专题19 378与578模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破（原卷版）

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专题19 378与578模型模型的概述：边长为3、7、8或5、7、8的三角形。问题一：如图所示，当两个三角形的边长为3、7、8和5、7、8时，求这两个三角形面积。 思路：1）过点C作CM⊥AB于点M设BM=x 则AM=3+x在Rt∆ACM中AM2+CM2=AC2    即CM2 =AC2 - AM2 在Rt∆BCM中BM2+CM2=BC2    即CM2 =BC2 - BM2 ∴AC2 - AM2 = BC2 - BM2  即82 - （3+x）2 = 72 - x2    解得x=1  ∴CM = 4  ∴S∆ABC=AB•CM = •3•4=62）过点F作FN⊥DE于点N设DN=x 则NE=5-x在Rt∆DNF中DN2+NF2=DF2    即NF2 =DF2 - DN2 在Rt∆ENF中NE2+NF2=EF2    即NF2 =EF2 - NE2 ∴DF2 - DN2 = EF2 - NE2  即72 - x2 = 82 - （5-x）2    解得x=1  ∴NF = 4  ∴S∆DEF=DE•NF = •5•4=10问题二：如图所示,已知∆ABC为等边三角形，AC=8，AD=3,BD=5,CH为高        求∆ACD、∆BCD面积思路：根据勾股定理/锐角三角函数可求得CH=4      所以S∆ACDAD•CH = •3•4=6          S∆BCD=BD•CH = •5•4=10总结：1）边长为3、7、8和5、7、8的两个三角形可以构成一个边长为8的等边三角形，且该等边三角形的高(CH)即为两个三角形的高。2）边长为3、7、8和5、7、8的两个三角形中边长为7所对的角为60°。【培优过关练】1．（2023春·八年级课时练习）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（    ）．A．45° B．37° C．60° D．90°2．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（    ）．A．90° B．150° C．135° D．120°3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（    ）．A．45° B．37° C．60° D．90°4．（2021·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的面积为（    ）A．24 B．56 C．48 D．1125．（2017·湖北武汉·中考真题）已知一个三角形的三边长分别为5，7，8．则其内切圆的半径为（  ）A． B． C． D．6．（2019春·湖北武汉·八年级统考期末）已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（　　）A．20 B．10 C．10 D．28二、填空题7．（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，则△ABC的内切圆Ⅰ的半径为_________．8．（2019秋·河北·八年级校考阶段练习）若△ABC的三边长分别为5，7，8，△DEF的三边长分别为5，2x，3x－5，若这两个三角形全等，则△DEF的周长为______________，x的值为_______________．9．（2018·广西柳州·校考一模）已知△ABC的三边长分别为5，7，8，△DEF的三边分别为5，2x，3x﹣5，若两个三角形全等，则x=__．10．（2019秋·上海·九年级校考阶段练习）已知与是相似形，如果三边分别长为5，7，8，的最长边与最短边的差为6，那么的周长是_________．11．（2018秋·上海黄浦·九年级格致中学校考阶段练习）已知与相似，若的三边分别为，的最长边与最短边之差为则_________________．12．（2021·山西·九年级专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设为三角形三边，为面积，则，这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设（周长的一半），则（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从或者）；（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，的内切圆半径为，三角形三边长为，仍记，为三角形面积，则．13．（2019春·山东淄博·八年级淄博市临淄区第一中学校考期中）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为： ①（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积．）而古希腊也有求三角形面积的海伦公式：，②  (其中．) 若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S.