2023年中考数学押题卷02（长沙卷）（含考试版、全解全析、参考答案、答题卡）

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2023年中考押题预测卷02【长沙卷】
数学·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．(本题3分)下列为负数的是（    ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】分别化简需要化简的数，再作出判断即可．
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
0既不是正数，也不是负数，故C不符合题意；
，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查的是正数，负数，零的含义，化简绝对值，乘方运算，求解算术平方根，熟记基础概念是解本题的关键．
2．(本题3分)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
3．(本题3分)2023年3月18日．由今日农业杂志社在大原市主办的“今日农业．开春论坛”活动中．山西霍州霍山年馍食品有限公司总经理李巍巍荣获“2023年今日农业十大新闻人物”荣誉称号．短短几年时间，在市委市政府全方位的支持下，霍山年馍食品有限公司已由一个小企业变成了当地的龙头企业，方面带动了霍州经济发展，另一方面解决了农民就业问题，真正让小馍馍变成了致富馍2022年销售额突破了1800万元，数据1800万用科学记数法表示为（    ）
A．0.18×108 B．1.8×108 C．1800×104 D．1.8×107
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：1800万，
故选D．
【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数绝对值大于10时，n等于原数的整数数位个数减1，当原数绝对值小于1时， n等于原数的第一个不为0的数字前的0的个数的相反数．
4．(本题3分)下列运算中，计算正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据完全平方、同底数幂的乘除、幂的乘方、单项式乘法对四个选项逐一判断即可．
【详解】A、，故A错，不符题意；
B、，故B错，不符题意；
C、，故C正确，符合题意；
D、，故C错误，不符题意．
故选：C．
【点睛】本题考查完全平方、同底数幂的乘除、幂的乘方、单项式乘法，掌握这些是本题关键．
5．(本题3分)某校为增强学生的爱国意识，特开展中国传统文化知识竞赛，九年级共30人参加竞赛，得分情况如下表所示，则这些成绩的中位数和众数分别是（    ）
成绩/分
90
92
94
96
100
人数/人
2
4
9
10
5

A．94分，96分 B．95分，96分 C．96分，96分 D．96分，100分
【答案】B
【分析】根据中位数的定义和众数的定义分别求解即可．
【详解】解：由统计表得共有30个数据，第15、16个数据分别是94，96，
∴中位数是；
由统计表得数据96出现的次数最多，
∴众数为96．
故选：B．
【点睛】本题考查了求一组数据的中位数和众数．中位数是将一组数据由小到大（由大到小）排序后，位于中间位置的数据，当有偶数个数据时，取中间两数的平均数；众数是一组数据出现次数最多的数．
6．(本题3分)如图，直线，若，，则的度数为（   ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形的内角和定理解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
7．(本题3分)如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为（    ）

A． B．4 C．8 D．
【答案】B
【分析】由菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，可计算出的长度，再根据直角三角形的性质可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案．
【详解】解：四边形是菱形，
，
，
，
在中，点是的中点，
．
故选B．
【点睛】本题主要考查了菱形及直角三角形的性质，合理应用性质进行计算是解决本题的关键．
8．(本题3分)我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法；粟率五十；粝米三十、今有米在十斗桶中，不知其数． 满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗稻谷能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满稻谷，再舂成米，共得米7斗、问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加稻谷y斗，那么可列方程组为（  ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据原来的米+向桶中加的谷子=10，原来的米+桶中的谷子舂成米=7即可得出答案．
【详解】解：由题意可得，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找到等量关系：原来的米+向桶中加的谷子=10，原来的米+桶中的谷子舂成米=7是解题的关键．
9．(本题3分)如图，是的内接三角形，是的直径，，的平分线交于点D，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据是的直径得到，结合角平分线得到，根据及圆周角定理得到，最后结合三角形内角和定理即可得到答案；
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查直径所对圆周角是直角，同弧所对圆周角相等，三角形内角和定理，角平分线有关计算，解题的关键得到，．
10．(本题3分)如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于x的一元二次方程的一个根．其中正确的有（    ）个．

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可得a、b、c的取值范围，由此可判断①；根据结合抛物线对称性对②进行判断；当时，函数有最小值可判断③；由可得B的坐标，代入解析式由点B坐标结合对称轴可得点A坐标，据此可判断④．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴下方，
∴，
∴，所以①正确；
根据对称性可知，当和时函数值相等，且为负值，
即，所以②错误；
当时，有最小值，
当时，函数值，
∵
∴，
即，所以③正确；
∵点，
，
又∵对称轴为直线，
∴，
∴是关于x的一元二次方程的一个根，所以④正确；
综上正确的有3个，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合的思想．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．(本题3分)因式分解：______．
【答案】
【分析】先提取公因数2，再根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：

，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
12．(本题3分)在平面直角坐标系中，点在第___________象限，关于原点对称点坐标是___________．
【答案】 三
【分析】根据各象限内点的特点和关于原点对称点坐标的特征进行解答即可．
【详解】解：点在第三象限，关于原点对称点坐标是，
故答案为：三，
【点睛】此题考查了各象限内点的特点和关于原点对称点坐标的特征，熟练掌握相关知识是解题的关键．
13．(本题3分)关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．
【答案】
【分析】一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元一次方程的知识，理解并正确运用一元二次方程的根的判别式是解题关键．
14．(本题3分)如图，四边形是矩形纸片，将沿折叠，得到，交于点，，，则______．

【答案】
【分析】根据矩形的性质得到，，求得，根据折叠得到，即可得到，设，则，求得，根据勾股定理列方程即可得到结论；
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
∵，，
设，则，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．
15．(本题3分)如图，已知是的弦，，，垂足为，交于点，若为上一点，连接、，则的度数是____________．

【答案】/35度
【分析】根据垂径定理得出，进而求出，再根据圆周角定理可得．
【详解】解：，为半径，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．
16．(本题3分)小周同学在学习了折叠专题后，决定对扇形的折叠进行研究，首先他剪出一张扇形纸片，按如图1所示方法进行折叠，，为扇形半径，，为折痕，则______；然后小周又剪出了一个扇形进行不同的尝试，按如图2所示方法进行折叠后，恰好与相切于点F，，为折痕，则______．

【答案】
【分析】根据折叠的性质可知，，然后根据勾股定理及三角函数可进行求解；过点F作，交延长线于一点M，连接，，设，，由（1）易得，然后可得，则由勾股定理可得，进而问题可求解
【详解】解：由折叠的性质可知，，设，
∴，
∴在中，，
∴；
过点F作，交延长线于一点M，连接，，如图所示：

设，，
同理可得，
∵恰好与相切于点F，
∴点M即为所在圆的圆心，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴；
故答案为，
【点睛】本题主要考查折叠的性质、切线的性质、圆的基本性质、勾股定理及三角函数，熟练掌握折叠的性质、切线的性质、圆的基本性质、勾股定理及三角函数是解题的关键

三．解答题（共9小题，满分72分）
17．(本题6分)计算．
【答案】1
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
解：原式=
=
=；
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，实数的运算，锐角三角形函数，零指数幂，绝对值及二次根式的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．(本题6分)先化简，再求值：，其中．
【答案】，4
【分析】把除化为乘，再算同分母的分式相加，化简后求出x的值，代入即可．
【详解】解：




，
当时，原式=4
【点睛】本题考查分式的化简求值，负整数指数幂，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．

19．(本题6分)如图，点C，F在BE上，，，．
求证：．

【答案】证明见解析
【分析】利用得出，再利用SAS证明，根据全等三角形的对应角相等，即可得出．
【详解】证明：∵，
∴，
又∵，，
∴
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解答本题的关键．
20．(本题8分)家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康，某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭进行一次简单随机抽样调查.
(1)下列选取样本的方法最合理的一种是 　 　．（只需填上正确答案的序号）
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；
②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；
③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
(2)本次抽样调查发现，接受调查的家庭都有过期药品．现将有关数据呈现如图：

①m＝　 　，n＝　 　；
②补全条形统计图；
③根据调查数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是什么？
④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
【答案】(1)③；
(2)①20，6；②见解析；③B类；④18万户

【分析】（1）根据抽样调查时选取的样本需具有代表性即可求解；
（2）①首先根据A类有80户，占8%，求出抽样调查的家庭总户数，再用D类户数除以总户数求出m,用E类户数除以总户数求出n；
②用总户数分别减去A、B、D、E、F类户数，得到C类户数，即可补全条形统计图；
③根据调查数据，即可知道该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是B类；
④用180万户乘以样本中送回收点的户数所占百分比即可．
【详解】（1）根据抽样调查时选取的样本需具有代表性，可知下列选取样本的方法最合理的一种是③．
故答案为：③；
（2）①抽样调查的家庭总户数为：80÷8%=1000（户），
，
．
故答案为20，6；
②C类户数为：1000-（80+510+200+60+50）=100，
条形统计图补充如下：

③根据调查数据，即可知道该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是B类；
④180×10%=18（万户）．
若该市有180万户家庭，估计大约有18万户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体以及抽样调查的可靠性．
21．(本题8分)如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．

(1)求证：∠ACB＝∠DFE；
(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．
【答案】(1)见解析
(2)四边形BFEC是平行四边形

【分析】（1）证△ABC≌△DEF（SSS），再由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由（1）可知，∠ACB=∠DFE，则BC∥EF，再由平行四边形的判定即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵AF=CD，
∴AF ＋ CF = CD ＋ CF，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，

△ABC≌△DEF（SSS）

（2）如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：
由（1）可知，∠ACB=∠DFE，
∴BC EF，
又∶ BC = EF，
四边形BFEC是平行四边形．

【点睛】本题考查了平行网边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
22．(本题9分)为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；
(2)水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．

【分析】（1）设乙种水果的进价是x元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答案；
（2）设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，根据利润＝（售价－进价）×数量列出y关于a的一次函数解析式，求出a的取值范围，然后利用一次函数的性质解答．
【详解】（1）解：设乙种水果的进价是x元/千克，
由题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
则，
答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；
（2）解：设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，
由题意得：，
∵－1＜0，
∴y随a的增大而减小，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴，
解得：，
∴当时，y取最大值，此时，，
答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键．
23．(本题9分)如图，如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上．

(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)直线AD与圆O相切，理由见解析
(2)

【分析】（1）连接OA，根据和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，从而得到∠BAD=120°，再由OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，从而得到∠OAD=90°，即可求解；
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，根据垂径定理可得，进而得到，再根据阴影部分的面积为，即可求解．
【详解】（1）解：直线AD与圆O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵，
∴∠D=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵，
∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，
∴∠BAD=120°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与园O相切，

（2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴，
∴，
∴，
∴扇形BOC的面积为，
∵，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，求扇形面积，垂径定理，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影部分的面积为是解题的关键．
24．(本题10分)一个玻璃球体近似半圆为直径，半圆上点处有个吊灯的中点为
　 　
(1)如图①，为一条拉线，在上，求的长度．
(2)如图②，一个玻璃镜与圆相切，为切点，为上一点，为入射光线，为反射光线，求的长度．
(3)如图③，是线段上的动点，为入射光线，为反射光线交圆于点在从运动到的过程中，求点的运动路径长．
【答案】(1)2
(2)
(3)

【分析】（1）由，可得出为的中位线，可得出D为中点，即可得出的长度；
（2）过N点作，交于点D，可得出为等腰直角三角形，根据,可得出，设，则，根据，即可求得，再根据勾股定理即可得出答案；
（3）依题意得出点N路径长为：，推导得出，即可计算给出，即可得出答案．
【详解】（1）∵
∴为的中位线
∴D为的中点
∵
∴
（2）过N点作，交于点D，

∵，
∴为等腰直角三角形，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴在中，；
（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合． 当点M运动至点A时，点N运动至点T，故点N路径长为：．

∵．
∴．
∴．
∴，
∴，
∴N点的运动路径长为： ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质，弧长公式、勾股定理、中位线，利用锐角三角函数值解三角函数，掌握以上知识，并能灵活运用是解题的关键．
25．(本题10分)在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣＋（m﹣1）x＋2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．

(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
(2)如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，A（﹣2，0）；C（0，4）
(2)存在点M使AM＋OM最小， M（，）
(3)存在， P（2，4）

【分析】（1）将B（4，0）代入，求出函数解析式即可求解；
（2）作O点关于BC的对称点，连接A交BC 于点M，连接B，当A、M、三点共线时，AM＋OM有最小值，分别求出直线A的解析式和直线BC的解析式，两直线的交点即为M点；
（3）连接PB，过P点作PGy轴交CB于点G， 设，则G（t，－t＋4），由求出，再由PFCD，可得 则 当t＝2时，有最大值，同时可求P的坐标．
【详解】（1）将B（4，0）代入y＝﹣＋（m﹣1）x＋2m，
∴﹣8＋4（m﹣1）＋2m＝0，
解得m＝2，
∴y＝﹣＋x＋4，
令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，则﹣＋x＋4＝0，
解得x＝4或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）；
（2）
存在点M使AM＋OM最小，理由如下：
作O点关于BC的对称点，连接A交BC于点M，连接B，
由对称性可知，OM＝M，
∴AM＋OM＝AM＋MA，
当A、M、三点共线时，AM＋OM有最小值，
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
由对称性可知∠BM＝45°，
∴B⊥BO，
∴（4，4），
设直线A的解析式为y＝kx＋b，
∴，
解得，
∴y＝x＋，
设直线BC的解析式为，
∴4＋4＝0，
∴＝﹣1，
∴y＝﹣x＋4，
联立方程组，
解得，
∴M（）；
（3）
在点P，使得最大，理由如下：
连接PB，过P点作PGy轴交CB于点G，
设P（t，﹣＋t＋4），则G（t，﹣t＋4），
∴PG＝﹣＋2t，
∵OB＝OC＝4，
∴BC＝4，
∴S△BCP＝×4×（﹣＋2t）＝﹣＋4t＝×4×PF，
∴PF＝﹣＋t，
∵CD⊥BC，PF⊥BC，
∴PFCD，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵B、D两点关于y轴对称，
∴CD＝4，
∴＝﹣（﹣4t）＝﹣＋，
∵P点在第一象限内，
∴0＜t＜4，
∴当t＝2时，有最大值，
此时P（2，4）．
【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，轴对称求最短距离的方法，平行线的性质是解题的关键.