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2022-2023学年四川省成都七中育才学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年四川省成都七中育才学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省成都七中育才学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果a＞b，那么下列各式中正确的是（ ）
A．a﹣3＜b﹣3 B． C．﹣a＞﹣b D．﹣2a＜﹣2b
3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．（2﹣x）（﹣2﹣x）＝x2﹣4
B．x2﹣1+y2＝（x+1）（x﹣1）+y2
C．x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）
D．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2﹣）
4．点P（2，﹣3）向左平移3个单位，向上平移2个单位到点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，﹣5） C．（5，﹣1） D．（5，﹣5）
5．平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝270°，则∠B的度数为（ ）
A．45° B．55° C．135° D．270°
6．下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．角平分线上的点到角的两边的距离相等
C．两个全等的三角形，一定成中心对称
D．等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴
7．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′，若BC＝5，S△PB′C＝4.5，则BB′＝（ ）
A． B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
9．分式有意义则x的取值范围是 ．
10．化分式方程＝0为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母为 ．
11．关于x的二次三项式x2+mx+6因式分解的结果是（x+3）（x+2），则m＝ ．
12．如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A′B′C′，则旋转中心是点 （请从点O、Q、P、M中选择）．
13．如图，在△ABC中，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交BC、AC于点D、E，若AE＝3m，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 cm．
三、解答题（本大题共5小题，共48分，14题16分，15题6分，16题6分，17题8分，18题12分，解答过程写在答题卡上）
14．（16分）（1）分解因式：3x2y﹣8zy+y；
（2）分解因式：x2+4x+4；
（3）解方程：；
（4）求不等式组 的解集．
15．先化简，再求值：（）÷（x﹣4），其中．
16．正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题；
（1）请画出与△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB2C2，并写出点B2的坐标
；
（3）求△ABC绕点A逆时针旋转90°后，线段AB扫过的图形面积．
17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若，∠ADE＝30°，求四边形AECF的面积．
18．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，现将△ABO绕点O顺时针旋转到△A′B′O，使得A′O⊥AB，垂足为D，此时D点坐标为（﹣，），动点E从原点出发，以一个单位每秒的速度沿x轴正方向运动，设运动时间为t秒．
（1）请求出A点的坐标；
（2）如图2，当DE∥A′B′时，DE交y轴于点M，求出此时点M的坐标；
（3）M为（2）中的点，当点E在运动过程中，直线A′B′上有一点Q，是否存在以M、E、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
四、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
19．若关于x的方程有增根，则m的值是 ．
20．已知▱ABCD中，AB＝8cm，BC＝5cm，过点B作BH⊥CD交CD所在的直线于H，若BH＝4cm，则DH＝ cm．
21．因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式2x2y+4xy进行因式分解得到2xy（x+2），若取x＝12，y＝7，则2→2，x→12，y→7，x+2→14，可得密码为212714，对于代数式3a3﹣12a2b+9ab2，若取a＝15，b＝4，可能得到的密码是 ．（写出满足条件的一个答案即可）
22．已知直线l1：y＝k1x+b1经过点（0，﹣1），直线l2：y＝k2x+b2经过点（3，1），且直线l1与l2关于第一，三象限角平分线所在直线对称，则关于x的不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集是 ．
23．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，延长AC至点P，使得CP＝1，点E在线段AB上，且AE，连接PE，以PE为边向右作等边△PEF，过点E作EM∥AP交FA的延长线于点M，点N为MF的中点，则四边形AEPN的面积为 ．
五、解答题（本大题共3小题，共30分。24题8分，25题10分，26题12分，解答过程写在答题卡上）
24．位于四川省广汉市的“三星堆”，被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，被誉为“长江文明之源”，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，七中育才八年级学生计划下周前往此处开展文史探究活动，下面是两位同学对于出行方案的讨论：
（1）请根据以上信息，求出每辆甲种和每辆乙种大巴的座位数；
（2）为保证顺利出行，大巴车司机计划近期加油两次，打算采用两种加油方式：
方式一：每次均按照相同油量（100 升）加油；
方式二：每次均按照相同金额（500 元）加油．
若第一次加油单价为x元/升，第二次加油单价为y元/升（x≠y），请分别写出每种加油方式的平均单价（用含x、y的代数式表示），并根据你所学知识帮助大巴车司机选择上述哪种加油方式更合算．
25．已知长为a、b、c、d的四条线段．a2+b2+c2+d2＝2ab+2cd，以a、b为边构造△ABC，其中AB＝a，AC＝b；以c、d为边构造△DEC，其中DC＝c，DE＝d．
（1）判断△ABC和△DEC的形状并证明；
（2）将△ABC和△DEC按照图1方式放置，当B、C、E共线时，取BE的中点M，连接AM、DM．若AM⊥DM，请猜想∠BAC与∠EDC之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，当B、C、E不共线时，连接BE并取其中点M，连接AM、DM、若AM⊥DM，（2）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由．
26．如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将线段AB绕点B逆时针旋转得线段BD，旋转角为α，连接CD．
（1）①若α＝60°，则∠CDA＝ °；
②若0＜α＜90°，求∠CDA的度数．
（2）如图2，当0＜α＜90°时，过点B作BE⊥AD于点E，CD与BE相交于点F，请探究线段CF与线段BE之间的数量关系；
（3）当0＜α＜360°时，作点A关于CD所在直线的对称点A′，当点A′在线段BC所在的直线上时，求△AA′D的面积．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形；故A不符合题意；
B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；故B不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形；故C不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．如果a＞b，那么下列各式中正确的是（ ）
A．a﹣3＜b﹣3 B． C．﹣a＞﹣b D．﹣2a＜﹣2b
【分析】根据不等式的性质1，两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
解：A、两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故B错误；
C、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故C错误；
D、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．（2﹣x）（﹣2﹣x）＝x2﹣4
B．x2﹣1+y2＝（x+1）（x﹣1）+y2
C．x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）
D．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2﹣）
【分析】直接利用因式分解的定义得出答案．
解：A、（2﹣x）（﹣2﹣x）＝x2﹣4，是整式乘法，故此选项不合题意；
B、x2﹣1+y2＝（x+1）（x﹣1）+y2，不符合因式分解的定义，故此选项不合题意；
C、x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）是分解因式，符合题意；
D、x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2﹣），不符合因式分解的定义，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确分解因式是解题关键．
4．点P（2，﹣3）向左平移3个单位，向上平移2个单位到点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，﹣5） C．（5，﹣1） D．（5，﹣5）
【分析】让P的横坐标减3，纵坐标加2即可得到点Q的坐标．
解：根据题意，点Q的横坐标为：2﹣3＝﹣1；纵坐标为﹣3+2＝﹣1；
即点Q的坐标是（﹣1，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，用到的知识点为：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
5．平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝270°，则∠B的度数为（ ）
A．45° B．55° C．135° D．270°
【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角相等，邻角互补，再根据已知即可求解．
解：在▱ABCD中，∠A＝∠C，
若∠A+∠C＝270°，则∠A＝135°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝45°．
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质，在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择的使用，避免混淆性质，以致错用性质．
6．下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．角平分线上的点到角的两边的距离相等
C．两个全等的三角形，一定成中心对称
D．等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴
【分析】由平行四边形的判定，角平分线的性质，中心对称的定义，等边三角形的性质，即可判断．
解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，故A不符合题意；
B、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故B不符合题意；
C、两个全等的三角形，不一定成中心对称，故C符合题意；
D、等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴，正确，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的判定，角平分线的性质，等边三角形的性质，中心对称，掌握以上知识点是解题的关键．
7．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据不等式解集的表示方法即可判断．
解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集是﹣1≤x＜2．
表示在数轴上，如图所示：
故选：B．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
8．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′，若BC＝5，S△PB′C＝4.5，则BB′＝（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【分析】由等腰直角三角形的性质得到∠B＝∠ACB＝45°，由平移的性质，得到△PB′C是等腰直角三角形，由三角形的面积公式求出PC长，即可求出CB′的长，从而求出BB′的长．
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′，
∴∠PB′C＝∠B＝45°，
∴△PB′C是等腰直角三角形，
∴PC＝PB′，
∵△PB′C的面积＝PC•PB′＝4.5，
∴PC＝3，
∴CB′＝PC＝3，
∴BB′＝BC﹣CB′＝5﹣3＝2．
故选：B．
【点评】本题考查平移的性质，等腰直角三角形，关键是掌握平移的性质，等腰直角三角形的性质．
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
9．分式有意义则x的取值范围是 x≠ ．
【分析】根据分式有意义的条件得到2x﹣1≠0，然后解不等式即可．
解：根据题意得2x﹣1≠0，
解得x≠，
即x的取值范围是x≠．
【点评】本题考查了分式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不等于零．
10．化分式方程＝0为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母为 5（x﹣1）（x+1） ．
【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案．
解：化分式方程＝0为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母为 5（x﹣1）（x+1）．
故答案为：5（x﹣1）（x+1）．
【点评】本题考查了解分式方程，最简公分母，要注意：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，掌握最简公分母是解题的关键．
11．关于x的二次三项式x2+mx+6因式分解的结果是（x+3）（x+2），则m＝ 5 ．
【分析】直接利用多项式乘法进而得出m的值．
解：关于x的二次三项式x2+mx+6因式分解的结果是（x+3）（x+2），
则（x+3）（x+2）＝x2+5x+6，
故m＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12．如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A′B′C′，则旋转中心是点 P （请从点O、Q、P、M中选择）．
【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【解答】如图，连接BB′，AA′可得其垂直平分线相交于点P，
故旋转中心是P点．
故答案为：P．
【点评】本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交BC、AC于点D、E，若AE＝3m，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 19 cm．
【分析】先利用基本作图得到MN垂直平分AC，CE＝AE＝3cm，DA＝DC，然后利用等线段代换计算△ABC的周长．
解：由作图得MN垂直平分AC，
∴CE＝AE＝3cm，DA＝DC，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD＝13（cm），
∴AB+BD+DC＝13（cm），
即AB+BC＝13（cm），
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+3+3＝19（cm）．
故答案为：19．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
三、解答题（本大题共5小题，共48分，14题16分，15题6分，16题6分，17题8分，18题12分，解答过程写在答题卡上）
14．（16分）（1）分解因式：3x2y﹣8zy+y；
（2）分解因式：x2+4x+4；
（3）解方程：；
（4）求不等式组 的解集．
【分析】（1）根据提取公因式法分解因式即可；
（2）根据完全平方公式分解因式即可；
（3）方程两边都乘x﹣1得出2（x﹣2）+x﹣1＝﹣2，求出方程的解，再进行检验即可；
（4）先根据不等式的性质求出不等式的解集，再关键求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
解：（1）3x2y﹣8zy+y＝y（3x2﹣8z+1）；
（2）x2+4x+4＝（x+2）2；
（3），
方程两边都乘x﹣1，得2（x﹣2）+x﹣1＝﹣2，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣1＝0，
所以x＝1是增根，
即分式方程无解；
（4），
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＞﹣7，
所以不等式组的解集是x≥1．
【点评】本题考查了分解因式，解分式方程和解一元一次不等式组等知识点，能选择适当的方法分解因式是解（1）（2）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（3）的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解（4）的关键．
15．先化简，再求值：（）÷（x﹣4），其中．
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
解：原式＝[﹣]÷（x﹣4）
＝（﹣）÷（x﹣4）
＝•
＝，
当x＝+2时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
16．正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题；
（1）请画出与△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB2C2，并写出点B2的坐标
（﹣2，﹣3） ；
（3）求△ABC绕点A逆时针旋转90°后，线段AB扫过的图形面积．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（3）利用勾股定理求出AB的长，再利用扇形面积公式计算即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.
（2）如图，△AB2C2即为所求．
点B2的坐标为（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
（3）由勾股定理得，AB＝，
∴线段AB扫过的图形面积为＝．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称、扇形面积公式，熟练掌握旋转和中心对称的性质、勾股定理、扇形面积公式是解答本题的关键．
17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若，∠ADE＝30°，求四边形AECF的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，则∠ABE＝∠CDF，再证AE∥CF，然后证△ABE≌△CDF（AAS），得AE＝CF，即可得出结论；
（2）由含30°角的直角三角形的性质得AE＝4，则DE＝4，再由全等三角形的性质得DF＝BE＝2，则EF＝2，然后由平行四边形面积公式即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∵∠ADE＝30°，AD＝8，
∴AE＝AD＝4，
∴DE＝＝＝4，
由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴DF＝BE＝2，
∴EF＝DE﹣DF＝4﹣2＝2，
∵四边形AECF是平行四边形，AE⊥EF，
∴S平行四边形AECF＝AE•EF＝4×2＝8．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，现将△ABO绕点O顺时针旋转到△A′B′O，使得A′O⊥AB，垂足为D，此时D点坐标为（﹣，），动点E从原点出发，以一个单位每秒的速度沿x轴正方向运动，设运动时间为t秒．
（1）请求出A点的坐标；
（2）如图2，当DE∥A′B′时，DE交y轴于点M，求出此时点M的坐标；
（3）M为（2）中的点，当点E在运动过程中，直线A′B′上有一点Q，是否存在以M、E、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把D（﹣，）代入y＝x+b得b＝，即得y＝x+，令y＝0可得A点的坐标为（﹣2，0）；
（2）在y＝x+中，得B（0，），由DE∥A′B'和旋转可得∠ODE＝∠DOM，有DM＝OM，从而可得∠MDB＝∠MBD，BM＝DM，故点M是OB中点，得M（0，）；
（3）过A'作A'K⊥OA于K，证明△AOD≌△A′OK（AAS），可得A′（﹣2，4），由M（0，），D（﹣，），可知直线DM的函数解析式为y＝﹣x+，从而可得直线A'B'的解析式为y＝﹣x+；设Q（p，﹣p+），E（t，0），分三种情况：①若QE，MB为对角线，则QE，MN的中点重合，，②若QM，EB为对角线，则QM，EB的中点重合，，③若QB，EM为对角线，则QB，EM的中点重合，，分别解方程组可得答案．
解：（1）把D（﹣，）代入y＝x+b得：
﹣+b＝，
解得b＝，
∴y＝x+，
在y＝x+中，令y＝0得：
0＝x+，
解得x＝﹣2，
∴A点的坐标为（﹣2，0）；
（2）如图：
在y＝x+中，令x＝0得y＝，
∴B（0，），
∵DE∥A′B'，
∴∠ODE＝∠A′，
由旋转可得∠A'＝∠BAO，
∴∠ODE＝∠BAO，
∵∠BAO＝90°﹣∠AOD＝∠DOM，
∴∠ODE＝∠DOM，
∴DM＝OM，
∵∠MDB+∠ODE＝90°，∠MBD+∠DOM＝90°，
∴∠MDB＝∠MBD，
∴BM＝DM，
∴BM＝OM，
∴点M是OB中点，
∴M（0，）；
（3）存在以M、E、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
过A'作A'K⊥OA于K，如图：
∵D（﹣，），
∴OD＝2，
∴AD＝＝＝4，
∵∠AOD＝∠A′OK，∠ADO＝∠A′KO＝90°，OA＝OA′，
∴△AOD≌△A′OK（AAS），
∴OD＝OK＝2，AD＝A'K＝4，
∴A′（﹣2，4），
由（2）知M（0，），D（﹣，），
∴直线DM的函数解析式为y＝﹣x+，
由A'B'∥DM设直线A'B'的解析式为y＝﹣x+b'，
把A′（﹣2，4）代入得：
+b'＝4，
解得b'＝，
∴直线A'B'的解析式为y＝﹣x+；
设Q（p，﹣p+），E（t，0），
又M（0，），B（0，），
①若QE，MB为对角线，则QE，MN的中点重合，
，
解得，
∴t的值为；
②若QM，EB为对角线，则QM，EB的中点重合，
∴，
解得，
∴t的值为；
③若QB，EM为对角线，则QB，EM的中点重合，
∴，
解得，
∴t的值为；
综上所述，t的值为或或．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用．
四、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
19．若关于x的方程有增根，则m的值是 2 ．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1＝0，得到x＝1，然后代入化为整式方程的方程算出未知字母的值．
解：方程两边都乘（x﹣1），得
m﹣1﹣x＝0，
∵方程有增根，
∴最简公分母x﹣1＝0，即增根是x＝1，
把x＝1代入整式方程，得m＝2．
故答案为：2．
【点评】增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
20．已知▱ABCD中，AB＝8cm，BC＝5cm，过点B作BH⊥CD交CD所在的直线于H，若BH＝4cm，则DH＝ 5或11 cm．
【分析】分两种情况：如图1，如图2，根据勾股定理和平行四边形的性质即可得到结论．
解：如图1，
∵BH⊥CD，
∴∠BHC＝90°，
∵BH＝4cm，BC＝5cm，
∴CH＝＝3（cm），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8（cm），
∴DH＝CD﹣CH＝5（cm）；
如图2，
∵BH⊥CD，
∴∠BHC＝90°，
∵BH＝4cm，BC＝5cm，
∴CH＝＝3（cm），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8（cm），
∴DH＝CD+CH＝11（cm）；
综上所述，DH＝5cm或11cm，
故答案为：5或11．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
21．因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式2x2y+4xy进行因式分解得到2xy（x+2），若取x＝12，y＝7，则2→2，x→12，y→7，x+2→14，可得密码为212714，对于代数式3a3﹣12a2b+9ab2，若取a＝15，b＝4，可能得到的密码是 315311 ．（写出满足条件的一个答案即可）
【分析】本题通过对多项式进行因式分解，然后分别求出每个式子的值，然后组成密码．
解：3a3﹣12a2b+9ab2
＝3a（a2﹣4ab+3b2）
＝3a（a﹣3b）（a﹣b）
当a＝15，b＝4时，
即3→3，a→15，a﹣3b→3，a﹣b→11，
可得密码为315311．
【点评】本题考查了因式分解的应用，通过因式分解，得到对应的结果．
22．已知直线l1：y＝k1x+b1经过点（0，﹣1），直线l2：y＝k2x+b2经过点（3，1），且直线l1与l2关于第一，三象限角平分线所在直线对称，则关于x的不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集是 x＜ ．
【分析】分别求出点（0，﹣1）和点（3，1）关于直线y＝x的对称点的坐标，利用待定系数法求出直线l1，直线l2的解析式，再解不等式即可．
解：∵直线l1与l2关于第一，三象限角平分线所在直线对称，
∴点（0，﹣1）关于直线y＝x的对称点（﹣1，0）一定在直线l2上，
点（3，1）关于直线y＝x的对称点（1，3）一定在直线l1上，
把（0，﹣1），（1，3）两点代入y＝k1x+b1中得，
，
∴k1＝4，b1＝﹣1，
∴直线l1：y＝4x﹣1，
把（3，1），（﹣1，0）两点代入y＝k2x+b2中得，
，
∴k2＝，b2＝，
∴直线l2：y＝x+，
由4x﹣1＜x+得，
x＜，
故答案为：x＜．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，待定系数法求解析式，直线的对称变换等知识，掌握点的对称变换特征是解题关键．
23．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，延长AC至点P，使得CP＝1，点E在线段AB上，且AE，连接PE，以PE为边向右作等边△PEF，过点E作EM∥AP交FA的延长线于点M，点N为MF的中点，则四边形AEPN的面积为 2 ．
【分析】作PG∥CB交AB的延长线于点G，则AB＝BC＝AC＝3，∠PAG＝60°，∠APG＝∠ACB＝60°，∠G＝∠ABC＝60°，所以△ABP是等边三角形，AG＝GP＝AP＝AC+CP＝4，而△PEF是等边三角形，则PE＝PF，∠FPE＝∠PEF＝∠PFE＝60°，所以∠GPE＝∠APF＝60°﹣∠APE，即可证明△GPE≌△APF，得∠G＝∠PAF＝60°，所以∠PAG＝∠PAF＝60°，∠MAE＝60°，再证明△AEM是等边三角形，则∠M＝∠PAE＝60°，∠MEF＝∠AEP＝60°+∠AEF，可证明△MEF≌△AEP，得MF＝AP＝4，则MN＝MF＝2，AE+AN＝AM+AN＝2，作PH⊥AG于点H，PD⊥AF于点D，则PH＝PD，AH＝GH＝AG＝2，由勾股定理得PH＝PD＝＝2，所以S四边形AEPN＝S△APE+S△APN＝×2（AE+AN）＝×2×2＝2，于是得到问题的答案．
解：作PG∥CB交AB的延长线于点G，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠PAG＝60°，∠APG＝∠ACB＝60°，∠G＝∠ABC＝60°，
∴△ABP是等边三角形，
∵点P在AC的延长线上，CP＝1，
∴AG＝GP＝AP＝AC+CP＝4，
∵△PEF是等边三角形，
∴PE＝PF，∠FPE＝∠PEF＝∠PFE＝60°，
∴∠GPE＝∠APF＝60°﹣∠APE，
在△GPE和△APF中，
，
∴△GPE≌△APF（SAS），
∴∠G＝∠PAF＝60°，
∴∠PAG＝∠PAF＝60°，
∴∠MAE＝180°﹣∠PAG﹣∠PAF＝60°，
∵EM∥AP，
∴∠M＝∠PAF＝60°，∠AEM＝∠PAG＝60°，
∴△AEM是等边三角形，∠M＝∠PAE＝60°，∠MEF＝∠AEP＝60°+∠AEF，
∴ME＝AE＝AM，
在△MEF和△AEP中，
，
∴△MEF≌△AEP（ASA），
∴MF＝AP＝4，
∵点N为MF的中点，
∴MN＝MF＝×4＝2，
∴AE+AN＝AM+AN＝MN＝2，
作PH⊥AG于点H，PD⊥AF于点D，则PH＝PD，AH＝GH＝AG＝×4＝2，
∵∠AHP＝90°，
∴PH＝PD＝＝＝2，
∵S四边形AEPN＝S△APE+S△APN＝AE•PH+AN•PD，
∴S四边形AEPN＝×2（AE+AN）＝×2×2＝2，
故答案为：2．
【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
五、解答题（本大题共3小题，共30分。24题8分，25题10分，26题12分，解答过程写在答题卡上）
24．位于四川省广汉市的“三星堆”，被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，被誉为“长江文明之源”，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，七中育才八年级学生计划下周前往此处开展文史探究活动，下面是两位同学对于出行方案的讨论：
（1）请根据以上信息，求出每辆甲种和每辆乙种大巴的座位数；
（2）为保证顺利出行，大巴车司机计划近期加油两次，打算采用两种加油方式：
方式一：每次均按照相同油量（100 升）加油；
方式二：每次均按照相同金额（500 元）加油．
若第一次加油单价为x元/升，第二次加油单价为y元/升（x≠y），请分别写出每种加油方式的平均单价（用含x、y的代数式表示），并根据你所学知识帮助大巴车司机选择上述哪种加油方式更合算．
【分析】（1）设每辆甲种大巴车的座位数为a（a≠0）个，则每辆乙种大巴车的座位数为a（1+20%）＝1.2a个，根据“都租同一种车辆，甲种大巴车比乙种大巴车多3辆”列出方程，求解即可；
（2）根据“加油费用＝加油量×加油单价”分别算出两种加油方式的平均单价，再利用作差法比较两种加油方式的平均单价的大小即可求解．
解：（1）设每辆甲种大巴车的座位数为x（x≠0）个，则每辆乙种大巴车的座位数为x（1+20%）＝1.2x个，
根据题意可得：，
解得：a＝45，
经检验，a＝45为原方程的解，
则1.2a＝54，
∴每辆甲种大巴车的座位数有45个，每辆乙种大巴车的座位数有54个；
（2）按照方式一加油的平均单价为＝（元/升），
按照方式一加油的平均单价为＝（元/升），
按方式二加油的平均单价﹣按方式二加油的平均单价得：＝＝（元/升），
∵x＞0，y＞0，且x≠y，
∴x+y＞0，（x﹣y）2＞0，即＞0，
∴选择方式二加油更合算．
【点评】本题主要考查分式方程的应用、列代数式．解题关键是：（1）正确理解题意，找准等量关系列出方程，并进行正确的求解；（2）利用“加油费用＝加油量×加油单价”列出代数式，熟练掌握用作差法比较代数式大小．
25．已知长为a、b、c、d的四条线段．a2+b2+c2+d2＝2ab+2cd，以a、b为边构造△ABC，其中AB＝a，AC＝b；以c、d为边构造△DEC，其中DC＝c，DE＝d．
（1）判断△ABC和△DEC的形状并证明；
（2）将△ABC和△DEC按照图1方式放置，当B、C、E共线时，取BE的中点M，连接AM、DM．若AM⊥DM，请猜想∠BAC与∠EDC之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，当B、C、E不共线时，连接BE并取其中点M，连接AM、DM、若AM⊥DM，（2）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由．
【分析】（1）利用非负数的性质证明a＝b，c＝d，可得结论；
（2）猜想：∠BAC+∠EDC＝180°．延长AM到T，使得MT＝MA，连接AD，DT，ET，延长AC交ET的延长线于点K．证明△AMB≌△TME（SAS），推出AB＝ET，∠B＝∠MET，推出AB∥EK，推出∠K＝∠BAC，再证明△DAC≌△DTE（SSS），推出∠ACD＝∠DET，可得结论；
（3）猜想仍然成立，证明方法类似（2）．
解：（1）结论：△ABC，△DEC都是等腰三角形；
理由：∵a2+b2+c2+d2＝2ab+2cd，
∴（a﹣b）2+（c﹣d）2＝0，
∴a＝b，c＝d，
∴△ABC，△DEC都是等腰三角形；
（2）猜想：∠BAC+∠EDC＝180°．
理由：延长AM到T，使得MT＝MA，连接AD，DT，ET，延长AC交ET的延长线于点K．
∵MA＝MT，∠AMB＝∠TME，MB＝ME，
∴△AMB≌△TME（SAS），
∴AB＝ET，∠B＝∠MET，
∴AB∥EK，
∴∠K＝∠BAC，
∵AB＝AC，
∴AC＝ET，
∵DM⊥AT．MA＝MT，
∴DA＝DT，
∵DC＝DE，
∴△DAC≌△DTE（SSS），
∴∠ACD＝∠DET，
∵∠ACD+∠DCK＝180°，
∴∠DET+∠DCK＝180°，
∴∠EDC+∠K＝180°，
∴∠EDC+∠BAC＝180°．
（3）猜想仍然成立．
理由：延长AM到Q，使得MQ＝MA，连接AD，DQ，EQ，延长AC交EQ于点J．
∵MA＝MQ，∠AMB＝∠QME，MB＝ME，
∴△AMB≌△QME（SAS），
∴AB＝EQ，∠B＝∠MEQ，
∴AB∥EQ，
∴∠EJC＝∠BAC，
∵AB＝AC，
∴AC＝EQ，
∵DM⊥AQ．MA＝MQ
∴DA＝DQ，
∵DC＝DE，
∴△DAC≌△DQE（SSS），
∴∠ACD＝∠DEQ，
∵∠ACD+∠DCJ＝180°，
∴∠DEQ+∠DCJ＝180°，
∴∠EDC+∠EJC＝180°，
∴∠EDC+∠BAC＝180°．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
26．如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将线段AB绕点B逆时针旋转得线段BD，旋转角为α，连接CD．
（1）①若α＝60°，则∠CDA＝ 45 °；
②若0＜α＜90°，求∠CDA的度数．
（2）如图2，当0＜α＜90°时，过点B作BE⊥AD于点E，CD与BE相交于点F，请探究线段CF与线段BE之间的数量关系；
（3）当0＜α＜360°时，作点A关于CD所在直线的对称点A′，当点A′在线段BC所在的直线上时，求△AA′D的面积．
【分析】（1）①由旋转的性质可得∠ADB＝60°，由等腰三角形的性质可求∠BDC＝15°，即可求解；
②由旋转的性质和等腰三角形的性质可求解；
（2）由“AAS”可证△ABE≌△BCH，可得BE＝CH，由等腰直角三角形的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，由勾股定理可求A'A2，即可求解．
解：（1）①∵将线段AB绕点B逆时针旋转60°得线段BD，
∴BD＝AB，∠ABD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∵BD＝BC，∠DBC＝90°+60°＝150°，
∴∠BDC＝∠BCD＝15°，
∴∠CDA＝45°，
故答案为：45；
②∵将线段AB绕点B逆时针旋转得线段BD，
∴AB＝BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝，∠BAD＝∠BDA＝，
∴∠CDA＝∠BDA﹣∠BDC＝45°；
（2）CF＝BE，理由如下：
如图2，过点C作CH⊥直线BE于H，
∵BE⊥AD，∠CDA＝45°，
∴∠EFD＝45°＝∠CFH，
∵CH⊥FH，
∴∠CFH＝∠FCH＝45°，
∴△CFH是等腰直角三角形，
∴CF＝CH，
∵∠AEB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBH＝90°＝∠CBH+∠BCH，
∴∠ABE＝∠BCH，
又∵AB＝BC，∠AEB＝∠H＝90°，
∴△ABE≌△BCH（AAS），
∴BE＝CH，
∴CF＝BE；
（3）如图3，当点A'在点B的左侧时，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝2，
∵点A关于CD所在直线的对称点A′，
∴AC＝A'C＝2，∠ADC＝∠A'DC＝45°，AA'⊥CD，AD＝A'D，
∴A'B＝A'C﹣BC＝2﹣2，AO＝A'O＝DO，
∴A'A2＝AB2+A'B2＝4+（2﹣2）2＝16﹣8，
∴S△AA′D＝×AA'•DO＝A'A2＝4﹣2；
如图4，当点A'在点B的右侧时，同理可求S△AA′D＝A'A2＝×（AB2+A'B2）＝4+2；
综上所述：△AA′D的面积为4﹣2或4+2．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2022-2023学年四川省成都七中育才学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果a＞b，那么下列各式中正确的是（ ）
A．a﹣3＜b﹣3 B． C．﹣a＞﹣b D．﹣2a＜﹣2b
3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．（2﹣x）（﹣2﹣x）＝x2﹣4
B．x2﹣1+y2＝（x+1）（x﹣1）+y2
C．x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）
D．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2﹣）
4．点P（2，﹣3）向左平移3个单位，向上平移2个单位到点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，﹣5） C．（5，﹣1） D．（5，﹣5）
5．平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝270°，则∠B的度数为（ ）
A．45° B．55° C．135° D．270°
6．下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．角平分线上的点到角的两边的距离相等
C．两个全等的三角形，一定成中心对称
D．等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴
7．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′，若BC＝5，S△PB′C＝4.5，则BB′＝（ ）
A． B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
9．分式有意义则x的取值范围是 ．
10．化分式方程＝0为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母为 ．
11．关于x的二次三项式x2+mx+6因式分解的结果是（x+3）（x+2），则m＝ ．
12．如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A′B′C′，则旋转中心是点 （请从点O、Q、P、M中选择）．
13．如图，在△ABC中，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交BC、AC于点D、E，若AE＝3m，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 cm．
三、解答题（本大题共5小题，共48分，14题16分，15题6分，16题6分，17题8分，18题12分，解答过程写在答题卡上）
14．（16分）（1）分解因式：3x2y﹣8zy+y；
（2）分解因式：x2+4x+4；
（3）解方程：；
（4）求不等式组 的解集．
15．先化简，再求值：（）÷（x﹣4），其中．
16．正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题；
（1）请画出与△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB2C2，并写出点B2的坐标
；
（3）求△ABC绕点A逆时针旋转90°后，线段AB扫过的图形面积．
17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若，∠ADE＝30°，求四边形AECF的面积．
18．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，现将△ABO绕点O顺时针旋转到△A′B′O，使得A′O⊥AB，垂足为D，此时D点坐标为（﹣，），动点E从原点出发，以一个单位每秒的速度沿x轴正方向运动，设运动时间为t秒．
（1）请求出A点的坐标；
（2）如图2，当DE∥A′B′时，DE交y轴于点M，求出此时点M的坐标；
（3）M为（2）中的点，当点E在运动过程中，直线A′B′上有一点Q，是否存在以M、E、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
四、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
19．若关于x的方程有增根，则m的值是 ．
20．已知▱ABCD中，AB＝8cm，BC＝5cm，过点B作BH⊥CD交CD所在的直线于H，若BH＝4cm，则DH＝ cm．
21．因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式2x2y+4xy进行因式分解得到2xy（x+2），若取x＝12，y＝7，则2→2，x→12，y→7，x+2→14，可得密码为212714，对于代数式3a3﹣12a2b+9ab2，若取a＝15，b＝4，可能得到的密码是 ．（写出满足条件的一个答案即可）
22．已知直线l1：y＝k1x+b1经过点（0，﹣1），直线l2：y＝k2x+b2经过点（3，1），且直线l1与l2关于第一，三象限角平分线所在直线对称，则关于x的不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集是 ．
23．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，延长AC至点P，使得CP＝1，点E在线段AB上，且AE，连接PE，以PE为边向右作等边△PEF，过点E作EM∥AP交FA的延长线于点M，点N为MF的中点，则四边形AEPN的面积为 ．
五、解答题（本大题共3小题，共30分。24题8分，25题10分，26题12分，解答过程写在答题卡上）
24．位于四川省广汉市的“三星堆”，被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，被誉为“长江文明之源”，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，七中育才八年级学生计划下周前往此处开展文史探究活动，下面是两位同学对于出行方案的讨论：
（1）请根据以上信息，求出每辆甲种和每辆乙种大巴的座位数；
（2）为保证顺利出行，大巴车司机计划近期加油两次，打算采用两种加油方式：
方式一：每次均按照相同油量（100 升）加油；
方式二：每次均按照相同金额（500 元）加油．
若第一次加油单价为x元/升，第二次加油单价为y元/升（x≠y），请分别写出每种加油方式的平均单价（用含x、y的代数式表示），并根据你所学知识帮助大巴车司机选择上述哪种加油方式更合算．
25．已知长为a、b、c、d的四条线段．a2+b2+c2+d2＝2ab+2cd，以a、b为边构造△ABC，其中AB＝a，AC＝b；以c、d为边构造△DEC，其中DC＝c，DE＝d．
（1）判断△ABC和△DEC的形状并证明；
（2）将△ABC和△DEC按照图1方式放置，当B、C、E共线时，取BE的中点M，连接AM、DM．若AM⊥DM，请猜想∠BAC与∠EDC之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，当B、C、E不共线时，连接BE并取其中点M，连接AM、DM、若AM⊥DM，（2）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由．
26．如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将线段AB绕点B逆时针旋转得线段BD，旋转角为α，连接CD．
（1）①若α＝60°，则∠CDA＝ °；
②若0＜α＜90°，求∠CDA的度数．
（2）如图2，当0＜α＜90°时，过点B作BE⊥AD于点E，CD与BE相交于点F，请探究线段CF与线段BE之间的数量关系；
（3）当0＜α＜360°时，作点A关于CD所在直线的对称点A′，当点A′在线段BC所在的直线上时，求△AA′D的面积．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形；故A不符合题意；
B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；故B不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形；故C不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．如果a＞b，那么下列各式中正确的是（ ）
A．a﹣3＜b﹣3 B． C．﹣a＞﹣b D．﹣2a＜﹣2b
【分析】根据不等式的性质1，两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
解：A、两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故B错误；
C、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故C错误；
D、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．（2﹣x）（﹣2﹣x）＝x2﹣4
B．x2﹣1+y2＝（x+1）（x﹣1）+y2
C．x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）
D．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2﹣）
【分析】直接利用因式分解的定义得出答案．
解：A、（2﹣x）（﹣2﹣x）＝x2﹣4，是整式乘法，故此选项不合题意；
B、x2﹣1+y2＝（x+1）（x﹣1）+y2，不符合因式分解的定义，故此选项不合题意；
C、x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）是分解因式，符合题意；
D、x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2﹣），不符合因式分解的定义，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确分解因式是解题关键．
4．点P（2，﹣3）向左平移3个单位，向上平移2个单位到点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，﹣5） C．（5，﹣1） D．（5，﹣5）
【分析】让P的横坐标减3，纵坐标加2即可得到点Q的坐标．
解：根据题意，点Q的横坐标为：2﹣3＝﹣1；纵坐标为﹣3+2＝﹣1；
即点Q的坐标是（﹣1，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，用到的知识点为：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
5．平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝270°，则∠B的度数为（ ）
A．45° B．55° C．135° D．270°
【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角相等，邻角互补，再根据已知即可求解．
解：在▱ABCD中，∠A＝∠C，
若∠A+∠C＝270°，则∠A＝135°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝45°．
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质，在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择的使用，避免混淆性质，以致错用性质．
6．下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．角平分线上的点到角的两边的距离相等
C．两个全等的三角形，一定成中心对称
D．等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴
【分析】由平行四边形的判定，角平分线的性质，中心对称的定义，等边三角形的性质，即可判断．
解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，故A不符合题意；
B、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故B不符合题意；
C、两个全等的三角形，不一定成中心对称，故C符合题意；
D、等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴，正确，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的判定，角平分线的性质，等边三角形的性质，中心对称，掌握以上知识点是解题的关键．
7．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据不等式解集的表示方法即可判断．
解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集是﹣1≤x＜2．
表示在数轴上，如图所示：
故选：B．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
8．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′，若BC＝5，S△PB′C＝4.5，则BB′＝（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【分析】由等腰直角三角形的性质得到∠B＝∠ACB＝45°，由平移的性质，得到△PB′C是等腰直角三角形，由三角形的面积公式求出PC长，即可求出CB′的长，从而求出BB′的长．
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′，
∴∠PB′C＝∠B＝45°，
∴△PB′C是等腰直角三角形，
∴PC＝PB′，
∵△PB′C的面积＝PC•PB′＝4.5，
∴PC＝3，
∴CB′＝PC＝3，
∴BB′＝BC﹣CB′＝5﹣3＝2．
故选：B．
【点评】本题考查平移的性质，等腰直角三角形，关键是掌握平移的性质，等腰直角三角形的性质．
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
9．分式有意义则x的取值范围是 x≠ ．
【分析】根据分式有意义的条件得到2x﹣1≠0，然后解不等式即可．
解：根据题意得2x﹣1≠0，
解得x≠，
即x的取值范围是x≠．
【点评】本题考查了分式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不等于零．
10．化分式方程＝0为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母为 5（x﹣1）（x+1） ．
【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案．
解：化分式方程＝0为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母为 5（x﹣1）（x+1）．
故答案为：5（x﹣1）（x+1）．
【点评】本题考查了解分式方程，最简公分母，要注意：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，掌握最简公分母是解题的关键．
11．关于x的二次三项式x2+mx+6因式分解的结果是（x+3）（x+2），则m＝ 5 ．
【分析】直接利用多项式乘法进而得出m的值．
解：关于x的二次三项式x2+mx+6因式分解的结果是（x+3）（x+2），
则（x+3）（x+2）＝x2+5x+6，
故m＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12．如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A′B′C′，则旋转中心是点 P （请从点O、Q、P、M中选择）．
【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【解答】如图，连接BB′，AA′可得其垂直平分线相交于点P，
故旋转中心是P点．
故答案为：P．
【点评】本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交BC、AC于点D、E，若AE＝3m，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 19 cm．
【分析】先利用基本作图得到MN垂直平分AC，CE＝AE＝3cm，DA＝DC，然后利用等线段代换计算△ABC的周长．
解：由作图得MN垂直平分AC，
∴CE＝AE＝3cm，DA＝DC，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD＝13（cm），
∴AB+BD+DC＝13（cm），
即AB+BC＝13（cm），
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+3+3＝19（cm）．
故答案为：19．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
三、解答题（本大题共5小题，共48分，14题16分，15题6分，16题6分，17题8分，18题12分，解答过程写在答题卡上）
14．（16分）（1）分解因式：3x2y﹣8zy+y；
（2）分解因式：x2+4x+4；
（3）解方程：；
（4）求不等式组 的解集．
【分析】（1）根据提取公因式法分解因式即可；
（2）根据完全平方公式分解因式即可；
（3）方程两边都乘x﹣1得出2（x﹣2）+x﹣1＝﹣2，求出方程的解，再进行检验即可；
（4）先根据不等式的性质求出不等式的解集，再关键求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
解：（1）3x2y﹣8zy+y＝y（3x2﹣8z+1）；
（2）x2+4x+4＝（x+2）2；
（3），
方程两边都乘x﹣1，得2（x﹣2）+x﹣1＝﹣2，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣1＝0，
所以x＝1是增根，
即分式方程无解；
（4），
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＞﹣7，
所以不等式组的解集是x≥1．
【点评】本题考查了分解因式，解分式方程和解一元一次不等式组等知识点，能选择适当的方法分解因式是解（1）（2）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（3）的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解（4）的关键．
15．先化简，再求值：（）÷（x﹣4），其中．
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
解：原式＝[﹣]÷（x﹣4）
＝（﹣）÷（x﹣4）
＝•
＝，
当x＝+2时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
16．正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题；
（1）请画出与△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB2C2，并写出点B2的坐标
（﹣2，﹣3） ；
（3）求△ABC绕点A逆时针旋转90°后，线段AB扫过的图形面积．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（3）利用勾股定理求出AB的长，再利用扇形面积公式计算即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.
（2）如图，△AB2C2即为所求．
点B2的坐标为（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
（3）由勾股定理得，AB＝，
∴线段AB扫过的图形面积为＝．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称、扇形面积公式，熟练掌握旋转和中心对称的性质、勾股定理、扇形面积公式是解答本题的关键．
17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若，∠ADE＝30°，求四边形AECF的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，则∠ABE＝∠CDF，再证AE∥CF，然后证△ABE≌△CDF（AAS），得AE＝CF，即可得出结论；
（2）由含30°角的直角三角形的性质得AE＝4，则DE＝4，再由全等三角形的性质得DF＝BE＝2，则EF＝2，然后由平行四边形面积公式即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∵∠ADE＝30°，AD＝8，
∴AE＝AD＝4，
∴DE＝＝＝4，
由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴DF＝BE＝2，
∴EF＝DE﹣DF＝4﹣2＝2，
∵四边形AECF是平行四边形，AE⊥EF，
∴S平行四边形AECF＝AE•EF＝4×2＝8．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，现将△ABO绕点O顺时针旋转到△A′B′O，使得A′O⊥AB，垂足为D，此时D点坐标为（﹣，），动点E从原点出发，以一个单位每秒的速度沿x轴正方向运动，设运动时间为t秒．
（1）请求出A点的坐标；
（2）如图2，当DE∥A′B′时，DE交y轴于点M，求出此时点M的坐标；
（3）M为（2）中的点，当点E在运动过程中，直线A′B′上有一点Q，是否存在以M、E、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把D（﹣，）代入y＝x+b得b＝，即得y＝x+，令y＝0可得A点的坐标为（﹣2，0）；
（2）在y＝x+中，得B（0，），由DE∥A′B'和旋转可得∠ODE＝∠DOM，有DM＝OM，从而可得∠MDB＝∠MBD，BM＝DM，故点M是OB中点，得M（0，）；
（3）过A'作A'K⊥OA于K，证明△AOD≌△A′OK（AAS），可得A′（﹣2，4），由M（0，），D（﹣，），可知直线DM的函数解析式为y＝﹣x+，从而可得直线A'B'的解析式为y＝﹣x+；设Q（p，﹣p+），E（t，0），分三种情况：①若QE，MB为对角线，则QE，MN的中点重合，，②若QM，EB为对角线，则QM，EB的中点重合，，③若QB，EM为对角线，则QB，EM的中点重合，，分别解方程组可得答案．
解：（1）把D（﹣，）代入y＝x+b得：
﹣+b＝，
解得b＝，
∴y＝x+，
在y＝x+中，令y＝0得：
0＝x+，
解得x＝﹣2，
∴A点的坐标为（﹣2，0）；
（2）如图：
在y＝x+中，令x＝0得y＝，
∴B（0，），
∵DE∥A′B'，
∴∠ODE＝∠A′，
由旋转可得∠A'＝∠BAO，
∴∠ODE＝∠BAO，
∵∠BAO＝90°﹣∠AOD＝∠DOM，
∴∠ODE＝∠DOM，
∴DM＝OM，
∵∠MDB+∠ODE＝90°，∠MBD+∠DOM＝90°，
∴∠MDB＝∠MBD，
∴BM＝DM，
∴BM＝OM，
∴点M是OB中点，
∴M（0，）；
（3）存在以M、E、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
过A'作A'K⊥OA于K，如图：
∵D（﹣，），
∴OD＝2，
∴AD＝＝＝4，
∵∠AOD＝∠A′OK，∠ADO＝∠A′KO＝90°，OA＝OA′，
∴△AOD≌△A′OK（AAS），
∴OD＝OK＝2，AD＝A'K＝4，
∴A′（﹣2，4），
由（2）知M（0，），D（﹣，），
∴直线DM的函数解析式为y＝﹣x+，
由A'B'∥DM设直线A'B'的解析式为y＝﹣x+b'，
把A′（﹣2，4）代入得：
+b'＝4，
解得b'＝，
∴直线A'B'的解析式为y＝﹣x+；
设Q（p，﹣p+），E（t，0），
又M（0，），B（0，），
①若QE，MB为对角线，则QE，MN的中点重合，
，
解得，
∴t的值为；
②若QM，EB为对角线，则QM，EB的中点重合，
∴，
解得，
∴t的值为；
③若QB，EM为对角线，则QB，EM的中点重合，
∴，
解得，
∴t的值为；
综上所述，t的值为或或．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用．
四、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
19．若关于x的方程有增根，则m的值是 2 ．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1＝0，得到x＝1，然后代入化为整式方程的方程算出未知字母的值．
解：方程两边都乘（x﹣1），得
m﹣1﹣x＝0，
∵方程有增根，
∴最简公分母x﹣1＝0，即增根是x＝1，
把x＝1代入整式方程，得m＝2．
故答案为：2．
【点评】增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
20．已知▱ABCD中，AB＝8cm，BC＝5cm，过点B作BH⊥CD交CD所在的直线于H，若BH＝4cm，则DH＝ 5或11 cm．
【分析】分两种情况：如图1，如图2，根据勾股定理和平行四边形的性质即可得到结论．
解：如图1，
∵BH⊥CD，
∴∠BHC＝90°，
∵BH＝4cm，BC＝5cm，
∴CH＝＝3（cm），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8（cm），
∴DH＝CD﹣CH＝5（cm）；
如图2，
∵BH⊥CD，
∴∠BHC＝90°，
∵BH＝4cm，BC＝5cm，
∴CH＝＝3（cm），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8（cm），
∴DH＝CD+CH＝11（cm）；
综上所述，DH＝5cm或11cm，
故答案为：5或11．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
21．因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式2x2y+4xy进行因式分解得到2xy（x+2），若取x＝12，y＝7，则2→2，x→12，y→7，x+2→14，可得密码为212714，对于代数式3a3﹣12a2b+9ab2，若取a＝15，b＝4，可能得到的密码是 315311 ．（写出满足条件的一个答案即可）
【分析】本题通过对多项式进行因式分解，然后分别求出每个式子的值，然后组成密码．
解：3a3﹣12a2b+9ab2
＝3a（a2﹣4ab+3b2）
＝3a（a﹣3b）（a﹣b）
当a＝15，b＝4时，
即3→3，a→15，a﹣3b→3，a﹣b→11，
可得密码为315311．
【点评】本题考查了因式分解的应用，通过因式分解，得到对应的结果．
22．已知直线l1：y＝k1x+b1经过点（0，﹣1），直线l2：y＝k2x+b2经过点（3，1），且直线l1与l2关于第一，三象限角平分线所在直线对称，则关于x的不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集是 x＜ ．
【分析】分别求出点（0，﹣1）和点（3，1）关于直线y＝x的对称点的坐标，利用待定系数法求出直线l1，直线l2的解析式，再解不等式即可．
解：∵直线l1与l2关于第一，三象限角平分线所在直线对称，
∴点（0，﹣1）关于直线y＝x的对称点（﹣1，0）一定在直线l2上，
点（3，1）关于直线y＝x的对称点（1，3）一定在直线l1上，
把（0，﹣1），（1，3）两点代入y＝k1x+b1中得，
，
∴k1＝4，b1＝﹣1，
∴直线l1：y＝4x﹣1，
把（3，1），（﹣1，0）两点代入y＝k2x+b2中得，
，
∴k2＝，b2＝，
∴直线l2：y＝x+，
由4x﹣1＜x+得，
x＜，
故答案为：x＜．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，待定系数法求解析式，直线的对称变换等知识，掌握点的对称变换特征是解题关键．
23．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，延长AC至点P，使得CP＝1，点E在线段AB上，且AE，连接PE，以PE为边向右作等边△PEF，过点E作EM∥AP交FA的延长线于点M，点N为MF的中点，则四边形AEPN的面积为 2 ．
【分析】作PG∥CB交AB的延长线于点G，则AB＝BC＝AC＝3，∠PAG＝60°，∠APG＝∠ACB＝60°，∠G＝∠ABC＝60°，所以△ABP是等边三角形，AG＝GP＝AP＝AC+CP＝4，而△PEF是等边三角形，则PE＝PF，∠FPE＝∠PEF＝∠PFE＝60°，所以∠GPE＝∠APF＝60°﹣∠APE，即可证明△GPE≌△APF，得∠G＝∠PAF＝60°，所以∠PAG＝∠PAF＝60°，∠MAE＝60°，再证明△AEM是等边三角形，则∠M＝∠PAE＝60°，∠MEF＝∠AEP＝60°+∠AEF，可证明△MEF≌△AEP，得MF＝AP＝4，则MN＝MF＝2，AE+AN＝AM+AN＝2，作PH⊥AG于点H，PD⊥AF于点D，则PH＝PD，AH＝GH＝AG＝2，由勾股定理得PH＝PD＝＝2，所以S四边形AEPN＝S△APE+S△APN＝×2（AE+AN）＝×2×2＝2，于是得到问题的答案．
解：作PG∥CB交AB的延长线于点G，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠PAG＝60°，∠APG＝∠ACB＝60°，∠G＝∠ABC＝60°，
∴△ABP是等边三角形，
∵点P在AC的延长线上，CP＝1，
∴AG＝GP＝AP＝AC+CP＝4，
∵△PEF是等边三角形，
∴PE＝PF，∠FPE＝∠PEF＝∠PFE＝60°，
∴∠GPE＝∠APF＝60°﹣∠APE，
在△GPE和△APF中，
，
∴△GPE≌△APF（SAS），
∴∠G＝∠PAF＝60°，
∴∠PAG＝∠PAF＝60°，
∴∠MAE＝180°﹣∠PAG﹣∠PAF＝60°，
∵EM∥AP，
∴∠M＝∠PAF＝60°，∠AEM＝∠PAG＝60°，
∴△AEM是等边三角形，∠M＝∠PAE＝60°，∠MEF＝∠AEP＝60°+∠AEF，
∴ME＝AE＝AM，
在△MEF和△AEP中，
，
∴△MEF≌△AEP（ASA），
∴MF＝AP＝4，
∵点N为MF的中点，
∴MN＝MF＝×4＝2，
∴AE+AN＝AM+AN＝MN＝2，
作PH⊥AG于点H，PD⊥AF于点D，则PH＝PD，AH＝GH＝AG＝×4＝2，
∵∠AHP＝90°，
∴PH＝PD＝＝＝2，
∵S四边形AEPN＝S△APE+S△APN＝AE•PH+AN•PD，
∴S四边形AEPN＝×2（AE+AN）＝×2×2＝2，
故答案为：2．
【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
五、解答题（本大题共3小题，共30分。24题8分，25题10分，26题12分，解答过程写在答题卡上）
24．位于四川省广汉市的“三星堆”，被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，被誉为“长江文明之源”，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，七中育才八年级学生计划下周前往此处开展文史探究活动，下面是两位同学对于出行方案的讨论：
（1）请根据以上信息，求出每辆甲种和每辆乙种大巴的座位数；
（2）为保证顺利出行，大巴车司机计划近期加油两次，打算采用两种加油方式：
方式一：每次均按照相同油量（100 升）加油；
方式二：每次均按照相同金额（500 元）加油．
若第一次加油单价为x元/升，第二次加油单价为y元/升（x≠y），请分别写出每种加油方式的平均单价（用含x、y的代数式表示），并根据你所学知识帮助大巴车司机选择上述哪种加油方式更合算．
【分析】（1）设每辆甲种大巴车的座位数为a（a≠0）个，则每辆乙种大巴车的座位数为a（1+20%）＝1.2a个，根据“都租同一种车辆，甲种大巴车比乙种大巴车多3辆”列出方程，求解即可；
（2）根据“加油费用＝加油量×加油单价”分别算出两种加油方式的平均单价，再利用作差法比较两种加油方式的平均单价的大小即可求解．
解：（1）设每辆甲种大巴车的座位数为x（x≠0）个，则每辆乙种大巴车的座位数为x（1+20%）＝1.2x个，
根据题意可得：，
解得：a＝45，
经检验，a＝45为原方程的解，
则1.2a＝54，
∴每辆甲种大巴车的座位数有45个，每辆乙种大巴车的座位数有54个；
（2）按照方式一加油的平均单价为＝（元/升），
按照方式一加油的平均单价为＝（元/升），
按方式二加油的平均单价﹣按方式二加油的平均单价得：＝＝（元/升），
∵x＞0，y＞0，且x≠y，
∴x+y＞0，（x﹣y）2＞0，即＞0，
∴选择方式二加油更合算．
【点评】本题主要考查分式方程的应用、列代数式．解题关键是：（1）正确理解题意，找准等量关系列出方程，并进行正确的求解；（2）利用“加油费用＝加油量×加油单价”列出代数式，熟练掌握用作差法比较代数式大小．
25．已知长为a、b、c、d的四条线段．a2+b2+c2+d2＝2ab+2cd，以a、b为边构造△ABC，其中AB＝a，AC＝b；以c、d为边构造△DEC，其中DC＝c，DE＝d．
（1）判断△ABC和△DEC的形状并证明；
（2）将△ABC和△DEC按照图1方式放置，当B、C、E共线时，取BE的中点M，连接AM、DM．若AM⊥DM，请猜想∠BAC与∠EDC之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，当B、C、E不共线时，连接BE并取其中点M，连接AM、DM、若AM⊥DM，（2）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由．
【分析】（1）利用非负数的性质证明a＝b，c＝d，可得结论；
（2）猜想：∠BAC+∠EDC＝180°．延长AM到T，使得MT＝MA，连接AD，DT，ET，延长AC交ET的延长线于点K．证明△AMB≌△TME（SAS），推出AB＝ET，∠B＝∠MET，推出AB∥EK，推出∠K＝∠BAC，再证明△DAC≌△DTE（SSS），推出∠ACD＝∠DET，可得结论；
（3）猜想仍然成立，证明方法类似（2）．
解：（1）结论：△ABC，△DEC都是等腰三角形；
理由：∵a2+b2+c2+d2＝2ab+2cd，
∴（a﹣b）2+（c﹣d）2＝0，
∴a＝b，c＝d，
∴△ABC，△DEC都是等腰三角形；
（2）猜想：∠BAC+∠EDC＝180°．
理由：延长AM到T，使得MT＝MA，连接AD，DT，ET，延长AC交ET的延长线于点K．
∵MA＝MT，∠AMB＝∠TME，MB＝ME，
∴△AMB≌△TME（SAS），
∴AB＝ET，∠B＝∠MET，
∴AB∥EK，
∴∠K＝∠BAC，
∵AB＝AC，
∴AC＝ET，
∵DM⊥AT．MA＝MT，
∴DA＝DT，
∵DC＝DE，
∴△DAC≌△DTE（SSS），
∴∠ACD＝∠DET，
∵∠ACD+∠DCK＝180°，
∴∠DET+∠DCK＝180°，
∴∠EDC+∠K＝180°，
∴∠EDC+∠BAC＝180°．
（3）猜想仍然成立．
理由：延长AM到Q，使得MQ＝MA，连接AD，DQ，EQ，延长AC交EQ于点J．
∵MA＝MQ，∠AMB＝∠QME，MB＝ME，
∴△AMB≌△QME（SAS），
∴AB＝EQ，∠B＝∠MEQ，
∴AB∥EQ，
∴∠EJC＝∠BAC，
∵AB＝AC，
∴AC＝EQ，
∵DM⊥AQ．MA＝MQ
∴DA＝DQ，
∵DC＝DE，
∴△DAC≌△DQE（SSS），
∴∠ACD＝∠DEQ，
∵∠ACD+∠DCJ＝180°，
∴∠DEQ+∠DCJ＝180°，
∴∠EDC+∠EJC＝180°，
∴∠EDC+∠BAC＝180°．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
26．如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将线段AB绕点B逆时针旋转得线段BD，旋转角为α，连接CD．
（1）①若α＝60°，则∠CDA＝ 45 °；
②若0＜α＜90°，求∠CDA的度数．
（2）如图2，当0＜α＜90°时，过点B作BE⊥AD于点E，CD与BE相交于点F，请探究线段CF与线段BE之间的数量关系；
（3）当0＜α＜360°时，作点A关于CD所在直线的对称点A′，当点A′在线段BC所在的直线上时，求△AA′D的面积．
【分析】（1）①由旋转的性质可得∠ADB＝60°，由等腰三角形的性质可求∠BDC＝15°，即可求解；
②由旋转的性质和等腰三角形的性质可求解；
（2）由“AAS”可证△ABE≌△BCH，可得BE＝CH，由等腰直角三角形的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，由勾股定理可求A'A2，即可求解．
解：（1）①∵将线段AB绕点B逆时针旋转60°得线段BD，
∴BD＝AB，∠ABD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∵BD＝BC，∠DBC＝90°+60°＝150°，
∴∠BDC＝∠BCD＝15°，
∴∠CDA＝45°，
故答案为：45；
②∵将线段AB绕点B逆时针旋转得线段BD，
∴AB＝BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝，∠BAD＝∠BDA＝，
∴∠CDA＝∠BDA﹣∠BDC＝45°；
（2）CF＝BE，理由如下：
如图2，过点C作CH⊥直线BE于H，
∵BE⊥AD，∠CDA＝45°，
∴∠EFD＝45°＝∠CFH，
∵CH⊥FH，
∴∠CFH＝∠FCH＝45°，
∴△CFH是等腰直角三角形，
∴CF＝CH，
∵∠AEB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBH＝90°＝∠CBH+∠BCH，
∴∠ABE＝∠BCH，
又∵AB＝BC，∠AEB＝∠H＝90°，
∴△ABE≌△BCH（AAS），
∴BE＝CH，
∴CF＝BE；
（3）如图3，当点A'在点B的左侧时，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝2，
∵点A关于CD所在直线的对称点A′，
∴AC＝A'C＝2，∠ADC＝∠A'DC＝45°，AA'⊥CD，AD＝A'D，
∴A'B＝A'C﹣BC＝2﹣2，AO＝A'O＝DO，
∴A'A2＝AB2+A'B2＝4+（2﹣2）2＝16﹣8，
∴S△AA′D＝×AA'•DO＝A'A2＝4﹣2；
如图4，当点A'在点B的右侧时，同理可求S△AA′D＝A'A2＝×（AB2+A'B2）＝4+2；
综上所述：△AA′D的面积为4﹣2或4+2．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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