新高考预测卷（新高考全部内容）- 冲刺高考数学大题突破+限时集训（新高考专用）

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绝密★考试结束前
新高考数学预测试卷
全卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
1．设集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由得，
则，又由得.
所以，而.从而.故选：D.

2．已知是虚数单位，复数（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数的乘法法则计算．【详解】．故选：C．

3．在等差数列{an}中，7a5＋5a9＝0，且a5 A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】B
【详解】设等差数列{an}的公差为d，
∵，且a5 ∴d>0，且，
∴，
∵，∴当n＝6时，Sn取到最小值．选B．

4．已知a=(1，1)，b=(-1，2)，c=(5，-1)，则c可用a与b表示为　(　　)
A．a+b B．2a+3b C．3a-2b D．2a-3b
【答案】C
【分析】根据平面向量的坐标运算分别计算选项，验证是否等于.
【详解】因为a=(1，1)，b=(-1，2)，c=(5，-1)，
所以a+b=(0，3)≠c，
2a+3b=2(1，1)+3(-1，2)=(-1，8)≠c，
3a-2b=3(1，1)-2(-1，2)=(5，-1)=c，2a-3b=2(1，1)-3(-1，2)=(5，-4)≠c.
故选C.

5．六位同学站成一排照相，若要求同学甲站在同学乙的左边，则不同的站法有
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C【详解】甲在左边第一位，有；
甲在左边第二位，有；
甲在左边第三位，有；
甲在左边第四位，有
甲在左边第五位，有；
不同的站法有种，选C.

6．已知都是锐角，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C 所以，
又，，
所以，，
所以，
，
，
故选：C.

7．已知函数是奇函数，，且与图象的交点为，，……，，则（    ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【详解】令，则，则，
即，故函数的图象关于对称，又∵关于对称，∴两个函数图象的交点都关于对称，设关于对称的两个点的纵坐标分别为，，则，即．故选：C

8．，，，，a，b，c，d间的大小关系为（    ）.
A． B．
C． D．
【答案】B 【详解】令，则，
所以在上单调递增，故，即，
所以，则，即，故；
因为，
所以其展开通项公式为，
故，，，
所以，
令，则，
所以在上单调递增，则，即，
所以，故，即；
令，则，
因为，所以，则，故，
所以在上单调递增，则，即，
易知，所以，则，即；
综上：.故选：B.

二、 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。每道题目至少有一个正确选项啊，漏选或者是少选得2分，不选或者是选错不得分）

9．工厂生产某零件，其尺寸服从正态分布（单位：cm）.其中k由零件的材料决定，且.当零件尺寸大于10.3cm或小于9.7cm时认为该零件不合格；零件尺寸大于9.9cm且小于10.1cm时认为该零件为优质零件；其余则认为是普通零件.已知当随机变量时，，，，则下列说法中正确的有（    ）.
A．越大，预计生产出的优质品零件与不合格零件的概率之比越小
B．越大，预计生产出普通零件的概率越大
C．若，则生产200个零件约有9个零件不合格
D．若生产出优质零件、普通零件与不合格零件盈利分别为，，，则当时，每生产1000个零件预计盈利
【答案】AC 【详解】依题意，得，则，，
对于A，当变大时，变大，则零件尺寸的正态分布曲线越扁平，
所以预计生产出的优质品零件的概率越小，不合格零件的概率越大，则其比例越小，故A正确；对于B，由选项A可知，预计生产出普通零件的概率越小，故B错误；
对于C，当时，，
则，而，
所以预计生产出的不合格零件的概率为，
故生产200个零件约有不合格零件的个数为，故C正确；
对于D，当时，，
则，，
，
所以预计生产出优质零件的概率为，不合格零件的概率为，普通零件的概率为，
故每生产1000个零件预计盈利，故D错误.故选：AC.

10．已知椭圆C：，上有三点、、，、分别为其左、右焦点.则下列说法中正确的有（    ）.
A．若线段、、的长度构成等差数列，则点、、的横坐标一定构成等差数列.
B．若直线与直线斜率之积为，则直线过坐标原点.
C．若的重心在轴上，则
D．面积的最大值为
【答案】ABC
【详解】结论1：若为椭圆上的的动点，为其左焦点，则.证明：
，
因为，故，故.
结论2：若，则.
证明：因为，
故，当且仅当时等号成立，
同理，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立.
由结论2可得，当且仅当时等号成立.
对于A、C，设，则由结论1可得：，
因为，故，
整理得到：，故A正确.因为的重心在轴上，故，
故，故C正确.
对于B，设关于原点的对称点为，则，
故（，否则，这与题设矛盾），
故，
但所以，
所以，而，故，
因均在椭圆上，故重合即直线过坐标原点，故B正确.
我们先证明一个命题
命题：设为椭圆上的点，直线与椭圆交于不同的两点，则面积的最大值为.
证明：当直线的斜率不存在时，设直线， ，
则的面积，
若，则，
因为，，故，即，
当且仅当，时等号成立，故此时.
同理可证：当时，.
过当直线的斜率存在，可设，
由可得，
故，故，
而，
又到的距离为，故的面积为：

对于给定的，先考虑的最大值，
设，则
，其中，
若，则的最大值为，
此时
设，则，故，
由结论2可得：

，当且仅当时等号成立，
故的最大值为，
故，
若，则的最大值为，同理可得，
综上，面积的最大值为.
对于D，考虑为椭圆上的点，直线为直线，
由前述命题可得：面积的最大值为，故D错误.
故选：ABC.

11．已知函数，其中、.则下列说法中正确的有（    ）.
A．的最小值为
B．的最大值为
C．方程在上有三个解
D．在上单调递减
【答案】BC
【分析】根据题意，可得，由，求解出的取值范围，根据对应范围内的函数解析式，即可求出的最值，进而判断A、B选项；令，分和两种情况解方程，即可判断C选项；取，求出此时函数的单调区间，即可判断函数在上的单调性，从而判断在上的单调性，进而判断D选项.
【详解】，
即，其中，，.
由，即，，
所以当时，，
即，，
所以当，即时，，
当，即时， ；
当时，，
即，，
所以当，即时，，
由于，所以无最小值.
综上所述，的最小值为，最大值为，故A错误，B正确；
由，所以当时，，
即，
即或， ，
所以或，.
当时，，
即，
即或， ，
所以，，
综上所述，方程在上有三个解，故C正确；
取时，，
令，即；
令，即；
由于，所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减，即函数在上有增有减，则在上有增有减，故D错误.
故选：BC.

12．直线、为曲线与的两条公切线.从左往右依次交与于A点、B点；从左往右依次交与于C点、D点，且A点位于C点左侧，D点位于B点左侧.设坐标原点为O，与交于点P.则下列说法中正确的有（    ）.
A． B．
C． D．
【答案】CD 【详解】由题意，画出大致图像如图，

设与，为直线，为直线，
且和是一对反函数，图像关于直线对称，
则点关于直线对称，点关于直线对称，点在直线上，
设的切点为，的切点为，
由，，得的切线方程为，
的切线方程为，当两函数的切线方程重合时，即为公切线，
则，将代入下式得，
将和的图像在同一坐标系中画出如图，

设方程的其中一个解为，则，由，可得，
又因，则方程的另一个解为，
因此点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为.
因为与关于直线对称，所以，选项错误；
由点在直线上可得，
设点坐标为，则，解得，
设，，
设，，
则在上单调递减，
由，，
可得在上的函数值为先正后负，
即在上的值为先正后负，
则在上的单调性为先增后减，又，，且，则，即，
所以，选项B错误；分别连接，，如图，

由，，
得，选项C正确；分别连接，，如图，

得第三象限夹角，即，选项D正确. 故选：CD.



三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．写出曲线过点的一条切线方程__________．
【答案】或（写出其中的一个答案即可）
解：因为点在曲线上，所以曲线在点处的切线方程符合题意．因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
因为当或时，；当时，，
所以函数在处取得极大值，又极大值恰好等于点的纵坐标，所以直线也符合题意．故答案为：或（写出其中的一个答案即可）

14．已知椭圆，直线交于两点，点，则的周长为__________．
【答案】 【详解】解：由题知，
所以椭圆的焦点坐标为
所以，由得，
所以，为等边三角形，且
因为，当时，解方程得，
所以，直线过点，且倾斜角为，即，
所以，直线为为等边三角形中角的角平分线，
所以，直线为边的中垂线，
所以，
因为
所以，的周长为，
故答案为：


15．若对于任意的x，．不等式恒成立，则b的取值范围为______．
【答案】
由，得，设，则
,
令，得，在上单调递减，在上单调递增，所以
的最小值为，即，所以，所以，即，令，则，令，
得，在上单调递增，在上单调递减，则当时，取最大值为，所以b的取值范围为.故答案为：.
16．底边和腰长之比为的等腰三角形被称为“黄金三角形”，四个面都为“黄金三角形”的四面体被称为“黄金四面体”.“黄金四面体”的外接球与内切球表面积之比为______.
【答案】
【详解】如图，设四面体为“黄金四面体”，
且，
得，又因四个面都为“黄金三角形”，则.
注意到四面体对棱相等，则将其补形为如图所示长方体，则该长方体外接球与该四面体外接球重合.
设，则长方体外接球半径为长方体体对角线长度的一半，有，又注意到：，
得，又，得.
注意到，
，
则.
又在中，，取中点为E，
则，故，又由前面分析可知四面体的四个面全等，则四面体的表面积.
设四面体的内切球半径为，则，
得.
注意到，则，
又，得，又，
则.则“黄金四面体”的外接球与内切球表面积之比为：
，
代入，得比值为：.故答案为：



三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17（10分）．已知等比数列的前项和为，且.
（1）求与；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）.
【详解】（1）由，得，
当时，，得；
当时，，得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以.所以.
（2）由（1）可得，
则，
，
两式相减得，
所以.

18（12分）．在①，②，③，．这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答．
已知中，内角所对的边分别为，且________．
(1)求的值;
(2)若，求的周长与面积．
【答案】(1)(2)周长为11，面积为
【详解】（1）若选①:由正弦定理得，
故，而在中，，
故，又，所以，则，
则，故．
若选②:由，化简得，代入中，整理得，即，
因为，所以，所以，
则，故．
若选③:因为，
所以，即，则．
因为，所以，
则，故．
（2）因为，且，
所以．由（1）得，则
，由正弦定理得，则．故的周长为，
的面积为．
19（12分）．由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表．
已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0．35．
(1)现从100名观众中根据喜爱程度用层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？
(2)完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．
(3)若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望．

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合计
A
30
15

B
x
y

合计



附：，，

0．05
0．010
0．001

3．841
6．635
10．828






【答案】(1)从A地抽取6人，从B地抽取7人.
(2)没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.(3)分布列见解析，期望为2.
【详解】（1）由题意得，解得，

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合计
A
30
15
45
B
35
20
55
合计
65
35
100
所以应从A地抽取（人），从B地抽取 （人）．
（2）完成表格如下：

零假设为：观众的喜爱程度与所在地区无关.
，
所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．
（3）从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，
从A地区随机抽取3人，则，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，，
，．
X
0
1
2
3
P




所以X的分布列为

方法1：．
方法2：.

20 （12分）．在三棱锥ABCD中，已知平面ABD⊥平面BCD，且，，，BC⊥AC．

(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)若E为△ABC的重心，，求平面CDE与平面ABD所成锐二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
（1）证明：因为，，，所以，
所以AD⊥BD，        又因为平面ABD⊥平面BCD，
平面平面BCD=BD，因为平面ABD，
所以AD⊥平面BCD，因为平面BCD，    
所以AD⊥BC，又因为BC⊥AC，，
所以BC⊥平面ACD．
（2）解：因为BC⊥平面ACD，平面ACD，所以BC⊥CD，
因为，，所以，，    
以D为坐标原点，直线DB，DA分别为x，z轴，在平面BCD内过点D与BD垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系，

所以，，，，所以，所以，，    
平面ABD的一个法向量为，    
设平面CDE的一个法向量为，所以 ，
取，，则，所以，    
设平面CDE与平面ABD所成的锐二面角为θ，
所以，所以，
即平面CDE与平面ABD所成锐二面角的正弦值为．
21（12分）．已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且.
(1)求的面积；
(2)若（O为坐标原点），点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)(2)为定值.·
【详解】（1）依题意可知，，
则，
，
又，所以，
解得（舍去），
又，所以，则，
所以的面积.
（2）由（1）可，解得，所以双曲线C的方程为，
设，则，则，，
设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得：，
由，得，
由一元二次方程根与系数的关系得，
所以，
，
则，故为定值

22（12分）．已知函数.（注：…是自然对数的底数）
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若只有一个极值点，求实数m的取值范围；
(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值.
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）（1）当时，，
故，
故在点处的切线方程为；
（2）解：由题意知有且只有一个根且有正有负，
构建，则.
①当时，当时恒成立，在上单调递增，
因为，
所以有一个零点，即为的一个极值点；
②当时，在上恒成立，即无极值点；
③当时，当；当，
所以在单调递减，在上单调递增，
故，
若，则，即.
因为，所以当时，，
当时，，
令，则，故，
故在上为增函数.
故，
故，
故当时，有两个零点，此时有两个极值点，
当时，当时恒成立，即无极值点；
综上所述：.
（3）解：由题意知，对于任意的，使得恒成立，
则当取最大值时，取到最小值.
当时，因为，故当时，的最小值为；
当时，当时，，
所以无最小值，即无最小值；
当时，由（2）得只有一个零点，即且，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
此时，
因为，所以，
代入得，
令，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，此时，
所以的最小值为.