浙江省钱塘联盟2022-2023学年高二数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2022学年第二学期钱塘联盟期中联考

高二数学试题

考生须知：

1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､学号和姓名；考场号､座位号写在指定位置；

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；

4.考试结束后，只需上交答题纸.

一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.

1. 已知数列满足，则（    ）

A. -3 B. -1 C. 1 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】根据递推公式可知数列为等差数列，结合首项求得的值.

【详解】因为数列满足，

所以数列为等差数列，公差为

又因，所以.

故选：C

2. 的展开式中的系数是（    ）

A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

【答案】B

【解析】

【分析】根据二项展开式的通项及性质，即可求得展开式中的系数.

【详解】由二项展开式的通项，可得由多项式展开式中的系数为.

故选：B.

3. 2023年4月5日是我国的传统节日“清明节”.这天，王华的妈妈煮了五个青团子，其中两个肉馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个青团子，若已知王华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.

【详解】设事件A为“王华拿到的两个青团子为同一种馅”，事件AB为“两个青团子都为肉馅”，则事件A包含的基本事件的个数为，事件AB包含的基本事件的个数为，所以,

故选：A

4. 下列导数运算正确的是（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据基本初等函数的导数及导数的四则运算律判断A,B,D选项，根据简单的复合函数求导判断C选项.
 

【详解】,A选项错;

,B选项错;

,C选项正确;

,D选项错;

故选:C.

5. 算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明.在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具.下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位､十位､百位､千位，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如，如图二，个位上拨动一粒上珠､两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位､十位､百位､千位､万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的五位数至多含3个5的情况有（    ）

A. 10种 B. 25种 C. 26种 D. 27种

【答案】C

【解析】

【分析】分类情况讨论结合组合数的计算可得种类.
 

【详解】方法一：至多含3个5，有以下四种情况：

不含5，有种；含1个5，有种；含2个5，有种；

含3个5，有种，所以，所有的可能情况共有种

方法二：所有可能的情况有种，其中不符合条件有

含有4个5，有种；含有5个5，有种；

所以，所有的可能情况共有种

故选：C.
 

6. 为了预防肥胖，某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的，女生喜欢吃甜食的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢吃甜食与和性别有关，则被调查的男生人数可能是（    ）

参考公式及数据：，其中.

A. 7 B. 11 C. 15 D. 20

【答案】C

【解析】

【分析】设男生的人数为：，根据题意可列出列联表，由公式求出，由求出的取值范围，可得答案.

【详解】由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：，由题意可列出列联表：

.

由于有的把握认为是否喜欢吃甜食和性别有关，

所以；解得：，因为，

故的可能取值为：，

即男生的人数可以是：，

所以选项ABD错误，选项C正确.

故选：C.

7. 已知定义在上奇函数满足，，若，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性和导数确定函数单调性即可求解.

【详解】是定义在R上的奇函数，

，

则，

即是偶函数，

由，

可得，

构造，

则，

所以函数单调递增，

不等式可化简为，

即，

所以，

解得.

故选：B.

8. 已知数列满足，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据构造数列和等差数列定义，通项公式以及对号函数的性质即可求解.

【详解】由数列满足，

可得，易知，

因为，

所以，

所以，

因为，

所以是首项为2，公差为1的等差数列，

所以，

所以且，

因为不等式恒成立，

所以整理得恒成立，

因为，当且仅当时取等号，舍去.

当时，；当时，，

所以，

即实数的取值范围是，

故选：A.

二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分.

9. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表

若与线性相关，且线性回归方程中的为，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 当增加1个单位时，增加约9.4个单位

C. 与正相关

D. 若广告费用为万元时，销售额一定是万元

【答案】ABC

【解析】

【分析】由于线性回归直线过样本中心点，所以求出，代入回归方程中可求出，即可得到回归直线方程，在一一判断即可；

【详解】依题意，，

样本中心点是，则.

所以线性回归方程为，所以A正确，

对于B，由，可知当增加1个单位时，增加约个单位，所以B正确，

对于C，因，所以与正相关，所以C正确，

对于D，令，则，

所以若广告费用为万元时，销售额大约是万元，故D错误；

故选：ABC

10. 已知函数，则（    ）

A. 当时，函数的极小值为

B. 若函数图象的对称中心为，则

C. 若函数在上单调递增，则或

D. 函数必有3个零点

【答案】BD

【解析】

【分析】求导，由导数的正负，根据函数极大值的定义，结合函数的导数的性质､函数零点的定义逐一判断即可.

【详解】对于A：当时，，则，

令 或，易知在单调递增，在单调递减，在单调递增，

所以极小值为，故A错误；

对于B：因为函数图象的对称中心为，

所以有，故B正确；

对于：若函数在上单调递增，则恒成立，而 ，

显然必有两根，则在递减，故C错误；

项：或

由于的，且

所以必有2相异非零根，故必有3个零点，故D正确.

故选：BD

11. 为了迎接杭州2022年第19届亚运会，某高校一学生会计划从6男4女共10名大学生干部中，选出3男2女共5名志愿者，安排到杭州奥体中心的A，B，C，D，E五个场馆进行志愿者活动，每名志愿者安排去一个场馆且不重复，其中女同学甲不能安排在A､B两个场馆，男乙同学不能安排在B场馆，并且男同学丙必须被选且必须安排在场馆，则（    ）

A. 甲､乙都不选的方案共有432种

B. 选甲不选乙的方案共有216种

C. 甲､乙都选的方案共有96种

D. 总的安排方案共有1440种

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据题意，可分为四种情况：甲乙都不选、选甲不选乙、选乙不选甲和甲乙都选，结合排列数与组合数公式，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，甲乙都不选的方案共有种，所以选项A正确；

选甲不选乙的方案共有种，所以选项B正确；

甲乙都选，则分两种情况：乙排或乙不排，

乙排的方案共有种，乙不排的方案共有种

所以甲乙都选的方案共有种，所以C正确；

由总的安排为四种情况：甲乙都不选、选甲不选乙、选乙不选甲和甲乙都选，

其中选乙不选甲的方案，共有种

所以总方案共有种，所以选项D错误.

故选：ABC.

12. 已知函数在上有三个单调区间，则实数的取值可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】将问题等价于在有两个不同的实数根，进一步转化为在有唯一不为1的根，构造函数，求导得单调性即可求解.

【详解】由题意可知函数在上有三个单调区间，等价在有两个不同的根.，令，则，

即在有唯不为1的一根，则有有唯一不为1的根，

令，则，故当 单调递增，

当 单调递减，且

即，

故选：BD

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

13. 已知展开式的二项式系数之和为128，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据展开式的二项式系数之和公式即可求解.

【详解】根据展开式的二项式系数之和为，

所以，

解得，

故答案为：.

14. 某单位的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.已知甲通过每个项目测试的概率都是.若用表示甲通过测试项目的个数，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意得到随机变量服从二项分布，结合方差的计算公式，即可求解.

【详解】由题意，随机变量的可能的取值分别为，

因为甲通过每个项目测试的概率都是，且每个项目之间相互独立，

所以随机变量服从二项分布，

则.

故答案为：.

15. 已知是数列的前项和，，若存在，使得，则__________.

【答案】11

【解析】

【分析】根据递推关系式，逐个计算，即可得到结果；

【详解】，逐个计算

故答案为:

16. 已知函数，若存在唯一的零点，则实数的取值范围是__________.

【答案】.

【解析】

【分析】由，得到，令，求得，得出函数的单调性与极值，作出的图象，根据题意转化为与的图象有且仅有一个公共点，结合图象，即可求解.

【详解】由题意，函数，令，可得，

令，可得，

令，解得或或x=0

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

又由时，；（左侧）时，；

（右侧）时，；时，，且，

所以函数的图象，如图所示，

因为 存在唯一的零点，即与的图象有且仅有一个公共点，

所以或，即实数的取值范围为.

故答案为：.

四､解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 等比数列的公比为2，且成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由等比数列基本量的计算以及等差中项即可求解，

（2）由分组求和，结合等差等比的求和公式即可化简求值.

【小问1详解】

已知等比数列的公比为2，且成等差数列，

，

,解得，

【小问2详解】

，

.

18. 已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.

【答案】（1）递减区间是，递增区间是.   

（2）

【解析】

【分析】（1）求得，结合和的解集，即可求得函数的单调区间；

（2）由（1）得到函数在上的单调性，结合题意求得，进而求得函数的最小值.

【小问1详解】

解：函数的定义域为，

可得

由得或，由得，

因此函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数的递减区间是，递增区间是.

【小问2详解】

解：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，

又由

因此，解得，

所以

所以函数在上的最小值是.

19. 2022年11月30日美国OpenAI研发的聊天机器人程序ChatGPT（全名：Chat GenerativePre-trained Transformer）发布，再次引发了人类是否会被人工智能（AI）取代的热议.目前为止，要机器人或人工智能系统完全达到人类的水平，有自发的情感和创造性是很难实现的.但在某些理性思维的领域机器人有着明显的优势，比如国际象棋方面.某国际象棋协会组织棋手与机器人进行国际象棋比赛，比赛规则如下：两位棋手组队挑战，两人各与机器人比赛一次为一轮比赛，每一轮比赛中两人的比赛结果相互独立，互不影响.在一轮比赛中两人都赢小组积分1分，两人都输小组积分-1分，两人一赢一输小组积分0分，两轮比赛后计算每组得分.现甲､乙两位棋手组队向机器人发起了挑战，甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5，记该小组在一轮比赛中的得分记为，在两轮比赛中的得分为.

（1）求的概率；

（2）求均值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）得出随机变量的取值为，结合，即可求解；

（2）先得出随机变量的可能取值为，结合题意求得相应的概率，得出分布列，结合期望的公式，即可求解.

【小问1详解】

解：由题意，可得随机变量的取值为，

可得，

，

所以.

【小问2详解】

解：由题意，随机变量的可能取值为，

可得，

，

，

，

，

所以随机变量的分布列为

所以期望为.

20. 已知函数.

（1）若时，求的单调区间和极值；

（2）求在上的最小值.

【答案】（1）递增区间为，递减区间为，极大值为无极小值；   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）求导，由导函数的正负即可求解函数的单调性，进而可求解极值，

（2）由函数的单调性，分类讨论即可求解.

【小问1详解】

由题设,

令，，

的递增区间为，递减区间为，

故的极大值为无极小值；

【小问2详解】

，

，，

由于，

在上单调递增，在上单调递减，

①当，即时，函数在上单调递增，，

②当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，

，

若时，，

若时，，

综上所述：当时，；

当时，.

21. 在等差数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和．

【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

【详解】试题分析：（1）根据等差数列的性质，将两已知式联立可以先求出等差数列的首项与公差，进而可求出通项公式；（2）首先根据要求列出关于的不等式，再根据都是正整数，即可判断出落入内的项数，从而求出数列的通项公式，再利用分组求和法即可求出其前项的和．

试题解析：（1）因为是一个等差数列，，所以，即，

设数列的公差为，则，故．

由，得，即．

所以，

（2）对，若，则，因此，

故得，于是

．

考点：1、等差数列；2、等差数列通项公式及前项和公式；3、等比数列前项和公式；4、分组求和法．

22. 已知函数（，为自然对数的底数），.

（1）若有两个零点，求实数的取值范围；

（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）将有两个零点转化为方程有两个相异实根，令求导，利用其单调性和极值求解；

（2）将问题转化为对一切恒成立，令，求导，研究单调性，求出其最值即可得结果.

【详解】（1）有两个零点关于的方程有两个相异实根

由，知

有两个零点有两个相异实根.

令，则，

由得：，由得：，

在单调递增，在单调递减

，

又

当时，，当时，

当时，

有两个零点时，实数的取值范围为；

（2）当时，，

原命题等价于对一切恒成立

对一切恒成立.

令  

令，，则

在上单增

又，

，使即①

当时，，当时，，

即在递减，在递增，

由①知      

函数在单调递增

即

，

实数的取值范围为.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，考查学生转化能力和分析能力，是一道难度较大的题目.