2022-2023学年浙江省杭州市萧山区八校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市萧山区八校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 斐波那契螺旋线 B. 笛卡尔心形线
C. 赵爽弦图 D. 科克曲线

3.  若，则一元二次方程必有一根是(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

4.  有位同学参加学校举行的歌唱比赛，比赛后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不会发生变化的是(    )

A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差

5.  如图，在▱中，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如果一组数据，，，，的方差与另一组数据，，，，的方差相等，那么的值(    )

A.  B.  C. 或 D. 无法确定

7.  如图，面积为的长方形试验田一面靠墙墙的长度不限，另外三面用长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇宽的门门的材料另计设试验田垂直于墙的一边的长为，则所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在平行四边形中，，是对角线上不同的两点，连接，，，下列条件中，不能得出四边形一定是平行四边形的为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  已知关于的方程，，则下列说法正确的是(    )

A. 不存在的值，使得方程有两个相等的实数解
B. 至少存在一个的值，使得方程没有实数解
C. 无论为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D. 无论为何值，方程有两个不相等的实数根

10.  如图，在▱中，，，点是上一个动点，以、为邻边作另一个▱，当点由点向点运动时，下列说法正确的选项是(    )
▱的面积先由小变大，再由大变小
▱的面积始终不变
线段最小值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  若二次根式有意义，则的取值范围是______．

12.  正边形的一个内角为，则 ______ ．

13.  已知一组数据，，，的平均数是，则数据，，，的平均数是______ ．

14.  已知，，则______．

15.  已知实数，满足，则代数式的最小值是______ ．

16.  如图，在▱中，，，▱的面积为，动点从点出发，以个单位长度的速度沿线段向终点运动，同时动点从点出发以个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，连结设运动时间为秒．
则和之间的距离为______ ；
当平分▱的面积时，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算下列各式：
；
．

18.  本小题分
解下列方程：
；
．

19.  本小题分
年大年初一上映两部电影，满江红和流浪地球，为了解学生对这两部影片的评价，某调查小组从该校八年级中随机抽取了名学生对这两部作品分别进行打分满分分，并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
满江红得分情况：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数：

根据图表信息，解答下列问题：
直接写出图表中的，，的值；
根据上述数据，你认为该校八年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由．

20.  本小题分
如图，在▱中，平分交于点，交于点，平分交于点．
求证：；
若，求的度数．

21.  本小题分
今年大德福超市以每件元的进价购进一批商品，当商品售价为元时，三月份销售件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件．
求四、五这两个月的月平均增长率．
从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销量增加件，当商品降价多少元时，商场月获利元？

22.  本小题分
已知一元二次方程．
若方程两根为和，则；
若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
若是方程的一个根，则一定有成立．
判断以上说法是否正确，并说明理由．

23.  本小题分
如图，已知在四边形中，，，连结、，与交于点．

如图，求证：；
如图，过点作于，为的中点，连接，若，，，求的值；
在的条件下，在上移动，当为等腰三角形时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．；本选项不符合题意．
B.；本选项不符合题意．
C.正确．本选项符合题意．
D.；本选项不符合题意．
故选：．
利用最简二次根式的判定方法判定．
本题考查了二次根式的化简，要熟练记住化简的法则．
 

2.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原来的图形重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
方程必有一根为，
故选：．
由可知把换成成立，则可求得答案．
本题主要考查一元二次方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选：．
根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．
 

5.【答案】 

【解析】解：平行四边形，
，，
，
，
．
故选：．
根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：一组数据，，，，的方差与另一组数据，，，，的方差相等，
这组数据可能是，，，，或，，，，，
或，
故选：．
根据数据，，与数据，，，的方差相同这个结论即可解决问题．
本题考查方差、平均数等知识，解题的关键利用结论：数据，，与数据，，，的方差相同解决问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：篱笆的总长为，且，平行于墙的一边开有一扇宽的门，
．
依题意得：．
故选：．
根据篱笆的总长及的长度，可得出，利用长方形的面积计算公式，结合长方形试验田的面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接与相交于，
在▱中，，，
要使四边形为平行四边形，只需证明得到即可；
A、若，则，即，故本选项不符合题意；
B、若，则无法判断，故本选项符合题意；
C、能够利用“角角边”证明和全等，从而得到，故本选项不符合题意；
D、由，从而推出≌，然后得出，，，由全等可知，所以四边形是平行四边形；故本选项不符合题意；
故选：．
连接与相交于，根据平行四边形的对角线互相平分可得，，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在方程中，．
此方程有两个实数根；
故选：．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出，即可根据根的判别式的值判断根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作于点，
则，
与的值始终不变化，
的面积始终不变化，
▱的面积的面积，
▱的面积始终不变
错误，正确；

连接，与交于点，
四边形是平行四边形，
，，
当时，的值最小，的值也最小，
此时，，
，，
，
，
，
，
线段最小值为．
正确，
故选：．
过点作于点，根据三角形的面积公式知的面积始终不变化，进而根据平行四边形与三角形的面积关系得出▱的面积始终不变，便可判断、的正误；连接，与交于点，由于始终经过的中点，当与垂直时，的值最小，求出此时的的值便可．
本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理，平行线间的距离的性质，垂线段最短性质，关键是综合运用这些性质进行解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：二次根式有意义，
，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数是非负数，可得出的取值范围．
本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握：二次根式有意义，被开方数为非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：正边形的一个内角为，
边形的外角都为．
又多边形的外角和为，
．
故答案为：．
根据多边形的内角得出多边形的外角，再用多边形的外角和除以多边形外角的度数，即可得出答案．
本题考查了多边形的内角和定理，掌握正多边形的性质和多边形的内角和定理是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，的平均数是．
，，，的和是．
，
，，，的平均数是．
故答案为：．
根据平均数的计算公式即可求解，然后利用平均数的计算公式分别表示后两组数据的平均数，经过代数式的变形可得答案．
本题主要考查了平均数的计算．正确理解公式是解题的关键．在计算中正确使用整体代入的思想．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，


，


，
则原式．
故答案为：．
由与的值，求出与的值，原式提取公因式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，



，
，
，
当时，
的最小值是．
故答案为：．
由得，，代入中，化简后配方，即可求出最小值．
本题考查了二次函数求最值，熟练掌握配方法是解题关键．
 

16.【答案】  或或 

【解析】解：设和之间的距离为，
，▱的面积为，
，
，
和之间的距离为．
故答案为：．
平分▱的面积，▱是中心对称图形，
经过▱的中心，
，
当时，
，，
，
；
当时，
，，
，
；
当时，
，，
，
．
当平分▱的面积时，或或．
故答案为：或或．
由平行四边形的面积公式即可求解；
由平行四边形的性质，中心对称的性质得到，分三种情况讨论即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，中心对称，关键是由平行四边形的性质，中心对称的性质，得到，并分情况讨论．
 

17.【答案】解：

；



． 

【解析】先算乘法，再算加减即可；
利用完全平方公式进行求解即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

18.【答案】解：，
，
，即，
或，
，；
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用配方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

19.【答案】解：流浪地球调查得分为“分”所占的百分比为：，即，
满江红调查得分从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是，即，
流浪地球调查得分出现次数最多的是分，共出现次，因此众数是，即，
答：，，；
该校八年级学生对满江红评价更高，理由如下：
满江红调查得分的平均数、中位数、众数均比和流浪地球高． 

【解析】根据流浪地球调查得分为“分”所占的百分比，即可求出“分”所占的百分比，确定的值，根据中位数、众数的意义可求出、的值，
通过平均数、中位数、众数的比较得出答案．
本题考查条形统计图，频数分布表，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义是解决问题的前提，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键．
 

20.【答案】解：证明：四边形是平行四边形，

，，
，
平分，平分，
，
在与中，

≌，
；
四边形是平行四边形，
，，
，
，
平分，，
． 

【解析】本题考查平行四边形的性质．
根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
根据平行四边形的性质解答即可．
 

21.【答案】解：设四、五这两个月的月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：四、五这两个月的月平均增长率为；
设商品降价元，则每件获利元，月销售量为件，
依题意得：，
解得：，不合题意舍去．
答：当商品降价元时，商场月获利元． 

【解析】设四、五这两个月的月平均增长率为，利用五月份的销售量三月份的销售量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设商品降价元，则每件获利元，月销售量为件，利用商场销售该商品月销售利润每件的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：方程两根为和，
，
，
正确；
，
，
正确；
是方程的一个根，
，
，

，
正确；
正确． 

【解析】根据根与系数的关系式解答；
根据根的判别式解答；
根据一元二次方程的解的意义解答．
本题考查了根与系数的关系、根的判别式、一元二次方程的解，掌握这三个知识点的应用是解题关键．
 

23.【答案】证明：，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
；
解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，点是的中点，
，
，
；
解：如图，连接，
若时，则，
若时，，，
，
，
若时，
，
，
，
综上所述，的长为或或． 

【解析】根据平行线的性质河判定可得，则，即可证明结论；
首先可得是等腰直角三角形，从而得出的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质得出的长，最后勾股定理求出的长，从而解决问题；
分或或三种情形，分别计算即可．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．