专题14 将军饮马问题-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破（解析版）

这是一份专题14 将军饮马问题-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破（解析版），共47页。

专题14 将军饮马问题
模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营。问如何行走才能使总的路程最短。
模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。



方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。
模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。



数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。
方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P’、P’’，连接P’ P’’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’ P’’的长。
模型四 如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。


数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。
方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P’、Q’，连接P’ Q’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P’Q’)的长。
模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短。
模型五：已知点P在直线AB、BC的外侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值

方法：如右图，过点P作PN⊥BC，垂足为点N，PN与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段PN的长。
模型六：已知点P在直线AB、BC的内侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值

方法：如右图，作点P关于直线AB的对称点P’，过点P’作P’N⊥BC，垂足为点N，P’N与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’N的长。
模型五、模型六的理论依据：垂线段最短。
模型七（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值

方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB
模型八（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。

方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’
模型七、模型八的理论依据：在三角形中两边之差小于第三边。
模型九 在直线L上求一点P，求|PA-PB|的最小值。


方法：如右图，作线段AB的垂直平分线与直线L相交于点P，|PA-PB|最小值为0。
模型九的理论依据：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等。
模型十：如图，一条宽度相同的河流两侧有A、B两个营地，将军令下属在河流间搭建一座垂直于河岸的桥梁MN，使得AM+MN+NB之和最短，在何处搭建桥梁才能完成任务呢？

方法：如右图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A’，连接A’B，交n于点N，过点N作MN⊥m，垂足为点M，点M和点N即为所求，最短距离为A’B+MN
模型十一：线段MN在直线L上可移动，且MN=a，当MN移动到什么位置时，求AM+MN+NB最小值。



方法：如右图，将点A向右平移a个单位长度得点A’，作B关于直线L的对称点B’，连接A’B’，交直线L于点N，将点N向左平移a个单位长度得点M，点M和点N即为所求，最短距离为A’B’+MN
模型十、十一的理论依据：平行四边形的性质+两点之间线段最短。
【培优训练】
1．（2022秋·广东韶关·八年级校考期中）如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为_________．

【答案】6
【分析】连接BE交AD于M，则BE就是EM+CM的最小值，通过等腰三角形的“三线合一”，可得BE=AD即可得出结论．
【详解】解：连接BE，与AD交于点M．

∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴B、C关于AD对称，则EM+CM=EM+BM，
则BE就是EM+CM的最小值．
∵E是等边△ABC的边AC的中点，AD是中线
∴BE=AD=6，
∴EM+CM的最小值为6，
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质—“三线合一”、等边三角形的性质和轴对称等知识的综合应用，解题关键是找到M点的位置．
2．（2022·广东·九年级专题练习）已知点，，在x轴上的点C，使得最小，则点C的横坐标为_______．
【答案】
【分析】作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，与x轴的交点即为点C，连接AC，则AC＋BC的最小值等于A'B的长，利用待定系数法求得直线A'B的解析式，即可得到点C的坐标．
【详解】解：如图所示，作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，与x轴的交点即为点C，
连接AC，则AC＋BC的最小值等于A'B的长，
∵A（1，1），
∴A'（1，−1），
设直线A'B的解析式为y＝kx＋b（k≠0），
把A'（1，−1），B（3，5）代入得，
解得，
∴y＝3x−4，
当y＝0时，x＝，
∴点C的横坐标为，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．

【答案】3
【分析】根据“将军饮马”模型将最短路径问题转化为所学知识“两点之间线段最短”可找到周长的最小的位置，作出图示，充分利用对称性以及，对线段长度进行等量转化即可．
【详解】
解：如图所示，过点P分别作P点关于OB、OA边的对称点、，连接、、、、，其中分别交OB、OA于点N、M，根据“两点之间线段最短”可知，此时点M、N的位置是使得周长的最小的位置．
由对称性可知：，
，



为等边三角形

的周长===3
故答案为：3
【点睛】本题是典型的的最短路径问题，考查了最短路径中的“将军饮马”模型，能够熟练利用其原理“两点之间线段最短”作出最短路径示意图是解决本题的关键．
4．（2021秋·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，等边的边长为4，点是边的中点，点是的中线上的动点，则的最小值是_____．

【答案】
【分析】当连接BE，交AD于点P时，EP+CP=EP+PB=EB取得最小值．
【详解】解：连接BE

∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点C关于AD的对应点为点B，
∴BE就是EP+CP的最小值．
∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，
∴BE是△ABC的中线，
∴CE＝AC＝2，
∴
即EP+CP的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题以及等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是解题的关键．
5．（2022春·浙江台州·八年级校考开学考试）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____．

【答案】4
【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，证明△CBD≌△BD，得到CD=D，推出当A、D、三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=B+AB=4．
【详解】解：如图，连接D，
∵正△ABC的边长为2，△ABC与△A′BC′关于直线l对称，
∴∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，
∴∠CB=60°，
∴∠CB=∠B，
∵BD=BD，
∴△CBD≌△BD，
∴CD=D，
∴AD+CD=D+CD，
∴当A、D、三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=B+AB=4，
故答案为：4．
．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．
6．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．

【答案】80
【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．
【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，

∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，
∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，
∴NA＝NA2，MA＝MA1，
∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，
∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，
∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）
＝130°﹣50°
＝80°，
故答案为：80．
【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键．
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，∠AOB＝45°，角内有一点P，PO＝10，在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是____；当△PQR周长最小时，∠QPR的度数＝__．

【答案】     10     90°
【详解】思路引领：根据轴对称图形的性质，作出P关于OA、OB的对称点M、N，连接AB，根据两点之间线段最短得到最小值线段，再构造直角三角形，利用勾股定理求出MN的值即可．
根据对称的性质求得∠OMN+∠ONM＝∠OPQ+∠OPR，即可求得∠QPR的度数．
答案详解：分别作P关于OA、OB的对称点M、N．
连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件．
连接OM、ON，
则OM＝ON＝OP＝10，
∠MON＝∠MOP+∠NOP＝2∠AOB＝2×45°＝90°，
故△MON为等腰直角三角形．
∴MN10．
根据对称的性质得到∠OMN＝∠OPQ，∠ONM＝∠OPR，
∴∠OMN+∠ONM＝∠OPQ+∠OPR，
∵△MON为等腰直角三角形，
∴∠OMN+∠ONM＝90°，
∴∠OPQ+∠OPR＝90°，
即∠QPR＝90°．
故答案为10，90°．

8．（2019·黑龙江伊春·统考中考真题）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为_____．

【答案】
【分析】由于S△PAB=S△PCD，这两个三角形等底同高，可得点P在线段AD的垂直平分线上，根据最短路径问题，可得PC+PD=AC此时最小，有勾股定理可求结果．
【详解】为矩形，

又

点到的距离与到的距离相等，即点线段垂直平分线上，
连接，交与点，此时的值最小，
且
故答案为
【点睛】此题考查垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，解题关键在于作辅助线
9．（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，在中，，，的面积为12，的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上的一动点，则周长的最小值为______．

【答案】8
【分析】连接，，的周长为，因为为定值，所以取最小值时，周长取最小值，求出的最小值即可．
【详解】如图，连接，．的周长为，
为定值，
取最小值时，周长取最小值．
，是边的中点，
是边的中线，．
，
．
是线段的垂直平分线，点、关于直线EF对称．
．
当点为与的交点时，取最小值，的长即为的最小值．周长的最小值为．
故答案为：8．

【点睛】本题考查了三角形的动点问题，掌握垂直平分线的性质、中线的性质是解题的关键．
10．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_________．

【答案】
【详解】解：作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N',连接两对称点M'N'，交OB、OA于P、Q.此时MP＋PQ＋QN有最小值，

根据线段垂直平分线性质和两点之间线段最短，MP＋PQ＋QN=M'P+PQ＋QN'=M'N'，M'N'的长度就是所求的MP＋PQ＋QN的最小值.
分别连接OM',ON',∠N'OA＝∠AOB＝30°，∠M'OB＝∠AOB＝30°，所以∠M'ON'=90º，所以三角形M'ON'是直角三角形,OM'=OM＝1，ON'=ON＝3，由勾股定理得M'N'为.
所以MP＋PQ＋QN的最小值是.
故答案是：．
11．（2021秋·山东济南·八年级济南市章丘区实验中学校考阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB、AC的中点，在CD上找一点P，连接AP、EP，当AP+EP最小时，这个最小值是_____．

【答案】
【分析】要求PA+PE的最小值，PA，PE不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PA，PE的值，从而找出其最小值求解．
【详解】如图，∵AC＝BC＝4，点D，是AB的中点，
∴A、B关于CD对称，连接BE，
则BE就是PA+PE的最小值，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=4，点E是AC的中点，
∴CE=2cm，
∴BE=，
∴PA+PE的最小值是

12．（2021秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点，若有一点，当的值最小时， ________．
【答案】##
【分析】因为的坐标满足关系：与的和为，即点在直线上，故问题转化为在上取一点，
使得这点到点的距离和最小即可．
【详解】如下图所示：因为的坐标满足关系：与的和为，
即点在直线上，
作点关于直线对称的点，得出点坐标为，
连接交直线于点，此时最小，
设直线的解析式为，将代入，
得：，解得，
即直线的解析式为，
联立两直线方程得：，解得：，
即点坐标为，即， ，
解得，
故答案为：．

【点睛】本题利用平面直角坐标系考查了线段和最小问题，关键要将此题转化为“将军饮马”模型，即直线上一点到两定点的距离和最小问题．
13．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在一条东西向的马路上有广场A和医院C，在各自正北方向上分别有汽车站B和汽车站D，已知AC＝14km，AB＝4km，CD＝8km，市政府打算在马路AC段之间建造一个加油站P．
（1）若要使得加油站P到两汽车站的距离之和最小，请用尺规作图在图1中作出加油站P的位置，并直接写出此时的最小值．（作图请保留痕迹，结果可以保留根号）
（2）若要使得加油站到两汽车站的距离相等，请用尺规作图在图2中作出加油站P的位置，并求出此时PA的距离．（作图请保留痕迹）

【答案】（1）图见解析，km；（2）图见解析，km．
【分析】（1）作点B关于AC的对称点B′，连接DB′交AC于点P，连接PB，此时PB+PD的值最小，利用勾股定理求出最小值；
（2）连接BD，作线段BD的垂直平分线交AC于点P，连接PB，PD，点P即为所求，设PA＝xkm，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）如图1中，点P即为所求．

过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E．则四边形ACDE是矩形，
∴AC＝DE＝14（km），CD＝AE＝8（km），
∵AB＝AB′＝4km，
∴EB′＝AE+AB′＝12（km），
∴PB+PD的最小值＝DB′＝＝＝（km）．
（2）如图2中，点P即为所求，
设PA＝xkm，CP＝（14﹣x）km，
∵∠A＝∠C＝90°，
在Rt△ABP和Rt△PCD中，PB＝PD，
∴42+x2＝82+（14﹣x）2，
解得x＝
∴AP＝（km）．
【点睛】本题考查了根据轴对称的性质求最短距离，作轴对称和作垂直平分线，勾股定理解直角三角形，掌握垂直平分线的性质，勾股定理是解题的关键．
14．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，牧童在离河边3km的A处牧马，小屋位于他南6km东9km的B处，他想把他的马牵到河边饮水，然后回小屋．他要完成此过程所走的最短路程是多少？并在图中画出饮水C所在在位置（保留作图痕迹）．

【答案】最短路程是；画图见解析．
【分析】先作关于的对称点，连接，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．
【详解】解：如图，作出点关于的对称点，连接交于点，则点是马饮水的位置，
根据对称性可得，,
则，
∴，
由已知得，，，
在中，由勾股定理求得
，
即，
答：他要完成这件事情所走的最短路程是，饮水所在位置．

【点睛】本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联系实际，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
15．（2021秋·陕西商洛·八年级统考期末）如图，点A是将军和马居住的营帐，点B是一块儿指定的草地，一条小河L潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，P点在何处时，将军和马儿走过的路的值最小．

(1)请在图中画出最短路径，标出点P的位置；
(2)证明这时最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）作点A关于L的对称点，连接交L于点P，P点即为所求；
（2）在L上另取一点，连接、，在中，当点与点P重合时，有：，即：，即问题得证．
【详解】（1）如图，作点A关于L的对称点，连接交L于点P，

P点即为所求．
（2）在L上另取一点，
连接、，在中，
当点与点P重合时，有：，
即：，
∴当位于点P时，最小．
【点睛】本题属于一类将军饮马的问题，掌握P点的作图方法是解答本题的关键．
16．（2020秋·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第九中学校考期中）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
（1）画出△ABC关于直线MN对称的．
（2）若B为坐标原点，请写出、、的坐标，并直接写出的长度．．
（3）如图2，A，C是直线同侧固定的点，D是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点D，使最小．（保留作图痕迹）

【答案】（1）画图见解析；（2），；（3）画图见解析
【分析】（1）分别确定关于对称的对称点 再顺次连接从而可得答案；
（2）根据在坐标系内的位置直接写其坐标与的长度即可；
（3）先确定关于的对称点，再连接 交于 则 从而可得答案.
【详解】解：（1）如图1，是所求作的三角形，

（2）如图1，为坐标原点，
则
  
（3）如图2，点即为所求作的点.

【点睛】本题考查的是画轴对称图形，建立坐标系，用根据点的位置确定点的坐标，轴对称的性质，掌握“利用轴对称的性质得到两条线段和取最小值时点的位置”是解本题的关键.
本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．
17．（2022秋·广东广州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC底边BC上的中线，点P为线段AB上一点．
（1）在AD上找一点E，使得PE+EB的值最小；
（2）若点P为AB的中点，当∠BPE满足什么条件时，△ABC是等边三角形，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）∠BPE=90°，理由见解析
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD垂直平分BC，再根据两点间线段最短的性质，连接CP交AD于点E，并连接BE，即可得解；
（2）因为P为AB的中点，要使△ABC是等边三角形，则需BC=AB，根据等腰三角形三线合一的性质，所以CP⊥AB，即∠BPE=90°．
【详解】解：（1）如图，连接CP交AB于点E，则点E为所求；

（2）∠BPE=90° ，理由如下：
∵∠BPE=90°
∴CP⊥AB，
∵点P为AB的中点，
∴CP垂直平分AB
∴CA=CB
∵AB=AC
∴AB=AC=BC
∴△ABC是等边三角形
【点睛】本题主要考查等腰三角形三线合一的性质以及对称、两点间线段最短、线段中垂线定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．
18．（2021春·河北承德·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．

（1）在图中作出关于轴的对称图形；
（2）写出点，，的坐标，并求出的面积；
（3）若在轴上存在点使最小，则点的坐标为______．
【答案】（1）见解析；（2），，，4.5；（3）
【分析】（1）根据对称图形的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分，描点即可；
（2）根据点的位置写出点，，的坐标，用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积；
（3）连接交轴于点，根据两点之间线段最短可判断此时点满足条件，利用一次函数求出直线AB1与x轴交点坐标P即可．
【详解】解：（1）如图，△为所作；

（2），，；
的面积，
（3）如图，连接交轴于点，点为所作．
∵设直线AB1解析式为，把 、代入解析式得：
；
解得： ，
即直线AB1解析式为
∴当时，， P坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质及最短路径问题，难点是利用对称性质找出P点位置并利用一次函数求出点P坐标．
19．（2023秋·内蒙古通辽·九年级校考期中）如图，抛物线与x轴交于两点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)观察函数图象，直接写出当x取何值时，？
(3)设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)当或时，；
(3)Q点坐标为．

【分析】（1）已知了抛物线过A、B两点，而抛物线的解析式中也只有两个待定系数，因此可将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，也就得出了二次函数的解析式；
（2）观察图象即可解决问题；
（3）本题的关键是找出Q点的位置，已知了B与A点关于抛物线的对称轴对称，因此只需连接，直线与对称轴的交点即为Q点．可根据B、C两点的坐标先求出直线的解析式，然后联立抛物线对称轴的解析式即可求出Q点的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的两个交点分别为，
∴，解得，
∴所求抛物线的解析式为；
（2）解：观察函数图象，当或时，，
故答案为或；
（3）解：在抛物线对称轴上存在点Q，使的周长最小．
∵长为定值，
∴要使的周长最小，只需最小，
∵点A关于对称轴直线的对称点是，
∴Q是直线与对称轴直线的交点，
设过点B，C的直线的解析式，把代入，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
把代入上式，
∴，

∴Q点坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的确定，函数图象的交点等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．
20．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于、，与轴交于点，点为的中点，点、分别为轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接、、，求四边形周长最小时点、的坐标．

【答案】当四边形周长最小时，点的坐标，点的坐标为．
【分析】作点关于轴的对称点，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，交轴于点．求出直线的解析为，进一步可得出结论．
【详解】如图，作点关于轴的对称点，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，交轴于点．由对称知，，

此时四边形的周长为．
此时四边形的周长最小，最小值为．
，，
抛物线对称轴为直线．
．
为的中点，．
．
设直线的解析式为．
将点、的坐标代入可得解得
直线的解析为．
令，则，点的坐标为．
令，则，点的坐标为．
当四边形周长最小时，点的坐标，点的坐标为．
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，四边形与二次函数的结合，线段的和差最值与二次函数的结合，将不共线的线段转化为共线为解题关键．
21．（2021春·云南红河·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，矩形纸片AOBC按如图方法放置，点A、B分别在y轴和x轴上，已知OA=2，OB=4，点D在边AC上，且AD=1．

解答下列问题．
（1）点C的坐标为 _______；
（2）在x轴上有一点E，使得△CDE的周长最短，求出点E的坐标及直线CE的解析式．
（3）在平面直角坐标系内是否存在点P，使得以C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）（4，2）；（2）点E的坐标为（，0）；直线的解析式为；（3）在平面直角坐标系内存在点P1(，0)或P2(−，0)或P3(，4)，使得以C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】（1）由OB及OA长度可写出C点的坐标；
（2）作C点关于x轴的对称点F，连接FD交OB于E，进而求出E点坐标；
（3）分别以CD为平行四边形的边，CD为对角线求出P点的坐标即可．
【详解】解：（1）∵OA=2，OB=4，且点C在第一象限，
∴点C的坐标为（4，2）；
故答案为：（4，2）；
（2）过点D(1，2)作关于x轴的对称点D1(1，−2)，
连接D1C交x轴于点E，由轴对称性知D1E=DE，由两点之间线段最短得D1C=D1E+EC=DE+CE最短，即ΔCDE的周长最短．

设直线D1C的解析式为y=kx+b，把D1(1，−2)和C(4，2)分别代入得：
，解得，
∴直线CE的解析式为．
∵点E在x轴上，
∴当y=0时，x=，点E的坐标为（，0）；
（3）设P(x，0)，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC=OB=4．
∵AD=1，
∴DC=AC−AD=4−1=3．
分情况讨论：
①当CD为平行四边形的边时，
∵以点C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴PE//CD且PE=CD．
∴=3，
∴x−=3或x−=−3，
∴x1=， x2=−，
∴P1(，0)或P2(−，0)；
②当CD为平行四边形的对角线时，
∵四边形是以点C、D、P、E为顶点的平行四边形，并且点E在x轴上，
∵OE=，
∴点P在AC的上方，且EP⊥DC．
∴P3(，4)．
综上所述，在平面直角坐标系内存在点P1(，0)或P2(−，0)或P3(，4)，
使得以C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形．
．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式和平行四边形的判定和分类，解决问题的关键是熟悉“将军饮马”模型和平行四边形分类的方法．
22．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，、、，点、分别是直线和轴上的动点，求周长的最小值．

【答案】周长的最小值为．
【分析】分别作点关于轴、直线的对称点、，连接，分别交轴、直线于点、，由对称性质可得，，此时的周长为．
【详解】如图，分别作点关于轴、直线的对称点、，连接，分别交轴、直线于点、，由对称性质可得，，此时的周长为．

此时的周长最小，最小值为的长．
、，
，．
，，．
过点作轴于点，
，．
．
周长的最小值为．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题、坐标与图形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称正确找到点的位置．
23．（2022·江苏泰州·校考模拟预测）直线和双曲线交于点，．

(1)求，，的值；
(2)在坐标轴上有一点，使的值最小，直接写出点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)

【分析】（1）将A、B两点坐标分别代入，即可解出m、n的值；
（2）线段和的最短距离问题，首先想到的是利用“将军饮马”模型进行解决，做A点关于坐标轴的对称点，在之后再进行计算，需要注意的是，本题需要进行分情况进行讨论，最终确定最短距离下的M坐标．
【详解】（1）解：点，在直线上，
，，
，
，，
点在双曲线上，
；
（2）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴与，

则，
设直线的解析式为，
，，
直线的解析式为，
；
；
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴与，

则，
设直线的解析式为，
，，
直线的解析式为，
当时，，
．
，
．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，坐标与图形变化-轴对称、最短路线问题，注意待定系数法求直线解析式的运用．
24．（2021·全国·九年级专题练习）如图，正方形的边长为4，、为对角线上的动点，且，连接、，求周长的最小值．

【答案】周长的最小值为．
【分析】要使周长的最小，只需EC+CF最小，过点作，使得，连接交于点，构造出平行四边形，根据平行四边形的性质和正方形的对称性知，当、、三点共线时,EC+CF=FH+AF=AH=，且最小，从而得到周长的最小值．
【详解】如解图，过点作，使得，连接交于点，连接．
，，
四边形是平行四边形，
．

四边形是正方形，
点，关于对称．
．
此时的周长为．
当、、三点共线时，的周长最小，最小值为．
四边形是正方形，且边长为4
．
，．
．
在中，．
周长的最小值为．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，凡是涉及最短距离的问题，一般要结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
25．（2022秋·八年级课时练习）（1）【问题解决】已知点在内，过点分别作关于、的对称点、.

①如图1，若，请直接写出______；
②如图2，连接分别交、于、，若，求的度数；
③在②的条件下，若度（），请直接写出______度（用含的代数式表示）.
（2）【拓展延伸】利用“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”这个结论，解答问题：如图3，在中，，点是内部一定点，，点、分别在边、上，请你在图3中画出使周长最小的点、的位置（不写画法），并直接写出周长的最小值.
【答案】（1）【问题解决】①；②；③；（2）【拓展延伸】如图，见解析；周长最小值为8．
【分析】（1）①连接OP，由点P关于直线OA的对称点，点P关于直线OB的对称点，可得，，再由+=2（+）=2,即可求得∠AOB的度数；②由，根据三角形的内角和定理可得；由轴对称的性质得，，，再由三角形外角的性质可得，，所以，即可求得；由轴对称的性质可得，由四边形的内角和为360°即可求得； ③类比②的方法即可解答；（2）作点P关于边AB的对称点，再作点P关于边AC的对称点 ，连结，分别交AB、AC于点E、F，此时的周长最小，最小为的长，由①的方法求得∠A=60°，A=A，再由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可判定△A是等边三角形，根据等边三角形的性质可得=AP=8，由此即可得周长最小值为8．
【详解】（1）①连接OP，

∵点P关于直线OA的对称点，点P关于直线OB的对称点，
∴，，
∴+=2（+）=2,
故答案为50°；
②如图2，

∵，
∴，
由轴对称的性质得，，，
∵，，
∴，
∴，
由轴对称的性质得，，
∴；
③.
如图2，
∵，
∴，
由轴对称的性质得，，，
∵，，
∴，
∴，
由轴对称的性质得，，
∴=；
故答案为；
（2）如图所示，的周长最小，周长最小值为8．

①画点P关于边AB的对称点，
②画点P关于边AC的对称点 ，
③连结，分别交AB、AC于点E、F，
此时的周长最小，周长最小值为8．
【点睛】本题考查了轴对称作图及最短路径问题，熟练线段垂直平分线的性质是解决本题的关键，解题时注意数形结合思想的应用．
26．（2021·四川南充·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A（4，0）、B（0，4）、C．其对称轴l交x轴于点D，交直线AB于点F，交抛物线于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线l上的动点，求△PBC周长的最小值；
(3)点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合），在抛物线上是否存在一点M，使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，（，）或（，-）或（，-）

【分析】（1）把点A（4，0）、B（0，4）代入抛物线y=-x2+bx+c中，求得b和c即可；
（2）作点B关于直线l的对称轴B′，连接B′C交l于一点P，点P即为使△PBC周长最小的点，由对称可知，PB′=PB，即△PBC周长的最小值为：BC+CB′；
（3）设M（m，-m2+3m+4），①当EF为边时，则EF∥MN，则N（m，-m+4），所以NM=EF=，即|-m2+3m+4-（-m+4）|=，求出m的值，代入即可；②当EF为对角线时，EF的中点为（，），由中点坐标公式可求得点N的坐标，再由点N是直线AB上一点，可知-3+m+4=m2-3m+，解得m的值即可．
（1）
解：把点A（4，0）、B（0，4）代入抛物线y=-x2+bx+c中，
得，，解得，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+3x+4；
（2）
解：由抛物线解析式可知，对称轴直线l：x=，
∵点A（4，0），
∴点C（-1，0），
如图，作点B关于直线l的对称轴B′，连接B′C交l于一点P，点P即为使△PBC周长最小的点，

此时B′（3，4），
设直线B′C的解析式为y=kx+b1，
∴，
解得：，
∴直线B′C的解析式为：y=x+1，
把x=代入得：y=+1=，
∴P（，），
∵B（0，4），C（-1，0），B′（3，4），
∴BC=，CB′==4，
∴△PBC周长的最小值为：；
（3）
解：存在，以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为（，）或（，-）或（，-）．理由如下：
由抛物线解析式可知，E（，），
∵A（4，0）、B（0，4），
∴直线AB的解析式为：y=-x+4，
∴F（，）．
∴EF=．
设M（m，-m2+3m+4），
①当EF为边时，则EF∥MN，
∴N（m，-m+4），
∴NM=EF=，即|-m2+3m+4-（-m+4）|=，
解得m=（舍）或或或，
∴M（，）或（，-）或（，-）．
②当EF为对角线时，EF的中点为（，），
∴点N的坐标为（3-m，m2-3m+），
∴-3+m+4=m2-3m+，解得m=（舍），m=，
∴M（，）．
综上，满足以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为（，）或（，-）或（，-）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形存在性问题，解题过程中注意需要分类讨论．
27．（2022·湖北黄石·统考中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则______________，的最小值为______________．

【答案】     ##30度    
【分析】①与为等边三角形，得到，，，从而证，最后得到答案．
②过点D作定直线CF的对称点G，连CG，证出为等边三角形，为的中垂线，得到， ，再证为直角三角形，利用勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：①∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∵，，
∴，
，
∴，
在和中

∴，
得；
故答案为：．
②（将军饮马问题）
过点D作定直线CF的对称点G，连CG，
∴为等边三角形，为的中垂线，，
∴，
连接，
∴，
又，
∴为直角三角形，
∵，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．

【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，将军饮马，线段垂直平分线的判定及性质，勾股定理等内容，熟练运用将军饮马是解题的关键，具有较强的综合性．
28．（2021秋·广东中山·九年级广东省中山市黄圃镇马新初级中学校考期中）已知，抛物线，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D．

（1）求的长度和点D的坐标；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，求出的值最小时P点的坐标；
（3）点M是第三象限抛物线上一点，当最大时，求点M的坐标，并求出的最大值．
【答案】（1）AB=4，D坐标为（-1，-4）；（2）点P坐标为（-1，-2）；（3）当点M坐标为时，最大值为．
【分析】（1）分别求出点A、B坐标，即可求出AB的长度，将抛物线配成顶点式，即可确定点D坐标；
（2）求出抛物线对称轴为直线x=-1，根据抛物线的对称性得当点P位于直线AC上时，PA+PC的值最小，即PB+PC的值最小，求出直线AC解析式为y=-x-3，根据点P在直线x=-1上，即可求出点P坐标；
（3）连接AM，MC，OM，设点M坐标为，根据得到关于m的解析式，根据二次函数的性质即可求出当时，有最大值，最大值为，即可求解点M坐标为．
【详解】解：（1）把y=0代入得，
解得，
∴点A坐标为（-3,0），点B坐标为（1,0），
∴AB=1-（-3）=4，
将抛物线配方得，
∴抛物线的顶点D坐标为（-1，-4）；
（2）由抛物线的性质的抛物线的对称轴为直线x=-1，
把x=0代入得y=-3，
∴点C坐标为（0，-3），
由抛物线的对称性得点A和点B关于直线x=-1对称，
∴PB+PC=PA+PC，
∴当点P位于直线AC上时，PA+PC的值最小，即PB+PC的值最小，
设直线AC解析式为y=kx+b，
∵点A坐标为（-3,0），点C坐标为（0，-3），
∴，
解得，
∴直线AC解析式为y=-x-3，
∵点P在直线x=-1上，
∴把x=-1代入y=-x-3得y=1-3=-2，
∴点P坐标为（-1，-2）；
（3）如图，连接AM，MC，OM，
∵点M是第三象限抛物线上一点，
∴设点M坐标为，
∴



，
∵＜0，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时点M坐标为．

【点睛】本题为二次函数的综合题，考查了二次函数与一元二次方程的关系，将军饮马问题，利用二次函数性质求面积等知识，熟知将军饮马问题数学模型是解第（2）问关键，利用得到函数解析式，并熟知二次函数性质是解题关键．
29．（2022·浙江衢州·模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为M，点E为线段AB上的动点．

(1)求证：MD是⊙O的切线；
(2)若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；
(3)若点E恰好运动到∠ACB的角平分线上，连接CE并延长，交⊙O于点F，交AD于点P，连接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，EC+EM的最小值为，理由见解析
(3)6

【分析】（1）连接OD，交BC于点N，通过证明四边形CNDM为矩形得出，利用切线的判定定理即可得出结论．
（2）过点C作，并延长交⊙O于点F，连接MF，交AB于点E，连接EC，利用将军饮马模型可知此时EC+EM的值最小，由题意可得FD为圆的直径，在中，利用勾股定理即可求得结论．
（3）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质可以判定为等腰三角形，证明，利用相似三角形的性质得出比例式，解关于AF的方程即可得出结论．
（1）
解：如图，连接OD，交BC于点N，
AB为直径


弦AD平分∠BAC，



四边形CNDM为矩形

OD为圆的半径
MD是⊙O的切线

（2）
解：在点E运动过程中，EC+EM存在最小值，理由如下：
过点C作，并延长交⊙O于点F，连接MF，交AB于点E，连接EC，则此时EC+EM的值最小


弦AD平分∠BAC，

与的度数为
AB是直径

，AB是直径


为半圆
FD为圆的直径
由（1）知：MD是⊙O的切线

由题意得：AB垂直平分FC






由（1）知：四边形CNDM为矩形



在中



在中

EC+EM的最小值为．

（3）
解：如图
FC平分，


AD平分，










解得或（不合题意，舍去）


【点睛】本题是一道圆的综合题，此题考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理及其推论，轴对称的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，连接半径OD和利用轴对称中的将军饮马模型找出EC+EM存在最小值是解题的关键．