真题重组卷02——2023年中考数学真题汇编重组卷(江苏通用)

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冲刺2023年中考数学精选真题重组卷02
数 学（江苏专用）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2022•大连）﹣2的绝对值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．12 D．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣2的绝对值是2，
即|﹣2|＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（2分）（2022•巴中）下列运算正确的是（　　）
A．2 B．（13）﹣1
C．（a2）3＝a6 D．a8÷a4＝a2（a≠0）
【分析】根据算术平方根及负整数指数幂、幂的乘方、同底数幂的除法依次计算判断即可．
【解答】解：A、(-2)2=2，选项错误，不符合题意；
B、(13)-1=3，选项错误，不符合题意；
C、（a2）3＝a6，选项正确，符合题意；
D、a8÷a4＝a4（a≠0），选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查算术平方根及负整数指数幂、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
3．（2分）（2022•南通）如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可．
【解答】解：从正面看该组合体，所看到的图形与选项A中的图形相同，
故选：A．
【点评】本题考查简单组合体的主视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．
4．（2分）（2022•河池）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m C．m＜0 D．m
【分析】根据点P在第三象限，即横纵坐标都是负数，据此即可列不等式组求得m的范围．
【解答】解：根据题意得，
解①得m＜0，
解②得m．
则不等式组的解集是m．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，点的坐标特征．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解题规律是：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
5．（2分）（2022•常州）在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y轴对称．已知点A1（1，2），则点A2的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
【解答】解：∵点A与点A1关于x轴对称，已知点A1（1，2），
∴点A的坐标为（1，﹣2），
∵点A与点A2关于y轴对称，
∴点A2的坐标为（﹣1，﹣2），
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，关键是熟练掌握点的变化规律，不要混淆．
6．（2分）（2022•淮安）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9
【分析】根据三角形的三边关系判断即可．
【解答】解：A、∵3+3＝6，
∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、∵3+5＜10，
∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵4+6＞9，
∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
D、∵4+5＝9，
∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
7．（2分）（2022•扬州）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据题意可知xy的值即为该校的优秀人数，再根据图象即可确定丙校的优秀人数最多．
【解答】解：根据题意，可知xy的值即为该校的优秀人数，
∵描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两所学校的优秀人数相同，
∵点丙在反比例函数图象上面，
∴丙校的xy的值最大，即优秀人数最多，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键．
8．（2分）（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（　　）

A．2 B．2 C．22 D．4
【分析】连接AE，那么，AE＝CG，所以这三个d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．
【解答】解：如图，连接AE，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，
∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，
连接AC，
∴d1+d2+d3最小值为AC，
在Rt△ABC中，AC=2AB＝22，
∴d1+d2+d3最小＝AC＝22，
故选：C．

【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．（2分）（2022•苏州）已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝　24　．
【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．
【解答】解：∵x+y＝4，x﹣y＝6，
∴x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝4×6
＝24．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查了公式法因式分解，正确将原式变形是解题关键．
10．（2分）（2022•宿迁）2022年5月，国家林业和草原局湿地管理司在第二季度例行发布会上表示，到“十四五”末，我国力争将湿地保护率提高到55%，其中修复红树林146200亩，请将146200用科学记数法表示是 　1.462×105　．
【分析】根据科学记数法的形式改写即可．
【解答】解：146200用科学记数法表示是1.462×105，
故答案为：1.462×105．
【点评】本题主要考查科学记数法的知识，熟练掌握记数法的形式是解题的关键．
11．（2分）（2022•上海）为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值）（0﹣1小时4人，1﹣2小时10人，2﹣3小时14人，3﹣4小时16人，4﹣5小时6人），若共有200名学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是 　88　．

【分析】用200乘样本中阅读时间不低于3小时的学生所占比例即可．
【解答】解：20088（人），
故该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是88人．
故答案为：88．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．（2分）（2022•无锡）二元一次方程组的解为 　x=2y=3　．
【分析】根据代入消元法求解即可得出答案．
【解答】解：，
由②得：y＝2x﹣1③，
将③代入①得：3x+2（2x﹣1）＝12，
解得：x＝2，
将x＝2代入③得：y＝3，
∴原方程组的解为x=2y=3．
故答案为：x=2y=3．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，将二元方程转化为一元方程是解题的关键．
13．（2分）（2022•常州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，则sin∠ABD＝　66　．

【分析】过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图，由已知∠A＝∠ABC＝90°，可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠ADB＝∠CBD，根据角平分线的定义可得∠ADB＝∠CDB，则可得CD＝CB＝3，根据矩形的性质可得AD＝BE，即可得CE＝BC﹣BE，在Rt△CDE中，根据勾股定理DE=CD2-CE2，在Rt△ADB中，根据勾股定理可得BD=AD2+AB2，根据正弦三角函数的定义进行求解即可得出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图，
∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴CD＝CB＝3，
∵AD＝BE＝1，
∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，
在Rt△CDE中，
DE=CD2-CE2=32-22=5，
∵DE＝AB，
在Rt△ADB中，
BD=AD2+AB2=12+(5)2=6，
∴sin∠ABD=ADBD=16=66．
故答案为：66．

【点评】本题主要考查了解直角三角形，根据题意作辅助线构造直角三角形应用解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．
14．（2分）（2022•南通）平面直角坐标系xOy中，已知点A（m，6m），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函数y=kx（k≠0）图象上的三点．若S△ABC＝2，则k的值为 　34　．
【分析】连接OA，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，由B、C点的坐标可知B、C关于原点对称，则BO＝CO，即可求得S△AOB＝1，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOB＝S梯形ADEB+S△AOD﹣S△BOE＝S梯形ADEB，即可得出12|6n+2m|•|3m﹣m|＝1，求得m2=18，由于k＝6m2，即可求得k=34．
【解答】解：如图，连接OA，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∵点A（m，6m），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函数y=kx（k≠0）图象上的三点．
∴k＝6m2＝6mn，
∴n＝m，
∴B（3m，2m），C（﹣3m，﹣2m），
∴B、C关于原点对称，
∴BO＝CO，
∵S△ABC＝2，
∴S△AOB＝1，
∵S△AOB＝S梯形ADEB+S△AOD﹣S△BOE＝S梯形ADEB，
∴12|6m+2m|•|3m﹣m|＝1，
∴m2=18，
∵k＝6，
∴k=34，
故答案为：34．

【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，求得△AOB的面积为1是解题的关键．
15．（2分）（2022•云南）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 　120°　．
【分析】根据题意可知，圆锥的底面圆的周长＝扇形的弧长，即可列出相应的方程，然后求解即可．
【解答】解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是n°，
2π×10，
解得n＝120，
即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是120°，
故答案为：120°．
【点评】本题考查圆锥的计算、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确圆锥的底面圆的周长＝扇形的弧长．
16．（2分）（2022•盐城）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得点B落在边CD上的点B'处，线段AB扫过的面积为 　　．

【分析】由旋转的性质可得AB'＝AB＝2，由锐角三角函数可求∠DAB'＝60°，由扇形面积公式可求解．
【解答】解：∵AB＝2BC＝2，
∴BC＝1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝1，∠D＝∠DAB＝90°，
∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，
∴AB'＝AB＝2，
∵cos∠DAB'=ADAB'=12，
∴∠DAB'＝60°，
∴∠BAB'＝30°，
∴线段AB扫过的面积，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，扇形面积公式，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
17．（2分）（2022•泰州）已知a＝2m2﹣mn，b＝mn﹣2n2，c＝m2﹣n2（m≠n），用“＜”表示a、b、c的大小关系为 　b＜c＜a　．
【分析】代数式的比较，常用的方法是作差法或者作商法，由于填空题不需要过程的特殊性，还可以考虑特殊值代入法．考虑到答案唯一，因此特殊值代入法最合适，也最简单．
【解答】解：解法1：令m＝1，n＝0，
则a＝2，b＝0，c＝1．
∵0＜1＜2．
∴b＜c＜a．
解法2：∵a﹣c＝（2m2﹣mn）﹣（m2﹣n2）＝（m﹣0.5n）2+0.75n2＞0；
∴c＜a；
∵c﹣b＝（m2﹣n2）﹣（mn﹣2n2）＝（m﹣0.5n）2+.075n2＞0；
∴b＜c；
∴b＜c＜a．
【点评】本题考查不等式的性质，但是直接利用不等式的性质并不容易求解，考虑到填空题不需要过程，所以特殊值代入法也是最好的选择．
18．（2分）（2022•扬州）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B′处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB′于点P．若BC＝12，则MP+MN＝　6　．


【分析】先把图补全，由折叠得：AM＝MD，MN⊥AD，AD⊥BC，证明GN是△ABC的中位线，得GN＝6，可得答案．
【解答】解：如图2，由折叠得：AM＝MD，MN⊥AD，AD⊥BC，

∴GN∥BC，
∴AG＝BG，
∴GN是△ABC的中位线，
∴GN=12BC12＝6，
∵PM＝GM，
∴MP+MN＝GM+MN＝GN＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，折叠的性质，把图形补全证明GN是△ABC的中位线是解本题的关键．
三．解答题（共10小题，满分82分）
19．（8分）（2022•无锡）（1）解方程：x2﹣2x﹣5＝0；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据配方法可以解答此方程；
（2）先解出每个不等式，然后即可得到不等式组的解集．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣5＝0，
x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝5+1，
（x﹣1）2＝6，
∴x﹣1＝±6，
解得x1＝1+6，x2＝1；
（2），
解不等式①，得：x＞1，
解不等式②，得：x，
∴原不等式组的解集是1＜x．
【点评】本题考查解一元二次方程、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法和解一元一次不等式组的方法．
20．（8分）（2022•淮安）某校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图．

请解答下列问题：
（1）在这次调查中，该校一共抽样调查了 　200　名学生，扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是 　72　°；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数．
【分析】（1）根据选择乒乓球的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，根据条形统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出选择足球的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）用1200乘以“篮球”项目的百分比即可．
【解答】解：（1）60÷30%＝200（名），
在扇形统计图中，“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是360°72°，
故答案为：200，72；
（2）选择足球的学生有：200﹣30﹣60﹣20﹣40＝50（人），
补全的条形统计图如图所示：

（3）1200180（名），
答：估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的有180名．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（8分）（2022•宿迁）从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．
（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 　13　；
（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．
【分析】（1）根据题意可知甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，有3种可能性，其中选中丙的有1种可能性，从而可以求得恰好选中丙的概率；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得一定有乙的概率．
【解答】解：（1）由题意可得，
甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，有3种可能性，其中选中丙的有1种可能性，
故恰好选中丙的概率是13，
故答案为：13；
（2）树状图如下：

由上可得，一共有12种可能性，其中一定有乙的可能性有6种，
故一定有乙的概率是612=12．
【点评】本题考查列表法与树状图法、随机事件，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
22．（6分）（2022•衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．

【分析】（1）根据圆周角定理可得，∠ACD＝∠DBA，由已知条件可得∠CAB＝∠ACD，再根据平行线的判定方法即可得出答案；
（2）连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．由∠ACD＝30°，可得∠ACD＝∠CAB＝30°，根据圆周角定理可得∠AOD＝∠COB＝60°，即可得出∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，即可算出S扇形BOD的面积，在Rt△ODE中，根据三角函数可算出DE＝cos30°OD的长度，即可算出S△BOD=12OB?DE的面积，根据S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD代入计算即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD=AD，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∵∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴CD∥AB．
（2）如图，连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴S扇形BOD．
在Rt△ODE中，
∵DE＝sin60°•OD，
∴S△BOD，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD．
∴S阴影．

【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
23．（8分）（2022•泰州）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．

【分析】（1）根据线段中点的定义可得AD=12AB，根据三角形的中位线定理可得EF∥AB，EF=12AB，从而可得EF＝AD，进而可得四边形ADFE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可解答；
（2）当AF=12BC时，四边形ADFE为矩形，再根据三角形的中位线定理可得DE=12BC，从而可得AF＝DE，然后利用（1）的结论即可解答．
【解答】（1）证明：∵点D是AB的中点，
∴AD=12AB，
∵点E是AC的中点，点F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF=12AB，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）解：当AF=12BC时，四边形ADFE为矩形，
理由：∵线段DE为△ABC的中位线，
∴DE=12BC，
∵AF=12BC，
∴AF＝DE，
由（1）得：四边形ADFE是平行四边形，
∴四边形ADFE为矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三角形的中位线定理，三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握三角形的中位线定理，以及矩形的判定是解题的关键．
24．（8分）（2022•枣庄）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．
（1）如图①，若PQ⊥BC，求t的值；
（2）如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？


【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
（2）作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，AP=2tcm，BQ＝tcm（0≤t＜4），由△ABC为等腰直角三角形，可得∠A＝∠B＝45°，则可判断△APE和△PBD为等腰直角三角形，得出PE＝AE=22AP＝tcm，BD＝PD，则CE＝AC﹣AE＝（4﹣t）cm，由矩形和菱形性质及勾股定理，即可求得答案．
【解答】解：（1）如图①，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，
∴AB=AC2+BC2=42+42=42（cm），
由题意得，AP=2tcm，BQ＝tcm，
则BP＝（42-2t）cm，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQB＝90°，
∴∠PQB＝∠ACB，
∴PQ∥AC，
∴BPBA=BQBC，
∴42-2t42=t4，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，PQ⊥BC．
（2）作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，如图②，
AP=2tcm，BQ＝tcm（0≤t＜4），
∵∠C＝90°，AC＝BC＝4cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴△APE和△PBD为等腰直角三角形，
∴PE＝AE=22AP＝tcm，BD＝PD，
∴CE＝AC﹣AE＝（4﹣t）cm，
∵四边形PECD为矩形，
∴PD＝EC＝（4﹣t）cm，
∴BD＝（4﹣t）cm，
∴QD＝BD﹣BQ＝（4﹣2t）cm，
在Rt△PCE中，PC2＝PE2+CE2＝t2+（4﹣t）2，
在Rt△PDQ中，PQ2＝PD2+DQ2＝（4﹣t）2+（4﹣2t）2，
∵四边形QPCP′为菱形，
∴PQ＝PC，
∴t2+（4﹣t）2＝（4﹣t）2+（4﹣2t）2，
∴t1=43，t2＝4（舍去）．
∴当t的值为43时，四边形QPCP′为菱形．


【点评】此题是相似形综合题，主要考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
25．（8分）（2022•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于P、Q两点．点P（﹣4，3），点Q的纵坐标为﹣2．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△POQ的面积．

【分析】（1）把P的坐标代入y=kx，利用待定系数法即可求得反比例函数解析式，进而求出Q的坐标，把P、Q的坐标代入一次函数的解析式求出即可；
（2）根据三角形面积和可得结论．
【解答】解：（1）将点P（﹣4，3）代入反比例函数y=kx中，解得：k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的表达式为：y；
当y＝﹣2时，﹣2，
∴x＝6，
∴Q（6，﹣2），
将点P（﹣4，3）和Q（6，﹣2）代入y＝ax+b中得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：yx+1；
（2）如图，

yx+1，
当x＝0时，y＝1，
∴OM＝1，
∴S△POQ＝S△POM+S△OMQ
1×41×6
＝2+3
＝5．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式的应用，三角形的面积，求得OM的长是解题的关键．
26．（8分）（2022•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2.24）

【分析】（1）过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，由AB＝5m，∠ABE＝37°，可求AE和BE，即可得出AC的长；
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的长．
【解答】
解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，
在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，
∵sin∠ABE=AEAB，cos∠ABE=BEAB，
∴AE5=0.60，BE5=0.80，
∴AE＝3m，BE＝4m，
∴CE＝6m，
在Rt△ACE中，由勾股定理AC=32+62=36.7m．
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，
∴FD＝AO＝1m，
∴CF＝5m，
在Rt△ACF中，由勾股定理AF=45-25=25m．
∴OD＝24.5m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
27．（10分）（2022•镇江）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上．
（1）如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH＝AB；
（2）如图2，已知AE＝AH，CF＝CG，当AE、CF的大小有 　AE＝CF　关系时，四边形EFGH是矩形；
（3）如图3，AE＝DG，EG、FH相交于点O，OE：OF＝4：5，已知正方形ABCD的边长为16，FH长为20，当△OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．

【分析】（1）证明△AEH≌△BFE（AAS），推出AH＝BE，可得结论；
（2）当AE＝CF时，四边形EFGH是矩形．根据有三个角是直角的四边形是矩形证明即可；
（3）如图3中，过点H作HM⊥BC于点M．，交EG于点N．ZM 四边形AEGD是平行四边形，推出AD∥EG，EG∥BC，可得HNHM=HOHF，设OE＝4x．OF＝5x，HN＝h，则h16=20-5x20，可得h＝4（4﹣x），可得S=12•OE•HN4x×4（4﹣x）＝﹣8（x﹣2）2+32，可知x＝2时，△OEH的面积最大，求出OE，OG，OH，OF的长，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠AEH+∠AHE＝90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH＝EF，∠HEF＝90°，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，
∴∠BEF＝∠AHE，
在△AEH和△BFE中，
，
∴△AEH≌△BFE（AAS），
∴AH＝BE，
∴AE+AH＝AE+BE＝AB；

（2）解：当AE＝CF时，四边形EFGH是矩形．
理由：如图2中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵AE＝AH＝CF＝CG，
∴BE＝BF，DH＝DG，
∴∠AEH＝∠BEF＝45°，
∴∠HEF＝90°
同法可证，∠EHG＝90°，∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
故答案为：AE＝CF；

（3）解：结论：四边形EFGH是平行四边形．
理由：如图3中，过点H作HM⊥BC于点M．，交EG于点N．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∵AE＝DG，AE∥DG，
∴四边形AEGD是平行四边形，
∴AD∥EG，
∴EG∥BC，
∴HNHM=HOHF，
∵OE：OF＝4：5，
设OE＝4x．OF＝5x，HN＝h，则h16=20-5x20，
∴h＝4（4﹣x），
∴S=12•OE•HN4x×4（4﹣x）＝﹣8（x﹣2）2+32，
∵﹣8＜0，
∴x＝2时，△OEH的面积最大，
∴OE＝4x＝8=12EG＝OG，OF＝5x＝10=12HF＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
【点评】本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建二次函数，解决最短问题，属于中考压轴题．
28．（10分）（2022•淮安）如图（1），二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线l经过B、C两点．
（1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；
（2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM=12MN时，求点P的横坐标；
（3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ＝3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设P（t，﹣t+3），则M（t，﹣t2+2t+3），N（2﹣t，﹣t2+2t+3），则PM＝|t2﹣3t|，MN＝|2﹣2t|，由题意可得方程|t2﹣3t|=12|2﹣2t|，求解方程即可；
（3）由题意可知Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由QG∥BC，求出点G（2，0），作A点关于GQ的对称点A'，连接A'D与AP交于点Q，则3AP+4DQ＝4（DQ+34AP）＝4（DQ+AQ）≥4A'D，利用对称性和∠OBC＝45°，求出A'（2，3），求出直线DA'的解析式和直线QG的解析式，联立方程组，可求点Q（54，34），再求DQ=5104．
【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得b=2c=3，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标（1，4）；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴3k+b=0b=3，
解得，
∴y＝﹣x+3，
设P（t，﹣t+3），则M（t，﹣t2+2t+3），N（2﹣t，﹣t2+2t+3），
∴PM＝|t2﹣3t|，MN＝|2﹣2t|，
∵PM=12MN，
∴|t2﹣3t|=12|2﹣2t|，
解得t＝1+2或t＝1或t＝2+3或t＝2，
∴P点横坐标为1+2或1或2+3或2；
（3）∵C（0，3），D点与C点关于x轴对称，
∴D（0，﹣3），
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），
∴AB＝4，
∵AQ＝3PQ，
∴Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，
∴QG∥BC，
∴AQAP=AGBA，
∴34=AG4，
∴AG＝3，
∴G（2，0），
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
作A点关于GQ的对称点A'，连接A'D与AP交于点Q，
∵AQ＝A'Q，
∴AQ+DQ＝A'Q+DQ≥A'D，
∴3AP+4DQ＝4（DQ+34AP）＝4（DQ+AQ）≥4A'D，
∵∠QGA＝∠CBO＝45°，AA'⊥QG，
∴∠A'AG＝45°，
∵AG＝A'G，
∴∠AA'G＝45°，
∴∠AGA'＝90°，
∴A'（2，3），
设直线DA'的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得k=3b=-3，
∴y＝3x﹣3，
同理可求直线QG的解析式为y＝﹣x+2，
联立方程组，
解得x=54y=34，
∴Q（54，34），
∴DQ=5104．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．