2023年浙江省宁波市镇海区中考数学一模试卷（含解析）

2023年浙江省宁波市镇海区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，这四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  计算结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年月日是第个中国植树节，广大市民以多种方式参与到植树、护绿中来．据成都市公园城市建设管理局初步统计，今年截至月日，全市约万人参与活动，义务植树万株．将数据万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示是一个钢块零件，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击的平均成绩恰好都是环，方差分别是，，，，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

6.  要使分式有意义，则应满足的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，，直角三角尺的直角顶点在两直线之间，两直角边与两直线相交所形成的锐角分别为，若，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  孙子算经是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺木长几何？”大意是：“用一根绳量一根木，绳剩余尺；将绳对折再量木，木剩余尺问木长多少？”设木长尺，绳长尺，则依题意可列方程组(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若把二次函数的图象向左平移个单位或向右平移个单位后都会经过原点，此二次函数图象的对称轴是(    )

A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线

10.  如图，以直角三角形的各边为边向外作正方形，再把较小的两个正方形放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出哪个图形的面积(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  ______ ．

12.  把多项式分解因式的结果是        ．

13.  在一个不透明的布袋中装有个白球和个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是______ ．

14.  有一个圆心角为，半径长为的扇形，若将其围成一圆锥侧面，那么这个圆锥的底面圆的半径是______ ．

15.  在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点，我们把点称为点的“和差点”若直线上有两个点和，它们的和差点和均在反比例函数上，则的面积为______ ．

16.  如图，点是正方形的边上一点，垂直平分且分别交、，，于点，，，若，，则的长度为______ ，的值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．
解不等式组：．

18.  本小题分
请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
如图，的外接圆的圆心是点，是弧的中点，画一条弦把分成面积相等的两部分；
如图，是的内接三角形，且，过点画弦；
如图，是的内接三角形，弦，画的平分线交于点．
 

19.  本小题分
某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳为了解学生对这项体育活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查每人只选一项，并将统计数据绘制成两幅不完整的统计图：

根据以上信息，解答下列问题：
这次抽样调查的样本容量是______ ；
将条形统计图补充完整； ______ ；
羽毛球所对应扇形的圆心角的大小是多少？
若全校有名学生，估计全校喜欢篮球和乒乓球的共有多少名学生？

20.  本小题分
如图，的顶点是双曲线与直线在第二象限的交点，轴于点，．
求的值；
求、两点的坐标；
根据图象直接写出时的取值范围．

21.  本小题分
如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小菱形的边长不变，从而改变千斤顶的高度即、之间的距离经测量，可在和之间发生变化包含和，．
当时，求此时的长；
当从变为时，这个千斤顶升高了多少？

22.  本小题分
某景区有两个景点需购票游览，售票处出示的三种购票方式如下：
方式：只购买景点，元人；
方式：只购买景点，元人；
方式：景点和联票，元人．
预测，四月份选择这三种购票方式的人数分别有万、万和万为增加收入，对门票价格进行调整，发现当方式和的门票价格不变时，方式的联票价格每下降元，将有原计划只购买门票的人和原计划只购买门票的人改为购买联票．
若联票价格下降元，则购买方式门票的人数有______ 万人，购买方式门票的人数有______ 万人，购买方式门票的人数有______ 万人；并计算门票总收入有多少万元？
当联票价格下降元时，请求出四月份的门票总收入万元与元之间的函数关系式，并求出联票价格为多少元时，四月份的门票总收入最大？最大值是多少万元？

23.  本小题分
如图，是锐角中边上的高，将沿所在的直线翻折得到，将沿所在的直线翻折得到，延长，相交于点．

如图，若，求证：四边形为正方形；
如图，若，当是等腰三角形时，求的度数；
如图，连结，分别交，于点、，连结交于点，若，
求 ______ 度；
若，，求的面积．

24.  本小题分
【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第页的部分内容．
先观察图，直线，点，在直线上，点，，，在直线上，，，这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由．

【基础巩固】如图，正方形内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值；
【尝试应用】如图，在半径为的中，，，，用含的代数式表示
；
【拓展提高】如图，是的直径，点是上一点，过点作弦于点，点是上的点，且满足，连接交于点，若，，求的半径．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：这四个数在数轴上的位置如图所示：

由数轴的特点可知，这四个数中最小的数是．
故选：．
画出数轴，在数轴上标出各点，再根据数轴的特点进行解答即可．
本题考查的是有理数的大小比较，利用数形结合比较出有理数的大小是解答此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用同底数幂的除法运算法则：底数不变，指数相减计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握同底数幂的除法运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：这个几何体的左视图如下：

故选：．
根据解答几何体的三视图的画法画出它的左视图即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体的三视图的画法和形状是正确解答的前提．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了方差的意义，掌握方差越小成绩越稳定是关键．
根据方差越小成绩越稳定，即可判断．
【解答】
解：，，，，
，
本次射击测试中，成绩最稳定的是甲．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，
解得：，
故选：．
根据分式有意义的条件列不等式求解．
本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件分母不为零是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，交与点．
，，
．
，．
，
．
．
故选：．
过点作，交与点利用平行线的性质和角的和差关系，求出的值．
本题考查了平行线的性质和角的和差等知识点．解决本题亦可延长交直线于点，利用平行线的性质和三角形的内角和定理求解．
 

8.【答案】 

【解析】解：用一根绳量一根木，绳剩余尺，
；
将绳对折再量木，木剩余尺，
，
根据题意可列方程组．
故选：．
根据“用一根绳量一根木，绳剩余尺；将绳对折再量木，木剩余尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
二次函数的图象向左平移个单位得到，
将原点代入，得，
整理，得．
二次函数的图象向右平移个单位得到，
将原点代入，得，
整理，得．
，得，，
，
故选：．
先根据解析式“上加下减，左加右减”的平移规律分别得到二次函数的图象向左平移个单位或向右平移个单位后的解析式，再将原点分别代入，得，，再将，得出，求出，进而得到二次函数图象的对称轴．
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，难度适中．正确求出平移后的解析式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设大正方形的面积为，中正方形的面积为，小正方形的面积为，如图，
，，
，
，
，
，
知道图中阴影部分的面积，则一定能求出，
故选：．
设大正方形的面积为，中正方形的面积为，小正方形的面积为，如图，，，把代入即可得到结论．
本题考查了勾股定理，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故，
故答案为：．
负数的绝对值是它的相反数，由此可解．
本题考查求一个数的绝对值，解题的关键是掌握负数的绝对值是它的相反数．
 

12.【答案】 

【解析】解：


故答案为：．
首先提公因式，再利用平方差进行分解即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

13.【答案】 

【解析】解：在一个不透明的布袋中装有个白球和个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同．
从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是：．
故答案为：．
直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：设这个圆锥的底面圆的半径是，
根据题意得，
解得，
即这个圆锥的底面圆的半径是．
故答案为．
这个圆锥的底面圆的半径是，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，则，
点在反比例函数上，
，
整理得，
，，
，
在直线中，令，则，
，
，
．
故答案为：．
设，则，根据可列方程，根据根与系数的关系得到，，进一步求得利用求得即可．
本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，关键是熟练运用方程的思想解决问题．
 

16.【答案】  

【解析】解：过点作于点，连接，，，如图，
垂直平分，
，，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
即，
，
，
四边形是矩形，
，
在和中，

≌，
，
是正方形的对角线，
，
在和中，

≌，
，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
；
设，交于点，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：，．
连接，，，利用线段垂直平分线性质，得到，在四边形中，利用四边形内角和求出，从而得到是等腰直角三角形，得到，可以证明，从而利用已知条件求出的长；可以证明∽，由，的长求出与的关系，得到和的关系，进而得到与的关系，由的长度列方程，可求出的长，的长，从而利用正弦函数的定义求出的值．
本题是一道正方形的综合题，解答时涉及正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等，灵活运用这些知识是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

；
，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式，实数的运算，熟练掌握实数的运算法则以及解不等式的方法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：如图，
连接，交于，连接，
则将分成面积相等的两部分，
理由是：是的中点，
，
点是的中点，
平分的面积；
如图，
作直径，连接，则；
理由是：连接，
，，
，
，
是的直径，
，
，
；
连接，交于，作射线，交于，连接，交于，则平分，
连接，
，
，
，
四边形是等腰梯形，
，
由上可知：点是的中点，
平分．
 

【解析】连接，交于，连接，则平分的面积；
作直径，连接，则；
连接，交于，作射线，交于，连接，交于，则平分．
本题考查了圆的有关性质，考查了垂直定理，圆周角定理的推论，等腰梯形的性质，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
 

19.【答案】   

【解析】解：这次抽样调查的样本容量是；
故答案为：；

喜欢乒乓球的人数有：名，
补全统计图如下：

，
；

羽毛球所对应扇形的圆心角的大小是：；

根据题意得：
名，
答：估计全校喜欢篮球和乒乓球的共有名学生．
根据踢毽子的人数和所占的百分比即可得出答案；
用总人数减去其他项目的人数，求出乒乓球的人数，从而补全统计图；用乒乓球的人数除以总人数即可得出的值；
用乘以羽毛球所占的百分比即可得出答案；
利用样本估计总体的方法，即可求得答案；
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

20.【答案】解：反比例函数的图象在二、四象限，
，
，
，
双曲线的解析式为：；
直线的解析式为：，即；

由，解得或，
，；

由图象可知，时的取值范围或． 

【解析】先根据反比例函数的图象所在的象限判断出的符号，在由的面积求出的值，进而可得出两个函数的解析式；
把两函数的解析式组成方程组，求出的值，即可得出、两点的坐标；
直接根据一次函数与反比例函数的交点坐标求出一次函数的值小于反比例函数的值的取值范围即可．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，能根据的面积求出的值是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：如图，连接，与相交于点．
四边形为菱形，
，，．
当时，．


．
；
四边形为菱形．
，，
当时，，
则．


．
．
当时，．



．
增加的高度为：，
答：这个千斤顶升高约． 

【解析】连接，与相交于点由菱形的性质可知，再利用三角函数求解．
利用三角函数分别求出当从变为两种情况下的值再相减即可．
本题考查了三角函数的实际应用和菱形性质，构造直角三角形是解决问题的关键．
 

22.【答案】     

【解析】解：当联票价格下降元，购买方式门票的人数有万人，
购买方式门票的人数有万人，
购买方式门票的人数有万人，
万元；
门票总收入有万元；
故答案为：，，；
根据题意得：，
，
当时，取最大值，最大值为，
此时元，
，联票价格为元时，四月份的门票总收入最大，最大值是万元．
根据联票价格每下降元，将有原计划只购买门票的人和原计划只购买门票的人改为购买联票，可得联票价格下降元时，购买方式门票的人数，购买方式门票的人数和购买方式门票的人数，再列式计算可得门票总收入；
列出，根据二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
 

23.【答案】 

【解析】证明：将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，
，，，，，，，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
解：由折叠可知：，，，，；
，
，
，
，
，
；
解：由折叠可知：，，，，，；
，
，，
，
故答案为：；
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
的面积．
先证四边形是矩形，由折叠可得，可得结论；
由四边形内角和定理可求的度数，由等腰三角形的性质可求的度数，由折叠的性质可求解；
通过证明是等边三角形，即可求解；
通过勾股定理和相似三角形的性质分别求出，的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的判定，相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

24.【答案】【教材呈现】
解：，，，的面积相等，
直线，点，在直线上，
点，，，，
，，，这些三角形的面积相等；
【基础巩固】
解：如图，

连接，，
，
，，
，
阴影面积与圆面积的比值为：；
【尝试应用】
解：如图，

连接，作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
【拓展提高】解：如图，

连接，
设，则，
，
，
，
，
，，
，，，
，
由得，
，
，
，，，，
，
，
，
的半径为：． 

【解析】【教材呈现】可得出点，，，；
基础巩固】连接，，可推出，，根据，进而得出结果；
【尝试应用】连接，作于，可推出，从而，根据，可推出，从而，可推出，进而解三角形求得结果；
【拓展提高】连接，设，则，可推出，从而，根据，，可得出，，，进而表示出，根据由得，从而得出，进而得出，，，，根据，从而，进而求得结果．
本题考查了圆的有关性质，圆的有关计算，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，充分运用圆的有关性质．