2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题26 椭圆（含解析）

这是一份2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题26 椭圆（含解析），共42页。试卷主要包含了已知椭圆 C 的焦点为，设 P 是椭圆，一个圆经过椭圆等内容，欢迎下载使用。


专题 26 椭
十年大数据*全景展示
考 点 考 查 内 容
圆
年 份
题 号
理 14
椭圆方程
椭圆的几何性质
椭圆的定义、标准方程及其几何性质
2011
2012
文 4
文理 4
理 10
椭圆离心率的计算
椭圆离心率的计算
椭圆的几何性质
椭圆方程
直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法
卷1
椭圆定义、标准方程
及其几何性质
文理 20
椭圆的定义、标准方程及其几何性质，直线与椭圆位置关系
2013
理 20
文 5
直线与椭圆位置关系 椭圆的方程求法，直线与椭圆位置关系，椭圆最值问题的解法
椭圆定义、几何性质 椭圆的定义，椭圆离心率的求法
卷2
卷1
卷2
卷1
理 20
理 20
理 14
理 20
文 20
理 20
理 20
文 21
理 20
文 12
椭圆方程及几何性质 椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆位置关系
椭圆方程及几何性质 椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆位置关系
2014
2015
圆与椭圆
椭圆的标准方程及其几何性质，过三点圆的方程的求法
直线和椭圆的位置关系，椭圆的存在型问题的解法
椭圆方程求法，直线和椭圆的位置关系，椭圆的定值问题的解法
椭圆定义、标准方程及其几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系
椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆
直线与椭圆
圆、直线与椭圆
直线与椭圆
直线与椭圆
直线与椭圆
直线与椭圆
直线与圆，椭圆的几
何性质
卷2
卷1
卷2
2016
2017
椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系
椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，椭圆的定点问题
椭圆的标准方程及其几何性质
卷1
卷3 文11 理 10
直线与圆的位置关系，椭圆的几何性质
理 19
直线与椭圆
椭圆
椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系
椭圆的几何性质
2018 卷1
文 4
卷1 理10文12 椭圆
理 8 文 9 椭圆与抛物线
椭圆的定义、标准方程及其几何性质，椭圆标准方程的求法
抛物线与椭圆的几何性质
卷2
椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的
最值问题的解法
2019
2020
理 21
椭圆
文 20
椭圆
椭圆
椭圆的定义、标准方程及其几何性质
卷3
文理 15
椭圆的定义、标准方程及其几何性质
卷1 理20文21 椭圆
卷2 理 19 椭圆、抛物线
椭圆的标准方程及其几何性质，椭圆定点问题
椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义


文 19
椭圆、抛物线
椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义
椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法
卷3 理20文21 椭圆
大数据分析*预测高考
出现频率
考点
2021 年预测
考点 89 椭圆的定义及标准方程 37 次考 7 次
考点 90 椭圆的几何性质
命题角度：(1)椭圆的定义及应用；(2)椭圆的标准方程；
37 次考 32 次 (3)椭圆的几何性质；(4)直线与椭圆的位置关系．
考点 91 直线与椭圆的位置关系 37 次考 35 次 核心素养：直观想象、逻辑推理、数学运算
十年试题分类*探求规律
考点 89 椭圆的定义及标准方程
F(-1, 0)，F(1, 0)
1．(2019 全国Ⅰ文 12)已知椭圆 C 的焦点为
，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若
1
2
| AF |= 2| F B| | AB|=| BF |
，
，则 C 的方程为
1
2
2
x
2
x
2
y
2
+ y
2
2
=1
+
=1
=1
A．
C．
B．
D．
2
3
2
x
2
y
x
2
y
2
+
=1
+
4
3
5
4
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设
F2B = n
AF = 2n, BF = AB =3n
，
2 1
，则
2a = BF + BF =4n,\ AF =2a- AF =2n
由椭圆的定义有
．
1
2
1
2
4n
2
+9n
2
-9n
2
1
3
在△AF1B 中，由余弦定理推论得cosÐF1AB =
=
．
2 2n 3n
× ×
1
3
在△AFF 中，由余弦定理得
4n
2
+4n
2
-2×2n×2n× = 4
，解得n
=
．
1
2
3
2
x
2
y
2
\2a = 4n = 2 3 ,\a = 3 ,\b
2
= a
2
-c
2
= 3-1= 2,\所求椭圆方程为
+
=1，故选 B．
3
2


F2B = n
AF = 2n, BF = AB =3n
，
2 1
法二：由已知可设
，则
2a = BF + BF =4n,\ AF =2a- AF =2n
由椭圆的定义有
．
1
2
1
2
ì
2
+4-2×2n×2×cos AF F 4n
Ð
=
2
4n
在△AFF 和
△BF1F
中，由余弦定理得
í
2
1
，
1
2
2
n +4-2×n×2×cos BF F 9n
2
Ð
=
2
î
2 1
ÐAF F ,ÐBF F
\cosÐAF F +cosÐBF F = 0
cosÐAF F ,cosÐBF F
，两式消去 ，得
2 1 2 1
又
互补，
2
1
2
1
2
1
2
1
3
3n
2
+6 =11n2 ，解得n =
． 2a 4n 2 3 ,\a = 3 ,\b = - = - = \
\
=
=
2
a
2
c
2
3 1 2, 所求椭圆方程为
2
x
2
y
2
+
=1，故选 B．
3
2
x² y²
2．(2018 高考上海 13)设 P 是椭圆
+
=1 上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为(
)
5
3
A．2 2
B．2 3
C．2 5
D．4 2
【答案】C
【解析】由椭圆的定义可知椭圆上任意点 P 到两个焦点的距离之和为2a = 2 5 ，故选 C．
【考点分析】椭圆的定义，考查考生的识记及基本运算能力．
1
F(1, 0)
3．(2013 广东文)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为
，离心率等于 ，则 C 的方程是
2
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
A．
+
=1
B．
+
=1
C．
+
=1
D．
+
=1
3
4
4
3
4
2
4
3
【答案】D【解析】∵c =1,a = 2,b = 3
，故选 D．
x
2
y
2
4．(2015 新课标 1 理)一个圆经过椭圆
为_________．
+
=1的三个顶点，且圆心在 x的正半轴上，则该圆的标准方程
16 4


3
25
4
(x- )
2
+ y
2
=
【解析】 由题意圆过(4, 0), (0, 2), (0,-2)三个点，设圆心为(a,0)，其中a >0，
【答案】
2
3
2
3
25
4
由4-a = a
2
+4 ，解得a
，所以圆的方程为(x- )
2
+ y
2
=
．
=
2
x
2
y
2
2
5．【2019 年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： +
=1(a > b > 0) 的焦点为 F1(–1、
a
2
b
(x-1)
2
+ y = 4a2 交于点 A，与椭圆 C 交
2
0)，F (1，0)．过 F 作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l 与圆 F ：
2
2
2
于点 D．连结 AF 并延长交圆 F 于点 B，连结 BF 交椭圆 C 于点 E，连结 DF ．
1
2
2
1
5
已知 DF = ．
1
2
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)求点 E 的坐标．
x
2
y
2
3
+
=1；(2) E(-1,- )
．
【答案】(1)
4
3
2
【解析】(1)设椭圆 C 的焦距为 2c．
因为 F (−1，0)，F (1，0)，所以 F F =2，c=1．
1
2
1 2
5
5
3
1
2
2
DF
2
1
-F1F
2
2
= ( )
2
-2 = ，
2
又因为 DF = ，AF ⊥x 轴，所以 DF =
2
2
2
因此 2a=DF +DF =4，从而 a=2．
1
2
由 b2=a2−c2，得 b2=3．
x
2
y
2
+
=1．
因此，椭圆 C 的标准方程为
4
3
x
2
y
2
+
=1，a=2，
(2)解法一：由(1)知，椭圆 C：
4
3
因为 AF2⊥x 轴，所以点 A 的横坐标为 1．


将 x=1 代入圆 F2 的方程(x−1)2+y2=16，解得 y=±4．
因为点 A 在 x 轴上方，所以 A(1，4)．
又 F (−1，0)，所以直线 AF ：y=2x+2．
1
1
ìy = 2x+ 2
11
5
由
将
x =1或 x = -
，解得
．
í
，得5x
2
+6x-11= 0
î(x-1)
2
+ y =16
2
11
5
12
x = -
y 2x 2
=
+
y = -
代入
，得
，
5
11 12
B(- ,- )
因此
．
5
5
3
y = (x-1)
又 F (1，0)，所以直线 BF ：
．
2
2
4
ì
3
y = (x-1)
ï
ï
4
13
í
，得7x
2
-6x-13= 0
由
x = -1或 x =
，解得
．
x
2
y
2
7
ï
+
=1
ï
î 4
3
又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点，所以
x = -1．
3
4
3
2
x = -1代入
y
=
(x-1)
，得
y = -
．
将
3
E(-1,- )
因此
．
2
x
2
y
2
+
=1．
解法二：由(1)知，椭圆 C：
如图，连结 EF1．
4
3
因为 BF =2a，EF +EF =2a，所以 EF =EB，
2
1
2
1
从而∠BF1E=∠B．
因为 F A=F B，所以∠A=∠B，
2
2
所以∠A=∠BF E，从而 EF ∥F A．
1
1
2


因为 AF ⊥x 轴，所以 EF ⊥x 轴．
2
1
ìx = -1
ï
3
2
y = ±
因为 F (−1，0)，由 x
í
2
y
2
，得
．
1
+
=1
ï
î 4
3
3
2
y = -
又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点，所以
．
3
E(-1,- )
因此
．
2
【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置
关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力．
考点 90 椭圆的几何性质
6．【2019 年高考全国Ⅰ理】已知椭圆 C 的焦点为 F(-1, 0)，F(1, 0)，过 F 的直线与 C 交于 A，B 两点．若
2
1
2
| AF |= 2| F B|，| AB|=| BF |，则 C 的方程为
2
2
1
x
2
x
2
2
y
2
+ y
2
2
=1
B．
D．
+
+
=1
=1
A．
C．
2
3
2
x
2
y
x
y
2
+
=1
4
3
5
4
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设
F2B = n
AF = 2n, BF = AB =3n
，
2 1
，则
2a = BF + BF =4n,\ AF =2a- AF =2n
由椭圆的定义有
．
1
2
1
2
4n
2
+9n
2
-9n
2
1
3
在△AF1B 中，由余弦定理推论得cosÐF1AB =
=
．
2 2n 3n
× ×
1
3
在△AFF 中，由余弦定理得
4n
2
+4n -2×2n×2n× = 4，解得n =
2
．
1
2
3
2


x
2
y
2
\2a = 4n = 2 3 ,\a = 3 ,\b
2
= a
2
-c
2
= 3-1= 2,\所求椭圆方程为
+
=1，故选 B．
3
2
F2B = n
AF = 2n, BF = AB =3n
，
2 1
法二：由已知可设
，则
2a = BF + BF =4n,\ AF =2a- AF =2n
由椭圆的定义有
．
1
2
1
2
ì
2
+4-2×2n×2×cos AF F 4n
Ð
=
2
4n
在△AFF 和
△BF1F
中，由余弦定理得
í
2
1
，
1
2
2
n +4-2×n×2×cos BF F 9n
2
Ð
=
2
î
2 1
ÐAF F ,ÐBF F
\cosÐAF F +cosÐBF F = 0
cosÐAF F ,cosÐBF F
，两式消去 ，得
2 1 2 1
又
互补，
2
1
2
1
2
1
2
1
3
3n
2
+6 =11n2 ，解得n =
． 2a 4n 2 3 ,\a =
\
=
=
3 ,\b = - = 3-1= 2,\所求椭圆方程为
2
a
2
c
2
2
x
2
y
2
+
=1，故选 B．
3
2
x
2
2
y
2
2
1
+
=1(a＞b＞0)的离心率为 ，则
7．【2019 年高考北京理】已知椭圆
a
b
2
A．a2=2b2
C．a=2b
B．3a2=4b2
D．3a=4b
【答案】B
c 1
e = = ,c
2
= a
2
-b
2
= 4b
【解析】椭圆的离心率
，化简得3a
2
2
，
a 2
故选 B．
x
2
2
y
2
8．【2018·全国Ⅰ文】已知椭圆C：
+
=1的一个焦点为(2，0)
C
，则 的离心率为
a
4
1
1
A．
B．
3
2


2
2 2
3
C．
D．
2
【答案】C
c = 2
= 4
= b
+ c
= 8
a = 2 2
C
，所以椭圆 的离心率
【解析】由题可得
，因为
b
2
，所以
a
2
2
2
，即
2
2
e =
=
，故选 C．
2 2
2
F F
C
P C
PF1 ^ PF
ÐPF F = 60°
，且 ，
2 1
9．【2018·全国Ⅱ文】已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若
1
2
2
C
则 的离心率为
3
A．1-
B．2- 3
D． 3 -1
2
3 -1
C．
2
【答案】D
【解析】在△F1PF
中，
ÐFPF = 90
o
,ÐPF F = 60°
，设
PF2 = m，则2c = FF = 2m, PF = 3m
，
2
1
2
2
1
1
2
1
c 2c
= =
2m
2a = PF + PF = ( 3 +1)m ，则e
=
=
3 -1
，故选 D．
又由椭圆定义可知
1
2
a 2a
( 3 +1)m
x
2
y
2
10．(2018 上海理)设 P 是椭圆
+
=1上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )
5
3
A．2 2
B．2 3
C．2 5
D．4 2
【答案】C【解析】由题意a
2
= 5，a = 5 ．由椭圆的定义可知， P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为
2a = 2 5 ，故选 C．
x
2
y
2
+
=1长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°，
11．【2017·全国Ⅰ文】设 A，B 是椭圆 C：
3
m
则 m 的取值范围是
A．(0,1]U[9,+¥)
B．(0, 3]U[9,+¥)
D．(0, 3]U[4,+¥)
C．(0,1]U[4,+¥)


【答案】A
a
b
【解析】当0< m< 3
x
时，焦点在 轴上，要使 上存在点
C
M
满足ÐAMB =120
，则
³
tan 60o = 3
，
o
3
³
3 ，得0< m£1；
即
m
a
m
当m > 3
y
时，焦点在 轴上，要使 上存在点
C
M
满足ÐAMB =120
，则
³
tan 60o
=
3
，即
³ 3
，
o
b
3
得m³9，故m
的取值范围为
(0,1]U[9,+¥)
，故选 A．
x
2
y
2
+
=1的离心率是(
12．【2017·浙江卷】椭圆
)
9
4
13
5
A．
C．
B．
D．
3
3
2
3
5
9
【答案】B
x
2
y
2
9-4
5
+
=1的离心率e
=
=
【解析】椭圆
，故选 B．
9
4
3
3
1
13．(2015 新课标 1 文)已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为 ， E 的右焦点与抛物线C：
2
y =8x的
2
焦点重合， A、B 是C的准线与 E 的两个交点，则 AB =
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B【解析】∵抛物线C：
y
2
=8x的焦点坐标为(2,0)，准线l的方程为 x = -2 ①，设椭圆 E 的方
x
2
2
y
2
2
1
程为
+
=1(a > b > 0) ，所以椭圆 E 的半焦距c = 2，又椭圆的离心率为 ，所以a = 4,b = 2 3 ，椭
a
b
2
x
2
y
2
圆 E 的方程为
+
=1②，联立①②，
16 12
解得 A(-2,3),B(-2,-3)或 A(-2,-3),B(-2,3)，所以| AB|= 6 ，故选 B．
x
2
y
2
14．(2015 广东文)已知椭圆
+
=1(m >0)的左焦点为 F (-4, 0)，则m
2
1
=
25 m
A．2
B．3
C．4
D．9


【答案】B【解析】由题意得：m
2
= 25-4 = 9，因为m >0，所以m =3，故选 C．
2
x
2
15．(2014 福建文理)设 P,Q 分别为
x
2
(
+ y -
2
= 和椭圆
6) 2
+ y =1上的点，则 P,Q 两点间的最大距离
2
10
是
A．5 2
B． 46 + 2
C．7+ 2
D．6 2
【答案】D【解析】由题意可设Q( 10 cosa,sina) ，圆的圆心坐标为C(0, 6) ，圆心到Q的距离为
2
2
|CQ|= ( 10 cosa)
2
+(sina -6)
2
= 50-9(sina + ) ≤ 50 = 5 2 ，当且仅当sina = - 时取等
2
3
3
号，所以| PQ| ≤|CQ| +r =5 2 + 2 =6 2 ，所以 P,Q 两点间的最大距离是6 2 ．
max
max
x
2
y
2
3a
16．(2012 新课标文理)设 F 、F 是椭圆 E ：
+
=1(a > b > 0) 的左、右焦点，P 为直线 x =
上一
1
2
a2 b2
2
点，DF PF 是底角为
30o 的等腰三角形，则 E 的离心率为
2
1
1
2
2
3
3
4
4
5
A．
B．
C．
D．
3
c 3
Þ PF = F F = 2( a-c) = 2c Û e = =
，
【答案】C【解析】D F PF 是底角为
30
o
的等腰三角形
2
1
2
2 1
2
a 4
故选 C．
x
2
y
2
F，F
+
=1的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限．若△MF1F2
17．【2019·全国Ⅲ文】设
为椭圆 C：
2
1
36 20
为等腰三角形，则 M 的坐标为___________．
( )
3, 15
【答案】
【解析】由已知可得a
2
= 36,b
2
= 20 ,\c
2
= a
2
-b
2
=16 ,\c = 4 ，
\ MF = FF = 2c =8
MF2 = 4
，∴
．
1
1 2
1
设点 M 的坐标为(
x , y x >0, y >0)，则 S
)(
= × FF × y = 4y
，
0
0
0
0
△MF1F2
1
2
0
0
2
1
又S
= ´4´ 8
2
-2
2
= 4 15 ,\4y0 = 4 15
，解得
y = 15
0
，
△MF1F2
2
2
( )
15
x
2
0
36
=
3( x0 = -3舍去)，\ M
( )
3, 15
的坐标为 ．
x
0
= 1，解得
\
+
20


x
2
y
2
+
=1的左焦点为
F
，点 在椭圆上且在 轴的上方，若线段 PF 的
P
x
18．【2019·浙江卷】已知椭圆
9
5
O
中点在以原点 为圆心，
OF
为半径的圆上，则直线 PF 的斜率是___________
．
【答案】 15
【解析】方法 1：如图，设 F1 为椭圆右焦点．由题意可知|OF|=|OM |=c=2，
PF1 = 2|OM |= 4
P(x, y) ，可得(x-2)
+ y =16
2
2
由中位线定理可得
，设
，
x
2
y
2
3
21
+
=1联立，可解得 x = - ,x =
与方程
(舍)，
9
5
2
2
15
æ
ö
3 15
2
1
x
Pç- ,
÷
=
= 15 ．
又点 P 在椭圆上且在 轴的上方，求得
，所以kPF
ç
÷
2 2
è
ø
2
PF1 = 2|OM |= 4
，由中位线定理可得 ，即
方法 2：(焦半径公式应用)由题意可知|OF |=|OM |=c=2
15
2
æ
ö
3 15
3
2
a-ex = 4Þ x = - ，从而可求得 Pç
-
,
=
= 15 ．
÷，所以k
ç
÷
p
p
2 2
PF
1
è
ø
2
x
2
2
y
2
2
19．(2012 江西文理)椭圆
+
=1(a > b > 0) 的左、右顶点分别是 A,B，左、右焦点分别是 F ,F ．若
1 2
a
b
| AF |,| FF |,| FB|成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．
1
1
2
1
5
【答案】 【解析】由椭圆的性质可知： AF = a-c，FF = 2c， FB = a+c．又已知 AF ， FF ，
1
1
2
1
1
1 2
5


F1B 成等比数列，故(a-c)(a+c) = (2c)2 ，即a
2
-c
2
= 4c2 ，
c
5
5
则a
2
= 5c2 ．故e = =
．即椭圆的离心率为
．
a
5
5
x
2
20．(2011 浙江文理)设 F ,F 分别为椭圆
+ y
2
=1的左、右焦点，点 A,B在椭圆上，若 F A=5F B；则
1
2
1
2
3
点 A的坐标是
．
【答案】(0,±1)【解析】设点 A的坐标为(m,n)， B 点的坐标为(c,d)．
F(- 2,0),F ( 2,0)，可得 F A=(m+ 2,n)， F B =(c- 2,d)，
1
2
1
2
(
m+6 2)
2
m+6 2
n
m
2
n
2
5
5
∵ F A=5F B，∴c
=
=
，又点
A,B
在椭圆上，∴
+ n
2
=1，
+( ) =1，
,d
1
2
5
5
3
3
解得m = 0,n = ±1，∴点 A的坐标是(0,±1)．
x
2
2
y
2
2
F ,F
+
=1(a >b > 0) 的两个焦点，P 为 C 上一点，O
21．【2019 年高考全国Ⅱ文】已知
是椭圆C :
2
1
a
b
为坐标原点．
(1)若△POF
为等边三角形，求 C 的离心率；
PF1 ^ PF2 ，且△F1PF
2
(2)如果存在点 P，使得
的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围．
2
【答案】(1) 3 1；(2)
-
b = 4，a 的取值范围为[4 2,+¥)．
PF ，由△POF 为等边三角形可知在△F1PF
ÐFPF = 90° PF =c PF = 3c
【解析】(1)连结
中，
，
，
，
1
2
2
1
2
2
1
c
2a = PF + PF = ( 3 +1)c
e = = 3 -1
，故 的离心率是 ．
C
于是
1
2
a
1
2
y
y
x
2
y
2
2
P(x, y)
| y |×2c =16，
×
= -1，
+
=1，
(2)由题意可知，满足条件的点
存在．当且仅当
x+c x-c
a
2
b
即c|y| =16，①
x
2
+ y
2
= c2 ，②
=1，③
x
2
2
y
2
+
a
b
2


b
c
4
2
16
2
2
2
= +
b
2
c
2 得
y
2
=
，又由①知
y
2
=
，故b = 4
．
由②③及a
c
2
a
c
2
2
(c2
-b2 ，所以c
)
= + ³
2b = 32, 故a ³ 4 2．
由②③得
x
=
2
³ b2 ，从而a
2
b
2
c
2
2
当b = 4
³ 2 时，存在满足条件的点P，所以b = 4 a
，a 4
， 的取值范围为
[4 2,+¥)．
x
2
2
y
2
2
22．(2015 安徽理)设椭圆 E 的方程为
+
1 a b 0
= ( > > )，点O为坐标原点，点 A的坐标为(a，0)，点
a
b
5
( )
=
B 的坐标为 0，b ，点 M 在线段 AB 上，满足 BM 2 MA ，直线OM 的斜率为
．
10
(Ⅰ)求 E 的离心率e；
7
( - )
(Ⅱ)设点C的坐标为 0， b ， N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 ，求 E 的
2
方程．
2 1
5
b
5
【解析】(1)由题设条件知，点 M 的坐标为( a, b)，又k =
，从而
=
，进而得
OM
3 3
10
2a 10
c 2 5
= 2b ，故e = =
．
a = 5b,c = a
2
-b
2
a
5
x
y
5
1
(2)由题设条件和(I)的计算结果可得，直线 AB 的方程为
+ =1，点 N 的坐标为(
5b b
b,- b)，设点
N
2
2
7
5
x1
2
1
7
关于直线 AB 的对称点 S 的坐标为(x , )，则线段 NS的中点T 的坐标为
(
b+ ,- b+ )．又点T 在
1
2
4
4
4
ì
5
x1
2
1
7
4
b +
5b
- b +
ï
4
4
ï
+
=1
ï
b
ï
直线 AB 上，且k ×k = -1，从而有í
，解得b =3，所以b = 3 5，
7 1
NS
AB
+
b
ï
2 2
ï
= 5
ï
5b
x1 -
ï
î
2
x
2
y
2
故椭圆 E 的方程为
+
=1．
45 9


x
2
y
2
23．(2013 安徽文理)如图， F ,F 分别是椭圆C：
+
=1(a >b >0)的左、右焦点， A是椭圆C的顶
1
2
a2
b2
点， B 是直线 AF 与椭圆C的另一个交点，ÐF A F =60°．
2
1
2
(Ⅰ)求椭圆C的离心率；
(Ⅱ)已知△ A F1B的面积为 40 3 ，求 a， b 的值．
c 1
【解析】(Ⅰ) F AF 60 Û a = 2c Û e = =
Ð
=
o
1
2
a 2
(Ⅱ)设 BF = m；则 BF = 2a-m，在DBFF 中， BF
2
=
2
2
´ ´
+ F1F2 -2 BF2 FF cos120
1 2
o
BF2
2
1
1
2
1
3
Û (2a-m)
2
= m
2
+a +am Û m = a，
2
5
1
1
3
3
DAFB 面积 S = ´ F F ´ AB ´sin 60
o
Û ´a´(a+ a)´
= 40 3 Û a =10,c = 5,b = 5 3．
1
2 1
2
2
5
2
考点 91 直线与椭圆的位置关系
x
2
y
2
=1(a > b> 0)的左、右焦点，A是C 的左顶点，
24． 【2018 高考全国 2 理 12】已知F , F 是椭圆C :
+
1
2
a2
b2
3
点 P在过 A且斜率为
的直线上，△PFF 等腰三角形，ÐFF P =120
o
，则C 的离心率为
(
)
1
2
1
2
6
2
1
2
1
3
1
A．
B．
C．
D．
3
4
【答案】D
PF2 = 2c，再利用正弦定理得a , c
【解析】试题分析：先根据条件得
关系，即得离心率．
试题解析：因为△PF1F
为等腰三角形，
ÐFF P =120° , PF = FF = 2c
，
2
1
2
2
1 2
3
3
1
12
13
由 AP 斜 率 为
得 ， tanÐPAF2 =
,\sinÐPAF2 =
,\cosÐPAF2 =
， 由 正 弦 定 理 得
6
6
13


1
1
PF2 sinÐPAF2
AF2 sinÐAPF2
2c
a+c
2
1
4
13
13
=
,\
=
=
= ,\a = 4c ,\e =
，故选 D．
æ p
è 3
ö
ø
3
12 1 1
5
sinç -ÐPAF2 ÷
×
- ×
2
13 2 13
=1(a > b > 0) 的左、右顶点分别为 A ，A ，且以线段 A A
2
25．(2017 新课标Ⅲ文理)已知椭圆C：x
2
2
+
y
2
1
2
1
a
b
2
为直径的圆与直线bx-ay +2ab = 0相切，则C的离心率为(
)
6
3
2
1
3
A．
B．
C．
D．
3
3
3
【答案】A【解析】以线段 A A 为直径的圆是
x
2
+ y = a2 ，直线bx-ay +2ab = 0与圆相切，所以圆心到
2
1
2
2ab
c
2
2
2
3
(
)
Þ 2a
直线的距离d =
= a，整理为a
2
= 3b2 ，即a
2
= 3 a
2
-c
2
2
= 3c2 ，即
=
，
+b
2
a
a
2
c
6
e = =
，故选 A．
a
3
1
4
26．【2016·新课标 1 文数】直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ，
则该椭圆的离心率为(
)
(A)1
(B)1
(C)
2
3
(D)
3
4
3
2
【答案】B
1
1
【解析】如图，在椭圆中，OF = c,OB = b,OD = ´2b = b，
4
2
在Rt△OFB中，|OF |´|OB|=| BF |´|OD|，且a
2
= b
2
+c2 ，代入解得
1
a
2
= 4c2 ，所以椭圆的离心率为e = ，故选 B．
2


x
2
2
y
2
2
27．(2016 年全国 III 文理)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：
+
=1(a > b > 0) 的左焦点，A，B 分别
a
b
为 C 的左，右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E．若
直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为
1
3
1
2
2
3
3
4
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意设直线l的方程为 y = k(x+a)，分别令 x = -c与 x =0得| FM |=|k|(a-c)，|OE |=|k|a ，
1
|OE |
|OB|
| k | a
2| k |(a -c) a +c
a
c 1
2
设 OE 的中点为 H，由△OBH∽△FBM ，得
=
，即
=
，整理得
=
，
| FM | | BF |
a 3
1
所以椭圆离心率为e = ，故选 A．
3
x
2
y
2
b
28．(2016 江苏理)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆
+
= ( > > )的右焦点，直线 = 与
1 a b 0
y
a
2
b
2
2
椭圆交于 B,C 两点，且ÐBFC = 90°，则该椭圆的离心率是
．
æ
ö
æ
ö
6
b
3a b
3a b
( )
=
与椭圆方程联立可得 Bç-
【答案】
【解析】由题意得 F c,0 ，直线 y
, ÷，Cç , ÷ ，由
ç
÷
ç
÷
3
2
2 2
2
2
è
ø
è
ø
uuur æ
ö
uuur æ
ö
b
3a
b
3a
3
1
2
4
ÐBFC = 90°可得 BF ×CF = 0 ， BF = çc +
,- ÷，CF = çc -
,- ÷，则c
2
- a
2
+ b
= 0 ，由
ç
÷
ç
÷
2
2
2
2
4
è
ø
è
ø
3
1
2
2
b
2
= a
2
- c
2
可得 c
2
= a
，
4
c
2
3
6
则e = =
=
．
a
3
x
2
2
y
2
2
29．(2015 福建文)已知椭圆 E :
+
=1(a >b > 0) 的右焦点为 ．短轴的一个端点为
F
M
，直线
a
b
4
l :3x-4y = 0
E A,B
交椭圆 于
AF + BF = 4，点M
l
到直线 的距离不小于 ，则椭圆 的
E
两点．若
5


离心率的取值范围是
A．(0, 3]
(0, ]
3
C．[ ,1)
3
[ ,1)
D．
3
B．
2
4
2
4
【答案】A【解析】设椭圆的左焦点为 F ，半焦距为c，连结 AF ，BF ，则四边形 AF BF 为平行四边形，
1
1
1
1
所以| AF | +| BF |=| AF | +| BF |= 4 ，根据椭圆定义，
1
1
有| AF | +| AF | +| BF | +| BF |= 4a ，所以8= 4a，解得a = 2．因为点 M 到直线l：3x+4y = 0 的距离
1
1
4
4b
4
≥ ,b≥1，所以
2
b ≥1，
不小于 ，即
5
5
5
c
3
3]．
，所以椭圆的离心率的取值范围为(0,
所以a
2
-c
2
≥1,4-c
2
≥1，解得0 < c≤ 3 ，所以0 < ≤
a
2
2
x
2
2
y
2
2
30．(2013 新课标 1 文理)已知椭圆
+
=1(a > b > 0) 的右焦点为 F(3，0)，过点 F 的直线交椭圆于 A．B
a
b
两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为
x2 y2 x2 y2 x2 y2
x2 y2
D． ＋ ＝1
18 9
A． ＋ ＝1 B． ＋ ＝1 C． ＋ ＝1
45 36 36 27 27 18
【答案】D【解析】设 A(x , y ),B(x , y ) ，则 x + x =2， y + y =－2，
1
1
2
2
1
2
1
2
x
2
2
y
2
2
x
2
2
2
y
2
2
2
1
+
1
=1
+
=1
①
②
a
b
a
b
(x + x )(x - x ) (y + y )(y - y )
y1 - y2
AB x1 - x2
2
2
(x + x ) b
2
2
b
a
1
2
1
2
+
1
2
1
2
= 0 ，∴k
=-
1
2
①－②得
=
=
，又
a
2
b
2
(y + y ) a
1 2
0+1 1
AB 3-1 2
2
1
2
2
b
x
y
k =
= ，∴
= ，又 9=
c
2
=a
2
-b
2
，解得b
2
=9，a
=18，∴椭圆方程为
2
+
=1，故选 D．
a2
2
18 9
x
2
y
2
31．【2020 年高考上海卷 10】已知椭圆C :
+
=1，直线l 经过椭圆右焦点 F ，交椭圆C 于
P,Q
两
4
3
点(点 P在第二象限)，若Q关于 x 轴对称的点为Q'，且满足 PQ ^ FQ'，则直线l 的方程为
【答案】 y = -x+1
．
¢
o
【解析】由条件可知 VFQQ 是等腰直角三角形，所以直线 l 的倾斜角是135 ，所以直线 l 的斜率是
= -1，且过点 F 1,0 ，得到直线l的方程为 y
( )
= -( - )
x 1 ，即 y
= -x+1．故答案为：y = -x+1．
tan135
o


x
2
32．(2018 浙江理)已知点 P(0,1)，椭圆
+ y = m(m>1)上两点 A， B 满足 AP = 2PB，则当m=___
2
4
时，点 B 横坐标的绝对值最大．
【答案】5
A(x , y ) B(x , y )
=
-x1 = 2x 1- y = 2(y -1)
-y = 2y -3
，所以 ，
1 2
【解析】设
，
，由 AP 2PB得
，
1
1
2
2
2
1
2
+(2y2 -3)
1
x1
2
x2
2
4x2
4
2
因为 A， B 在椭圆上，所以
+ y1
2
= m ，
+ y2
2
= m，所以
2
= m ，
4
4
+
x2
2
3
m
x2
4
2
3 m
+ (y - )
2
=
+ y2
= m
y =
2
x
，
2
2
= - (m
2
-10m+9) £ 4，
2
所以
，与
对应相减得
2
4
2
4
4
4
当且仅当m =5时取最大值．
x
2
33．(2018 浙江文)已知点 P(0,1)，椭圆
时，点 B 横坐标的绝对值最大．
+ y = m( m>1)上两点 A， B 满足 AP = 2PB ，则当m=___
2
4
ì-x1 = 2x2
【答案】5【解析】设 A(x , y )， B(x , y )，由 AP = 2PB，得í
，
1
1
2
2
- =
-
2
1 y 2(y 1)
î
1
ì
ï
2
4x2
4
+(3- x2)
2
= m
ï
1
3
即 x = -2x ， y = 3-2y ．因为点 A， B 在椭圆上，所以í
，得 y = m+ ，所
2
1
2
1
2
x
2
2
4
4
4
ï
+ y2
= m
2
ï
î
1
5
9
1
x
2
2
= m-(3-2y2)
2
= - m
2
+ m- = - (m-5)
2
+4≤4 ，
以
4
2
4
4
所以当m =5时，点 B 横坐标的绝对值最大，最大值为 2．
x
2
2
y
2
2
b
( )
=
34．(2015 浙江文)椭圆
+
=1(a >b >0)的右焦点 F c,0 关于直线 y
x的对称点Q在椭圆上，则
a
b
c
椭圆的离心率是
．
2
b
=
x的对称点 在椭圆上，得
|OQ|=|OF |，又
Q
【答案】
【解析】设左焦点为 F1 ，由 F 关于直线 y
2
c
|OF |=|OF | ，所以 FQ ^ QF ，不妨设|QF |= ck ，则|QF |= bk ，| FF |= ak ，因此2c = ak ，又
1
1
1
1
2c
2a
b+ c
c
a
2
2a =ck +bk，由以上二式可得
= k =
，即 =
，即a
2
= c
2
+bc ，所以b =c，e =
．
a
a b+c
2


1
x
2
2
y
2
2
35．(2014 江西文理)过点M(1,1)作斜率为- 的直线与椭圆C：
+
=1(a > b > 0) 相交于 A,B两点，
2
a
b
若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆C的离心率等于
．
2
【答案】
【解析】设 A(x , y )， B(x , y )，分别代入椭圆方程相减得
1 1 2 2
2
(x - x )(x + x ) (y - y )(y + y )
1
2
1
2
+
1
2
1
2
= 0，根据题意有 x + x = 2,y + y = 2
，
2
b
2
1
2
1
2
a
y1 - y
x1 - x2
1
2
2
1
2
= -
+
´(- ) = 0
a
2
= 2b
2
，整理a
2
= 2c ，所以e =
2
且
2
，所以
，得
．
2
a
2
b
2
2
2
x
2
y
2
36．(2014 辽宁文)已知椭圆C：
+
=1，点 M 与C的焦点不重合，若M 关于C的焦点的对称点分别
9
4
为 A， B ，线段MN 的中点在C上，则| AN |+| BN |=
．
【答案】12【解析】设 MN 交椭圆于点 P ，连接 FP和 F P ，利用中位线定理可得 AN + BN =
1
2
2 FP +2 F P = 2´2a = 4a =12．
1
2
x
2
2
y
2
2
37．(2014 江西文)设椭圆C :
+
=1(a > b > 0)的左右焦点为 F，F ，作 F 作 x轴的垂线与C交于
1 2 2
a
b
A，B两点， FB与 y 轴相交于点 D，若 AD FB
^
，则椭圆C的离心率等于________．
1
1
3
b
2
b
2
【答案】
【解析】由题意可得 A(c, )， B(c,- ) ，由题意可知点 D为 FB的中点，所以点 D的坐
1
3
a
a
b
2
3
标为(0,- ) ，由 AD^ FB，所以k ×k = -1，整理得
3b
2
= 2ac，解得e =
．
1
AD
F B
1
2a
3
y
2
2
F,F
E : x
2
+
=1(0 < b <1) F E
的左、右焦点，过点 的直线交椭圆 于
1
38．(2014 安徽文)设
分别是椭圆
1
2
b
A,B
AF =3BF ,AF ^ x
E
轴，则椭圆 的方程为____．
两点，若
1
1
2
3
5c 1
=1【解析】由题意得通径 AF2 = b2 ，∴点 B 坐标为 B(- ,- b
)
x
2
+ y
2
2
【答案】
2
3
3
1
(- b
)
2 2
5c
(- )
3
2
+
=1，
将点 B 坐标带入椭圆方程得
3
b
2


ì
ï
2
3
1
3
b
c
2
2
=
=
ï
又b
2
=1-c2 ，解得í
，
ï
ï
î
3
x
2
+ y =1．
2
∴椭圆方程为
2
x
2
2
y
2
2
39．(2013 福建文)椭圆 G:
+
=1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为
F1,F
，焦距为
2c
．若直线
2
a
b
y
3 x c
= ( + ) 与 椭 圆 G 的 一 个 交 点 M 满 足 ÐMFF = 2ÐMF F ， 则 该 椭 圆 的 离 心 率 等
1
2
2 1
于
．
【答案】 3 -1【解析】由题意可知，DMF1F
中，
ÐMFF =60°,ÐMF F =30°,ÐFMF =90°
，
2
1
2
2
1
1
2
ì
MF MF22 = F1F22 = (2c)2
2 +
ï
1
c
e = = 3 -1
3 -1．
所以有 MF + MF = 2a
，整理得
，故答案为
í
1
2
a
ï
î
MF2 = 3MF
1
x
2
y
2
15
4
40．【2020 年高考全国Ⅲ文 21 理数 20】已知椭圆C :
+
= ( < < )的离心率为
1 0 m 5
2
， A, B 分
25 m
别为C的左、右顶点．
(1)求C的方程；
(2)若点 P 在C上，点Q在直线 x =6上，且 BP = BQ , BP ^ BQ，求△ APQ的面积．
c
b
a
2
2
15
16
m
2
25
16
x
2
+16y2 =1．
【解析】解法一：(1)由e
=
，得e2
=1-
，即
=1-
，∴m
=
2
，故C 的方程为
a
25
25 25
5
(2)设点 P 的坐标为(s,t) ，点Q的坐标为(6,n) ，根据对称性，只需考虑n > 0的情形，此时-5 < s < 5，0 < t„ ．
4
∵| BP|=| BQ|，∴有(s -5)
2
+t
2
= n +1 ①．
2
又∵ BP ^ BQ ，∴ s - 5 + nt = 0 ②．
s
2
+16t2 =1 ③．
又
25 25
ìs = 3
ìs = -3
ï
ï
联立①、②、③，可得，ít =1 或ít =1 ．
ï
ï
n = 2
n = 8
î
î


ìs = 3
uuur uuur
uuur uuur
ï
1
2
1
5
2
2
当ít =1 时， AP = (8,1)， AQ = (11, 2) ，∴ S
=
AP × AQ -(AP× AQ)
2
= |8´2-11´1|= ．
△APQ
2
2
ï
n = 2
î
ìs = -3
ï
5
5
同理可得，当ít =1 时， S
= ．综上所述，可得△APQ 的面积为 ．
△APQ
2
2
ï
n = 8
î
x2 y2
25 m2
解法二：(1)Q
根据离心率e
+
=
<
<
\ a =5，b = m
，
C :
1(0 m 5)，
2
2
c
æb ö
æ mö
15
4
5
5
4
= = 1-ç ÷
= 1-ç ÷
=
，解得m = 或m = -
(舍)，
a
è a ø
è 5 ø
4
x
2
y
2
+
=1
2
x
2
+16y2 =1．
\
C
25 æ ö
5
的方程为：
，即
ç ÷
25 25
è 4 ø
x = 6
| BP|=| BQ| BP BQ
，
^
x
Q
C
Q
M ，设
(2) 点 P 在 上，点 在直线
上，且
，过点 P 作 轴垂线，交点为
x = 6
x
与 轴交点为 ，根据题意画出图形，如图，
N
Q | BP|=| BQ| BP BQ
，
^
，ÐPMB =ÐQNB =90°
ÐPBM +ÐQBN =90°，
，又Q
ÐBQN +ÐQBN =90°，\ ÐPBM =ÐBQN
AAS”，可得：△PMB @△BNQ
，根据三角形全等条件“
，
x
2
+16y =1 \ B(5, 0) \ PM BN 6 5 1
2
=
= - =
Q
，
，
．
25 25
x
2
+16y2 =1，可得：
xP
2
16
(x , y )
y =1
，可得 P 点纵坐标为 ，将其代入
P
+
=1，
设 P 点为
P
P
25 25
25 25
x = 3 x = -3 \ P 点为(3,1)或(-3,1)
，
解得：
或
，
P
P
MB =5-3= 2 Q △PMB △BNQ
，
@
\ |MB|=| NQ|= 2
，可得： 点为
①当 P 点为(3,1)时，故
画出图象，如图，
，
Q
(6,2)，


Q A(-5,0)，Q(6,2)，可求得直线 AQ
2x 11y+10= 0
-
的直线方程为：
，
2´3-11´1+10
5
5
AQ的距离为：d =
=
=
根据点到直线距离公式可得 P 到直线
，
2
+112
125
5
2
1
2
5 5
6 5
= ( + )
2
2 0
+( - )
2
=5 5 ，\ VAPQ
´5 5´
=
根据两点间距离公式可得： AQ
面积为：
．
5
2
②当 P 点为(-3,1)时，故
MB 5+3 8 Q △PMB △BNQ，\ | MB|=| NQ|=8
=
=
，
@
，
Q
可得： 点为
(6,8)，画出图象，如图，
Q A(-5,0)，Q(6,8)，可求得直线
AQ
的直线方程为：
8x 11y+40= 0
-
，根据点到直线距离公式可得 P
8
3 11 1 40
´(- )- ´ +
5
5
AQ 的距离为：d =
=
=
到直线
，根据两点间距离公式可得：
8
2
+11
2
185
185
1
2
5
5
6 5
= ( + )
2
8 0
+( - )
2
=
185 ，\ VAPQ
´ 185´
=
AQ
面积为：
．
185 2
5
综上所述，VAPQ
面积为： ．
2
x
2
2
y
2
2
+
=
41．【2020 年高考天津卷 18】已知椭圆
A(0,-3)，右焦点为
1(a > b > 0) 的一个顶点为 F ，且
a
b
|OA|=|OF |
O
，其中 为原点．


(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)已知点C满足3OC =OF ，点 B 在椭圆上( B 异于椭圆的顶点)，直线 AB 与以C为圆心的圆相切于点 P ，
且 P 为线段 AB 的中点．求直线 AB 的方程．
x
2
2
y
2
2
( - )
=1(a > b> 0)的一个顶点为 A 0, 3 ，\ b =3，
Q
+
【解析】(Ⅰ) 椭圆
a
b
x
2
y
2
OA = OF
c =b =3，又由a
，得
= +
= + =
+
=1．
由
2
b
2
c
2
，得a
2
3
2
3
2
18，所以椭圆的方程为
18 9
Q
AB
C
CP ^ AB，
(Ⅱ) 直线
与以 为圆心的圆相切于点 P ，所以
根据题意可知，直线 AB 和直线CP
的斜率均存在，
k
AB
y +3= kx
y = kx-3
设直线 AB 的斜率为 ，则直线
的方程为
，即
，
ì y = kx-3
ï
12k
(
)
y
，消去 ，可得
2
+
2
-
=
x =0 x
，解得 或
=
í
2
2
2k 1 x 12kx 0
x
y
．
+
=1
2k +1
2
ï
î18 9
æ
2
2
- ö
+1ø
12k
12k
6k
2k
2
2
-3
+1
12k 6k
3
将 x =
代入
y = kx-3
，得 y = k ×
-3 =
，所以点 B 的坐标为ç
,
÷ ，
2
+1
2
+1
è 2k
2
+
1 2k
2k
2k
æ 6k
-3 ö
÷，
( - )
因为 P 为线段 AB 的中点，点 A的坐标为
0, 3
，所以点 P 的坐标为ç
+1,2k
è 2k
-3
2k
+1-0
2
2
+1ø
3
2
( )
1,0 ，所以直线CP的斜率为k
由3OC OF ，得点 的坐标为
CP
=
=
=
C
，
6k
2k2 -6k +1
2k
2
+1-1
3
1
又因为CP ^ AB，所以k ×
= - ，整理得
1
，解得k = 或 = ．
k 1
2k
2
-3k +1= 0
2k
2
-6k +1
2
1
y = x-3 y = x -3
或 ．
所以，直线 AB 的方程为
2
x
2
y
2
2
42．【2019 年高考天津理】设椭圆
+
=1(a > b > 0) 的左焦点为 F ，上顶点为 B ．已知椭圆的短轴长
a
2
b
5
为 4，离心率为
．
5
(1)求椭圆的方程；
(2)设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x轴的交点，点 N 在 y 轴的负半轴上．若


|ON |=|OF |(O为原点)，且OP ^ MN ，求直线 PB 的斜率．
c
5
【解析】(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b = 4, =
，又a
2
= b +c2 ，可得a = 5 ，b = 2, c =1．
2
a
5
x
2
y
2
所以，椭圆的方程为
+
=1．
5
4
(
)
)( ¹ ) ( ( ¹ )
0 ,M x ,0 ．设直线 PB 的斜率为k k 0 ，
M
(2)由题意，设 P x ，y
x
P
P
p
( )
又 B 0,2 ，则直线 PB的方程为 y = kx+2，
ìy = kx+2,
ï
与椭圆方程联立íx
2
2
整理得(4+5k2 )x2
+20kx = 0，
y
+
=1,
ï
î 5
4
20k
4+5k
8-10k
4+5k
2
可得 xP = -
，代入 y = kx+2得 yP =
2
，
2
yP 4-5k
2
进而直线OP的斜率
=
．
xp
-10k
2
在 y = kx+2中，令 y = 0，得 xM
= -
．
k
k
( - )
由题意得 N 0, 1 ，所以直线 MN 的斜率为
-
．
2
4-5k
2
æ k ö
24
2 30
5
由OP ^ MN ，得
×ç- ÷ = -1，化简得
k
2
=
，从而k = ±
．
-10k è 2 ø
5
2 30
2 30
5
所以，直线 PB的斜率为
或-
．
5
x
2
2
y
2
+
=
1(a > b > 0) 的左焦点为 F，左顶点为 A，上顶点为 B．已知
43．【2019 年高考天津文】设椭圆
3 |OA|= 2|OB|(O 为原点)．
a
b
2
(1)求椭圆的离心率；
3
(2)设经过点 F 且斜率为 的直线 l 与椭圆在 x 轴上方的交点为 P，圆 C 同时与 x 轴和直线 l 相切，圆心 C
4
在直线 x=4 上，且OC∥AP，求椭圆的方程．


2
æ
ö
3
【解析】(1)设椭圆的半焦距为 c，由已知有 3a 2b ，又由
=
a
2
= b
2
+c
2
b a
，消去 得
2
= ç
a÷ +c
2
，
ç
÷
2
è
ø
c 1
1
=
解得
，所以椭圆的离心率为 ．
a 2
2
x
2
y
2
(2)由(1)知，a 2c,b
=
=
3c ，故椭圆方程为
+
=1．
4c
2
3c
2
3
F(-c, 0)
y = (x+c)
，
l
，则直线 的方程为
由题意，
4
ì
ï
2
2
x
y
+
=1,
ï
2
3c
2
13c
4c
y
消去 并化简，得到
=
= -
点 P 的坐标满足í
7x
2
+6cx-13c
2
= 0
，解得
x c,x
．
1
2
3
7
ï
y = (x+c),
ï
î
4
3
9
l
代入到 的方程，解得
y
1
=
c, y2
= -
c
．
2
14
æ 3 ö
è 2 ø
x
P c, c
因为点 P 在 轴上方，所以 ç
÷ ．
C
由圆心 在直线
x = 4上，可设C(4, t)．
3
2
c
(1) A( 2 c, 0)
-
，故
t
t = 2
，解得 ．
因为OC∥AP
，且由 知
=
4 c+2c
3
4
(4+c)-2
= 2
，可得c=2．
C x
因为圆 与 轴相切，所以圆的半径长为 ，又由圆 与 相切，得
C l
2
2
æ 3ö
1+
ç ÷
è 4ø
x
2
y
2
+
=1．
所以，椭圆的方程为
16 12
44．【2018 高考全国 III 文 20】(12 分)
x2
y2
已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :
+
=1交于 A, B 两点，线段 AB 的中点为M (1, m)(m > 0)．
4
3
1
(1)证明：k < - ；
2
(2)设 F 为C的右焦点， P 为C上一点，且FP FA FB
+
+
= 0．证明：2 FP
=
．
FA + FB
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．
【解析】试题分析：(1)设而不求，利用点差法进行证明；(2)解出m
，进而求出点 P 的坐标，得到
FP
，再


FA , FB
，得到直 l 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．
由两点间距离公式表示出
x
2
1
4
y
2
1
3
x
2
2
4
y
2
2
3
试题解析：(1)设 A(x ，y ) ， B(x ，y )，则
+
=1，
+
=1．
1
1
2
2
y1 - y
x1 - x2
2
x1 + x
2
y1 + y
2
两式相减，并由
=k 得
+
×k = 0 ．
4
3
x1 + x
2
y1 + y
2
3
3
1
由题设知
=1，
= m ，于是k = -
．由题设得0 < m < ，故k < - ．
2
2
4m
2
2
(2)由题意得 F(1，0)．设 P(x ，y ) ，则(x -1，y ) + (x -1，y ) + (x -1，y ) = (0，0) ．
3
3
3
3
1
1
2
2
由(1)及题设得 x = 3-(x + x ) =1， y = -(y + y ) = -2m < 0．
3
1
2
3
1
2
uur
3
3
3
又点 P 在 C 上，所以m = ，从而 P(1，- )，|FP|= ．
4
2
2
uur
于是|FA|= (x -1)
uur
x
2
1
4
x1
2
x2
2
2
+ y1
2
= (x1 -1)
2
+3(1-
) = 2 - ．同理|FB|=2-
．
1
uur uur
1
所以 FA+ FB = 4- (x + x ) = 3，故2 FP = FA + FB ．
1
2
2
45．【2018 高考天津文 19】(本小题满分 14 分)
x
2
2
y
2
2
5
设椭圆
+
=1(a > b > 0) 的右顶点为 A，上顶点为 B ．已知椭圆的离心率为
， AB = 13 ．
a
b
3
(I)求椭圆的方程；
(II)设直线l: y kx k 0
= ( < )与椭圆交于 P,Q 两点，l与直线 AB 交于点M ，且点 P , M 均在第四象限．若
△BPM 的面积是△BPQ面积的 2 倍，求k 的值．
x
2
y
2
【解析】试题分析：(I)由题意结合几何关系可求得a = 3,b = 2．则椭圆的方程为
+
=1．
9
4
(
)
(
)
(I I)设点 P 的坐标为 x , y ，点 M 的坐标为 x , y
2
，由题意可得 x2 = 5x1 ．
1
1
2
ì
2
2
x
y
ì2x+3y = 6,
易知直线 AB 的方程为2x+3y = 6，由方程组í
ï +
=1,
6
可得 x2 =
．由方程组í 9
4
îy = kx ,
3k + 2
ï
îy = kx ,
6
8
1
1
可得 x1 =
．结合 x = 5x ，可得k = - ，或k = - ．经检验的值为- ．
2 1
9k + 4
2
9
2
2
c
2
2
5
9
试 题 解 析 ： (I) 设 椭 圆 的 焦 距 为 2c ， 由 已 知 得
=
， 又 由
a
2
= b +c2 ， 可 得 2a =3b ． 由
2
a


x
2
y
2
AB = a
2
+b
2
= 13，从而a = 3,b = 2．所以，椭圆的方程为
+
=1．
9
4
(
)
(
)
> >
1
(II)设点 P 的坐标为 x , y ，点 M 的坐标为 x , y
，由题意， x2 x 0，
1
1
2
2
(- - )
=
点的坐标为 x , y ．由△BPM 的面积是△BPQ面积的 2 倍，可得 PM 2 PQ ，
1
1
- = é -(- )ù ，即 x = 5x ．
从而 x x 2ëx
x û
1
2
1
1
2
1
ì2x+3y = 6,
易知直线 AB 的方程为 2x+3y = 6 ，由方程组 í
6
消去 y ，可得 x2 =
．由方程组
îy = kx ,
3k + 2
ì
2
2
x
y
ï +
=1,
6
消去 y ，可得 x1
=
．由 x = 5x ，可得 9k
2
+4 = 5(3k +2)，两边平方，整理
í 9
4
2
1
9k
2
+ 4
ï
îy = kx ,
8
1
得18k
2
+25k +8 = 0，解得k = - ，或k = - ．
9
2
8
9
1
2
12
当k
= -
时，
x = -9< 0 ，不合题意，舍去；当k = -
2
x =12, x =
时，
2 1
，符合题意．
5
1
2
所以，k 的值为-
．
46．【2018 高考江苏 18】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C过点æ
1 ö
÷，焦点F
，
) (
3 , 0 , F2 3 , 0
)
3 ,
(-
ç
1
è
2 ø
圆O的直径为 FF ．
1
2
(1)求椭圆C及圆O的方程；
(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点 P ．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；
2 6
②直线l与椭圆C交于 A, B 两点．若 △OAB 的面积为
，求直线l的方程．
7


【解析】试题分析：(1)根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a , b
，
即得椭圆方程；(2)第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可
得切点坐标．第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间
距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程．
试题解析：(1)因为椭圆C的焦点为 F (- 3,0),F ( 3,0) ，
1
2
x
2
2
y
2
2
可设椭圆C的方程为
+
=1(a >b >0)．
a
b
ì 3
1
+
=1,
ìa
ï
2
2
= 4,
=1,
1
ï
又点( 3, )在椭圆 C 上，\ía
2
4b
2
，解得í
ïb
2
ï
î
îa
因此，椭圆C的方程为 + y
2
-b = 3,
2
x
2
2
=1．因为圆O的直径为 F F ，所以其方程为 x
2
+ y =3．
2
1
2
4
(2)①设直线l与圆O相切于 P(x , y )(x > 0, y > 0) ，则 x
0
2
+ y0
．
2
=3，
0
0
0
0
x0
x0
3
所以直线l的方程为 y = - (x - x )+ y ，即 y = - x +
0
0
y0
y0
y0
ì
2
x
+ y =1,
2
ï
ï 4
由í
，消去 y，得(4x0
2
+ y0
2
)x
2
-24x0 x+36-4y0
2
=0 ．(*)
x0
3
ï
y = - x +
,
ï
î
y0
y0
Q直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
\D = (-24x0)
2
-4(4x0
2
+ y0
2
)(36-4y0
2
) = 48y0
2
(x0
-2) =0．
2
Q x , y > 0 ,\x = 2 , y =1．因此，点 P 的坐标为( 2 ,1)．
0
0
0
0
2 6
7
1
2 6
7
4 2
7
②Q△OAB的面积为
，所以 AB×OP =
，从而 AB =
．
2
24x0 ± 48y0
2
(x0
2
-2)
设 A(x , y ),B(x , y )，由(*)得 x =
，
1
1
2
2
1,2
2(4x02 y )
+
2
0
x
2
48y0
2
(x0
-2)
2
\AB
2
=(x -x )
2
+(y - y )
2
= (1+
)×
．
0
1
2
1
2
y02 (4x02 y )
+
2 2
0
16(x0
(x02
2
-2) 32
Qx0
2
+ y0
2
=3，\AB
2
=
=
，即2x0
4
-45x0
2
+100 =0，
+1)
2
49
5
1
10
,
2)．
解得 x0
2
= (x
2
= 20 舍去)，则 y0
2
= ，因此 P 的坐标为(
0
2
2
2
2
综上，直线l的方程为 y = - 5x + 3 2 ．


47．【2018 高考全国 1 理 19】(本小题满分 12 分)
x
2
设椭圆C : + y =1的右焦点为 F ，过 F 的直线l与C 交于 A, B 两点，点 M 的坐标为(2,0)．
2
2
(1)当l与 x轴垂直时，求直线 AM 的方程；
= ÐOMB ．
(2)设O 为坐标原点，证明： OMA
Ð
( )
F 1,0
l
x
=
【解析】试题分析：(1)首先根据l 与 轴垂直，且过点
x 1
，求得直线 的方程为 ，代入椭圆方程
æ
ö æ
ö
2
2
ç1,
÷ ç1,
-
÷
x
AM 的方程；(2)分直线l 与 轴重合、l与
求得点 A的坐标为ç
或
，利用两点式求得直线
÷ ç
÷
2
2
è
ø è
ø
x
x
轴垂直、l与 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相
等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果．
æ
ö æ
ö
2
2
( ) l
-
F 1,0
x =1．由已知可得，点 A的坐标为ç1,
÷ ç1,
÷
．所
试题解析：(1)由已知得
， 的方程为
或
ç
÷ ç
÷
2
2
è
ø è
ø
2
2
以 AM 的方程为 y
= -
x+ 2 或
y =
x- 2
．
2
2
x
Ð
=ÐOMB =0°．
(2)当l与 轴重合时， OMA
x
OM 为 AB 的垂直平分线，\ÐOMA=ÐOMB．
当l与 轴垂直时，
x
y = k(x-1)(k ¹ 0) A(x , y ),B(x , y )
当l与 轴不重合也不垂直时，设l的方程为
，
，
2
1
1
2
y1
y2
k +k =
MA,MB的斜率之和为
MA
+
x < 2,x < 2
则
由
将
，直线
．
MB
-
-
1
2
x 2 x 2
1
2
2kx x -3k(x + x )+4k
y = kx -k, y = kx - k k +kMB
=
1
2
1
2
得
．
1
1
2
2
MA
(x -2)(x -2)
1 2
x
2
y = k(x-1)
+1)x
-4k
x+2k -2 = 0
+
y2
=1得(2k
2
2
2
2
代入
．
2


4k
2
2k
2
-2
+
4k
3
-4k -12k
3
+8k +4k
3
\x + x =
, x x =
,\2kx x -3k(x + x )+4k =
= 0．
1
2
2
+
1
2
2
1
2
1
2
2k +1
2
2k 1
2k 1
k +k = 0
，故
MA,MB的倾斜 角互补，\ÐOMA=ÐOMB．
从而
MA
MB
综上，ÐOMA=ÐOMB
．
48．【2018 高考全国 3 理 20】(12 分)
x2
y2
已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :
+
=1交于 A, B 两点，线段 AB 的中点为M (1, m)(m > 0)．
4
3
1
(1)证明：k < - ；
2
(2)设 F 为C 的右焦点， P 为C 上一点，且 FP+ FA+ FB = 0．证明：
成等差数列，并求该数
FA , FP , FB
列的公差．
【解析】试题分析：(1)设而不求，利用点差法进行证明；(2)解出m
，进而求出点 P 的坐标，得到
FP
，再
FA , FB
，得到直 l 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．
由两点间距离公式表示出
x1
2
y
2
1
3
x2
2
y
2
2
(
) (
)
A x , y , B x , y
+
=1,
+
=1．
试题解析：(1)设
，则
1
1
2
2
4
4
3
y1 - y
x1 - x2
2
x x
+
y y
+
2
= k
1
2
+
1
×k = 0
．
两式相减，并由
得
4
3
x1 + x2
y1 + y2
3
=1,
= m ，于是k = -
由题设知
．①
2
2
4m
3
1
由题设得0 < m <
，故
k < -
．
2
2
( )
F 1,0
(
)
( -
x 1, y
)+( -
)+( - )=( )
x 1, y 0,0
．
2
P x , y
x 1, y
(2)由题意得
，设
，则
3
3
3
3
1
1
2
x 3 x x
= -( + ) =
1, y3
y y
= -( + )= - <
2m 0
．
由(1)及题设得
3
1
2
1
2
uuur
3
æ
è
3 ö
2 ø
3
2
\m =
P 1, -
, FP =
又点 P 在 上，
C
，从而
ç
÷
．
4
uuur
FA
æ
ö
x
1
2
x
1
2
= ( - )
x 1
2
+
y12
= ( - )
x 1
2
+
3 1
-
= 2-
于是
同理
ç
÷
．
1
1
4
è
ø
uuur
uuur uuur
x2
2
1
FB = 2-
\
+
= - ( + ) =
FA FB 4
x x
3．
，
1 2
2
\2 FP = FA + FB
FA , FP , FB
成等差数列．
，即


uuur uuur
1
2
1
2
d
设该数列的公差为 ，则
2 d
=
FB FA
-
=
x x
-
=
(x + x ) -4x1x
②
1 2 2
2
1
2
3
将m = 代入①得k = -1，
4
7
4
1
\l
y = -x +
C
，代入 的方程，并整理得
7x
2
-14x+ = 0
．
的方程为
4
1
3 21
3 21
28
3 21
28
x + x = 2, x x =
d =
故
，代入②解得
．所以该数列的公差为
或-
．
1
2
1 2
28
28
49．【2018 高考天津理 19】(本小题满分 14 分)
x
2
2
x
2
2
5
设椭圆
+
=1(a>b>0)的左焦点为 F，上顶点为 B． 已知椭圆的离心率为
，点 A 的坐标为(b,0)，
a
b
3
且 FB × AB = 6 2 ．
(I)求椭圆的方程；
(II)设直线 l： y = kx(k >0)与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q．
AQ 5 2
若
=
sinÐAOQ(O 为原点)，求 k 的值．
PQ
4
x
2
y
2
【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合椭圆的性质可得a = 3,b = 2．则椭圆的方程为
+
=1．
9
4
y = kx，
(
)
(
)
=
1
(Ⅱ)设点 P 的坐标为 x , y ，点Q的坐标为 x , y ．由题意可得5y 9y ．由方程组{ x
可
2
y
2
1
1
2
2
2
+
=1，
9
4
y = kx，
6k
2k
k +1
得 y1 =
．由方程组{
可得 y2 =
．据此得到关于k 的方程，解方程可得k 的值
x+ y -2 = 0，
9k
2
+4
1
11
28
为 或
．
2
c
2
2
5
试题解析：(Ⅰ)设椭圆的焦距为2c，由已知有
= ，
a
9
又由a
2
= b
2
+c2 ，可得2a =3b．由已知可得， FB = a， AB = 2b ，
x
2
y
2
由 FB × AB = 6 2 ，可得ab =6，从而a = 3,b = 2，\椭圆的方程为
+
=1．
9
4
(
)
(
)
2
(Ⅱ)设点 P 的坐标为 x , y ，点Q的坐标为 x , y ．
1
1
2


由已知有 y > y > 0，故 PQ sinÐAOQ = y - y ．
1
2
1
2
y2
sinÐOAB
π
又Q AQ
=
，而∠OAB= ，故 AQ = 2y ．
2
4
ìy = kx ,
ï
6k
AQ 5 2
=
消去 ，可得 y1
=
x
由
=
sinÐAOQ
，可得5y 9y ．由方程组í
．
1
2
x2
y2
PQ
4
ï
+
=1
9k2 + 4
î 9
4
y = kx，
2k
k +1
易知直线 AB 的方程为 x+ y -2 = 0，由方程组{
消去 x，可得 y2
=
．
x+ y -2 = 0，
由5y =9y ，可得5 k 1 3 9k 4，两边平方，整理得
( + ) =
2
+
56k -50k +11= 0，
2
1
2
1
11
28
1
11
28
解得k = ，或k =
，\k 的值为 或
．
2
2
x
2
2
y
2
2
50．(2017 天津文)已知椭圆
+
=1(a > b > 0) 的左焦点为 F(-c,0)，右顶点为 A，点 E 的坐标为(0,c) ，
a
b
b
2
△EFA的面积为
．
2
(Ⅰ)求椭圆的离心率；
3
(Ⅱ)设点 Q 在线段 AE 上，| FQ|= c ，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P ，点 M ， N 在 x 轴上，
2
PM ∥QN ，且直线 PM 与直线QN 间的距离为c，四边形 PQNM 的面积为3c．
(i)求直线 FP的斜率；
(ii)求椭圆的方程．
1
b
2
【解析】(Ⅰ)设椭圆的离心率为 e．由已知，可得 (c+a)c =
．
2
2
又由b
2
= a
2
-c2 ，可得2c
2
+ac- a
2
= 0，即2e +e-1= 0．
2
1
又因为0 =
．
2
1
所以，椭圆的离心率为 ．
2
1
(Ⅱ)(ⅰ)依题意，设直线 FP 的方程为 x = my -c(m > 0)，则直线 FP 的斜率为
．
m
x
y
由(Ⅰ)知a = 2c，可得直线 AE 的方程为
+ =
x+2y -2c = 0
，与直线 FP 的方程联立，可解得
1，即
2c c
(2m-2)c 3c
(2m-2)c
m+ 2
3c
m+ 2
x =
, y =
，即点 Q 的坐标为(
,
)．
m+2 m+ 2


3c
(2m-2)c
m+ 2
3c
+(m+2)
3c
= ( )2 ，整理得3m
4
，有[
+c]
2
2
2
-4m = 0，所以m = ，即直线 FP
由已知|FQ|=
2
2
3
3
的斜率为 ．
4
x
2
y
2
(ii)由a 2c ，可得
=
b = 3c
，故椭圆方程可以表示为
+
=1．
4c
2
3c
2
ì3x-4y +3c = 0,
ï
由(i)得直线 FP 的方程为3x-4y+3c =0，与椭圆方程联立í x
消去 y ，整理得
2
y
2
+
=1,
ï
î4c
2
3c
2
13c
7x
2
+6cx-13c
2
=0，解得 x = -
(舍去)，或 x =c．
3c
7
3c
5c
因此可得点 P(c, ) ，进而可得
| FP |= (c +c)
2
+( )
2
=
，
2
2
2
5c 3c
所以| PQ| | FP| | FQ|
=
-
=
-
=
c．由已知，线段 PQ的长即为 PM 与QN
这两条平行直线间的距离，
2
2
故直线 PM 和QN 都垂直于直线 FP．
3c 3 9c
´ =
2 4
因为QN ^ FP，所以|QN | | FQ| tan QFN
=
×
Ð
=
，所以△FQN
的面积为
8
1
2
27c
2
75c
2
| FQ||QN |=
，同理△FPM 的面积等于
，由四边形 PQNM 的面积为3c ，得
32
32
75c
2
27c
2
x
2
y
2
-
= 3c，整理得c
2
= 2c，又由 > ，得 = ，所以椭圆的方程为
c 0 c 2
+
=1．
32
32
16 12
x
2
2
y
2
2
1
51．(2017 天津理)设椭圆
+
=1(a > b > 0) 的左焦点为 F ，右顶点为 A，离心率为 ．已知 A是抛物
a
b
2
1
y = 2px(p > 0)的焦点， F 到抛物线的准线l的距离为 ．
2
线
2
(Ⅰ)求椭圆的方程和抛物线的方程；
(Ⅱ)设l上两点 P ，Q关于 x轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B ( B 异于点 A)，直线 BQ与 x轴相交于点
6
D．若△APD的面积为
，求直线 AP 的方程．
c 1
2
p
1
1
【解析】(Ⅰ)设 F 的坐标为(-c,0)．依题意， = ， = a ，a-c = ，解得a =1，c = ， p = 2 ，
a 2
2
2
2
3
于是b
2
= a
2
-c = ．
2
4


4y
2
所以，椭圆的方程为
x
2
+
=1，抛物线的方程为 y = 4x．
2
3
2
(Ⅱ)设直线 AP 的方程为 x = my +1(m ¹ 0)，与直线l的方程 x = -1联立，可得点 P(-1,- )，故
m
2
4y
2
Q(-1, )．将 x = my +1与 x
2
+
=1联立，消去 x，
m
3
-6m
整理得(3m
2
+4)y
2
+6my = 0，解得 y = 0，或 y =
．
3m + 4
2
-3m +4 -6m
2
由点 B 异于点 A，可得点 B(
,
+4) ．
3m
2
+4 3m
2
-6m
- 2)(x+1)-(
-3m
2
+ 4
2
2
由Q(-1, )，可得直线 BQ的方程为(
+1)(y- ) =0 ，令 y = 0，解得
m
3m
2
+4 m
3m
2
+4
m
2-3m
2
x =
，
3m
2
+2
2-3m
2
2-3m
2
6m
2
故 D(
+2,0) ．所以| AD|=1- 3m
+2 = 3m
．
3m
2
2
2
+2
6
1
6m
2
2
6
2
又因为△APD 的面积为
，故 ´
´
=
，
2
2 3m
2
+2 | m|
6
6
整理得3m
2
-2 6 | m| +2 = 0，解得| m|=
，所以m = ±
．
3
3
所以，直线 AP 的方程为3x+ 6y -3= 0或3x- 6y -3= 0．
52．(2017 江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E ：x
2
2
+
y
2
2
=1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 ，
a
b
1
F2 ，离心率为 ，两准线之间的距离为 8．点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点 F 作直线 PF 的
1
1
2
垂线l ，过点 F 作直线 PF 的垂线l ．
1
2
2
2
(1)求椭圆 E 的标准方程；
(2)若直线l ，l 的交点Q在椭圆 E 上，求点 P 的坐标．
1
2


c
【解析】(1)设椭圆的半焦距为 ．
1
c 1 2a
2
=
=8，
因为椭圆 E 的离心率为 ，两准线之间的距离为 8，所以
，
2
a 2
c
解得a = 2,c =1，于是b = a
-c = 3，
2
2
x
2
y
2
因此椭圆 E 的标准方程是
+
=1．
4
3
F (-1, 0) F (1, 0)
．
(2)由(1)知，
，
1
2
P(x , y )
，因为点 为第一象限的点，故
P
x > 0, y > 0
设
当
．
0
0
0
0
x =1
l
2
l
1
F
1
时， 与 相交于 ，与题设不符．
0
y0
x0 +1
y0
x0 -1
x ¹1
0
PF
PF
当
时，直线
的斜率为
，直线
的斜率为
．
1
2
-x0 +1
x -1
0
-
l⊥PF l ⊥PF
l
l
因为
，
，所以直线 的斜率为
，直线 的斜率为
，
1
1
2
2
1
y0
2
y0
x +1
= -
0
(x+1)， ①
l
y
从而直线 的方程：
1
y0
x -1
l
y
= -
0
(x-1)
． ②
直线 的方程：
2
y0
1- x0
y0
2
1- x0
y0
2
x = -x0, y =
，所以Q(-x0,
)
由①②，解得
．
1- x0
y0
2
Q
因为点 在椭圆上，由对称性，得
= ±y
x
2
0
- y0
2
=1 x
2
0
+ y0
=1．
2
，即
或
0


ì -
2
0
2
0
=1
ì
2
0
+
2
0
=1
x
y
x
y
2
0
4
y
2
0
3
ï
ï
x
4 7
7
3 7
7
又 P 在椭圆 E 上，故
+
=
1，由 x
í
2
0
2
0
=1，解得 x0
=
, y0
=
； x
í
2
0
2
0
，无解．
y
y
+
+
=1
ï
ï
î 4
3
î 4
3
4 7 3 7
因此点 P 的坐标为(
,
)．
7
7
53．(2016 年全国 II 卷文)已知 A是椭圆 E ：x
2
+
y
2
=1的左顶点，斜率为k(k＞0)的直线交 E 与 A，M
4
3
两点，点 N 在 E 上， MA^ NA．
(Ⅰ)当 AM = AN 时，求 AMN 的面积；
(Ⅱ)当 AM = AN 时，证明： 3 < k < 2．
【解析】(Ⅰ)设 M(x , y )，则由题意知 y > 0．
D
1
1
1
由已知及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为p
，
4
又 A(-2,0)，因此直线 AM 的方程为 y = x+2 ．
x
2
y
2
将 x = y -2代入
+
=1得7y
2
-12y = 0 ，
4
3
12
7
12
解得 y = 0或 y
=
，所以
y =
1
．
7
1 12 12 144
因此DAMN 的面积 SDAMN
= ´ ´ ´
=
．
2
2 7 7
49
x
2
y
2
(Ⅱ)将直线 AM 的方程 y = k(x+2)(k > 0)代入
+
=1得
4
3
(3+4k
2
)x
2
+16k
16k
2
x+16k
2
-12 = 0 ．
2(3-4k )
2
-12
3+4k
2
由 x1 ×(-2) =
得 x1 =
，
2
3+4k
2
12 1+k
3+4k2
2
故| AM |= 1+k
2
| x1 +2|=
．
1
由题设，直线 AN 的方程为 y = - (x+2)，
k
12k 1+k
2
故同理可得| AN |=
．
4+3k
2


2
k
由2| AM |=| AN |得
=
，即4k
3
-6k +3k -8 = 0．
2
3+4k
2
4+3k
2
f (t) = 4t
3
-6t
2
+3t -8 ，则k 是 f (t)的零点，
设
f '(t) =12t2 -12t +3= 3(2t -1)2 ³ 0，
所以 f (t)在(0,+¥)单调递增，又 f ( 3) =15 3 -26 < 0, f (2) = 6 > 0，
因此 f (t)在(0,+¥)有唯一的零点，且零点k 在( 3, 2) 内，所以 3 < k < 2．
x
2
2
y
2
1
1
3e
54．(2016 年天津文)设椭圆
+
=1(a > 3
F A
)的右焦点为 ，右顶点为 ，已知
+
=
，
，
a
3
|OF | |OA| | FA |
其中O为原点，e为椭圆的离心率．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设过点 A的直线l与椭圆交于点 B( B不在 x轴上)，垂直于l的直线与l交于点 M ，与 轴交于点
y
H
若 BF ^ HF，且ÐMOA= ÐMAO，求直线的l斜率．
1
1
3c
1 1
，即 + =
c a a(a -c)
3c
【解析】(Ⅰ)设 F(c,0) ，由
+
=
，
|OF | |OA| | FA|
可得a
2
-c
2
= 3c2 ，又a
2
-c = b = 3，所以c
2
2
2
=1，因此a = 4，
2
x
2
y
2
所以椭圆的方程为
+
=1．
4
3
(Ⅱ)设直线的斜率为k(k ¹ 0)，则直线l的方程为 y = k(x-2)，
ì
2
2
x
y
ï +
=1,
设 B(x , y )，由方程组í 4
消去 y ，
3
B
B
ï
îy = k(x-2),
8k
4k
2
2
-6
+3
整理得(4k
2
+3)x
8k
2
-16k
-6
2
x+16k
2
-12 = 0 ，解得 x = 2或 x =
，
2
2
-12k
由题意得 xB =
，从而 yB =
，
4k
+3
4k +3
2
uuur
由(Ⅰ)知 F(1,0)，设 H(0, y )，有 FH =(-1, y )， BF = (
9-4k
2
12k
4k 3 4k
+3) ，
+
,
H
H
2
2


4k
4k
2
2
-9 12ky
由 BF ^ HF ，得 BF×HF =0，所以
+
= 0，
H
+3 4k
2
+3
9-4k
12k
2
1
9-4k
12k
2
解得 yH =
，因此直线 MH 的方程为 y = - x +
，
k
ì
9-4k
2
1
ïy = - x +
,
20k +9
2
设M(x , y ) ，由方程组í
12k 消去 y ，得 xM =
，
k
M
M
2
+
12(k 1)
ï
îy = k(x-2),
在DMAO中，ÐMOA=ÐMAO Û | MA|=| MO|，
20k +9
2
即(xM -2)
解得k = -
2
+ y
2
M
= x
2
M
+ yM2 ，化简得 xM =1，即
=1，
12(k 1)
2
+
6
6
6
6
或k =
，所以直线l的斜率为k = -
或k =
．
4
4
4
4
x
2
2
y
2
2
5
55．(2015 天津文)已知椭圆
+
=1(a > b> 0) 的上顶点为 B ，左焦点为 F ，离心率为
．
a
b
5
(Ⅰ)求直线 BF 的斜率；
(Ⅱ)设直线 BF 与椭圆交于点 P ( P 异于点 B )，故点 B 且垂直于 BP 的直线与椭圆交于点Q(Q异于点
B )直线 PQ与 y 轴交于点 M ，|PM|=l|MQ|．
(i)求l 的值；
7 5
(ii)若|PM|sinÐBQP=
，求椭圆的方程．
9
c
5
(- )
=
= +c2 ，又因为 B(0,b) ，故直线 BF 的斜率
【解析】(Ⅰ)设 F c,0 ，由已知离心率
及a
2
b
2
a
5
b-0
-(-c)
b
k =
= = 2 ．
0
c
(
) (
) (
)，(i)由(Ⅰ)可得椭圆方程为
(Ⅱ)设点 P x , y ,Q x , y ,M x , y
P
P
Q
Q
M
M
x
2
y
2
+
=1，直线 BF 的方程为 y = 2x+2c，将直线方程与椭圆方程联立，
5c
5c
2
4c
2
消去 y，得3x
2
+5cx = 0，解得 xP = -
．因为 BQ ^ BP，所以直线 BQ 方程为
3


1
y = - x+2c ，与椭圆方程联立，消去 y ，整得21x
2
-40cx = 0，
2
xM - xP
xQ - xM
xP
xQ
40c
PM
MQ
7
8
解得 xQ =
．又因为l =
，及
x = 0，可得l =
M
=
=
．
21
PM
MQ
7
PM
7
7
15
(ii)由(i)有
= ，所以
=
=
，即 PQ =
PM ，又因为
8
PM + MQ 7+8 15
7
7 5
9
15
5 5
|PM|sinÐBQP=
，所以 BP =|PQ|sinÐBQP= |PM|sinÐBQP =
．
7
3
2
2
4
æ
è
5c ö æ
4c ö
3 ø
5 5
3
5 5
3
5 5
3
又因为 y = 2x +2c = - c ，所以 BP = ç0+ ÷ +ç2c+ ÷ =
c ，因此
c =
，c =1，
P
P
3
3 ø è
x
2
y
2
所以椭圆方程为
+
=1．
5
4
y
b
2
2
x
a
2
2
56．(2014 新课标 2 文理)设 F ，F 分别是椭圆C：
+
=1(a >b >0)的左，右焦点，M 是C上一点
1
2
且MF 与 x轴垂直，直线 MF 与C的另一个交点为 N ．
2
1
3
4
(Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 ，求C的离心率；
(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 MN =5 F1N ，求 a,b．
b
2
【解析】(Ⅰ)根据c = a
2
-b2 及题设知 M(c, ), 2b =3ac，
2
a
c 1 c
= 3ac，解得 = , = -2(舍去)，故 C 的离心率为 ．
a 2 a
1
将b
2
= a
2
-c2 代入2b
2
2
(Ⅱ)由题意，原点O为 FF 的中点， MF ∥ y 轴，所以直线 MF 与 y 轴的交点 D(0, 2) 是线段 MF 的中
1
2
2
1
1
b
2
点，故
= 4 ，即b
2
= 4a
①
a
由 MN =5 FN 得 DF = 2 FN ．
1
1
1
ì
3
ì2(-c- x1) = c
x = - c,
ï
9c2
1
设 N(x , y )，由题意知 y < 0，则í
，即í
1
+
=1．②
2 代入 C 的方程，得
y1 = -1
1
1
1
-
=
4a2
b2
2y 2
î
1
ï
î
-b2 代入②得 9(a
2
-4a) 1
+
=1，解得a = 7,b = 4a = 28 ，故a = 7,b = 2 7 ．
将①及c = a
2
2
4a
2
4a


2
y
2
x
57．(2014 安徽文理)设 F ， F 分别是椭圆 E ：
+
=1(a > b > 0) 的左、右焦点，过点 F1 的直线交
1
2
a2
b2
椭圆 E 于 A,B两点，| AF |=3| BF |
1
1
(Ⅰ)若| AB|= 4,DABF 的周长为 16，求| AF |；
2
2
3
(Ⅱ)若cosÐAF B = ，求椭圆 E 的离心率．
2
5
【解析】：(Ⅰ)由| AF |=3| FB|, | AB|= 4 得| AF |=3, | FB|=1．
1
1
1
1
因为DABF 的周长为 16，所以由椭圆定义可得4a =16, | AF | +| AF |= 2a =8
2
1
2
故| AF |= 2a-| AF |=8-3 =5 ．
2
1
(Ⅱ)设| FB|= k ，则k >0且| AF |=3k, | AB|= 4k ，由椭圆定义可得
1
1
| AF |= 2a -3k, | BF |= 2a -k
2
2
在DABF2 中，由余弦定理可得
| AB|
2
=| AF2 |
2
+| BF2 |
2
-2| AF |×| BF |×cosÐAF B
2
2
2
6
即(4k)
2
= (2a-3k)
2
+(2a-k) - (2a-3k)×(2a-k)
2
5
化简可得(a+k)×(a-3k) = 0，而a+k >0，故a =3k
于是有| AF |=3k =| AF |, | BF |=5k ，
2
1
2
因此| BF2 |
2
=| AF2 |
2
+| AB|2 ，可得 AF1 ^ AF2
2
c
2
故DAFF 为等腰直角三角形．从而c =
a ，所以椭圆的离心率e = =
．
1
2
2
a
2
x
2
2
y
2
2
3
+
=1(a >b >0)的左焦点为 F， 离心率为
58．(2013 天津文理)设椭圆
， 过点 F 且与 x 轴垂直的直
a
b
3
4 3
3
线被椭圆截得的线段长为
．
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 设 A，B 分别为椭圆的左、右顶点， 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C，D 两点．若
AC·DB + AD·CB =8 ， 求 k 的值．


c
3
【解析】(Ⅰ)设 F(－c，0)，由 =
，知a = 3c．过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x＝－c，代入椭圆方
a
3
(-c)
2
y
2
2
程有
+
=1，
a
2
b
6b
2 6b 4 3
解得 y = ±
，于是
=
，解得b = 2 ，
3
3
3
又 A2－c2＝B2，从而 A＝ 3 ，c＝1，
x
2
y
2
所以椭圆的方程为
+
=1．
3
2
(Ⅱ)设点 C(x ，y )，D(x ，y )，由 F(－1，0)得直线 CD 的方程为 y＝k(x＋1)，
1
1
2
2
ìy = k(x+1),
ï
由方程组íx
2
2
消去 y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0．
y
+
=1
ï
î 3
2
6k
2
3k -6
2
求解可得 x ＋x ＝-
，x x ＝
．
1
2
1 2
2+3k
2
2+3k
2
因为 A(- 3 ，0)，B( 3 ，0)，
所以 AC · DB＋ AD·CB＝(x ＋ 3 ，y )·( 3 －x ，－y )＋(x ＋ 3 ，y )·( 3 －x ，－y )
1
1
2
2
2
2
1
1
2k
2
+12
＝6－2x x －2y y ＝6－2x x －2k2(x ＋1)(x ＋1)＝6－(2＋2k2)x x －2k2(x ＋x )－2k2＝6+
．
1 2
1 2
1 2
1
2
1 2
1
2
2+3k
2
2k
2
+12
由已知得6+
＝8，解得 k＝± 2 ．
2
2+3k
x
2
2
y
2
2
2
59．(2012 北京文理)已知椭圆 C ：
+
=1(a > b > 0) 的一个顶点为 A(2,0)，离心率为
．直线
a
b
2
y = k(x-1）与椭圆C交于不同的两点 M，N．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
10
(Ⅱ)当△AMN 得面积为
时，求k 的值．
3
ì a = 2
ï
ï c
2
x
2
y
2
=
解得b = 2
+
=1．
【解析】(Ⅰ)由题意得í
．所以椭圆 C 的方程为
a
2
+c
4
2
ï
ïa
2
= b
2
2
î


ìy = k(x-1)
ï
得(1+2k
2
)x
2
-4k
2
x+2k -4 = 0 ．
2
(Ⅱ)由í
x2
y2
+
=1
ï
î 4
2
设点 M，N 的坐标分别为(x , y ) ，(x , y )，则 y = k(x -1)， y = k(x -1) ，
1
1
2
2
1
1
2
2
4k
2
2k
2
-4
x + x =
， x x =
．
1
2
1+2k
2
1
2
1+2k
2
所以|MN|=
(x - x )
2
+(y - y )2 = (1+k
2
)[(x + x )
2
-4x x ]
2
1
2
1
1
2
1 2
2 (1+ k
2
)(4+6k )
2
=
．
1+2k
2
|k |
由因为点 A(2，0)到直线 y = k(x-1）的距离d =
，
1+2k
2
1
|k | 4+6k
2
|k | 4+6k
2
10
3
所以△AMN 的面积为 S = | MN |×d =
． 由
=
，解得k = ±1．
2
1+2k
2
1+2k
2
x
2
2
y
2
2
3
60．(2011 陕西理)设椭圆 C：
+
1 a b 0
= ( > > )过点(0，4)，离心率为
a
b
5
(Ⅰ)求 C 的方程；
4
(Ⅱ)求过点(3，0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标．
5
-b
2
9
16
c 3
=1，∴b=4，又e = =
a 5
a
2
【解析】(Ⅰ)将(0，4)代入 C 的方程得
得
=
，
b
2
a
2
25
16
9
x
2
y
2
即1-
=
，∴A=5， ∴C 的方程为
+
=1．
a
2
25
25 16
4
4
( )
x 3 ，
= ( - )
( Ⅱ)过点 3,0 且斜率为 的直线方程为 y
5
5
( - )
2
4
x
2
x 3
(
) (
)
= ( - )
+
=1，
设直线与 C 的交点为 A x , y ，B x , y ，将直线方程 y
x 3 代入 C 的方程，得
1
1
2
2
5
25
25
3- 41
3+ 41 \
，
x1 + x
3
x
2
-3x-8 = 0，解得 x1 =
， x2 =
AB 的中点坐标 x =
2
= ，
即
2
2
2
2
y1 + y
2
5
6
æ 3 6 ö
è 2 5 ø
y
=
2
= ( + - )= - ，即中点为 ,-
x x 6
．
ç
÷
1 2
2
5