专题10 平行线中点模型与雨伞模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破（解析版）

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专题10 平行线中点模型与雨伞模型
平行线中点模型概述：平行线之间夹中点，通过延长过中点的线段与平行线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移。
平行线中点模型：已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB、CD上，点O为线段EF的中点，延长PO交CD于点Q，则∆POE ≌ ∆QOF
证明: ∵AB∥CD ∴∠PEO =∠OFQ
∵点O为线段EF的中点 ∴EO=OF
在∆POE和∆QOF中
∠PEO =∠OFQ
EO=OF
∠POE =∠QOF
∴∆POE ≌ ∆QOF（ASA）
雨伞模型：如图AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂足为点D，延长BD交AC于点C,
则∆ABD ≌ ∆ACD，AB=AC，BD=CD
证明：∵AP平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD
∵BD⊥AP ∴∠BDA=∠CDA
在∆ABD和∆ACD中
∠BAD=∠CAD
AD=AD
∠BDA=∠CDA
∴∆ABD ≌ ∆ACD（ASA）
∴AB=AC，BD=CD
【平行线中点模型过关练】
1．如图，正方形的边长为，在正方形的右侧作矩形，点在边的延长线上，，点，，在同一条直线上，，连接，点是的中点，则线段的长为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长GH交AD延长线于M，证△AMH≌△FGH (ASA)，得MH = GH，AM=GF=3cm，则DM=1cm，再由勾股定理得GM，即可得出结论．
【详解】如图，延长GH交AD延长线于M，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD= CD = 2cm， AD//BC，∠GDM=∠ADC = 90°，
∵四边形CEFG是矩形，
∴ GF= CE= 3cm， CE//GF，
∴AD//GF，
∴∠GFH =∠MAH，
∵点H是AF的中点，
∴AH= FH，
在△AMH和△FGH中，
，
∴△AMH≌△FGH (ASA)，
∴MH=GH，AM=GF=3cm，
∴DM = AM- AD=3-2= 1 (cm)，
∵CG=5cm，
∴ GD= CG- CD=5-2= 3 (cm)，
在Rt△GDM中，由勾股定理得：
GM= cm，
cm，
故选： A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
2．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝_______．

【答案】
【分析】延长GH交AD于M点，由矩形的性质得出CD=CE=FG=1，BC=EF=CG=3，BE∥AD∥FG，推出DG=CG-CD=2，∠HAM=∠HFG，由ASA证得△AMH≌△FGH，得出AM=FG=1，MH=GH，则MD=AD-AM=2，在Rt△MDG中，根据勾股定理得到GM，即可得出结果．
【详解】解：延长GH交AD于M点，如图所示：

∵四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，
∴CD=CE=FG=1，BC=EF=CG=3，BE∥AD∥FG，
∴DG=CGCD=3-1=2，∠HAM=∠HFG，
∵AF的中点H，
∴AH=FH，
在△AMH和△FGH中，
，
∴△AMH≌△FGH（ASA）．
∴AM=FG=1，MH=GH，
∴MD=AD-AM=31=2，
在Rt△MDG中，GM=，
∴GH=GM=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
3．如图，□ABCD的顶点C在等边的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若，，则BG的长为______．

【答案】
【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF和BE的长，然后证明△DCG和△EHG全等，可得DC＝EH，CG＝HG，求出BH＝3，证明△CBH是等边三角形，即可得到CG的长，然后利用勾股定理求出BG即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，
∵AD＝3，AB＝CF＝2，
∴CD＝2，BC＝3，
∴BF＝BC＋CF＝5，
∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，
∴BF＝BE＝5，DG＝EG，
延长CG交BE于点H，连接BG，

∵DC∥AB，
∴∠CDG＝∠HEG，
在△DCG和△EHG中，，
∴△DCG≌△EHG（ASA），
∴DC＝EH，CG＝HG，
∵CD＝2，BE＝5，
∴HE＝2，BH＝3，
∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝3，
∴△CBH是等边三角形，
∴CH＝BC＝3，BG⊥CH，
∴CG＝CH＝，
∴BG＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为 _____．


【答案】
【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF和BE的长，然后可以证明△DCG和△EHG全等，然后即可得到CG的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB，DC∥AB，
∵AD=3，AB=CF=2，
∴CD=2，BC=3，
∴BF=BC+CF=5，
∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，
∴BF=BE=5，DG=EG，
延长CG交BE于点H，
∵DC∥AB，
∴∠CDG=∠HEG，
在△DCG和△EHG中，
，
∴△DCG≌△EHG（ASA），
∴DC=EH，CG=HG，
∵CD=2，BE=5，
∴HE=2，BH=3，
∵∠CBH=60°，BC=BH=3，
∴△CBH是等边三角形，
∴CH=BC=3，
∴CG=CH=，
故答案为：．


【点睛】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为___________．

【答案】50°．
【详解】试题分析：如图，延长AD、EF相交于点H，

∵F是CD的中点，
∴CF=DF，
∵菱形对边AD∥BC，
∴∠H=∠CEF，
在△CEF和△DHF中，
，
∴△CEF≌△DHF（AAS），
∴EF=FH，
∵EG⊥AD，
∴GF=FH，
∴∠DGF=∠H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠C=∠A=80°，
∵菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE=CF，
在△CEF中，∠CEF=（180°﹣80°）=50°，
∴∠DGF=∠H=∠CEF=50°．
故答案是50°．
6．如图，已知等边三角形的边长为4，过边上一点P作于点E，Q为延长线上一点，取，连接，交于M，则的长为______．

【答案】2
【分析】过P作交于F，证明，再证明，得证，根据证明即可．
【详解】解：过P作交于F，如图所示：

∵，是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．
7．如图，在等边△ABC中，点D是边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE＝DA，连接DE交AC于点F，过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H．

(1)求证：AG＝AD；
(2)求证：DF＝EF；
(3)若CF＝CE，S△ADG＝2，求△DGF的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)6

【分析】（1）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求证．
（2）根据平行线的性质可得及等边三角形的性质，利用AAS可证得△DHF≌△ECF，根据全等三角形的性质即可求证结论．
（3）根据等边三角形的性质可得AG＝GH，再根据全等三角形的性质可得HF＝CF，利用等量关系可得GF＝3AG，利用等高三角形面积之间的关系即可求解．
(1)
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD＝90°，∠ADG＝30°，
∴．
(2)
∵，
∴∠ADH＝∠B，∠AHD＝∠ACB，∠FDH＝∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠A＝∠ADH＝∠AHD＝60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴DH＝AD，
∵AD＝CE，
∴DH＝CE，
在△DHF和△ECF中，
，
∴△DHF≌△ECF（AAS），
∴DF＝EF，
(3)
∵△ABC是等边三角形，DG⊥AC，AD＝DH，
∴AG＝GH，
∵△DHF≌△ECF，
∴HF＝CF，
∵CF＝CE，DH＝CE，
∴HF＝AH，
∴GF＝3AG，
∵△DGF和△ADG等高，
∴S△DGF＝3S△ADG＝6．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质以及含30°直角三角形的性质，此题难度适中，注意数形结合思想的应用．
8．（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图（1），等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长.
小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题.请根据小明同学的思路直接写出DE的长.
（2）【类比探究】
老师引导同学继续研究：
①等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时,作PE⊥CA的延长线于点E ，Q为边BC上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D．请你在图（2）中补全图形并求DE的长.
②已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时,作PE⊥射线AC于点E， Q为哪一个（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP=CQ，连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变.( 直接写出答案的编号)
    
【答案】（1）DE=1；(2) ①正确补全图形见解析，② ②.
【分析】（1）过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DEAC即可；
（2）①过点P作PF∥BC交CA的延长线与点F，由平行线的性质得出∠PFA=∠C．
再证明△APF为等边三角形，得到AP=PF．进一步得到AE=FE=．由SAS证明△FDP≌△CDQ，得到FD=CD=，根据线段的和差即可得到结论．
②如图，过P作直线PF∥BC交直线AC于F，通过证明△APF是等边三角形，得到AP=PF．进而得到EF=AE=AF．再由线段的和差即可得出结论．
【详解】（1）过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF．
∵PE⊥AC，∴AE=EF．
∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．
在△PFD和△QCD中，∵，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD．
∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DEAC．
∵AC=2，∴DE=1．

(2)①正确补全图形．

过点P作PF∥BC交CA的延长线与点F，∴∠PFA=∠C．
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，∴∠PFA=∠PAF=60°，∴△APF为等边三角形，∴AP=PF．
又∵PE⊥CA的延长线于点E，∴AE=FE=．
∵AP=CQ，∴PF=QC．
∵∠FDP=∠CDQ，∴△FDP≌△CDQ，∴FD=CD=，∴DE=DF﹣EF=．
② 答案为②．理由如下：
如图，过P作直线PF∥BC交直线AC于F，∴∠APF=∠ABC=60°．
∵∠A=60°，∴△APF是等边三角形，∴AP=PF．
∵AP=CQ，∴PF=QC．
∵PF∥BC，∴∠F=∠DCQ，∠FPD=∠Q．
在△DPF和△DQC中，∵∠F=∠DCQ，PF=QC，∠FPD=∠Q，∴△DPF≌△DQC，∴CD=DF=CF．
∵△APF是等边三角形，PE⊥AF，∴EF=AE=AF．
∵ED=EF﹣DF，∴ED=AF﹣CF=（AF﹣CF）=AC．
∵AC的长度不变，∴DE的长度保持不变．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解答此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
9．在数学综合实践课上，老师给出了下列问题．
(1)探究结论
在图1中，，点P是两平行线之间的一点，则，，之间的关系是_______．

(2)应用结论
在图2中，，PB平分，，若为等腰三角形，求的度数_______．

(3)拓展延伸
在图3中，，点P是的中点，．试判断AB，AC，BD之间有什么关系，并说明理由．

【答案】(1)
(2)的度数为或
(3)，理由见解析
【分析】(1)作，根据平行线的判定与性质可得出．
(2)分①当时，②当时，③当时三种情况讨论即可．
(3)延长交直线于F点，证明即可求解．
【详解】（1）作，如图1，

∵，
∴，
∴，(两直线平行，内错角相等)，
∵，
∴；
（2）∵PB平分，如图2，
∴,

设，
∵为等腰三角形，
∴分三种情况讨论，
①当时，,
∴,
∵由(1)知，且，
∴，
解得：；
∴；
②当时，，
∴,
无解，此情况舍去，
③当时，，
∴，
解得：，
∴．
综上可知：的度数为或．
（3）的关系为，
延长交直线于F点，如图3，

由(1)得，
∵，
∴，
，
∵点P是的中点，
∴，
∴,
∴,
∵,
,
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质，学会添加常用辅助线构造平行线是解题关键．
10．【问题情境】兴趣小组活动时，老师提出了如下问题，如图1，在△ABC中， AB＝16，AC＝10，求BC边上的中线AD的取值范围．经过小组合作交流，卓越小组得到了如下的解决方法：延 AD至点E，使DE＝AD，连接BE．勤思小组得到的方法是，过点B作直线AC的平行线BE，并交AD的延长线于点E．请结合两个小组提供的方法思考：

(1)图1中，BC边上的中线AD长度的取值范围是 ；
(2)【灵活运用】如图 2，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)【拓展延伸】如图3，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，若AB＝10，CF＝4，DF＝6，求证∠EDF＝∠BAE．
【答案】(1)3