2022-2023学年四川省成都七中高新校区等校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省成都七中高新校区等校联考八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共32分）

1.  下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如果，那么下列各项中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各式中，从左到右的变形是分解因式的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  设等腰三角形的一边长为，另一边长为，则其周长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

6.  如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  下列命题的逆命题为假命题的是(    )

A. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
B. 两直线平行，同位角相等
C. 若一个三角形的三边相等，则它的三个角也相等
D. 若，则

8.  如图，一副三角板的直角边靠在一起，直角顶点重合，现将等腰沿方向平移一段距离，使顶点恰好落在的边上，若，，则平移的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共10小题，共40分）

9.  多项式的公因式是______ ．

10.  函数的自变量的取值范围是______ ．

11.  如图，，平分，，，若，则 ______ ．

12.  如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转度得到若点刚好落在边上，则 ______ ．

13.  如图，在等腰中，，按以下步骤作图：
分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作圆，相交于点和点；作直线交于点．
若，则______．

14.  已知，，则多项式的值为______．

15.  如果关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是______ ．

16.  定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果点满足：，，那么称点是点，的“双减点”．
若点，的“双减点”的坐标是，则点的坐标是______ ；
若点，的“双减点”是点，当点在直线的上方时，则的取值范围是______ ．

17.  如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转至，连接，则线段 ______ ．

18.  如图，在中，，，点在边上，且，长度为的线段在边上运动，则线段的最大值为______ ，四边形面积的最大值为______ ．

三、解答题（本题共8小题，共78分）

19.  分解因式：；
解不等式组，并求出所有整数解的和．

20.  如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
与关于点成中心对称，画出对应的；
将以点为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的；
若将看作由旋转得到的，那么旋转角的度数为______ ，旋转中心坐标为______ ．

21.  如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点．
求证：；
若，，求的度数．

22.  如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点．
求的值和一次函数的表达式；
求的面积；
在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

23.  已知两个等腰，有公共顶点，，连接，是的中点，连接，，．
如图，当，，三点共线时，若，为中点，求的长；
如图，探索线段与的关系，并说明理由；
将图中绕点顺时针旋转至图所示，中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
 

24.  为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为元个，乙种型号水杯进价为元个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况：

求甲、乙两种型号水杯的售价；
第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共个，这批水杯进货的预算成本不超过元，且甲种型号水杯最多购进个，在个水杯全部售完的情况下设购进甲种号水杯个，利润为元，写出与的函数关系式，并求出第三月的最大利润．

25.  角平分线性质定理描述了角平分线上的点到两边距离的关系，小明发现将角平分线放在三角形中，还可以得出一些线段比例的关系．
请完成下列探索过程：
【研究情景】
如图，在中，的角平分线交于点．
【初步思考】
若，，则______；
【深入探究】
请判断和之间的数值关系，并证明；
【应用迁移】
如图，和都是等边三角形，的顶点在的边上，交于点，若，，求的面积．
 

26.  如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点，一次函数：的图象交轴于点，交轴于点，与直线交于点．
用，表示点的坐标，并求的度数；
若四边形的面积是，且：：，试求点的坐标及直线的关系式；
如图，在的条件下，将直线向下平移个单位得到直线，直线交轴于点，交轴于点，若点为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点，使是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意知，图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，
故选：．
根据轴对称和中心对称的概念得出结论即可．
本题主要考查轴对称和中心对称的知识，熟练掌握轴对称和中心对称的概念是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，，故不合题意；
B、，，故符合题意；
C、，，故不合题意；
D、，，故不合题意．
故选：．
A、利用不等式的性质即可判定；
B、利用不等式的性质即可判定；
C、利用不等式的性质即可判定；
D、利用不等式的性质即可判定．
此题主要考查了不等式的基本性质．“”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“”存在与否，以防掉进“”的陷阱．不等式的基本性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据因式分解的定义，不是由多项式变形为整式乘积的形式，那么不是因式分解，故A不符合题意．
B.根据因式分解的定义，不是由多项式变形为整式乘积的性质，那么不是因式分解，故B不符合题意．
C.根据因式分解的定义，是由多项式变形为整式的乘积的形式，那么是因式分解，故C符合题意．
D.根据因式分解的定义，不是由多项式变形为整式乘积的形式，那么不是因式分解，故D不符合题意．
故选：．
根据因式分解的定义由多项式变形为几个整式乘积的形式的变形是因式分解解决此题．
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：点在第二象限，
，，
解得．
故选：．
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数解答．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质以及分类讨论思想的运用．
题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】
解：分两种情况：
当腰长为时，，所以不能构成三角形；
当腰长为时，，所以能构成三角形，周长是：．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：函数过点，
，
解得：，
，
不等式的解集为．
故选：．
首先利用待定系数法求出点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出点坐标．
 

7.【答案】 

【解析】解：、逆命题为：两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，正确，为真命题，不符合题意；
B、逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；
C、逆命题为：若一个三角形的三角相等，则它的三条边也相等，正确，为真命题，不符合题意；
D、逆命题为：若，则，错误，为假命题，符合题意．
故选：．
写出原命题的逆命题后利用勾股定理逆定理、平行线的判定、等边三角形的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．
本题主要考查了命题与定理以及勾股定理等知识，解题的关键是了解勾股定理逆定理、等边三角形的判定、平行线的判定等知识，难度不大．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得，平移的距离为，
在中，
，
，
，
，，
，
舍去负值，
平移的距离为，
故选：．
由题意得，平移的距离为，根据含直角三角形的性质和勾股定理即可求出．
本题主要考查了含直角三角形的性质，勾股定理及平移的性质，知道平移的距离为是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：系数的最大公约数是，各项相同字母的最低指数次幂是，
故公因式是
先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次幂．
本题主要考查公因式的定义，准确掌握公因式的确定方法是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
根据分式的意义，分母不等于，可以求出的范围．
本题考查了函数的自变量的取值范围：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

11.【答案】 

【解析】解：平分，，
，
平分，，，
，，
，
，
，
即，
负值舍去，
，
故答案为：．
由角平分线的性质得，根据角平分线的定义可得，然后根据含度角的直角三角形的性质及勾股定理可得答案．
此题考查的是角平分线的性质、勾股定理等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
将绕点按逆时针方向旋转度得到若点刚好落在边上，
，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形内角和定理可得，再利用旋转的性质得出，从而求出的度数，即可解决问题．
本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在等腰中，，
，
，
，
根据作图过程可知：是的垂直平分线，
连接，

，
，
，
，
．
故答案为：．
根据勾股定理可得的长，根据作图过程可知：是的垂直平分线，连接，根据等腰直角三角形的性质可得，进而可得结果．
本题考查了作图复杂作图，等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

14.【答案】解：

；
，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
则不等式组的整数解为：，，．
所有整数解的和为． 

【解析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
 

15.【答案】   

【解析】解：如图，；即为所求作；
即为所求作；
若将看作由旋转得到的，那么旋转角的度数为，旋转中心坐标为．
故答案为：，．

分别作出，，的对应点，，即可；
分别作出，，的对应点，，即可；
对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
本题考查作图旋转变换，中心对称等知识，理解题意，灵活运用所学知识是解决问题的关键．
 

16.【答案】证明：的平分线交于点，
，
，
，
，
；
解：，，
，
平分，
，
． 

【解析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得，即可得证；
先求出的度数，根据角平分线的定义可得的度数，进一步可得的度数．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，涉及角平分线的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

17.【答案】解：将点代入，
，
，
，
设一次函数的解析式为，
，
，
；

在中，令得，
，
；

在轴上存在一点，使得是等腰三角形，理由如下：
，，
，，
当为等腰三角形顶角顶点时，点与点关于轴对称，
；
当为等腰三角形顶角顶点时，，
或；
当为等腰三角形顶角顶点时，设，
，
，
解得，
，
综上所述：点坐标为或或或． 

【解析】将点代入，可得，再用待定系数法求一次函数的解析式即可；
求出的坐标，用三角形面积公式可得答案；
分三种情况：当为等腰三角形顶点顶点时，点与点关于轴对称；当为等腰三角形顶角顶点时，；当为等腰三角形顶角顶点时，设，由列方程求出，即可得到答案．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：，为中点，
，
和是等腰直角三角形，
，，
，，，
，
，
是的中点，
；
，，
理由：如图，延长交于，

，
，，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，；
成立，
证明：如图，延长交于，连接，，

将图中绕点顺时针旋转至图所示，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
，． 

【解析】根据等腰直角三角形的性质得到，，求得，，，根据勾股定理得到，于是得到；
如图，延长交于，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，推出是等腰直角三角形得到，；
如图，延长交于，连接，，根据旋转的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，根据全等三角形 到现在得到，，求得，根据全等三角形 到现在得到，，于是得到结论．
本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及斜边上的中线等于斜边的一半，添加合适的辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：．
把，代入上式：原式．
故答案为：．
本题应先提公因式，把分解因式，再把条件代入即可求值．
此题主要考查了因式分解的运用，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解．
 

20.【答案】 

【解析】解：，
解得，，
不等式组的解集为，
由不等式组恰有个整数解，得到整数解为、、，
．
故答案为：．
表示出不等式组的解集，由不等式组恰有个整数解，确定出的范围即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集是解本题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：点，的“双减点”的坐标是，
，
，，
点坐标．
故答案为：；
点，点的“双减点”是点，
，即，
点在直线上方，
，
解得．
故答案为：．
根据点是点、的“双减点”的定义可求点坐标；
点，点的“双减点”是点，可表示出点的坐标，根据点在直线上方可得出关于的不等式，解不等式即可．
此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，能够利用新定义表示出点的坐标是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：连接，过作于，
绕点逆时针旋转至，
为等边三角形，
，，
，
，
，，
而，
，
在中，．
故答案为：．
连接，过作于，利用旋转的性质可以得到为等边三角形，然后利用勾股定理和已知条件可以分别求出、，最后在中利用勾股定理即可求解．
此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等边三角形的性质及勾股定理，有一定的综合性，对于学生的能力要求比较高．
 

23.【答案】  

【解析】解：当与重合时，最大，
过点作于点，如图，

，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
线段的最大值为；
在中，，，
，
的边的高为，．
作于点，于点，如图，

设，则，，
，
四边形面积，
四边形面积，
，
四边形面积随的增大而增大．
的最大值为，
四边形面积的最大值为．
故答案为：，．
当与重合时，最大，过点作于点，解直角三角形即可求出线段的最大值；设，利用四边形面积为，得出四边形面积与的函数关系式，利用一次函数的性质即可得出结论．
本题主要考查了含度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，利用一次函数的性质求四边形面积的最大值是解题的关键．
 

24.【答案】解：设甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为元、元，
，解得，，
答：甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为元、元；
由题意可得，
，
解得：，
，
故当时，有最大值，最大为，
答：第三月的最大利润为元． 

【解析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
根据表格中的数据可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙两种型号水杯的销售单价；
根据题意，可以得到与的函数关系式．
 

25.【答案】 

【解析】解：过点作于点，作于点，
平分，
，
，，
；
故答案为：；
理由如下：
如图，过点作交的延长线于点，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，
；
如图，过点作于点，过点作于点，
，，
，
是等边三角形，，
，，
，
，
，
和都是等边三角形，
，，
，，
，
∽，
，
，，
∽，
，
，即，
，
，
，
，，
，
，
，
．
过点作于点，作于点，运用角平分线性质可得，再利用三角形面积公式即可求得答案；
过点作交的延长线于点，运用平行线分线段成比例和等腰三角形的判定和性质即可；
过点作于点，过点作于点，运用勾股定理可求出，，再证明∽，利用相似三角形性质即可求出，再运用勾股定理求出，即可运用三角形面积公式求得答案．
本题是三角形综合题，主要考查了角平分线性质，等边三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形性质，勾股定理，三角形面积公式等；熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理等相关知识是解题关键．
 

26.【答案】解：根据题意联立解析式得：，
解得：，
点的坐标为，
把代入可得：，
，
，
把代入可得：，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，即；
如图所示，连接，

把代入可得：，
点的坐标为，
，
，
：：，
，即，
，
把代入可得：，
点的坐标为，
，
四边形的面积是，
，
由知点的坐标为，
，
联立可解得负值已舍去，
，直线的关系式为；
在坐标轴上存在点，使是以为底边的等腰直角三角形，理由如下：
将直线直线：向下平移个单位得到直线，
直线解析式为，
令得，令得，
，，
设，，
当在轴上时，设，，过作轴，过作于，过作于，如图：

是以为底边的等腰直角三角形，
，，
，
，
≌，
，，
，
解得，
，，
此时不在射线上，不符合题意，舍去；
当在轴上时，设，，过作轴，过作于，过作于，如图：

同理可证≌，
，，
，
解得，
，，
综上所述，的坐标为 

【解析】联立，即可解得点的坐标为，求出，，可得为等腰直角三角形，故；
由：：，可得，根据四边形的面积是，知，故，联立可解得，从而可得答案；
将直线直线：向下平移个单位得到直线解析式为，分两种情况：当在轴上时，设，，过作轴，过作于，过作于，证明≌，可得，当在轴上时，设，，过作轴，过作于，过作于，证≌，可得，分别解方程组可得答案．
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，四边形和三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．