2023年江苏省常州市中考数学调研试卷（5月份）（含解析）

2023年江苏省常州市中考数学调研试卷（5月份）

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  (    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各式中，运算结果等于的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年月日上午时分秒，熊熊的火焰托举着近千克的火箭和飞船冲上云霄，这是我国长征运载火箭将“神舟十四号”载人飞船送入太空的壮观情景其中，数据用科学记数法可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

5.  李老师准备在班内开展“道德”“心理”“安全”三场专题教育讲座，若三场讲座随机安排，则“心理”专题讲座被安排在第一场的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某校举行“预防溺水，从我做起”演讲比赛，位评委给选手甲的评分如下：，，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7.  如图是关于的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是(    )

A. 该函数的最大值为
B. 当时，随的增大而增大
C. 当时，对应的函数值
D. 当和时，对应的函数值相等
 

8.  如图，在矩形中，，，、分别为边，上的点，将四边形沿翻折至四边形，点落在边上，且，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

9.  要使有意义，则的取值范围是______．

10.  如图，中，，则 ______ ．

11.  在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则______．

12.  已知，同时满足与，则的值是______．

13.  “方程”二字最早见于我国九章算术这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，则表示的方程是            ．

14.  如图，圆锥的母线长，底面圆的直径，则该圆锥的侧面积等于______结果用含的式子表示

15.  解分式方程去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______．

16.  如图，是的直径，点、在上，，则______度．

17.  如图，已知是内的一点，，，若▱的面积为，，，则的面积是______．

18.  如图，在轴的上方作正方形，其对角线交点在第一象限，双曲线，经过点和，则的值是______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：；
化简：．

20.  本小题分
解不等式组：；
解方程：．

21.  本小题分
如图，四边形是菱形，点，分别在，上，求证：．

22.  本小题分
在“世界读书日”前夕，某校开展了“共享阅读，向上人生”的读书活动活动中，为了解学生对书籍种类：艺术类，：科技类，：文学类，：体育类的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图．

这次调查中，一共调查了______ 名学生；
求出扇形统计图中“”所在扇形的圆心角大小，并补全条形统计图；
若全校有名学生，请估计喜欢科技类的学生有多少名？

23.  本小题分
年月日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生用，表示和八年级的两名学生用，表示获得优秀奖．
从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是______．
从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率．

24.  本小题分
某商品经销店欲购进、两种纪念品，用元购进的种纪念品与用元购进的种纪念品的数量相同，每件种纪念品的进价比种纪念品的进价贵元．
求、两种纪念品每件的进价分别为多少元？
若该商店种纪念品每件售价元，种纪念品每件售价元，这两种纪念品共购进件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于元，求种纪念品最多购进多少件？

25.  本小题分
如图，中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为．
求证：是的切线；
若，，求的长．

26.  本小题分
如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点，与反比例函数的图象相交于点，，，：：．
求反比例函数的表达式；
点是线段上任意一点，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接当面积最大时，求点的坐标．

27.  本小题分
定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．

在已经学过的“平行四边形；矩形；菱形；正方形“中，一定是“等角线四边形”的是______ 填序号；
如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，求证：四边形是等角线四边形；
如图，中，，，，为线段的垂直平分线上一点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求这个等角线四边形的面积．

28.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点在的右侧，与轴交于点，顶点为抛物线对称轴与轴交于点，是对称轴上的一个动点．
若，求的值；
若，求点的坐标；
当取得最小值时，连接并延长交抛物线于点，请直接写出的长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据绝对值是数轴上的点到原点的距离，可得答案．
本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是同类项，不能进行合并运算，选项A不符合题意；
B、，选项B不符合题意；
C、，选项C符合题意；
D、，选项D不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的运算及整式的加减运算进行计算判断即可．
本题考查了同底数幂的运算及整式的加减运算，熟记同底数幂的运算的运算法则及整式的加减运算法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：数据用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
本题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：．
求出判别式，判断符号即可得出结论．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式时，方程有两个不相等的实数根是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：一共有种可能出现的结果，其中第一场是“心理”的只有种，
所以若三场讲座随机安排，则“心理”专题讲座被安排在第一场的概率为，
故选：．
一共有“道德”“心理”“安全”三场专题教育讲座，第一场安排的是三场之中的一场，因此可求出概率．
本题考查概率公式，理解概率的定义是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：将这组数据从小到大排列为：，，，，，，，
这组数据的众数是，中位数是．
故选：．
将这组数据从小到大排列，出现次数最多的数据就是众数，处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
本题考查了众数，中位数，掌握将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图象可知：
A.该函数的最大值为，原说法错误，故本选项不合题意；
B.当时，随的增大而增大，原说法错误，故本选项不合题意；
C.当时，对应的函数值，原说法错误，故本选项不合题意；
D.设时，，则，
解得，
，
当时，；
设时，，
则，
解得，
，
当时，，
当和时，对应的函数值都等于，
当和时，对应的函数值相等，说法正确，故本选项符合题意．
故选：．
本题考查了一次函数的应用，观察函数图象获得有效信息是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，设与交于点，

四边形为矩形，，，
，，，
将四边形沿翻折至四边形，
，，，，，
，，，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
在中，，，
，，
在中，，
，
在中，，，
．
故选：．
设与交于点，由折叠可知，，，，，再根据同角的余角相等以及等角的余角相等可得，再设，则，在中，根据勾股定理列出方程，求出，则，，在中，，因此，在中，，，以此计算即可求解．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、解直角三角形，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，即，
，
或舍去，
．
故答案为：．
根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是，即可求解．
此题主要考查了同角的三角函数，关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系：对任一锐角，都有．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，
得，
．
故答案为：
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数，难度适中．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
观察已知和所求可知，，将代数式的值代入即可得出结论．
本题主要考查代数式求值，平方差公式的应用，熟知平方差公式的结构是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查列方程，解题的关键是读懂图中符号表示的意义．
认真审题，读懂图中符号表示的意义，仿照图写出答案．
【解答】
解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，
一个竖线表示一，一条横线表示十，
所以该图表示的方程是：．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：根据题意该圆锥的侧面积
故答案为：．
由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据扇形的面积公式可计算出该圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

15.【答案】 

【解析】解：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是．
故答案为：．
根据最简公分母的定义即可得出答案．
本题考查了解分式方程，最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，这是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：是所对的圆周角，
，
．
故答案为：．
根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求出的度数，根据平角的定义即可得到的度数．
本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，，

四边形为平行四边形，▱的面积为，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，，由平行四边形的性质可求，结合可求解，再利用可求解的面积．
本题主要考查三角形的面积，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，分别过、作轴的垂线，垂足为、，过点作轴的平行线，交于，交于，过点作轴于点，连接，，
，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
≌，
，，
同理，，
，
四边形是正方形，
点是正方形的对角线的交点，
是等腰直角三角形，
，，
，
双曲线经过点和，
，
，即，
或舍．
故答案为：．
分别过、作轴的垂线，垂足为、，过点作轴的平行线，交于，交于，过点作轴于点，连接，，证得≌，则，，同理，，由点的坐标可得出，，所以，，再证得≌，则，所以，所以，得到方程，即可求解．
本题主要考查反比例函数图象上的点的特征，三角形全等的判定和性质，正方形的性质等内容，由点的坐标，得出点的坐标是解题关键．
 

19.【答案】解：


．


． 

【解析】根据实数的混合运算法则，先计算零指数幂、特殊角的正切值、绝对值、算术平方根，再计算加减．
根据整式的混合运算法则，先计算乘法，再计算加法．
本题主要考查实数的运算、零指数幂、特殊角的正切值、绝对值、算术平方根、整式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握实数的运算法则、零指数幂、特殊角的正切值、绝对值、算术平方根、整式的混合运算法则、平方差公式、完全平方公式是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为：；
，
则，
，
，，
，． 

【解析】分别解出两个不等式，确定不等式组的解集；
利用提公因式法解出方程．
本题考查的是一元一次不等式组的解法、一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
 

21.【答案】证明：如图，连接，
四边形是菱形，
，
在和中，
，
≌
． 

【解析】连接，由菱形的性质得，再由证≌，即可得出结论．
此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．熟练掌握菱形的性质，证得≌是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：名，
答：调查的总学生是名；
所占百分比为，
扇形统计图中“”所在扇形的圆心角的度数为：；
所占的百分比是，
的人数是：名，
补图如下：

名，
答：估计喜欢科技类的学生大约有名．
根据类的人数和所占的百分比，即可求出总人数；
用整体减去、、类所占的百分比，即可求出扇形统计图中“”所在扇形的圆心角的度数以及所占的百分比；用总人数乘以所占的百分比，求出的人数，从而补全图形；
总人数乘以样本中所占百分比即可得．
此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的应用，正确利用条形统计图得出正确信息是解题关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是，
故答案为：；
列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的有种结果，
所以抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
 

24.【答案】解：设种纪念品每件的进价为元，则种纪念品每件的进价为元．
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
则．
答：种纪念品每件的进价为元，种纪念品每件的进价为元．
设种纪念品购进件，则种纪念品购进件，
根据题意得：，
解得：．
答：种纪念品最多购进件． 

【解析】设种纪念品每件的进价为元，则种纪念品每件的进价为元，由题意：用元购进的种纪念品与用元购进的种纪念品的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
设种纪念品购进件，则种纪念品购进件，根据总利润单件利润购买数量结合这两种纪念品全部售出后总获利不低于元，列出一元一次不等式，解之取其内的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】证明：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
解：如图，连接，过点作于，

，，，
，
与相切于点，
，
又，，
四边形是矩形，
，
，
又，
，
，
，
，
． 

【解析】由等腰三角形的性质可证，可证，可得结论；
由切线的性质可证四边形是矩形，可得，由锐角三角函数可求解．
本题考查切线的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

26.【答案】解：如图，过点作轴于点，
轴，
∽，
：：：：．
，，
，
，，
，
．
点在反比例函数的图象上，
．
反比例函数的表达式为：．
由题意可知，，
直线的解析式为：．
设点的横坐标为，
则，
．
的面积为：


．
，
时，的面积的最大值为，此时 

【解析】根据正切函数的定义可得出长，过点作轴于点，则∽，由相似比可得出和的长，进而可得出点的坐标，代入反比例函数可得出的值，进而可得结论；
由可得直线的解析式．设点的横坐标为，由此可表达点，的坐标，根据三角形的面积公式可表达的面积，根据二次函数的性质可得结论．
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，得出与函数关系式是解题的关键．
 

27.【答案】 

【解析】解：矩形、正方形的对角线相等，
矩形和正方形是“等角线四边形”，
故答案为：；

证明：连接，，

四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
，
四边形是等角线四边形；

当点在的上方时，如图，

是的中垂线，
，
，，，
，
四边形为等角线四边形，
，
，
；
当点在的下方时，如图，过点作，交的延长线于，

四边形为等角线四边形，
，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
综上所述：这个等角线四边形的面积为或．
由矩形和正方形的性质可直接求解；
由“”可证≌，可得，可得结论；
分两种情况讨论，由勾股定理求出的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，理解等角线四边形的定义并运用是解题的关键．
 

28.【答案】解：令时，，
解得，，
，．
把代入中，得，即．
，
对称轴是直线，顶点，
，，．
，
，
在中，；

如图，当在上方时，
连接，作，交的延长线于点，作轴于点，

，，
∽，
，
，，
，
，
∽，
，
，，
，
的函数表达式为，
当时，，
点的坐标为；
如图，当在下方时，设与交于点，

，，
∽，
，
，，
直线的解析式为，
，
，，，
，
，
．
综上，点的坐标为或；

，理由如下：
如图，过点作于点，交对称轴于点，连接并延长交第二象限抛物线为点，

在中，，
．
．
要取得最小值，即要最小，
当点，，三点共线且垂直时最小，
此时最小．
在，中，，
．
，即．
，
可求得的解析式为：．
联立和抛物线，
解得
． 

【解析】欲求的值，只需求得的值即可；
分两种情况进行解答：当在上方时，当在下方时，根据相似三角形的判定和性质分别求解即可；
过点作于点，交对称轴于点，连接并延长交第二象限抛物线为点，通过解得到，则，故要取得最小值，即要最小，所以当点，，三点共线且垂直时最小，即此时最小，根据直线与抛物线交点的求法即可即可．
本题属于二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求得一次函数解析式，解直角三角形，直线与抛物线交点的求法，相似三角形的判定和性质以及二次函数图象上点的坐标特征，作出辅助线，进行分类讨论，是解题的关键．