真题重组卷02——2023年中考数学真题汇编重组卷（广东广州专用）

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绝密★启用前
冲刺2023年中考数学精选真题重组卷02
数学（广州专用）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
一、单选题
1．（2019·广东广州·统考中考真题）|-6|=（   ）
A．-6 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】根据绝对值的定义即可解答.
【详解】解：负数的绝对值是它的相反数，所以，，
故选B．
【点睛】本题考查了绝对值的定义，熟练掌握是解题的关键.
2．（2022·山东日照·统考中考真题）全民免费接种新冠病毒疫苗是党中央、国务院作出的重大决策部署，通过接种疫苗，让更多人获得免疫力，尽早形成人群免疫屏障，截至2022年5月20日，全国31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗336905万剂次．数据336905万用科学记数法表示为（    ）
A．0.336905×1010 B．3.36905×1010 C．3.36905×109 D．33.6905×109
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：336905万=3369050000=3.36905×109．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2022·贵州黔西·统考中考真题）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出平均每天耕作旱地的亩数为亩，再根据该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半建立方程即可．
【详解】解：由题意可知，平均每天耕作旱地的亩数为亩，
则可列方程为，
故选：D．
【点睛】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．
4．（2021·广东广州·统考中考真题）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且，若，则点A表示的数为（    ）

A． B．0 C．3 D．
【答案】A
【分析】由AB的长度结合A、B表示的数互为相反数，即可得出A，B表示的数
【详解】解：∵
∴，两点对应的数互为相反数，
∴可设表示的数为，则表示的数为，
∵
∴，
解得：，
∴点表示的数为-3，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值，相反数的应用，关键是能根据题意得出方程．
5．（2022·湖北荆门·统考中考真题）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是(   )
A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）
D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
【答案】A
【分析】根据立方差公式即可求解．
【详解】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，
将上式中的b用-b替换，整理得：
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），
故选：A．
【点睛】本题考查了运用公式法分解因式，熟练掌握立方差公式是解题的关键．
6．（2022·江苏南通·统考中考真题）根据图像，可得关于x的不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】写出直线y＝kx在直线y＝−x＋3上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：根据图象可得：不等式kx＞−x＋3的解集为：x＞1．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图象确定不等式的解集是解题的关键．
7．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．4+2
【答案】C
【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．
【详解】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：

∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，
∴EH＝EC，
∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，
∵DE∥OB，
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2HE＝2EC，
∵EC＝2，
∴DE＝4，
∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，
∴∠DEO＝15°，
∴∠AOE＝∠DEO，
∴OD＝DE＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
8．（2019·广东广州·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（   ）

A．EH=HG B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD D．的面积是的面积的2倍
【答案】B
【分析】根据三角形中位线的性质和平行四边形的性质分别判断各选项即可解答，
【详解】解：因为E、H为OA、OD的中点，
所以，EH＝＝2，同理，HG＝＝1，所以，A错误；
EH∥AD，EH＝，
FG∥BC，FG＝，
因为平行四边形ABCD中，AD＝BC，且AD∥BC，
所以，EH＝FG，且EH∥FG，
所以，四边形EFGH是平行四边形， B正确．
AC与BD不一定垂直，C错误；
由相似三角形的面积比等于相似比的平方，知：△ABC的面积是△EFO的面积的4倍，D错误；
故选B.
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质和平行四边形的性质，熟练掌握是解题的关键.
9．（2021·广东广州·统考中考真题）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由勾股定理求出，并利用旋转性质得出，，，则可求得，再根据勾股定理求出，最后由三角形函数的定义即可求得结果．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得：．
∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，，．
∴．
∴在中，由勾股定理得．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了求角的三角形函数值，掌握三角形函数的概念并利用勾股定理及旋转的性质求解是解题的关键．
10．（2022·山东日照·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求确定A、C、B三个点坐标，然后求出AB和AC的解析式，再表示出EF的长，进而表示出点P的横坐标，最后根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：由题意可得，
设直线AB的解析式为y=kx+b
则 解得：
∴直线AB的解析式为：y=x-4，
∴x=y+4，
设直线AC的解析式为y=mx+n
则 解得：
∴直线AC的解析式为：，
∴，
∴点F的横坐标为：y+4，点E的坐标为：，
∴，
∵EP=3PF，
∴，
∴点P的横坐标为：，
∵，
∴．
∴
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形性质、求一次函数的解析式、不等式性质等知识，根据题意表示出点P的横坐标是解答本题的关键．

二、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2019·广东广州·统考中考真题）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，则点P到直线l的距离是_____cm.

【答案】5
【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案．
【详解】解：∵PB⊥l，PB=5cm，
∴P到l的距离是垂线段PB的长度5cm，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握是解题的关键.
12．（2022·山东日照·统考中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．
【答案】##-0.125
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可．
【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0时，
∴m=不合题意，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．
13．（2021·广东广州·统考中考真题）如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为________．

【答案】2
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，∠ABD=，求得，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴∠A+∠ABC=，
∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，
∴AD=BD，
∴∠ABD=，
∴，
∵，
∴AD=BD=2CD=2，
故答案为：2．
【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
14．（2022·湖北荆门·统考中考真题）1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t＝_____小时．

【答案】(1+)##（＋1）
【分析】根据题意求出和的度数以及AP的长度，然后再中，利用锐角三角函数的定义求出AC，PC的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而求出AB的长，最后根据时间=路程速度，进行计算即可求解．
【详解】由题意得：
∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，
在Rt△APC中，AC＝AP•cos45°＝100×＝50（海里），
PC＝AP•sin45°＝100×＝50（海里），
在Rt△BCP中，BC＝＝＝50（海里），
∴AB＝AC+BC＝（50+50）海里，
∴t＝＝（1+）小时，
故答案为：（1+）．

【点睛】本题考查了解直角三角形在实际问题中的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函数y1＝和y2＝分别经过点B、点E，若S△COD＝5，则k1﹣k2＝_____．

【答案】10
【分析】作EH⊥y轴于点F，则四边形BCHE、AEHO都为矩形，利用折叠的性质得∠DCH＝∠BCE,
证明△BCE≌△OCD，则面积相等，根据反比例函数系数k的几何意义得k1﹣k2的值．
【详解】解：作EH⊥y轴于点H，

则四边形BCHE、AEHO都为矩形，
∵∠ECF=45°，△ECF翻折得到,
∴∠BCE+∠OCF=45°，
∵∠DOC+∠OCF＝45°，
∴∠BCE＝∠OCD，
∵BC＝OC，∠B＝∠COD，
∴△BCE≌△OCD（ASA），
∴S△BCE＝S△COD＝5，
∴S△CEH＝5，
S矩形BCHE＝10，
∴根据反比例函数系数k的几何意义得：
k1﹣k2＝S矩形BCHE＝10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，正方形的性质和全等三角形的判定和性质，利用折叠和全等进行转化是关键．
16．（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，的中点为；，，的中点为；，，的中点为；，，的中点为；…；按此做法进行下去，则点的坐标为_____．

【答案】
【分析】根据图形找出规律即可解答．由图可知，线段位于第一象限，位于第二象限，位于第三象限，位于第四象限…，每四个循环一次，则可知道在第几象限，写出的坐标，即可解答．
【详解】
∴线段在第二象限；
∴（0，2023），（-2022，0）
∵点为线段中点，
∴点的坐标为，即
故答案为：
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，仔细读题找出变化规律是解题的关键．

三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022·贵州黔西·统考中考真题）（1）计算：；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

【答案】（1）3；（2），见解析
【分析】（1）按顺序先分别进行乘方运算、二次根式乘法运算、负指数幂运算、零指数幂运算，再按运算顺序进行加减运算即可；
（2）先分别求出每一个不等式的解集，然后在数轴上分别表示出来，最后确定解集即可．
【详解】（1）
=
=3
（2）
解：解不等式，得．
解不等式，得．
在数轴上表示如下：

∴不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解不等式组，准确熟练的计算是解本题的关键．
18．（2021·广东广州·统考中考真题）如图，点E、F在线段BC上，，，，证明：．

【答案】见解析
【分析】利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论．
【详解】证明：∵，
∴∠B=∠C，
∵，，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴．
【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
19．（2022·江苏南通·统考中考真题）为了了解八年级学生本学期参加社会实践活动的天数情况，A，B两个县区分别随机抽查了200名八年级学生．根据调查结果绘制了统计图表，部分图表如下：

A，B两个县区的统计表

平均数
众数
中位数
A县区
3.85
3
3
B县区
3.85
4
2.5

(1)若A县区八年级共有约5000名学生，估计该县区八年级学生参加社会实践活动不少于3天的学生约为___________名；
(2)请对A，B两个县区八年级学生参加社会实践活动的天数情况进行比较，做出判断，并说明理由．
【答案】(1)3750
(2)见详解

【分析】（1）根据A县区统计图得不小于三天的比例，根据总数乘以比例即可得到答案；
（2）根据平均数、中位数和众数的定义进行比较即可．
【详解】（1）解：根据A县区统计图得，该县区八年级学生参加社会实践活动不少于3天的比例为：
，
∴该县区八年级学生参加社会实践活动不少于3天的学生约为：名，
故答案为：3750；
（2）∵A县区和B县区的平均活动天数均为3.85天，
∴A县区和B县区的平均活动天数相同；
∵A县区的中位数是3，B县区的中位数是2.5，
∴B县区参加社会实践活动小于3天的人数比A县区多，从中位数看，A县区要好；
∵A县区的众数是3，B县区的众数是4，
∴A县区参加社会实践人数最多的是3天，B县区参加社会实践人数最多的是4天，从众数看，B县区要好．
【点睛】本题考查数据统计、平均数、中位数和众数，解题的关键是熟练掌握扇形统计图、平均数、中位数和众数的相关知识．
20．（2021·广东广州·统考中考真题）民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次
（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；
（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？
【答案】（1）“南粤家政”今年计划新增加的培训人次为23万次；（2）李某的年工资收入增长率至少要达到30%．
【分析】（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训人次为x万次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次为2x万次，根据今年计划新增加培训共100万人次列出方程求解即可；
（2）设李某的年工资收入增长率为y，根据“今年的年工资收入不低于12.48万元”列出一元一次不等式求解即可．
【详解】解：设“南粤家政”今年计划新增加培训人次为x万次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次为2x万次，根据题意得，

解得，
答：“南粤家政”今年计划新增加的培训人次为23万次；
（2）设李某的年工资收入增长率为y，根据题意得，

解得，
答：李某的年工资收入增长率至少要达到30%．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程以及一元一次不等式的应用，准确找出题目中的数量关系是解答此题的关键．
21．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＜0）的图像交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．

(1)根据图像直接写出不等式＜ax+b的解集；
(2)求反比例函数与一次函数的解析式；
(3)点P在y轴上，且S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)y＝﹣，y＝x+6
(3)P（0，3）或（0，﹣3）

【分析】（1 ）通过图像位置关系解不等式．
（2 ）用待定系数法法求解析式．
（2 ）先求△AOB的面积，再求P的坐标．
【详解】（1）解：当y＝的图像在y＝ax+b图像的下方时，＜ax+b成立，
∴；
（2）解：将A（﹣2，4）代入y＝得：﹣8＝m，
∴反比例函数为：y＝﹣．
将A（﹣2，4），B（﹣4，2）代入y＝ax+b得：，
解得： ，
∴一次函数的表达式为：y＝x+6；
（3）解：在y＝x+6中，当y＝0时，x＝﹣6，
∴C（﹣6，0）．
∴S△ABO＝S△AOC﹣S△BOC
＝OC×（yA﹣yB）
＝×6×2
＝6，
∴S△AOP＝×6＝3，
∵P在y轴上，
∴OP×|xA|＝3，
∴OP＝3．
∴P（0，3）或（0，﹣3）．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合问题，数形结合，将线段的长度转化为坐标运算是求解本题的关键．
22．（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．

(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BE＝6，试求cos∠CDA的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠BDE+∠ADC＝90°，根据等腰三角形的性质以及对顶角相等可得∠ECB＝∠ADC，然后根据等腰三角形的性质可得∠E＝∠BDE，从而可得∠E+∠BCE＝90°，最后利用三角形内角和定理可得∠EBC＝90°，即可解答；
（2）设⊙O的半径为r，则AC＝AD＝3+r，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出r＝5，从而求出BC＝2，然后在Rt△EBC中，根据勾股定理可求出EC的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDE+∠ADC＝90°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACD＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠ADC，
∵EB＝DB，
∴∠E＝∠BDE，
∴∠E+∠BCE＝90°，
∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵OC＝3，
∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r，
∵BE＝6，
∴BD＝BE＝6，
在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，
∴36+（r+3）2＝（2r）2，
∴r1＝5，r2＝﹣3（舍去），
∴BC＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，
在Rt△EBC中，EC＝＝＝2，
∴cos∠ECB＝＝＝，
∴cos∠CDA＝cos∠ECB＝，
∴cos∠CDA的值为．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且．

(1)当时，求证：；
(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，，垂足为K，交AC于点H且．若，，请用含a，b的代数式表示EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
(3)

【分析】（1）先利用正方表的性质求得，，再利用判定三角形全等的“SAS”求得三角形全等，然后由全等三角形的性质求解；
（2）延长CB至M，使，连接AM，先易得，推出，，进而得到，最后利用全等三角形的性质求解；
（3）过点H作于点N，易得，进而求出，再根据（2）的结论求解．
（1）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
在和中
，
∴，
∴；
（2）
解：BE，EF，DF存在的数量关系为．
理由如下：
延长CB至M，使，连接AM，
则．
在和中
，
∴，
∴，．
∵，
∴．
∴∠MAE=∠FAE，
在和中
，
∴，
∴EM=EF，
∵EM=BE+BM，
∴；

（3）
解：过点H作于点N，
则．
∵，
∴，
∴．
在和中
，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
由（2）知，．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，作出辅助线，构建三角形全等是解答关键．
24．（2022·江苏南通·统考中考真题）如图，矩形中，，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．

(1)当点E在上时，作，垂足为M，求证；
(2)当时，求的长；
(3)连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值．
【答案】(1)见详解
(2)或
(3)

【分析】（1）证明即可得证．
（2）分情况讨论，当点E在BC上时，借助，在中求解；当点E在CD上时，过点E作EG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，借助并利用勾股定理求解即可．
（3）分别讨论当点E在BC和CD上时，点F所在位置不同，DF的最小值也不同，综合比较取最小即可．
【详解】（1）如图所示，
由题意可知，，，
，
由旋转性质知：AE=AF，
在和中，
，
，
．

（2）当点E在BC上时，
在中，，，
则，
在中，，，
则，
由（1）可得，，
在中，，，
则，
当点E在CD上时，如图，

过点E作EG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，
同（1）可得，
，
由勾股定理得；
故CF的长为或．
（3）如图1所示，当点E在BC边上时，过点D作于点H，
由（1）知，，
故点F在射线MF上运动，且点F与点H重合时，DH的值最小．
在与中，
，
，
，
即，
，，
，
在与中，
，
，
，
即，
，
故的最小值；

如图2所示，当点E在线段CD上时，将线段AD绕点A顺时针旋转的度数，得到线段AR，连接FR，过点D作，，
由题意可知，，
在与中，
，
，
，
故点F在RF上运动，当点F与点K重合时，DF的值最小；
由于，，，
故四边形DQRK是矩形；
，
，
，
，
故此时DF的最小值为；
由于，故DF的最小值为．

【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是各性质定理的综合应用．
25．（2019·广东广州·统考中考真题）已知抛物线G：有最低点．
（1）求二次函数的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图像交于点P，结合图像，求点P的纵坐标的取值范围.
【答案】（1）二次函数的最小值是；（2）；（3）－4－3.
【分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．
（2）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，-m-3），即x=m+1，y=-m-3，x+y=-2即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m＞0，即求得x的取值范围．
（3）求出抛物线恒过点B（2，-4），函数H图象恒过点A（2，-3），由图象可知两图象交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间．
【详解】解：（1）∵y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，抛物线有最低点，
∴二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3.
（2）∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3,
∴平移后的抛物线G1：y=m（x-1-m）2-m-3,
∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，-m-3）,
∴x=m+1，y=-m-3,
∴x+y=m+1-m-3=-2.
即x+y=-2，变形得y=-x-2.
∵m＞0，m=x-1.
∴x-1＞0,
∴x＞1,
∴y与x的函数关系式为y=-x-2（x＞1）.
（3）如图，函数H：y=-x-2（x＞1）图象为射线,
x=1时，y=-1-2=-3；x=2时，y=-2-2=-4,
∴函数H的图象恒过点B（2，-4）,
∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3,
x=1时，y=-m-3；x=2时，y=m-m-3=-3.
∴抛物线G恒过点A（2，-3）,
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA,
∴点P纵坐标的取值范围为-4＜yP＜-3.