华师大版数学八年级下册《矩形、菱形与正方形》期末复习卷(含答案)
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《矩形、菱形与正方形》期末复习卷
一 、选择题
1.矩形的对角线一定具有的性质是( )
A.互相垂直 B.互相垂直且相等 C.相等 D.互相垂直平分
2.如图,将一个矩形纸片ABCD,沿着BE折叠,使C、D点分别落在点C1,D1处.若∠C1BA=50°,则∠ABE的度数为( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
3.菱形不具备的性质是( )
A.是轴对称图形 B.是中心对称图形
C.对角线互相垂直 D.对角线一定相等
4.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )
A.15°或30° B.30°或45° C.45°或60° D.30°或60°
5.如图,四边形ABCD是正方形,延长AB到点E,使AE=AC,则∠BCE的度数是( )
A.22.5° B.25° C.23° D.20°
6.下列说法中正确的是( )
A.四边相等的四边形是菱形
B.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.对角线互相平分的四边形是菱形
7.在▱ABCD中,AC交BD于点O,再添加一个条件,仍不能判定四边形ABCD是矩形的条件是( )
A.AB=AD B.OA=OB C.AC=BD D.DC⊥BC
8.如图,在平行四边形ABCD中,M、N是BD上两点,BM=DN,连接AM、MC、CN、NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是( )
A.OM=AC B.MB=MO C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND
9.已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD.四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是( )
A.选①② B.选②③ C.选①③ D.选②④
10.如图,将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移,点A移至线段AC的中点A′处,得新正方形A′B′C′D′,新正方形与原正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积是( )
A. B. C.1 D.
11.如图,矩形ABCD的顶点A,B,C分别落在∠MON的边OM,ON上,若OA=OC,要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线.小明的作法如下:连接AC,BD交于点E,作射线OE,则射线OE平分∠MON.
有以下几条几何性质:
①矩形的四个角都是直角;②矩形的对角线互相平分;③等腰三角形的“三线合一”.
小明的作法依据是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
12.如图,菱形ABCD中,AB=AC,点E、F分别为边AB、BC上的点,且AE=BF,连接CE、AF交于点H,连接DH交AG于点O.则下列结论:
①△ABF≌△CAE;②∠AHC=120°;③AH+CH=DH中.正确的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
二 、填空题
13.在菱形ABCD中,AC=6,BD=8,则这个菱形的边长为________.
14.如图,在菱形ABCD中,AB=4,线段AD的垂直平分线交AC于点N,△CND的周长是10,则AC的长为 .
15.如图,把矩形ABCD绕着点A逆时针旋转90°可以得到矩形AEFG,则图中△AFC是 三角形.
16.如图,▱ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上,点B与点E、F不重合,若△ACD的面积为3,则图中阴影部分两个三角形的面积和为 .
17.如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为(2,3),则点F的坐标为____________.
18.如图,在正方形ABCD中,AB=,点P为边AB上一动点(不与A、B重合),过A、P在正方形内部作正方形APEF,交边AD于F点,连接DE、EC,当△CDE为等腰三角形时,AP= .
三 、作图题
19.如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分,我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线.
(1)矩形有______条面积等分线;
(2)如图①,在矩形中剪去一个小正方形,这个图形有______条面积等分线,请画出这个图形的一条面积等分线,并说明理由;
(3)如图②,在矩形中剪去两个小正方形,请画出这个图形的一条面积等分线,并说明理由.
四 、解答题
20.如图,BD是菱形ABCD的对角线,∠CBD=75°,
(1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F;
(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)条件下,连接BF,求∠DBF的度数.
21.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF,
(1)求证:AE=CF;
(2)若AB=3,∠AOD=120°,求矩形ABCD的面积.
22.如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是OC上一点,连接EB.过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F.求证:OE=OF.
23.如图,在▱CBCD中,E是对角线BD上的一点,过点C作CF∥DB,且CF=DE,连接AE,BF,EF.
(1)求证:△ADE≌△BCF;
(2)若∠ABE+∠BFC=180°,则四边形ABFE是什么特殊四边形?说明理由.
24.(1)如图,纸片▱ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE′的位置,拼成四边形AEE′D,则四边形AEE′D的形状为( )
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
(2)如图,在(1)中的四边形纸片AEE′D中,在EE/上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE/F/的位置,拼成四边形AFF′D.
①求证:四边形AFF′D是菱形;
②求四边形AFF′D的两条对角线的长.
25.下面图片是八年级教科书中的一道题:如图,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证:AE=EF.(提示:取AB的中点G,连接EG.)
(1)请你思考题中“提示”,这样添加辅助线的意图是得到条件: ;
(2)如图1,若点E是BC边上任意一点(不与B、C重合),其他条件不变.求证:AE=EF;
(3)在(2)的条件下,连接AC,过点E作EP⊥AC,垂足为P.设BE=kBC,当k为何值时,四边形ECFP是平行四边形,并给予证明.
答案
1.C.
2.B.
3.D.
4.D;
5.A
6.A.
7.A
8.A.
9.B
10.D
11.D
12.D
13.答案为:5.
14.答案为:6.
15.答案为:等腰直角.
16.答案为:3.
17.答案为:(﹣1,5).
18.答案为:-1或.
19.解:(1)根据矩形的性质得出:矩形有无数条面积等分线,
(2)无数;如图①为其中一条面积等分线.由矩形的中心对称性可得.
(3)如图②为其中一条面积等分线.
由矩形的中心对称性可得直线AB,
取线段AB中点C,得直线CD.
∵在△AEC和△BFC中,
∠EAC=∠FBCAC=BC∠FCB=∠ACE,
∴△AEC≌△BFC(ASA),易证直线CD为该图形的一条面积等分线.
故案为:无数.
20.解:(1)如图所示,直线EF即为所求;
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°,DC∥AB,∠A=∠C.
∴∠ABC=150°,∠ABC+∠C=180°,
∴∠C=∠A=30°,
∵EF垂直平分线段AB,
∴AF=FB,
∴∠A=∠FBA=30°,
∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°.
21.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OC,OB=OD,AC=BD,∠ABC=90°,
∵BE=DF,
∴OE=OF,
在△AOE和△COF中,
,
∴△AOE≌△COF(SAS),
∴AE=CF;
(2)解:∵OA=OC,OB=OD,AC=BD,
∴OA=OB,
∵∠AOB=∠COD=60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴OA=AB=3,
∴AC=2OA=6,
在Rt△ABC中,BC=3,
∴矩形ABCD的面积=AB•BC=3×3=9.
22.证明:∵四边形ABCD是正方形.
∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA.
又∵AM⊥BE,
∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE,
∴∠MEA=∠AFO.
∴△BOE≌△AOF(AAS).
∴OE=OF.
23.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∵CF∥DB,
∴∠BCF=∠DBC,
∴∠ADB=∠BCF
在△ADE与△BCF中
,
∴△ADE≌△BCF(SAS).
(2)四边形ABFE是菱形
理由:∵CF∥DB,且CF=DE,
∴四边形CFED是平行四边形,
∴CD=EF,CD∥EF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴AB=EF,AB∥EF,
∴四边形ABFE是平行四边形,
∵△ADE≌△BCF,
∴∠AED=∠BFC,
∵∠AED+∠AEB=180°,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AB=AE,
∴四边形ABFE是菱形.
24.解:(1)C.
(2)①证明:∵AD=BC=5,S▱ABCD=15,AE⊥BC,
∴AE=3.
如图,∵EF=4,
∴在Rt△AEF中,AF=5.
∴AF=AD=5.
又△AEF经平移得到△DE′F′,
∴AF∥DF′,AF=DF′,
∴四边形AFF′D是平行四边形.
又AF=AD,∴四边形AFF'D是菱形.
②如图,连接AF′,DF.
在Rt△DE'F中,
∵E′F=E′E﹣EF=5﹣4=1,DE′=3,∴DF=.
在Rt△AEF'中,
∵EF′=E′E+E′F′=5+4=9,AE=3,∴AF′=3.
∴四边形AFF′D的两条对角线长分别为,3.
25.解:(1)∵E是BC的中点,
∴BE=CE.
∵点G是AB的中点,
∴BG=AG,
∴AG=CE.
故答案为:AG=CE;
(2)取AG=EC,连接EG.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠B=90°.
∵AG=CE,
∴BG=BE,
∴△BGE是等腰直角三角形,
∴∠BGE=∠BEG=45°,
∴∠AGE=135°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°.
∵CF是正方形ABCD外角的平分线,
∴∠DCF=45°,
∴∠ECF=90°+45°=135°.
∵AE⊥EF,
∴∠AEB+∠FEC=90°.
∵∠BAE+∠AEB=90°,
∴∠BAE=∠CEF,
∴△GAE≌△CEF,
∴AE=EF;
(3)当k=时,四边形PECF是平行四边形.如图.
由(2)得,△GAE≌△CEF,
∴CF=EG.
设BC=x,则BE=kx,
∴GE=kx,EC=(1﹣k)x.
∵EP⊥AC,
∴△PEC是等腰直角三角形,
∴∠PEC=45°,
∴∠PEC+∠ECF=180°,PE=(1﹣k)x.
∴PE//CF ,
当PE=CF时,四边形PECF是平行四边形,
∴(1﹣k)x=kx,
解得k=.
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