2023年四川省成都市锦江区中考数学二诊试卷（含解析）

2023年四川省成都市锦江区中考数学二诊试卷

一、选择题（本题共8小题，共32分）

1.  如图所示的几何体由个大小相同的立方块搭成，则该几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

2.  是一种人工智能技术驱动的自然语言处理工具将推出基于的自有聊天机器人，最终目标让的亿月活跃用户都可以使用该机器人其中亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，，，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若关于的分式方程的解为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，是正方形的外接圆，点在上，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某小组名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是(    )

A. 中位数是，平均数是 B. 众数是，平均数是
C. 中位数是，平均数是 D. 众数是，平均数是

8.  已知竖直上抛物体的高度与运动时间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度如图是一个竖直向上抛出的物体离地面的高度与运动时间的函数图象，下列选项中错误的是(    )

A.  B. 物体经过秒后落地
C. 物体抛出时的速度为 D. 小球运动过程中的最高点距离地面

二、填空题（本题共10小题，共40分）

9.  分解因式： ______ ．

10.  如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，且若反比例函数的图象经过点，则的值为______ ．

11.  如图，与位似，位似中心为点已知：：，若的周长等于，则的周长等于______ ．

12.  如图，，是菱形的对角线，若，则菱形的面积为______ ．

13.  如图，在中，按以下步骤作图：分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点；作直线交于点，连接若，则的度数为______ ．

14.  已知，是一元二次方程的两个根，则的值为______ ．

15.  口袋中有个球每个球除颜色外都相同，其中白球个，红球个，其余为蓝球从袋中随机摸出一个球，摸到红球则甲获胜，摸到蓝球则乙获胜要使游戏对甲、乙双方公平，则应该等于______ ．

16.  定义：如图，在中，点在边上，连接，若的长恰好为整数，则称点为边上的“整点”．

如图，已知等腰三角形的腰长为，底边长为，则底边上的“整点”个数为______ ；如图，在中，，，且边上有个“整点”，则的长为______ ．

17.  如图，在矩形中，，折叠矩形使得点恰好落在边上，折痕与边相交于点，与矩形另一边相交于点若，则的长为______ ．

18.  已知关于的多项式，二次项系数、一次项系数和常数项分别，，，且满足若当和为任意实数时的值相同；当时，的值为，则二次项系数的取值范围是______ ．

三、解答题（本题共8小题，共78分）

19.  计算：；
解不等式组：．

20.  年月，联合国教科文组织将每年的月日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”我区某校在今年的“数学节”活动中开展了如下四项活动：趣味魔方；折纸活动；数独比赛；唱响数学为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
这次被调查的学生共有______ 人；
请补全条形统计图；
在数独比赛项目中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中随机选取两名参加数独决赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
 

21.  如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤，已知肿瘤在皮肤点的正下方处，若射线从距点的处进入身体照射肿瘤，恰好会紧挨器官，测得为保证器官不受伤害，需要将射线照射点沿方向继续右移，当时，既可以保证器官安全，也能够保证疗效参考数据：，，
求肿瘤距皮肤点的距离；
求射线照射点从点到点右移的距离．

22.  如图，在中，，平分，交于点以点为圆心，为半径作，交于点，连接．
求证：为的切线；
若，，求的长；
在的条件下，求的值．

23.  如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点．
求反比例函数的表达式；
点为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点作轴垂线，交一次函数图象于点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积；
点为反比例函数图象上一点，连接，若，求点的坐标．
 

24.  某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况当他们尝试施用某种药物时，发现会对，两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用通过实验数据统计发现，药物施用量与，植物的生长高度，的关系如图所示．
请分别求植物、植物生长高度与药物施用量的函数关系式；
请求出两种植物生长高度相同时，药物的施用量为多少？
同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，请求出满足平衡状态时，该药物施用量的取值范围．

25.  如图，已知一次函数的图象与轴，轴相交于点，，抛物线与轴交于点，顶点在直线上，设点横坐标为．
如图，当时，求此时抛物线的函数表达式；
求当为何值时，点的纵坐标最大；
如图，当时，此时的抛物线与直线相交于，两点，连接，并延长，分别与轴交于，两点试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
 

26.  如图，已知平行四边形，点在上，点在上，连接，，过点作交的延长线于点．
求证：∽；
当为中点时．
若，求证：；
如图，连接，过点作交于点，若，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：．
根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并成一项，故本选项运算错误，不符合题意；
B、原式，故本选项运算错误，不符合题意；
C、原式，故本选项运算正确，符合题意；
D、原式，故本选项运算错误，不符合题意；
故选：．
根据合并同类项的法则判断；根据多项式除以单项式的法则判断；根据单项式乘单项式的法则判断；根据积的乘方的法则判断．
本题考查了整式的运算，掌握运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
，
故选：．
根据三角形内角和定理及平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得：
把代入方程中得：
，
，
解得：，
故选：．
根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的意义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题综合运用了正方形的性质以及圆周角定理．
连接，根据正方形的性质，得，再根据圆周角定理，即可求解．
【解答】
解：连接，．
根据正方形的性质，得．
再根据圆周角定理，得．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：这组数据的中位数为，众数为，平均数为，
故选：．
根据中位数和众数、平均数的定义求解即可．
本题主要考查众数、中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数和众数、平均数的定义．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
，故选项A正确，不符合题意；
物体经过秒后落地，故选项B正确，不符合题意；
点在该函数图象上，
，
解得，故选项C正确，不符合题意；
，
小球运动过程中的最高点距离地面，故选项D错误，符合题意；
故选：．
根据题意和函数图象中的数据，可以得到的值和物体经过秒后落地，从而可以判断和；再根据图象过点，即可计算出物体抛出时的速度，从而可以判断；将函数解析式化为顶点式，即可判断．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提取公因式，再利用平方差公式分解．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，且，
，
反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：．
由正方形的性质得出，代入即可求得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求得点的坐标是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：与位似，
∽，，
∽，
，
的周长：的周长：，
的周长，
的周长，
故答案为：．
根据位似变换的概念得到∽，，得到∽，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，设与交于点，

四边形是菱形，
，，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质得，，，再证，则，然后由勾股定理得，则，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由作图得：垂直平分，
，
，
，
故答案为：．
由作图得，垂直平分，再根据三角形的外角定理求解．
本题考查了基本作图，掌握线段的垂直平分线的性质及外角定理是解题的关键．
 

14.【答案】解：


；

，
解得：，
解得：．
故不等式组的解集是：． 

【解析】分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；
首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
本题主要考查了解一元一次不等式组、实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，确定解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
 

15.【答案】 

【解析】解：被调查的学生共有：人．
故答案为：；
参加数独比赛的人数为：人，

列表如下：

共有种等可能的结果，其中恰好选中甲，乙两位同学的结果有种，
则．
结合两个图中的人数与比例，即可求被调查的总人数；
结合求出的人数，再补充完整图形即可；
作出相应的表格，再分析即可．
本题主要考查列表法与树状图法，扇形统计图，条形统计图，解答的关键是能据图分析出存在的数据．
 

16.【答案】解：在中，，
．
答：肿瘤距皮肤点的距离约为；
，
，
．
在中，，
，
．
答：射线照射点从点到点右移的距离约为． 

【解析】在中，利用正切的定义，可得出，进而可求出的长；
由与互余，可求出的度数，结合，可求出的度数，在中，利用正切的定义，可得出，进而可求出的长，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：通过解直角三角形，求出的长度；通过解直角三角形，求出的长度．
 

17.【答案】证明：过点作于点，如图，
平分，，，
，
为的半径，
点到直线的距离等于半径，
为的切线；
解：在中，
，，
，
．
在中，，
，
，
，
；
解：在中，
，，
，
过点作于点，
则，
，
，
，
∽，
，
，
．
．
，
．
，
，
． 

【解析】过点作于点，利用角平分线的性质和圆的切线的定义解答即可；
在中，利用直角三角形的边角关系定理求得，在中，利用直角三角形的边角关系定理得到，从而得到关于的比例式，解比例式即可得出结论；
过点作于点，利用相似三角形的判定定理与性质定理，勾股定理，相似三角形的边角关系定理求得，再利用平行线的判定与性质得到，则结论可得．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，勾股定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，过圆心作直线的垂线段是解决此类问题常添加的辅助线．
 

18.【答案】解：将点的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
即一次函数的表达式为：，
当时，，则点，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
即反比例函数表达式为：；

设点的坐标为，则点，
若是以为底边的等腰三角形，则点在的中垂线上，
则，
解得：舍去或，
则点、的坐标分别为：、，
则的面积；

取的中点，过点作交轴于点，
点是的中点且，
则，

由中点坐标公式得，点，
在中，由的表达式知，，则，
则直线表达式中的值为，
则直线的表达式为：，
令，则，即点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
联立和并解得：舍去或，
则点的坐标为： 

【解析】用待定系数法即可求解；
若是以为底边的等腰三角形，则点在的中垂线上，进而求解；
取的中点，过点作交轴于点，点是的中点且，则，进而求解．
本题为反比例函数综合题，涉及到一次函数和反比例函数的图象和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质等，综合性强，难度适中．
 

19.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个根，
，，
，




．
故答案为：．
利用根与系数的关系求得，，然后将其代入整理后的代数式求值即可．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

20.【答案】 

【解析】解：由题意知，篮球的个数与红球的个数相等，
即，
解得，
故答案为：．
根据题意要使游戏对甲、乙双方公平则使红球和篮球的个数相等即可．
本题主要考查游戏的公平性，熟练掌握游戏的公平性与概率的关系是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：如图，于，

，
，
，
为上的一个“整点“，
大于小于的整数有，，
上还有两个“整点“不包括，上也还有两个“整点“不包括，
上一共有个“整点“；
如图，于，

小于的最大整数为，小于的最大整数为，
左侧的“整点“比右侧的“整点“少一个，
边上有个“整点”，
左侧的“整点”到的距离分别为，，右侧的“整点”到的距离为，，，且，
，，
；
故答案为：，．
求出底边上的高，根据大于小于的整数有，，即可得底边上一共有个“整点“；由小于的最大整数为，小于的最大整数为，根据边上有个“整点”，可得，用勾股定理可得答案．
本题考查三角形的三边关系，涉及二次根式，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，理解“整点“的意义．
 

22.【答案】或 

【解析】解：过作于，
四边形是矩形，
，
四边形，四边形是矩形，
，
，
，
当在上时，如图：

折叠矩形使得点恰好落在边上，
，
在中，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得；
；
当在上时，如图：

同理可得，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
过作于，可得四边形，四边形是矩形，故EH，，分两种情况：当在上时，在中，求出，得，设，在中，有，当在上时，设，在中，有，解方程可得答案．
本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理列方程．
 

23.【答案】 

【解析】解：当和为任意实数时的值相同，
，
，
当时，的值为，
函数经过点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
先根据二次函数的对称性可得其对称轴是：，得与的关系：，将代入中可得：，代入中可解答．
本题考查了二次函数的性质，解不等式，掌握二次函数的对称性，解不等式的方法是关键．
 

24.【答案】解：设植物生长高度与药物施用量的函数关系式为，根据题意得：
，
解得，
；
设植物生长高度与药物施用量的函数关系式为，根据题意得：
，
解得，
；
当两种植物生长高度相同时，，
解得，
答：两种植物生长高度相同时，药物的施用量为；
由题意得：
，
解得，
故该药物施用量的取值范围为． 

【解析】利用待定系数法解答即可；
根据的结论列方程解答即可；
根据的结论列不等式求解即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，难度适中，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
 

25.【答案】解：在中，令得，
，
抛物线的顶点为，
抛物线的函数表达式为；
设抛物线顶点，
，
令得，
的纵坐标为，
，
时，的纵坐标最大，最大为；
为定值，，理由如下：
如图：

由，把代入得，
抛物线顶点坐标为，，
抛物线解析式为，
联立得：
，即，
，，
设直线解析式为，
联立，
解得或，
，
设直线解析式为，
联立，
解得或，
，
，
在中，令得，
，
同理，
，，
． 

【解析】求出，即可得抛物线的函数表达式为；
设抛物线顶点，则，可得的纵坐标为，根据二次函数性质可得答案；
求得抛物线顶点坐标为，，知抛物线解析式为，联立有，可得，，设直线解析式为，由，得，设直线解析式为，同理得，故，而由知，同理，从而可得．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，一次函数，一元二次方程等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
 

26.【答案】证明：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
∽；
证明：如图，以点为圆心，长为半画弧交于点，连接，则，

，
，，
，
，∽，
，
点为中点，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：以点为圆心，长为半画弧交于点，连接，连接，如图，

，∽，
，
，
，
，
，
，，
，
由可知：，，
∽，
，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
点到和的距离相等，
． 

【解析】由平行线的性质可得，再由平行四边形的性质可得，结合，可推出，根据对顶角相等可得，即可证得结论；
以点为圆心，长为半画弧交于点，连接，则，可证得≌，即可证得结论；
以点为圆心，长为半画弧交于点，连接，连接，可证得∽，得出，再证得≌，得出，利用等角的余角相等可得出，根据角平分线性质可得点到和的距离相等，进而得出．
本题属于四边形综合题，考查了平行线性质，平行四边形性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和相似三角形．