几何+函数，动点可能会增加分值；在试卷难度方面，不会有太大变化。

通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，预测：
第16题将会重点考查二次函数的图象性质，待定系数法求函数关系式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程，解直角三角形等相关知识，解题关键是能够根据给定参数判断点的位置，从而构造特殊三角形来求解；第27题极大可能查动点问题，二次函数的应用，求不规则图形的面积等知识点，第一问关键能够从图像中得到信息，第二问第一小问关键在理清楚运动过程，第二小问关键在能够用x表示出S1和S2
另外，在平时学习中要特别关注基础性（一般试卷的前5-6题直接考查基础知识，容易拿分）、综合性（选填以及解答的压轴题）、应用型和创新性（一般会以数学文化为背景或在新情景下命制对概念的理解以及问题的梳理），同时掌握整体思想、数形结合、特殊值等数学思想，这些思想会蕴含于每道试题之中。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
（满分：130分 考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．下列计算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据算术平方根的性质、同底数幂除法、合并同类项法则及幂的乘方法则逐一计算即可得答案．
【详解】A.，故该选项计算错误，不符合题意，
B.，故该选项计算错误，不符合题意，
C.+=，故该选项计算错误，不符合题意，
D.，故该选项计算正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查算术平方根的性质、同底数幂除法、合并同类项法则及幂的乘方法则，熟练掌握运算法则是解题关键．
2．一个整数8150…0用科学记数法表示为8.15×1010，则原数中“0”的个数为(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】把8.1555×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得．
【详解】∵8.15×1010表示的原数为81500000000，
∴原数中“0”的个数为8，
故选B．
【点睛】考查了把科学记数法表示的数还原成原数，当n＞0时，n是几，小数点就向后移几位．
3．已知，则的值是
A． B．－ C．2 D．－2
【答案】B
【详解】解：∵，
∴-=，
∴=，
∴=．
故选：B．
4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（    ）
A．20 B．18 C．16 D．14
【答案】D
【分析】首先根据一元二次方程有两个不相等的实数根，求出的取值范围，然后求解分式方程，结合条件综合分析出符合条件的所有整数，最后求和即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即：，
解得：且；
对于分式方程，
左右同乘得：，
解得：，
∵是原分式方程的增根，
∴，即：，
∵分式方程的解为非负整数，
∴综合且，可得出符合条件的所有整数为：6；8；
∴符合条件的所有整数的和为，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及含参分式方程等，理解一元二次方程的定义，以及根的判别式，熟练掌握含参分式方程的解法，并注意到排除增根，是解题关键．
5．如图，A、B是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使△ABC的面积为1的概率是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题解析：在4×4的网格中共有25个格点，而使得三角形面积为1的格点有6个，

故使得三角形面积为1的概率为．
故选A．
6．在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在轴上，顶点，连接AC按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧分别交CA,CD于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧交于点G；（3）作射线CG交AD于H，则点H的横坐标为（   ）

A．6 B．4 C．3 D．1
【答案】D
【分析】根据可得AB=6，BC=8，由勾股定理得AC=10，过H作HQ⊥AC，由角平分线的性质得HQ=HD，根据△AHC的面积+△DHC的面积=△ADC的面积求解即可．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，且
∴B(-4,0)
∴AC=5
由作图知CH为∠ACD的平分线，过点H作HQ⊥AC，则HQ=HD，
∴△AHC的面积+△DHC的面积=△ADC的面积，
即：
∵HD=HQ
∴HD=3
∴点H的横坐标为：4-3=1．
故选：D．


【点睛】此题主要考查了坐标与图形，以及矩形的性质，勾投定理以及面积法等相关知识，熟练掌握它们的心生是解题的关键．
7．等边边长为4，D是BC中点，E在AD上运动，连接BE，在BE下方作等边，则周长的最小值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点F作直线DG⊥BC于G，在射线GF，以点F为圆心，BF为半径的圆交射线GF于H，连结HD，先求出BD=，根据点到直线的垂线段最短得出C△BDF=BD+BF+DF=2+FH+DF≥DH≥HG，当点G与点D重合时，△BDF的周长最短，根据△BEF为等边三角形，BD⊥EF，得出FD=ED=，∠FBD=∠EBD=30°，利用三角函数求出DF=BDtan30°=，利用30°直角三角形性质求出BF=2DF=即可．
【详解】解：过点F作直线DG⊥BC于G，在射线GF，以点F为圆心，BF为半径的圆交射线GF于H，连结HD，
∵点D为BC的中点，
∴BD=，
∵BF=FH，
∴C△BDF=BD+BF+DF=2+FH+DF≥DH≥HG，
当点G与点D重合时，△BDF的周长最短，
∵△BEF为等边三角形，BD⊥EF，
∴FD=ED=，∠FBD=∠EBD=30°，
∴DF=BDtan30°=，BF=2DF=，
∴C△BDF最小值=2+，
故选择：A．

【点睛】本题考查等边三角形性质、点到直线的垂线段最短、锐角三角函数、30°直角三角形性质，利用辅助圆将线段转化是解题关键．
8．如图，内接于，，，点为弧上一动点，直线于点．当点从点沿弧运动到点时，点经过的路径长为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接OB，设OB的中点为M，连接ME．作OH⊥BC于H．首先判断出点E在以OB为直径的圆上运动，求出点D与C重合时∠EMB的度数，利用弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接OB，设OB的中点为M，
连接ME．作OH⊥BC于H．

∵OD⊥BE，
∴∠OEB＝90°，
∴点E在以OB为直径的圆上运动，
当点D与C重合时，
∵∠BOC＝2∠A＝120°，
∴∠BOE＝60°，
∴∠EMB＝2∠BOE＝120°，
∵BC＝12，OH⊥BC，
∴BH＝CH＝6，∠BOH＝∠COH＝60°，
∴OB＝，
∴点E的运动轨迹的长＝，
故选：A．
【点睛】本题考查轨迹、弧长公式、三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找轨迹，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．若，，则代数式的值为__________．
【答案】-12
【详解】分析：对所求代数式进行因式分解，把，，代入即可求解.
详解：，，
，
故答案为
点睛：考查代数式的求值，掌握提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键.
10．若是方程的一个实数根，则代数式的值为______．
【答案】6
【分析】根据一元二次方程解的意义将m代入求出，进而将方程两边同时除以m进而得出答案．
【详解】解：∵是方程的一个实数根，
∴，
∴，
∴，
∵


；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的应用，能理解一元二次方程的解的定义是解此题的关键．
11．已知点P的坐标为（m，），则点P到直线y＝﹣5的最小值为________．
【答案】1
【分析】点坐标到轴的距离是，再根据配方法计算最小值即可．
【详解】解：点P到直线y＝﹣5的距离：，
配方得：，
则当时有最小值1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了用配方法求二次函数的最值，非负数的性质，坐标与图形的性质；能正确得到关于的关系式是本题的关键．
12．一个无盖的长方形包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为__________cm3.

【答案】800      
【详解】设长方体底面长宽分别为x、y，高为z，
由题意得：，解得：，
所以长方体的体积为：16×10×5=800.
故答案为800.
点睛：此题考查三元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题目中的数据得出关于长宽高的三元一次方程组，再由结果求得长方体的体积.
13．如图，在平面直角坐标系中，，反比例函数，的图像分别经过点，，则的值为__________．

【答案】
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，易证△OCB∽△ADO，利用相似三角形的性质可得面积比，从而可求出k的值．
【详解】如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，

∵，的图像分别经过点，，
∴
∵
∴△OCB∽△ADO
∴
∴
∴
解得：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数问题、相似三角形的判定与性质，构造K型相似是解决本题的关键．
14．定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若是“倍角三角形”，，，则的面积为____________．
【答案】或4
【分析】分情况讨论，当是（或）2倍时，为等腰直角三角形；当或时，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】解：当时，则，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积为；
同理，当时，的面积为；
当时，
∵，
则，，
∵，
∴，，
∴的面积为；
当时，
∵，
则，，
∵，
∴，，
∴的面积为；
综上，的面积为或4；
故答案为：或4．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确理解“倍角三角形”的概念，分类讨论是解题的关键．
15．七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．小虹同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是__________．

【答案】
【分析】设大正方形的边长为2，先求出阴影区域的面积，然后根据概率公式即可解题．
【详解】解：设大正方形的边长为2，则GE=1，E到DC的距离d=
阴影区域的面积为：
大正方形的面积是：
小球最终停留在阴影区域上的概率是：．

故答案为：
【点睛】本题考查几何概率，掌握相关知识熟悉概率公式是解题关键．
16．已知抛物线（为常数，）经过点，点是x轴正半轴上的动点．点在抛物线上，当的最小值为时，b的值为_____．
【答案】4
【分析】将点A（﹣1，0）代入y＝x2﹣bx+c，求出c＝﹣b﹣1，将点Q（，yQ）代入抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1，求出Q纵坐标为，可知点Q（，）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，点N（0，1），过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，设点M（m，0），则可用含b的代数式表示m，因为AM+2QM＝，所以[（﹣）﹣（﹣1）]+2 [（b+）﹣（﹣）]＝，解方程即可．
【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），
∴1+b+c＝0，
即c＝﹣b﹣1，
∴y＝x2﹣bx﹣b﹣1，
∵点在抛物线上，
∴
，
∵，
∴，，
∴点Q（，）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，
∵AM+2QM＝2（AM+QM），点，
∴可取点N（0，1），
则AO＝ON＝1，
又∵∠AON＝90°，
∴∠OAN＝45°，
如图，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，

由∠GAM＝45°，得AM＝GM，
则此时点M满足的值取得最小值，符合题意，
过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），
在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，
∴QH＝MH，QM＝MH，
∵点M（m，0），
∴0﹣（﹣﹣）＝（b+）﹣m，
解得，m＝﹣，
∵AM+2QM＝，
∴ [（﹣）﹣（﹣1）]+2 [（b+）﹣（﹣）]＝，
∴b＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求函数关系式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程，解直角三角形等相关知识，解题关键是能够根据给定参数判断点的位置，从而构造特殊三角形来求解．

三、解答题（本大题共11小题，共82分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算：．
【答案】2
【分析】先计算特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
18．（5分）解分式方程：．
【答案】
【分析】首先按照去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤解分式方程，然后检验即可．
【详解】解：方程两边都乘，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
检验：当时，，
∴是该分式方程的解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．
19．（6分）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再整体代入求值即可．
【详解】解：





，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
20．（6分）如图，一个边长为的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点G，E，F分别在上，且．在，，五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．

(1)当时，小正方形种植花卉所需的费用；
(2)试用含有x的代数式表示五边形的面积；
(3)当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？
【答案】(1)当时，正方形的种植费用为：元．
(2)
(3)当米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元．

【分析】（1）设米，则米．先求出和的面积，再利用先正方形的面积减去和的面积，得到五边形的面积，再把代入所列代数式进行计算即可得到答案；
（2）由（1）可得答案；
（3）根据正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵大的正方形的边长为8米，米，
∴四个小正方形的边长为4米，米．
∵米，
∴
  
当时，正方形的种植费用为：



即当时，正方形的种植费用为：元．
（2）由（1）得：

（3）根据题意得：

整理得：
解得．
答：当米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元．
【点睛】本题考查的是列代数式，一元二次方程的应用，理解题意，列出正确的代数式与一元二次方程是解本题的关键．
21．（6分）甲口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值，2，5；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值，2，3．现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为x，再从乙口袋中随机取一球，记它上面的数值为y．设点A的坐标为．
(1)请用树状图或列表法表示点A的坐标的各种可能情况；
(2)求点A落在的概率．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果；
（2）由（1）可求得，在函数图象上，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：列表如下：
乙
甲        
















总共有9种等可能的结果；
（2）解：，在函数上，
∴点落在的概率．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，列出所有可能结果是解题的关键．
22．（8分）如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）OE=2．
【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．
（2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB//CD，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵∥，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，
∴，，，
∴，
在Rt△AOB中，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AEC中，，为中点，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
23．（8分）国旗是国家的象征与标志．为了解学校旗杆的高度，某校九年级部分同学进行了以下探索．
活动一：目测估计
先由100位同学分别目测旗杆的高度，并将数据整理如下：
旗杆高度
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
14.5
15.0
15.5
学生人数（人）
6
7
12
25
20
13
8
5
4

(1)目测旗杆高度的平均数是，众数是______，中位数是______；
(2)根据以上信息，请你估计旗杆的高度，并说明理由．
(3)活动二：测量计算随后，几名同学成立了学习小组，并利用卷尺和测角仪测量旗杆的高度．如图，他们在水平地面上架设了测角仪，先在点处测得旗杆顶部的仰角，然后沿旗杆方向前进到达点处，又测得旗杆顶部的仰角，已知测角仪的高度为，求旗杆的高度．
（参考数据：，，）

【答案】(1)13.0，13.25
(2)，理由见解析
(3)旗杆的高度为

【分析】（1）根据中位数与众数的定义进行求解即可；
（2）利用中位数进行决策；
（3）由题意知，，，，则，，根据，即，求的值，根据计算求解即可．
【详解】（1）解：由图表可知，众数为，
中位数为第50和51个数据的平均数，第50和第51个数据分别为，，
∴中位数为，
故答案为：13.0，13.25；
（2）解：估计旗杆高度为，理由如下：
当一组数据中个别数据变动较大，可用中位数描述其集中趋势．
（3）解：由题意知，，，，
∴，，
∵，即，
解得，
∵，
∴旗杆的高度为．
【点睛】本题考查了中位数和众数，解直角三角形的应用．解题的关键在于对知识的熟掌握与灵活运用．
24．（8分）如图，中，，为上的一点，以为直径的交于，连接交于，交于，连接，．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据圆周角定理得到，由等量代换得到，由得到，则，即可得到，即可得到结论；
（2）连接，，，再证明，则，设，则，，即可得到答案．
【详解】（1），
，
，
，
，
，
，
，
即，
∴与相切；
（2）连接，

，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
．
【点睛】此题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、切线的判定和性质是解题的关键．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=ax+b与双曲线交于A（1，3），B（3，m）两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接OA，OB．

(1)求a，b，k的值；
(2)求△OAB的面积；
(3)在x轴上是否存在点P，使△PCD的面积等于△OAB的面积的3倍，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)a=-1，b=4，k=3
(2)4
(3)存在，P（-2，0）或（10，0）

【分析】（1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）先由直线解析式求得D（0，4），C（4，0），根据△AOB的面积=△BOD的面积-△AOD的面积求得△AOB的面积；
（3）根据题意得到PC•OD=12，即=12，即可求得PC的长，从而求得P的坐标．
【详解】（1）将点A（1，3）代入y=得：3=，
解得k=3，
故反比例函数的表达式为：y=，
将点B（3，m）代入y=得：m=1，
故点B（3，1），
将点A（1，3），B（3，1）代入y=ax+b，得，
解得；
故a=-1，b=4，k=3；
（2）由一次函数y=-x+4可知，D（0，4），C（4，0），
则△AOB的面积=△BOD的面积-△AOD的面积=-=4；
（3）∵△PCD的面积等于△OAB的面积的3倍．
∴PC•OD=12，即=12，
∴PC=6，
∴P（-2，0）或（10，0）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．
26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或（3，4）
(3)存在，

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解；
（3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据，根据二次函数的性质即可求的最大值．
【详解】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以抛物线的解析式为．
（2）设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以直线AB的解析式为．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．

所以


．
因为A（4，0），B（1，4），所以．
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以，．
设，则．
所以，
即，
解得，．
所以点P的坐标为或（3，4）．
（3）


记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点

，




，
设
直线AB的解析式为．
设，则




整理得






时，取得最大值，最大值为
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键．
27．（10分）已知矩形ABCD中，AB=5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP=.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动(不包含点C).设动点M的运动时间为t(s)，的面积为S(cm²)，S与t的函数关系如图②所示：
(1)直接写出动点M的运动速度为 ，BC的长度为 ;
(2)如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动，设动点N的运动速度为.已知两动点M、N经过时间在线段BC上相遇(不包含点C)，动点M、N相遇后立即停止运动，记此时的面积为.
①求动点N运动速度的取值范围;
②试探究是否存在最大值.若存在，求出的最大值并确定运动速度时间的值；若不存在，请说明理由.
     
【答案】(1)2，10；(2)①；②当时，取最大值.
【分析】（1）由题意可知图像中0~2.5s时，M在AB上运动，求出速度，2.5~7.5s时，M在BC上运动，求出BC长度；（2）①分别求出在C点相遇和在B点相遇时的速度，取中间速度，注意C点相遇时的速度不能取等于；②过M点做MH⊥AC，则
得到S1，同时利用=15，得到S2，再得到关于x的二次函数，利用二次函数性质求得最大值
【详解】(1)5÷2.5=2；（7.5-2.5）×2=10
(2)①解：在C点相遇得到方程
在B点相遇得到方程
           ∴
         解得
∵在边BC上相遇，且不包含C点
∴
②如下图
              
              =15

过M点做MH⊥AC，则
∴
∴

     =
     =
因为，所以当时，取最大值.
【点睛】本题重点考查动点问题，二次函数的应用，求不规则图形的面积等知识点，第一问关键能够从图像中得到信息，第二问第一小问关键在理清楚运动过程，第二小问关键在能够用x表示出S1和S2