2022-2023学年安徽省合肥市庐阳区寿春中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省合肥市庐阳区寿春中学七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的算术平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在下列各数中不是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  华为自主研发的麒麟芯片晶体管栅极宽度达，用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列选项错误的是(    )

A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

6.  下列各式中能用平方差公式计算的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  的与的倍的差的平方是一个非负数，列出不等式为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  老师和同学们玩猜数游戏老师在心里想一个以内的数字，同学们可以提问，老师只能点头或者摇头回应对错甲问：“小于吗？”老师摇头乙问：“不大于吗？”老师点头丙问：“不小于吗？”老师点头老师心里想的数字所在的范围为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  观察下列等式：；；，，小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“”的值，这个值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  ______ ．

12.  如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是______ ．

13.  按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是______ ．
 

14.  有甲、乙、丙三种纸片若干张数据如图，．
若用这三种纸片紧密拼接成一个边长为大正方形，则需要取甲纸片______ 张
取三种纸片若干张三种图形都要取到，拼成一个长方形，使其面积为，则可能的整数值有______ 个

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：
；
 

16.  本小题分
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

18.  本小题分
如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高，如果容器的底面直径是，求正方体铁块的棱长取．

19.  本小题分
如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
实数的值是______ ；
在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．

20.  本小题分
已知，，借助幂的运算性质解决下面问题：
求：的值；
若，请用一个等式表示，，的关系．

21.  本小题分
古希腊著名数学家的毕达哥拉斯学派把，，，，，这样的数称为“三角形数”，我们发现：
每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律如：；；；
每相邻两个“三角形数”的差有一定的规律如：；；；
第个“三角形数”与第个“三角形数”的和为______ ；差为______ ；
第个“三角形数”与第个“三角形数”的和为______ ；差为______ ；
利用上面的结论，先求第个“三角形数”的代数表达式，再填写出第个“三角形数”与第个“三角形数”的平方差：______ ______ ______ ．

22.  本小题分
某班为鼓励学生加强体育锻炼，决定购买毽子和跳绳两种运动器材已知购买个毽子和根跳绳共需花费元，购买个毽子和根跳绳共需花费元．
求购买一个毽子、一根跳绳各需多少元？
计划购买毽子和跳绳的总数为，且购买总费用不超过元，若购买跳绳的数量多于根，请通过计算说明共有哪几种购买方案？

23.  本小题分
【阅读理解】例：若满足，求的值．
解：设、，则，，
请仿照上面的方法求解下面问题：
【跟踪训练】
若满足，求的值．
，求．
已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的算术平方根是，
故选：．
根据算术平方根的定义进行解答即可．
本题考查算术平方根，理解算术平方根的求法是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．是无理数，故本选项不符合题意；
B.是有理数，不是无理数，故本选项符合题意；
C.是无理数，故本选项不符合题意；
D.是无理数，故本选项不符合题意；
故选：．
根据无理数的定义逐个判断即可．
本题考查了无理数的定义，算术平方根，立方根等知识点，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无理数包括以下三方面的数：含的，开方开不尽的根式，一些有规律的数，如每两个之间增加一个．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法运算法则．
根据整式的运算法则逐一计算即可得．
【解答】
解：、、不能合并，此选项错误；
B、，此选项错误；
C、，此选项正确；
D、，此选项错误；
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：用科学记数法可以表示为．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，则，
选项A不符合题意；

，则，
选项B不符合题意；

，则，
选项C符合题意；

，
，
，
选项D不符合题意．
故选：．
根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
 

6.【答案】 

【解析】解：、两项都是相同项，不能用平方差公式计算，
故本选项不符合题意；
B、中两项有相反项，有相同项，能用平方差公式计算，
故本选项符合题意；
C、中两项都是相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算，
故本选项不符合题意；
D、只有相同的项，没有互为相反数的项，不能用平方差公式计算，
故本选项不符合题意；
故选：．
根据平方差公式对各选项分别进行判断．
本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，得．
故选：．
根据题意进而得出与的关系式，再利用非负数的定义得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元二次不等式，正确得出不等式是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，，，，
所以．
故选：．
直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及负指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：甲问：“小于吗？”老师摇头，
；
乙问：“不大于吗？”老师点头，
；
丙问：“不小于吗？”老师点头，
，
联立可得，．
故选：．
根据题意得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是不等式的定义，根据题意得出各不等式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据上面的规律，可知，
，
故选：．
根据上面的规律，可知，进一步求解即可．
本题考查了平方差公式，规律型，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
利用积的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

12.【答案】 

【解析】解：不等式的解集为，
，
故答案为：．
根据不等式的性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变可得．
此题主要考查了不等式的解集，关键是掌握不等式的性质．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，即，
输入，则，
输入，则，
输入，则，
故输出．
故答案为：．
将开始输入的值代入计算，知道所得计算结果大于时输出即可．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

14.【答案】   

【解析】解：大正方形的面积为：．
需要甲纸片张，乙纸片张，丙张，
故答案为：．
，
或或或．
故答案为：．
通过拼成的正方形面积求解．
通过分解第三项求确定．
本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形的面积是求解本题的关键．
 

15.【答案】解：

；



． 

【解析】先算乘方、去绝对值、计算算术平方根，然后计算加减法即可；
先算积的乘方，再算单项式的乘除法即可．
本题考查整式的混合运算、实数的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

16.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】解：原式

，
当，时，原式． 

【解析】根据多项式乘多项式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，把、的值代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握多项式乘多项式、完全平方公式是解题的关键．
 

18.【答案】解：设正方体的棱长为，由题意得，
，
解得，
答：正方体的棱长约为． 

【解析】根据题意可得底面半径，高为的圆柱体的体积等于正方体的体积，可利用方程求出棱长．
本题考查圆柱体、正方体的体积的计算方法，掌握体积计算公式是正确解答的前提．
 

19.【答案】 

【解析】解：，
实数的值是．
故答案为：．
由题得，，
，，
，，
，，
，
的平方根是，
的平方根是．
利用左加右减的性质直接计算即可．
利用相反数和为零直接相加，由非负数和为零性质解出、，再代入，求出平方根即可．
本题考查了平方根的性质的应用，理解非负数和为零时加数都为零的性质是解题关键．
 

20.【答案】解：当，时，




；
，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】利用同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则进行运算即可；
利用幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

21.【答案】             

【解析】解：由给出的“三角形数”，不嫩发现：第个数，第个数，第个数，
第个数，
第个数，第个数．
第个“三角形数”与第个“三角形数”的和为，差为．
故答案为：，；
由“三角形数”规律可知，第个数为，第个数为，
第个“三角形数”与第个“三角形数”的和为：

，
差为：

；
故答案为：，；
由知第个“三角形数”为，第个“三角形数”为，



．
故答案为：，，．
首先找到“三角形数”的规律，得到第个数、第个数分别是多少，再计算它们的和差；
根据“三角形数”的规律，得到第个数、第个数，再计算它们的和差；
利用平方差公式计算出两个数的平方差．
本题主要考查了整式、实数的运算，找到“三角形数”的规律是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：设购买一个毽子需元，购买一根跳绳需元，
根据题意得：，
解得．
答：购买一个毽子需元，购买一根跳绳需元；
设购买跳绳根，
根据题意得：，
解得：，
，且为整数，
或，
当时，
；
当时，
；
共有两种方案，第一种方案是买跳绳根，毽子个；第二种方案是买跳绳根，毽子个． 

【解析】设购买一个毽子需元，购买一根跳绳需元．根据“购买个毽子和根跳绳共需花费元购买个毽子和根跳绳共需花费元．”列出方程组，即可求解；
设购买跳绳根，根据题意，列出不等式，即可求解．
本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
 

23.【答案】解：设，，
则，，
．
解：设，，
则，
，
，
，
．
由题意得，长方形的长，宽，
则有，
由题意得，
即，
，
，舍去．
所以阴影部分的面积为：，
答：阴影部分的面积为． 

【解析】先根据题中提供的方法，类比计算即可；
根据题意可求出，，再求出的值，即可求出答案；
长方形的长，宽，则有，因此有，求出的值，再代入阴影部分的面积中计算即可求出结果．
本题主要考查了应用新运算解决问题，掌握完全平方公式的意义，利用公式进行适当的变形是解决问题的关键．