浙江省七彩阳光联盟2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022学年第二学期浙江七彩阳光联盟期中联考

高一数学试题

考生须知：

1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.

2．答题前，在答题卷指定区城填写班级处名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数学

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.

4．考试结束后，只需上交答题纸.

选择题部分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求得集合A，根据集合的交集运算即可求得答案.

【详解】由于，，

故，

故选：C

2. 若，则（    ）

A. 32 B. 16 C. 4 D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】设复数，且，根据复数的运算即可求解.

【详解】设复数，且，

则，

故选：B.

3. 在中，“”是“”的（    ）条件

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

【答案】A

【解析】

【分析】判断“”是“”的逻辑推理关系，即得答案.

【详解】由题意可知在中，时，一定有，

反之，时，也可能，不一定推出，

故“”是“”的充分不必要条件，

故选：A

4. 如图所示，F为平行四边形对角线BD上一点，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量的线性运算，即可求得答案.

【详解】由题意知，

故

,

故选：A

5. 已知，则的值等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】通过构角，再利用诱导公式即可求出结果.

【详解】因为，

又，所以，

故选：B.

6. 已知向量，向量在方向上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据投影向量的定义即可求解.

【详解】由题意知，

的单位向量为，

所以向量在方向上的投影向量为，

故选：D.

7. 如图扇形，圆心角，D为半径中点，把扇形分成三部分，这三部分绕AC旋转一周，所得三部分旋转体的体积之比是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据旋转体的概念结合圆锥以及球的体积公式，分别求得的值，即可得答案.

【详解】由题意，不妨设扇形的半径为2，

则，，

，

故，

故选：D

8. 已知平面向量，且的最小值与的最小值乘积为2（为实数），则的最小值为（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

【答案】C

【解析】

【分析】由图可知，，要使模最小，只需和，此时得到，再由图可知，由基本不等式即可得到最小值.

【详解】如图，

设，过分别做垂足分别为.

由向量减法的几何意义，,

当，即在处时，的模最小，此时，

当，即在处时，的模最小，,

所以的最小值与的最小值乘积为，

,

当且仅当时取等号.

所以的最小值为.

故选：C

二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9. 已知函数，则下列判断错误的是（    ）

A. 是奇函数 B. 的图像与直线有两个交点

C. 的值域是 D. 在区间上是减函数

【答案】AB

【解析】

【分析】根据分段函数的解析式及基本初等函数的图象与性质逐一分析即可.

【详解】如图所示，作出函数图象，显然图象不关于原点中心对称，故A不正确；

函数图象与直线有一个交点，故B错误；

函数的值域为，且在区间上是减函数，即C、D正确；

故选：AB

10. 已知函数的部分图像如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（    ）

A.  B. 函数的绝对值最小的零点为

C. 直线是函数的一条对称轴 D. 函数在上单调递增

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据函数部分图象求出的解析式，利用函数的零点及余弦函数的性质及逐项判断即可求解.

【详解】由图可知，,

所以，

由图可知图象经过点，

所以，解得，即，

又，

当时，，故A正确；

所以的解析式为，

令则，解得，即，

当时，，当时，，函数的绝对值最小的零点为，故B正确；

由，得直线是函数的一条对称轴，故C正确；

因为，所以，令，则在上不单调，所以函数在上不单调，故D错误.

故选：ABC.

11. 如图在棱长为6的正方体中，分别是中点，P在侧面上（包括边界），且满足三棱锥的体积等于9，则的长度可以是（    ）

A.  B.  C. 10 D.

【答案】AB

【解析】

【分析】先利用等体积法，求出到的距离，从而得出点在线段上，进而得到，再利用，即可求出结果.

【详解】因为正方体的边长为6，分别是中点，所以，设到的距离为，

因为，得到，

如图，连接，，设与，分别交于，易得，

所以点在线段上，连接，因为面，又面，所以，所以，

又易知，所以

故选：AB.

12. 无字证明来源于《几何原本》第二卷的几何代数法（用几何方法研究代数问题），很多代数的公式或定理都能仅通过图形得以证明、如图，在中，为BC边上异于端点的两点，，且是边长为b的正三角形，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】BC

【解析】

【分析】AD选项可以通过取特殊值进行排除；通过余弦定理的计算，三角形三边关系可知B正确，由可对C进行判断.

【详解】由题知，在中根据余弦定理，，

类似的在中由余弦定理，，根据三角形三边关系：可知，B选项正确；

由，对上述不等式用代替可得

，C选项正确；

取，可知A选项错误；

取，，而，D选项错误.

故选：BC

非选择题部分

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数的零点是_______________

【答案】##

【解析】

【分析】令，解方程即可求解.

【详解】令，

则，解得，

故答案：.

14. 已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为___________.

【答案】##

【解析】

【详解】因为，

所以z的虚部为.

故答案为：.

15. 平面直角坐标系xOy中线段OA的长为，与x轴所成的夹角为，且，在斜二测画法下，其直观图为线段，则线段的长度为___________．

【答案】

【解析】

【分析】利用条件和平面直观图的性质，求出和，再利用余弦定理即可求出结果.

【详解】如图1，过点分别作轴与轴的平行线，交轴与轴于两点，则轴，在中，，，

所以，又，所以得到，故,

如图2，过分别作轴与轴的平行线，交轴与轴于两点，则四边形为平行四边形，所以，

由平面直观图的性质知，，，所以，又因为，所以，

在中，由余弦定理得，，

以，

故答案为：.

16. 已知的三个角所对的边为，若，D为边BC上一点，且，则的值为_____________．

【答案】

【解析】

【分析】设，则，利用面积关系可以得到，从而求得tan；再利用面积关系可以得到，

【详解】设，则，

∵AD=2，BD：DC=4c：b，

∴，

即，

化简得，即，

故，

又，

所以，

即，

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （1）已知，求的值；

（2）计算：．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）根据同角三角函数关系，弦化切计算即可；

（2）应用指数及对数运算可得结果.

【详解】（1）

；

（2）

18. 已知复数（i为虚数单位）和是关于x的方程两根，

（1）求p和；

（2）若对应复平面内的点A，且是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求点B对应的复数．

【答案】（1）；   

（2）或.

【解析】

【分析】（1）利用韦达定理计算即可；

（2）数形结合，利用复数的几何意义计算即可.

【小问1详解】

由题意可得

【小问2详解】

由上知，设，结合图形可得，，

即，故点B对应有两个或，

故或.

19. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得的俯角分别为，在B点测得的俯角分别为，同时测得．

（1）求BN和AM的长度；

（2）求之间的距离．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）在中，利用正弦定理即可求解出，再利用条件得到；

（2）在中，利用条件和（1）中的结果，求出，在中，再利用余弦定理即可求解.

【小问1详解】

在中，由题知,，所以，

由正弦定理得，所以，

在中，又因为，得到，

所以.

【小问2详解】

在，由（1），，，

所以，

在中，，，，由余弦定理得，所以.

20. 如图，在三棱推中，高（底面），．

（1）求三棱锥的体积；

（2）求三棱锥外接球的表面积．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据棱锥的体积公式即可求得答案；

（2）确定三棱锥外接球心的位置，进而求得外接球半径，即可求得答案.

【小问1详解】

由题意知，底面，

故,

故；

【小问2详解】

由，可得，

设的外接圆半径为r，则，

设的外接圆圆心为，过点作平面的垂线，

则，设的中点为D，过点D作的垂线交于O，

则四边形为矩形，

O即为三棱锥外接球的球心，设外接球半径为R，

则,

故三棱锥外接球的表面积为.

21. 设内角的对边分别为，已知．

（1）判断的形状（锐角、直角、钝角三角形），并给出证明；

（2）求的最小值．

【答案】（1）钝角三角形，证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用二倍角的正弦余弦公式及两角和的正弦公式，结合诱导公式及三角方程即可求解；

（2）根据（1）的结论及诱导公式，利用正弦定理的边角化及二倍角的余弦公式，结合同角三角函数的平方关系及基本不等式即可求解.

【小问1详解】

是钝角三角形.

由题意可知，，得，

所以,于是有，得或，即或，

又，，

所以是钝角三角形.

【小问2详解】

由（1）知，,,有，

所以

当且仅当，即（为锐角），等号成立，

所以的最小值为

22. 如图，中，AD为BC边上的中线，点E，F分别为边上的动点，线段EF交AD于G，且线段AE与线段AF的长度乘积为1．

（1）已知，请用表示；

（2）求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）结合题意设，然后根据共线求出，进而求解；

（2）令，，根据题意得，设，利用共线设，得到，利用平面向量基本定理得到，然后代入数量积，进行等量代换，最后利用函数的单调性即可求解.

【小问1详解】

因为且，所以，

设，

又因为共线，所以，解得，

所以.

【小问2详解】

令，，即，

设，又因为共线，

设，则，

所以，解得，

，

又因为，

所以，

又因为，所以，

因为，所以，令，

所以时，函数单调递减，

当时，函数取最大值；

当时，函数取最小值；

所以.