必刷卷03——2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（黄冈、孝感、咸宁三市专用）

这是一份必刷卷03——2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（黄冈、孝感、咸宁三市专用），文件包含必刷卷032023年中考数学考前30天冲刺必刷卷黄冈孝感咸宁三市专用解析版docx、必刷卷032023年中考数学考前30天冲刺必刷卷黄冈孝感咸宁三市专用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
绝密★启用前
2023年中考数学考前信息必刷卷03
数 学（黄冈、孝感、咸宁三市专用）

在继续推进教育评价机制改革和国家出台双减政策的大背景下，黄冈、孝感、咸宁三市在2023年中考中继续三市联合命题。黄冈、孝感、咸宁三市中考数学试题以《数学课程标准》为指导，命题回归教材，立足基础知识，注重数学知识通性通法的重点考查。全卷共三大题，共计24小题，其中选择题8题共计24分，填空题8题共计24分，解答题8题共计72分，题量和题型分布大致相同，中考命题更加注重考查学生在具体情景中综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。部分试题所考查的知识点有所变化，在知识结构方面，考查的内容要关注科学性、全面性和适用性，要关注对探究性问题的考查。从考查内容上，填空第8题考查多结论问题，原填空的第13题考查概率的计算，现调整到第19题统计与概率的综合题；第15题是规律探究题，第16题可能是几何最值问题，原第20题考查圆的题与第21题的反比例函数换了位置，估计圆的考查难道有所降低；第23题的几何中的类比探究题，题型以能力立意，突出“发展性”，侧重数学思想方法、数学基本活动经验的考查，试题有一定的难度；压轴题第24题，具有很强的选拔功能，考查学生运用综合知识的能力。整个试题立足于教材资源，尽可能在教材例题、习题的基础上通过类比、延伸或扩展改编而成，旨在引导教师潜心研究教材、用好教材，切实减轻学生的课业负担。

通过对四月调考试卷的分析以及教学研究成果，本卷预测：第7题尺规作图中的计算，第8题是二次函数多结论题，第15题是有关代数的规律探究题；第16题的题是有关一次函数最值问题的，这两题的难度系数较高，区分度难，能很好考查考生的综合能力；第20题预测是圆的证明和计算，难道适中，第21题将会重点考查反比例函数的图象与性质，预测会考查与面积有关的问题，难度中等；第22题二次函数应用题是预测的是分段函数，主要会考查销售利润方面的问题；本次试卷的第23题考查相似形综合题，此题考查相似形的综合应用，掌握直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键．第24题是二次函数综合问题，对运算能力和分析能力要求比较高。另外，在平时学习中要特别关注基础性、综合性（选填以及解答的压轴题）、应用型和创新性，同时掌握整体思想、数形结合、特殊值等数学思想，这些思想会蕴含于每道试题之中。


注意事项：
1.本试卷分试题卷和答题卡：全卷24小题，满分120分；考试时间120分钟.
2.考生答题前，请将自己的学校、姓名、准考证号请填写在试题卷和答题卡指定位置上，同时认真阅
读答题卡上的注意事项.
3. 考生答题时，请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷上无效.
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑）
1．-13的绝对值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．13 D．-13
【答案】C
【分析】正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，由此即可得到答案．
【解答】解：-13的绝对值是13，
故选：C．
【点评】本题考查绝对值的概念，关键是掌握绝对值的意义．
2．2023年春节期贺岁片《满江红》火爆出圈，据电影统计消息，截止2月2日10：00，上映仅14天，电影票房便已突破35.8亿元，将数据35.8亿用科学记数法可表示为（　　）
A．35.8×108 B．0.358×1010 C．3.58×109 D．3.58×1010
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．
【解答】解：35.8亿＝3580000000＝3.58×109．
故选：C．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3．如图，已知∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝60°，则∠4等于（　　）

A．60° B．50° C．120° D．110°
【答案】C
【分析】由题意可得∠1＝∠2，从而有AB∥CD，则有∠3＝∠5，再利用补角的定义进行运算即可．
【解答】解：如图，

∵∠1＝50°，∠2＝50°，
∴∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴∠5＝∠3＝60°，
∵∠4+∠5＝180°，
∴∠4＝180°﹣∠5＝120°．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
4．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，据此可得答案．
【解答】解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
5．若点A（a，3）与点B（﹣2，b）关于y轴对称，则点M（a，b）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b的值，即可得到结论．
【解答】解：∵点A（a，3）、点B（﹣2，b）关于y轴对称，
∴a＝2，b＝3，
解得：a＝2，b＝3，
∴点M（a，b）在第一象限，
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标以及各点所在象限的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
6．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠BOD＝82°，则∠ABC的度数为（　　）

A．41° B．52° C．68° D．82°
【答案】A
【分析】先根据圆周角定理求出∠C的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠BOD＝82°，
∴∠C=12∠BOD=12×82°＝41°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠C＝41°．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理和平行线的性质，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．

7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若AC＝12，则在△ABD中AB边上的高为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】作DE⊥AB于E，利用BD是角平分线以及直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半即可求解．
【解答】解：作DE⊥AB于E．如图：
由作图可知，BD是△ABC的角平分线，
∴DE＝CD，
∵∠A＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2DE，
∵AC＝12，
∴AD+DC＝2DE+DE＝12，
∴DE＝4．
故选：B．

【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形，以及30°角的直角三角形三边的关系，解答本题的关键在于利用其性质进行解答．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＜0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝4，其中正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＞0，-b2a＞0，
∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；
②∵对称轴是直线x＝1，与x轴交点在（3，0）左边，∴二次函数与x轴的另一个交点在（﹣1，0）与（0，0）之间，∴a﹣b+c＜0，故②正确；
③∵-b2a=1，∴b＝﹣2a
由②得a﹣b+c＜0，∴3a+c＜0，故③正确；
④∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1-ax22-bx2=0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，∵x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，∵x1+x2=-ba，b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，故④错误；
故正确的有3个，
故选：C．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及掌握二次函数与方程之间的转换是解题关键．

二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，请把答案填在答题卡相应题号的横线上）
9．化简：m2m-1-1m-1=　 　．
【答案】m+1．
【分析】按同分母分式加减法法则计算即可．
【解答】解：m2m-1-1m-1
=m2-1m-1
=(m+1)(m-1)m-1
＝m+1．
故答案为：m+1．
【点评】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．
10．若代数式1x-3有意义，则实数x的取值范围为 　 ．
【答案】x＞3．
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．
【解答】解：∵代数式1x-3有意义，
∴x﹣3＞0，
解得x＞3．
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
11．如图是某校举办数学竞赛参赛同学的决赛成绩，则该决赛成绩的中位数
为 　分．

【答案】98．
【分析】根据中位数的概念求解．
【解答】解：2+7+5+3＝17（人），
17个参赛学生成绩的中位数为第9个，
∴所有参赛学生成绩的中位数落在98分这个组内，
中位数是98分，
故答案为：98．
【点评】本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
12．设x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两个实数根，则1x1+1x2的值为 　 　．
【答案】54．
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系确定出x1与x2的两根之积与两根之和的值，再代入变形后的代数式即可解答．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝5，x1•x2＝4，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=54．
故答案为：54．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-ba，x1•x2=ca．
13．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点C为OA的中点，过点C作CD∥OB，交弧AB于点D，沿CD将扇形AOB上半部分折叠，则阴影部分的面积为 　 　．

【答案】3-π3．
【分析】连接OD，先求出CD=3，∠AOD＝60°，则图形ACD的面积为60π×22360-12×1×3=2π3-32，即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接OD，

∵∠AOB＝90°，CD∥OB，
∴∠OCD＝90°，
∵OA＝2，点C为OA的中点，
∴OC＝1，OD＝2，
∴CD=3，∠AOD＝60°，
∴图形ACD的面积为60π×22360-12×1×3=2π3-32，
∴阴影部分的面积为90π×22360-2（2π3-32）=3-π3．
故答案为：3-π3．
【点评】本题考查扇形的面积公式，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分割法求阴影部分面积．
14．如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8°和10°，该大灯照亮地面的宽度BC的长为1.4米，则该大灯距地面的高度约为 　 　．（参考数据：sin8°≈425，tan8°≈17，sin10°≈950，tan10°≈528）．

【答案】1米．
【分析】过点A作AD⊥MN，垂足为D，设DC＝x米，则DB＝（x+1.4）米，然后在Rt△ADC中，利用锐角函数的定义求出AD的长，再在Rt△ADB中，利用锐角函数的定义求出AD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AD⊥MN，垂足为D，

设DC＝x米，
∵BC＝1.4米，
∴DB＝DC+BC＝（x+1.4）米，
在Rt△ADC中，∠ACD＝10°，
∴AD＝CD•tan10°≈528x（米），
在Rt△ADB中，∠ABD＝8°，
∴AD＝BD•tan8°≈17（x+1.4）米，
∴528x=17（x+1.4），
∴x＝5.6，
∴AD=528x＝1（米），
∴该大灯距地面的高度约为1米．
故答案为：1米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．已知50个数：a1，a2，……，a50，从﹣1，0，1中取值，若a1+a2+……+a50＝9，（a1+1）2+（a2+1）2+……+（a50+1）2＝107，则a1，a2，……a50中0的个数是 　 　．
【答案】11．
【分析】将已知的等式展开整理得a 12+a 22+...+a 502=39，故此50个数中有I1个数为0，其余的39个数分别为l和﹣l，从而得出结论．
【解答】解：∵a1+a2+……+a50＝9，且（a1+1）2+（a2+1）2+……+（a50+1）2＝107，
∴a 12+2a1+1+a 22+2a2+1+...+a 502+2a50+1＝107，
∴（a 12+a 22+...+a 502）+2（a1+a2+...+a50）+50×1＝107，
∴a 12+a 22+...+a 502=39，
∴50个数中有11个0，其余39个数是1和﹣1，
故答案为：11．
【点评】本题考查数字变化类，关键是用完全平方公式把（a1+1）2+（a2+1）2+……+（a50+1）2分解．

16．如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接 AC，BD，则AC+BD的最小值为 　 　．

【答案】210．
【分析】将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．再作点A关于x轴的对称点A'，则A'（0，﹣2），进而得出AC+BD的最小值为A'E，即可求解答案．
【解答】解：如图，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．

则E（﹣2，4），A′（0，﹣2），AC+BD＝CA′+CE≥EA′，
EA′=22+62=210，
∴AC+BD的最小值为210．
故答案为：210．
【点评】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，将AC+BD的最小值转化为A'E是解本题的关键．

三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分，请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置）
17．（6分）先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=-5．
【答案】x2﹣5，0．
【分析】利用平方差公式、单项式乘多项式及完全平方公式去括号，再合并同类项化简后，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝4x2﹣9﹣4x2+4x+x2﹣4x+4
＝x2﹣5，
当x=-5时，
原式＝（-5）2﹣5
＝5﹣5
＝0．
【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．

18．（8分）某电器经营业主两次购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，第一次购进8台空调和20台电风扇；第二次购进10台空调和30台电风扇．
（1）若第一次用资金25600元，第二次用资金32800元，求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？
（2）在（1）的条件下，若该业主计划再购进这两种电器50台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，问该经营业主最多可再购进空调多少台？
【答案】（1）2800元，160元；
（2）8台．
【分析】（1）设挂式空调每台的采购价是x元，电风扇每台的采购价是y元，根据采购价格＝单价×数量，可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设再购进空调a台，则购进风扇（50﹣a）台，根据采购价格＝单价×数量，可列出关于a的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：（1）设挂式空调每台的采购价是x元，电风扇每台的采购价是y元，
根据题意得8x+20y=2560010x+30y=32800，
解得x=2800y=160．
答：挂式空调每台的采购价是2800元，电风扇每台的采购价是160元；
（2）设再购进空调a台，则购进风扇（50﹣a）台，
由已知，得2800a+160（50﹣a）≤30000，
解得：a≤813，
故该经营业主最多可再购进空调8台．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）列出关于x、y的二元一次方程组；（2）列出关于a的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组或不等式）是关键．

19．（8分）据网站调查，2022年网民们关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类，根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如图：

（1）求出共调查了多少人，并补全条形统计图；
（2）若某市约有880万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？
（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四大中随机抽取两人进行座谈，试用列表法或树形图的方法抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
【答案】（1）共调查了1400人，补全统计图见解析；
（2）88万人；
（3）16．
【分析】（1）结合扇形图和直方图的数据求出总人数和关注教育的人数；
（2）样本中最关注环保问题的人数百分比和880万人口中最关注环保问题的人数百分比相同，直接计算即可；
（3）先画出树状图，然后直接求解即可．
【解答】解：（1）调查的总人数是：420÷30%＝1400（人），
关注教育的人数是：1400×25%＝350（人）．

答：共调查了1400人．
（2）880×10%＝88（万人），
答：最关注环保问题的人数约为88万人．
（3）画树形图得：

∴一共有12种等可能的情况，其中抽取两人恰好是甲和乙的情况数有2种，
∴P（抽取的两人恰好是甲和乙）=212=16．
【点评】本题考查统计图表，解题关键是先求出总人数，再求出每个部分的人数，按题意求出对应数据即可．
20．（8分）如图，△BCE是⊙O的内接三角形，过点C作CD⊥BC，交⊙O于另一点D，延长BE，CD交于点A，过点D作⊙O的切线交AE于点F，连接ED．
（1）求证：∠DFE＝∠ECB；
（2）若∠A＝30°，AD＝CD，BC＝4，求BE的长及⊙O的半径长．

【答案】（1）见解答；
（2）7．
【分析】（1）连接BD，如图，先根据圆周角定理得到BD是⊙O的直径，∠BED＝90°，再根据切线的性质得到∠BDF＝90°，然后根据等角的余角相等得到∠DFE＝∠ECB；
（2）先在Rt△ABC中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到AB＝8，AC＝43，则AD＝CD＝23，再在Rt△ADE中计算出DE=3，AE＝3，所以BE＝5．然后利用勾股定理计算出BD，从而得到⊙O的半径长．
【解答】（1）证明：连接BD，如图，
∵CD⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵DF是⊙O的切线，
∴BD⊥DF，
∴∠BDF＝90°，
即∠FDE+∠EDB＝90°，
∵∠EDB＝∠BCE，
∴∠FDE+∠BCE＝90°，
∵BD为直径，
∴∠BED＝90°，
∴∠FDE+∠DFE＝90°，
∴∠DFE＝∠ECB；
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8，AC=3BC＝43，
∴AD＝CD＝23，
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，
∴DE=12AD=3，
∴AE=3DE=3×3=3，
∴BE＝AB﹣AE＝5．
在Rt△BDE中，BD=BE2+DE2=52+(3)2=27，
∴⊙O的半径长为7．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．

21．（8分）如图，直线y1＝﹣x+4，y2=34x+b都与双曲线y=kx交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）直接写出当x＞0时，不等式-x+4＞kx的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．

【答案】（1）y与x之间的函数关系式为：y=3x；
（2）1＜x＜3；
（3）P（-54，0）或（94，0）．
【分析】（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=kx，可得y与x之间的函数关系式；
（2）求得直线y1＝﹣x+4与双曲线y=kx的交点，可得当x＞0时，不等式-x+4＞kx的解集为1＜x＜3；
（3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=14BC=74，或BP=14BC=74，即可得到OP＝3-74=54，或OP＝4-74=94，进而得出点P的坐标．
【解答】解：（1）把A（1，m）代入y1＝﹣x+4，可得m＝﹣1+4＝3，
∴A（1，3），
把A（1，3）代入双曲线y=kx，可得k＝1×3＝3，
∴y与x之间的函数关系式为：y=3x；
（2）解y=3xy=-x+4得x=1y=3或x=3y=1，
∴直线y1＝﹣x+4与双曲线y=kx交于点A（1，3）和（3，1），
由图象可知，当x＞0时，不等式-x+4＞kx的解集为：1＜x＜3；
（3）y1＝﹣x+4，令y＝0，则x＝4，
∴点B的坐标为（4，0），
把A（1，3）代入y2=34x+b，可得3=34+b，
∴b=94，
∴y2=34x+94，
令y＝0，则x＝﹣3，即C（﹣3，0），
∴BC＝7，
∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，
∴CP=14BC=74，或BP=14BC=74，
∴OP＝3-74=54，或OP＝4-74=94，
∴P（-54，0）或（94，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

22．（10分）小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为15元，该款“中国结”的批发单价y（元）与一次性批发量x（x为正整数）（件）之间满足如图所示的函数关系．
（1）当200≤x≤400时，求y与x的函数关系式．
（2）某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付7280元，求此次批发量．
（3）某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”x（200≤x≤600）件，小黄获得的利润为w元，当x为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少元？


【答案】（1）当200≤x≤400时y与x的函数关系式为y=-120x+40；
（2）此次批发量为280件；
（3）当x＝250时，小黄获得的利润最大，最大利润是3125元．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）首先判断出购买的数量大于200小于400，则由数量×单价＝付款项，列出关于x的一元二次方程，解方程即可；
（3）分200≤x≤400和400＜x≤600两种情况分别计算所获的最大利润，再比较即可．
【解答】解：（1）设当200≤x≤400时y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把（200，30）和（400，20）代入解析式得：200k+b=30400k+b=20，
解得k=-120b=40，
∴当200≤x≤400时y与x的函数关系式为y=-120x+40；
（2）由图可知，当x＝200时，所付款为30×200＝6000（元），
当x＝400时，所付款为20×400＝8000（元），
∵6000＜7280＜8000，
∴购买数量位于200与400之间，
∴（-120x+40）x＝7280，
解得x1＝280，x2＝520（舍去），
答：此次批发量为280件；
（3）当200≤x≤400时，
w＝（-120x+40﹣15）x=-120x2+25x=-120（x﹣250）2+3125，
∵-120＜0，
∴当x＝250时，w有最大值，最大值为3125；
当400＜x≤600时，批发量固定，批发量越大，则利润越大，
∴当x＝600时，利润最大，最大值为600×（20﹣15）＝3000（元），
∵3000＜3125，
∴当x＝250时，小黄获得的利润最大，最大利润是3125元．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元二次方程，二次函数的应用等知识，正确理解题意，准确列出方程或函数关系是接替关键．

23．（11分）问题背景如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，ADBD=3，求DFCF的值；
拓展创新如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AD=5，AC=23，直接写出AB的长．

【答案】问题背景：见解答；
尝试应用：3；
拓展创新：4．
【分析】问题背景
由题意得出ABAD=ACAE，∠BAC＝∠DAE，则∠BAD＝∠CAE，可证得结论；
尝试应用
连接EC，证明△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，由相似三角形的性质得出AEEC=ADBD=3，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，可证明△ADF∽△ECF，得出DFCF=ADCE=3，则可求出答案；
拓展创新
过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，证明△BDC∽△MDA，由相似三角形的性质得出BDMD=DCDA，证明△BDM∽△CDA，得出BMCA=DMAD=3，求出BM＝6，由勾股定理求出AM，最后由直角三角形的性质可求出AD的长．
【解答】问题背景
证明：∵△ABC∽△ADE，
∴ABAD=ACAE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，ABAC=ADAE，
∴△ABD∽△ACE；
尝试应用
解：如图1，连接EC，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴△ABC∽△ADE，
由（1）知△ABD∽△ACE，
∴AECE=ADBD=3，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴ADAE=3，
∴ADEC=ADAE×AECE=3×3=3，
∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴DFCF=ADCE=3；
拓展创新
解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，

∵∠BAD＝30°，
∴∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝30°，
∴∠AMD＝∠DBC，AM＝2AD＝25，
∴DM=AM2-AD2=15，
∵∠ADM＝∠BDC＝90°，
∴△BDC∽△MDA，
∴BDMD=DCDA，
又∠BDC＝∠MDA，
∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，
即∠BDM＝∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，
∴BMCA=DMDA=3，
∵AC＝23，
∴BM＝23×3=6，
在Rt△ABM中，AB=BM2-AM2=4．
【点评】此题考查相似形的综合应用，掌握直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键．

24．（13分）如图，抛物线 y＝ax2+2x+c 与x轴交于点A（﹣2，0）、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，6），直线l经过B、C两点．
（1）求B点坐标及直线l的解析式；
（2）点D是直线l上方抛物线上一点，S△CBDS△BOD=57，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PAB＝2∠DAB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）点B（6，0），直线l的表达式为：y＝﹣x+6；
（2）点D（5，72）；
（3）存在，点P的坐标为：（103，649）或（263，-1289）．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由S△CBD＝S四边形OBDC﹣S△OBC，S△OBD=12×OB•y＝3y，即可求解；
（3）由S△ADE=12×DE×（xD﹣xA）=12×AE×DH，得到DH=145，求出sin∠DAE=DHAE=145752=45，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得：4a-4+c=0c=6，
解得：a=-12c=6，
即抛物线的表达式为：y=-12x2+2x+6①，
令y=-12x2+2x+6＝0，则x＝﹣2或6，即点B（6，0），
由点B、C的坐标得，直线l的表达式为：y＝﹣x+6；
（2）设点D的坐标为：（x，y），
则S△CBD＝S四边形OBDC﹣S△OBC=12×OA•y+12×OC•x-12×CO×OB
=12×6x+12×6y-12×6×6=3x+3y﹣18；
而S△OBD=12×OB•y＝3y，
∵S△CBDS△BOD=57，
即3（3x+3y﹣18）＝15y②，
联立①②并解得：x=5y=72（不合题意的值已舍去），
即点D（5，72）；
（3）存在，理由：
作点D关于x轴的对称点E，则∠DAE＝2∠DAB，

由点A、D的坐标得，AD=752，
连接AE，过点D作DH⊥AE于点H，则AE＝AD，
则S△ADE=12×DE×（xD﹣xA）=12×AE×DH，
即72×2=752×DH，
解得：DH=145，
则sin∠DAE=DHAE=145752=45，
则tan∠DAE=43=tan∠PAB，
当点P在x轴上方时，
则AP的表达式为：y=43（x+2）③，
联立①③得：-12x2+2x+6=43（x+2），
解得：x=103（不合题意的值已舍去），
即点P（103，649）；
当点P在x轴的下方时，
则AP的表达式为：y=-43（x+2）③，
联立①③得：-12x2+2x+6=-43（x+2），
解得：x=263（不合题意的值已舍去），
即点P（263，-1289）；
即点P的坐标为：（103，649）或（263，-1289）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，解直角三角形等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．