2022-2023学年山东省济南市高新区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省济南市高新区七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，、是对顶角的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  芯片是手机、电脑等高科技产品最核心的部件，更小的芯片意味着更高的性能．目前我国芯片的量产工艺已达到纳米，已知纳米为米，则科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列说法中正确的是(    )

A. 互为补角的两个角不相等
B. 两个相等的角一定是对顶角
C. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
D. 一个锐角的补角比这个角的余角大

6.  如图，下列不能判定的条件是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  小丽早上步行去车站然后坐车去学校，下列能近似的刻画她离学校的距离随时间变化的大致图象是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  下列各式中，不能应用平方差公式进行计算的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  已知等腰三角形的两边长分别为和，那么这个三角形的周长为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

10.  小明有足够多的如图所示的正方形卡片，和长方形卡片，如果他要拼一个长为，宽为的大长方形，共需要类卡片(    )
 

A. 张 B. 张 C. 张 D. 张

11.  如图，将矩形纸片沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

12.  现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图，已知点为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图，已知甲、乙两个正方形边长之和为，图的阴影部分面积为，则图的阴影部分面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  已知，，则          ．

14.  如图，点，，三点在同一条直线上，在不添加辅助线的情况下，如果添加一个条件，使，则可以添加的条件为______任意添加一个符合题意的条件即可

15.  小明做作业时，不小心把一滴墨水滴在一道数学题上，题目变成了：，看看不清前面的数字是什么，只知道这是一个完全平方式，请你判断这个被墨水遮住的数字可能是______ ．

16.  如图，已知≌，，，则的长是        ．

17.  若某地打长途电话分钟之内收费元，每增加分钟加收元，当通话时间为分钟时且为整数，电话费元与通话时间分之间的关系式为______ ．

18.  已知：如图，射线，若，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线，的角平分线，其中点、、、、，都在射线上，则的度数为______ ．
 

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

19.  计算：．

四、解答题（本大题共11小题，共74.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：．

21.  本小题分
计算：．

22.  本小题分
先化简，后求值：
，其中，．

23.  本小题分
已知：如图于，于，求证：．
证明：，已知
，______
即，
又______
__________________
______

24.  本小题分
心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间单位：分之间有如表关系其中：

注：接受能力值越大，说明学生的接受能力越强
当提出概念所用时间是分钟时，学生的接受能力是多少？
根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？
从表格中可知，当提出概念所用时间在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当提出概念所用时间在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？

25.  本小题分
如图，，．

判断与的位置关系，并说明理由．
若，求的度数．

26.  本小题分
如图，在中，，，平分，于点，于点，求的度数．

27.  本小题分
如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形内规划了一个正方形活动区，连接绿地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边长为米，四条小路的长与宽都为米和米．阴影区域铺设草坪，草坪的造价为每平米元．
用含、的代数式表示草坪阴影面积并化简．
若，，计算草坪的造价．

28.  本小题分
周末，小明坐公交车到泉城公园游玩，他从家出发小时达到新华书店，逗留一段时间后继续坐公交车到泉城公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往泉城公园如图是他们离家路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题：
图中自变量是______ ，因变量是______ ；
小明家到泉城公园的路程为______ ，小明在新华书店逗留的时间为______ ；
小明从新华书店到泉城公园的平均速度为______ ，小明爸爸驾车的平均速度为______ ；爸爸驾车经过______ 追上小明；
小明从家到新华书店时，他离家路程与坐车时间之间的关系式为______ ．

29.  本小题分
问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为的正方形的边长增加，形成两个矩形和两个正方形，如图．
这个图形的面积可以表示成：或，
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
如图，一个边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，将阴影部分拼成了一个长方形．
则的阴影面积表示为______ ．
则的阴影面积表示为______ ．
由此可以得到的等式是______ ．
尝试解决：
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：？
如图，表示个的正方形，即：表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，因此：、、就可以表示个的正方形，即：，而、、、恰好可以拼成一个的大正方形．
由此可得：．
请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义求：要求写出结论并构造图形．
问题拓广：
请用上面的表示几何图形面积的方法探究： ______ 直接写出结论即可，不必写出解题过程
 

30.  本小题分
如图，直线与直线相交于，，将一个含，角的直角三角板如图所示摆放，使角的顶点和点重合，角的两边分别与直线、直线重合．
将图中的三角板绕着点顺时针旋转，如图所示，此时与互补的角有______ ；
将图中的三角板绕点顺时针继续旋转到图的位置所示，使得在的内部，猜想与之间的数量关系，并说明理由；
将图中的直角三角板绕点按每秒的速度顺时针旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，所在的直线恰好平行于，求．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形特征是解题的关键，是基础题，比较简单．
根据对顶角的特征，有公共顶点，且两边互为反向延长线，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】

解：、没有公共顶点，不是对顶角，故本选项错误；
B.、两边不互为反向延长线，不是对顶角，故本选项错误；
C.、两边不互为反向延长线，不是对顶角，故本选项错误；
D.、有公共顶点，两边互为反向延长线，是对顶角，故本选项正确．
故选D．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故选项A正确；
B.，故选项B错误；
C.与不能合并，故选项C错误；
D.，故选项D错误；
故选：．
分析：根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
故选：．
由平行线的性质得，再由垂线的定义可得三角形是直角三角形，根据三角形内角和定理，进而得出的度数．
本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：、互为补角的两个角和为，但两个角要么不相等，要么相等，故本选项不正确；
B、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故本选项不正确；
C、点到直线的距离，是指垂线段的长度，而不是垂线段，故本选项不正确；
D、设锐角为，则余角为，补角为，所以一个锐角的补角比这个角的余角大，故本选项是正确的．
故选：．
A、根据补角的定义来推断即可；
B、根据对顶角的定义来判断即可；
C、根据垂线段的定义来判断即可；
D、根据余角、补角的定义来判断即可．
本题考查的是余角、补角、对顶角、垂线段的定义，解题的关键是熟练掌握余角、补角、对顶角、垂线段的定义．
 

6.【答案】 

【解析】解：，由同位角相等，两直线平行，可判断；
B.，可得，不能判断；
C.由内错角相等，两直线平行，可判断；
D.，由同旁内角互补，两直线平行，可判断；
故选：．
根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行即可判断．
此题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
 

7.【答案】 

【解析】解：距离越来越大，选项错误；
B.距离越来越小，但前后变化快慢一样，选项错误；
C.距离越来越大，选项错误；
D.距离越来越小，且距离先变化慢，后变化快，选项正确；
故选：．
根据上学，可得离学校的距离越来越小，根据开始步行，距离变化慢，后来坐车，距离变化快即可解答．
本题考查了函数图象，观察距离随时间的变化是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：；
；
，
．
故选：．
利用平方差公式和完全平方公式对各选项进行判断．
本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差：也考查了完全平方公式．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
腰的长不能为，只能为，
等腰三角形的周长．
故选：．
题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握运算法则并灵活运用，利用各个面积之和等于总的面积是解题的关键．根据多项式乘多项式的法则得到，得到需要一个边长为的正方形，个边长为的正方形和个类卡片的面积是．
【解答】
解：．
则需要类卡片张数为张，
故选A．  

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
是折痕，
，，
，
．
故选：．
本题是折叠问题，此类题目解题关键是找准对应的重合关系．题中由于重合，，是核心问题．要求只要求出即可，而求只要求出就行，而易求问题得到解决．
本题重在找准，这也是解决折叠问题关键在．首先找准重合的部分，然后是相应的边、角．
 

12.【答案】 

【解析】解：设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则，，，
，
，
点为的中点，
，
图的阴影部分面积，
，
，
图的阴影部分面积


，
故选：．
设甲正方形边长为，乙正方形边长为，根据题意分别得到，，两式相加可得，在图中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得阴影部分面积．
本题考查了整式的加减，完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
根据同底数幂的除法法则计算即可求出答案．
本题考查同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法法则是解题的关键．
 

14.【答案】答案不唯一 

【解析】

本题主要考查了平行线的判定．
根据同位角相等，两直线平行即可求解．
【分析】
解：，
．
故答案为：答案不唯一  

15.【答案】或 

【解析】解：被墨水遮住的数字可能是或．
故答案为：或．
利用完全平方公式的结构特征判断即可．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：≌，，，
，，
．
故答案为：．
根据全等三角形的性质分别求出、的长，结合图形计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
故答案为：．
当时，超分钟的时间为：，单价为元，所以列式为：，化简解可．
本题考查了关系式，属于电话计费问题，注意时间的取值范围．
 

18.【答案】 

【解析】解：因为射线，
所以，
因为是的角平分线，
所以，
所以，
因为，所以，
同理，，
，
则．
故答案为：．
根据角平分线的定义和平行线的性质得到规律，即可求得的度数．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：

． 

【解析】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算法则计算得出答案．
 

20.【答案】解：原式
． 

【解析】根据有理数的乘方、负整数指数幂以及零次幂的性质进行计算即可．
本题考查有理数的乘方、负整数指数幂以及零次幂，掌握有理数的乘方、负整数指数幂以及零次幂的运算性质是正确解答的前提．
 

21.【答案】解：

． 

【解析】利用多项式除以单项式法则计算即可．
本题考查了多项式除法法则的应用，准确的计算是解题关键．
 

22.【答案】解：原式

，
当，时，
原式． 

【解析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用乘法公式化简，再合并同类项，把已知代入即可．
 

23.【答案】垂直的定义  已知      等量代换  内错角相等，两直线平行 

【解析】解：，，已知，
，垂直的定义，
即，，
又已知，
等量代换，
内错角相等，两直线平行．
故答案为：垂直的定义；已知；，，等量代换；内错角相等，两直线平行．
由垂直的定义得，，即，，求出，即可得出结论．
本题考查了平行线的判定以及垂直的定义；熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
 

24.【答案】解：当时，，所以时间是分钟时，学生的接受能力是；

当时，的值最大是，所以提出概念分钟时，学生的接受能力最强；

由表中数据可知：当时，值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当时，值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低． 

【解析】准确理解函数的概念：在运动变化过程中有两个变量和，对于的每一个值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，是自变量．
本题主要考查了函数的表示方法，根据表格准确理解函数的概念，函数值随自变量的变化而变化．
 

25.【答案】解：，
理由是：，
，
，
，
，
；
，
，
，
． 

【解析】本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可；
根据平行线的性质得出，即可求出答案．
 

26.【答案】解：在中，，，
，
平分，
．
，
，
，
．
，
，
． 

【解析】在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可得出的度数，由，可得出，利用三角形内角和定理，可求出的度数，将其代入中，可求出的度数，由，可得出，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数．
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及垂线，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．
 

27.【答案】解：阴影部分的面积为：大正方形的面积减去个长方形的面积再减去中间小正方形的面积，
草坪阴影面积为：，
草坪阴影面积为：平方米．
草坪的造价为：元，
故答案为：平方米；
元． 

【解析】根据已知条件，用大正方形的面积减去个长方形的面积再减去中间小正方形的面积即可求解．
把，及草坪的造价为每平米元代入代数式即可求解．
本题考查了面积的计算及代数式的求值，解题关键先求出代数式并化简，最后将已知条件代入即可得出答案．
 

28.【答案】时间  路程            

【解析】解：

由图可得：自变量是，因变量是，
故答案为：时间，路程；

由图可得：
明家到泉城公园的路程为，小明在新华书店逗留的时间为：；
故答案为：，；

小明从新华书店到泉城公园的平均速度为：，
小明爸爸驾车的平均速度为：；
爸爸驾车追上小明的时间：，
故答案为：，，；

爸爸的速度为，可设爸爸离家路程与小明离家时间之间的关系式为：，
代入得：，
解得：；
他离家路程与小明离家时间之间的关系式为：．
故答案为：．
根据图象进行判断，即可得出自变量与因变量；
根据图象中数据进行计算，即可得到路程与时间；
根据相应的路程除以时间，即可得出速度，根据结论可得爸爸驾车追上小明的时间；
利用待定系数法可得他离家路程与小明离家时间之间的关系式．
本题考查了函数的图象，以及行程问题的数量关系的运用，解答时理解清楚函数图象的意义是解答此题的关键．
 

29.【答案】       

【解析】解：左图的阴影部分的面积是，
右图的阴影部分的面积是，
，
这就验证了平方差公式；
故答案为：，，，
如图，表示个的正方形，即；
表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，
因此：、、就可以表示个的正方形，即：；
与，与和可以表示个的正方形，即；
而整个图形恰好可以拼成一个的大正方形，
由此可得：；
故答案为：；


由上面表示几何图形的面积探究可知，，
又，
．
故答案为：．
尝试解决：如图：边长为，的两个正方形，边保持平行，从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成个长方形并拼成一个大长方形．根据第一个图形的阴影部分的面积是，第二个图形的阴影部分的面积是，可以验证平方差公式；
尝试解决：如图，表示一个的正方形，、、表示个的正方形，、、、、表示个的正方形，而、、、、、、、、恰好可以拼成一个边长为的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出；
问题拓广：由上面表示几何图形的面积探究知，，进一步化简即可．
此题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法，利用数形结合是解题的关键．
 

30.【答案】、 

【解析】解：由旋转得，，
，
，
，，
与互补的角有、，
故答案为：、．
，
理由：直线与直线相交于，，
，
，
，，
．
如图，，且线段与射线在直线的同侧，
，，
，
，
解得；
如图，，且线段与射线在直线的异侧，
，，
，
，
解得，
综上所述，或．
由旋转得，，可推导出，则，，所以与互补的角有、，于是得到问题的答案；
先根据“对顶角相等”证明，则；
分两种情况求的值，一是，且线段与射线在直线的同侧，则，所以，于是得；二是，且线段与射线在直线的异侧，则，所以，于是得，解方程求出相应的值即可．
此题重点考查相交线与平行线、对顶角相等、“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”、旋转的性质、一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．