2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题27 双曲线（含解析）

这是一份2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题27 双曲线（含解析），共33页。试卷主要包含了已知双曲线C，已知双曲线，【2017 天津文】已知双曲线，【2016 天津文】已知双曲线，已知双曲线 C ，故答案为等内容，欢迎下载使用。

专题 27 双 曲 线
十年大数据*全景展示
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2011
2012
理 7
双曲线
直线与双曲线的位置关系，双曲线的几何性质
抛物线与双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系
双曲线的离心率和渐近线
理 8 文 10 双曲线
2013 卷 1
文理 4
理 4
双曲线
双曲线
双曲线
双曲线
双曲线
双曲线
双曲线
双曲线
双曲线
双曲线
双曲线的标准方程及其几何性质
卷1
2014
文 4
双曲线的离心率
卷 2
卷 1
理 5
双曲线的标准方程及其几何性质
文 16
理 11
文 15
理 11
理 15
文 5
双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系
双曲线的标准方程及其几何性质
2015
卷 2
双曲线的标准方程的求法，双曲线的渐近线
双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算
双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法
双曲线标准方程及其几何性质
2016 卷 2
卷 1
理 9
圆、双曲线 圆的几何性质，双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算
2017 卷 2
文 5
双曲线
双曲线
双曲线
双曲线
双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算
双曲线与椭圆的几何性质，待定系数法求双曲线的方程
双曲线的渐近线
理 5
卷 3
卷 1
文 14
理 11
双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系
双曲线的几何性质
卷 2
理 5 文 6 双曲线
2018
理 11
文 10
理 16
文 10
双曲线
双曲线
双曲线
双曲线
双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法
双曲线的离心率、渐近线，点到直线距离公式
双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法
双曲线的离心率、渐近线
卷 3
卷 1
2019 卷 2 理11文12 圆、双曲线 直线与圆的位置关系，双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法
理 10
文 10
理 15
文 11
双曲线
双曲线
双曲线
双曲线
双曲线的定义、标准方程及其几何性质
双曲线的定义、标准方程及其几何性质
双曲线的定义、标准方程及其几何性质，双曲线离心率的求法
双曲线的定义、标准方程及其几何性质
双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系
双曲线的定义、标准方程及其几何性质
双曲线的渐近线、离心率
卷 3
卷 1
2020 卷 2
卷 3
理 8 文 9 双曲线
理 11
文 14
双曲线
双曲线


大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021 年预测
考点92双曲线的定义及标准方程 23 次考 2 次
考点 93 双曲线的几何性质 23 次考 21 次
考点94直线与双曲线的位置关系 23 次考 5 次
命题角度：(1)双曲线的定义及应用；(2)双曲线的标
准方程；( 3)双曲线的几何性质．
核心素养：直观想象、数学运算
十年试题分类*探求规律
考点 92 双曲线的定义及标准方程
x
2
y
2
2
5
1．(2017 新课标Ⅲ理)已知双曲线C：
-
=1(a > 0,b > 0) 的一条渐近线方程为 y =
x ，且与椭圆
a
2
b
2
x
2
y
2
+
=1有公共焦点，则C的方程为
12 3
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
A．
-
=1
B．
-
=1
C．
-
=1
D．
-
=1
8 10
4
5
5
4
4
3
b
5
=
，c =3，又a
2
+b
2
= c
2
，解得a
2
= 4 b
= 5，
2
【答案】B【解析】由题意可得：
，
a
2
x2
y
2
则C的方程为
-
=1，故选 B．
4
5
x
2
2
y
2
2
2．(2017 天津理)已知双曲线
-
=1(a > 0,b> 0) 的左焦点为 F ，离心率为 2 ．若经过 F 和 P(0, 4)两
a
b
点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
A．
-
=1
B．
-
=1
C．
-
=1 D．
-
=1
4
4
8
8
4
8
8
4
b
-4 4
-c c
4 b
【答案】B【解析】设 F(-c,0)，双曲线的渐近线方程为 y
= ±
x，由
k =
PF
=
，由题意有
=
，
a
c a
c
= 2 ，c
2
= a
2
+b
2
，得b = 2 2 ，a = 2 2，故选 B．
又
a
x
2
2
y
2
2
-
=
1(a 0,b 0) 的右 焦点为 ，点 在双曲线的渐近线上，△OAF
>
>
F
A
3．【2017 天津文】已知双曲线
a
b
是边长为 2 的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为(
)


x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
-
=1
B．
-
=1
C．
- y
2
=1
D． x
2
-
=1
A．
4 12
12 4
3
3
【答案】D
ì
ïc = 2
ï
y
2
íc
2
= a
2
+b
2
，解得a
2
=1,b
2
= 3，故双曲线方程为
2
-
=1，故选 D．
【解析】由题意可得
x
ï
3
b
ï = tan 60° =
3
îa
x
2
y
2
2
4．(2016 天津理)已知双曲线
-
=1(b > 0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线
4 b
的两条渐近线相交于 A、 B 、C、 D四点，四边形的 ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(
)
x
2
3y
2
x
2
4y
2
x
2
y
2
2
x
2
y
2
A．
-
=1
B．
-
=1
C．
-
=1
D．
-
=1
4
4
4
3
4
b
4 12
ì
4
x =
y =
ì +
2
2
= 4
x
y
ï
ï
ï
4+ b
2b
2
【答案】D【解析】不妨设 A在第一象限， A(x, y)，所以í
，解得 í
，
b
y = x
ï
ï
î
2
ï
î
4+ b
2
4
2b
32b
4+ b
故四边形 ABCD的面积为4xy = 4´
´
=
= 2b ，
2
4+ b
2
4+ b
2
x
2
y
2
解得b
2
=12．故所求的双曲线方程为
-
=1，故选 D．
4 12
x
2
2
y
2
-
=1(a > 0,b > 0) 的焦距为
2 5
，且双曲线的一条渐近线与直线
5．【2016 天津文】已知双曲线
a
b
2
2x + y = 0 垂直，则双曲线的方程为(
)
x
2
y
2
3x
2
3y
2
3x
2
3y
2
- y
2
=1
B． x
2
-
=1
C．
-
=1
D．
-
=1
A．
4
4
20
5
5
20
【答案】A
b 1
【解析】由题意得c = 5, = Þ a = 2,b =1Þ
a 2
x2 y 2
-
=1 ，故选 A．
4
1
6．(2015 安徽理)下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y = ±2x 的是
y
2
x
2
y
2
x
2
A．
x
2
-
=1 B． - y
2
=1 C．
- x
2
=1 D． y
2
-
=1
4
4
4
4


y
2
A,B
x
的焦点在 轴，故排除
A,B C
， 项的渐近线方程为
- x = 0，即
2
【答案】C【解析】由题意，选项
4
y = ±2x
，故选 C．
x
2
2
y
2
2
7．(2014 天津理)已知双曲线
-
的一条渐近线平行于直线 ： y = 2x+10，双曲
=1(a>0,b>0) l
a
b
线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为
x
2
y
2
x
2
y
2
3x
2
3y
2
3x
2
-3y2 =1
A．
-
=1
B．
-
=1
C．
-
=1
D．
5
20
20
5
25 100
100 25
ì
ï
ïb = 2a
ï
ï
x
2
y
2
【答案】A【解析】 依题意得íc = 5
，所以a
2
= 5，b
2
= 20 ，双曲线的方程为
-
=1．
ï
ïî
5
20
ï
ï = +
2
2
2
c
a
b
x
2
y
2
2
8．(2012 湖南文理)已知双曲线 C ：
-
=1 的焦距为 10，点 P(2，1)在 C 的渐近线上，则 C 的方程为
a
2
b
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
A．
-
=1
B．
-
=1
C．
-
=1
D．
-
=1
20
5
5
20
80 20
20 80
x
2
y
2
2
c
2c =10,c = 5
【答案】A【解析】设双曲线 C ：
-
=1 的半焦距为 ，则
．
a
2
b
b
b
Q
y = ± x
\1= g2 ，即a = 2b
又 C 的渐近线为
，点 P(2，1)在 C 的渐近线上，
．
a
a
x
2
y
2
又c
2
= a
2
+b
2
\a = 2 5,b = 5 \
， ， C 的方程为
-
=1．
20 5
x
2
2
y
2
2
-
=1(a > 0,b > 0) 的两条渐近线均和圆C： x
2
+ y
2
-
9．(2011 山东文理)已知双曲线
a
b
6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
A．
-
=1
B．
-
=1
C．
-
=1
D．
-
=1
5
4
4
5
3
6
6
3
3b
【答案】A【解析】圆C :(x -3)
2
+ y
2
= 4 ，c 3, 而
=
= 2
，则b 2,a = 5 ，故选 A．
=
2
c
x
2
2
y
2
2
10．(2016 北京文)已知双曲线
-
=1 (a > 0,b > 0)的一条渐近线为2x+ y = 0 ，一个焦点为( 5, 0) ，
a
b


则a=_______；b=_____________．
【答案】a =1,b = 2．
ì
c = 5
- b = -2，结合c
ï
【解析】依题意有í
2
= a +b2 ，解得a =1,b = 2．
2
ï
î a
x
2
2
y
2
2
11．(2016 北京理)双曲线
-
=1(a > 0,b > 0) 的渐近线为正方形OABC的边OA,OC 所在的直线，点
a
b
B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为 2，则a=______．
2【解析】不妨令 B 为双曲线的右焦点， A 在第一象限，则双曲线图象如图，
π
OA = ∴c = OB = 2 2 ，ÐAOB = ，
2
∵OABC 为正方形，
4
b
b
y = x，∴ = tanÐAOB =1，又∵a2 +b2 = c2 =8，∴
∵直线OA是渐近线，方程为
．
a = 2
a
a
1
12．(2015 新课标 1 文)已知双曲线过点(4, 3)
，且渐近线方程为
y = ± x
，则该双曲线的标准方程为
．
2
x
2
1
- y =1 【 解 析 】 ∵ 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y = ± x ， 故 可 设 双 曲 线 的 方 程 为
2
【 答 案 】
4
2
x
2
4
2
x
2
- y
2
= l(l > 0)，又双曲线过点(4, 3) ，∴ -( 3)
2
= l ，∴l =1，故双曲线的方程为 - y =1．
2
4
4
4
x
2
2
13．(2015 北京理)已知双曲线
- y
2
=1(a > 0)的一条渐近线为
3x
+ = ，则 =
y
0
a
．
a
3
x2
1
3
【解析】因为双曲线
- y
2
=1(a > 0)的一条渐近线为 y = - 3x，所以 = 3，故a =
．
3
a
2
a
3
x
2
2
y
2
2
x
2
y
2
14．(2011 山东文理)已知双曲线
-
=1(a > 0,b > 0) 和椭圆
+
=1有相同的焦点，且双曲线的离
a
b
16 9


心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为
．
x
2
y
2
【答案】
-
=1【解析】由题意可知双曲线的焦点(- 7,0)，( 7,0)，即c = 7 ，又因双曲线的离
4
3
c 2 7
x
2
y
2
=
，∴a = 2，故b
2
= 3，∴双曲线的方程为
-
=1．
心率为
a
4
4
3
考点 93 双曲线的几何性质
y
2
F ,F
是双曲线C : x2
2
-
=
O
C
|OP|= 2，
15．(2020·新课标Ⅰ文)设
1的两个焦点， 为坐标原点，点 P 在 上且
1
3
则△PF1F
的面积为(
)
2
7
2
5
A．
B．3
C．
D．2
2
【答案】B
【解析】由已知，不妨设
F (-2,0),F (2, 0)
，
1
2
1
则a 1,c 2 ，∵
=
=
|OP |=1= | FF |
，
2
1
2
FF
∴点 P 在以
为直径的圆上，
2
1
VFF P
即
是以 P 为直角顶点的直角三角形，
1
2
故| PF1 |
2
+| PF2 |
2
=| FF |
2
，
1
2
即|PF1 |
2
+|PF2 |
2
=16，又 |PF |-|PF | = 2a = 2
，
1
2
=
-
2
= |PF1 |
2
+|PF2 |
2
-2 | PF || PF | 16 2
= - | PF || PF |
∴4 | PF | | PF |
，
2
1
2
1
1
2
1
| PF || PF |= 6
S
△
=
| PF || PF |= 3
，故选 B．
1 2
解得
，∴
1
2
F F P
1
2
2
x
2
2
y
2
2
16．【2020 年高考全国Ⅲ卷理数 11】已知双曲线C :
-
= ( > > )的左、右焦点 F , F ，离心
1 a 0,b 0
1 2
a
b
率为 5 ． P 是C上的一点，且 FP ^ F P．若DPFF 的面积为4，则a =
(
)
1
2
1
2
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】A
【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案．


c
【解析】解法一：Q = 5，\c = 5a ，根据双曲线的定义可得
PF - PF = 2a
，
1
2
a
1
S
= | PF |× PF = 4，即| PF |× PF = 8，
△PF1F2
1
2
1
2
2
QFP ^ F P ，\| PF1 |
2
+
PF2 2 =(2c)2 ，
\(PF - PF ) + 2 PF × PF = 4c
2
2
，即a 5a 4 0，
2
-
2
+ =
1
2
1
2
1
2
解得a 1，故选 ．
=
A
b
2
b
2
解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为SPF1F2
=
．∴
=4，则b = 2，
tanq
tan 45°
2
c
又∵e = = 5 ，∴a =1．
a
c
解法三：设 PF = m,PF = n，则
= mn = 4，m-n = 2a，m
2
+ n
2
= 4c
2
,e = = 5，求的a =1．
S
1
2
PF1F2
a
( ) (- ) ( )
=
17．【2020 年高考浙江卷 8】已知点O 0, 0 , A 2, 0 , B 2, 0 ．设点 P 满足 PA – PB 2，且 P 为
函数
y = 3 4- x2 图像上的点，则 OP =
(
)
22
4 10
5
A．
B．
C． 7
D． 10
2
【答案】D
【解析】由条件可知点 P 在以 A,B为焦点的双曲线的右支上，并且c = 2,a =1，∴b = 3，
2
ì
2
y
=1(x > 0)
ïx
2
-
y
2
方程为
x
2
-
=1(x > 0) 且点 P 为函数 y = 3 4- x2 上的点，联立方程 í
3
，解得：
3
ï
îy = 3 4- x
2
13
4
27
4
x
2
=
， y
2
=
，\OP
=
x
2
+
y
2
=
10
，故选 D．
x
2
2
y
2
2
-
=
1(a 0,b 0) 的一条渐近线的倾斜角为 130°，则 C 的离心
>
>
18．【2019·全国Ⅰ文】双曲线 C：
a
b
率为(
)
A．2sin40°
B．2cos40°
1
1
C．
D．
sin50°
cos50°
【答案】D
b
b
- = tan130°,\ = tan 50°
【解析】由已知可得
，
a
a


æ b ö2
50°
50°
50°+cos 50°
c
sin
2
sin
2
2
1
\e = = 1+
= 1+ tan
2
50° = 1+
=
=
，故选 D．
ç ÷
è a ø
a
cos
2
cos 50°
2
cos 50°
x
2
2
y
2
-
=
1(a 0,b 0) 的右焦点， 为坐标原点，以OF
>
>
O
19．【2019 年高考全国Ⅱ理】设 F 为双曲线 C：
a
b
2
x
+ y
2
= a2 交于 P，Q 两点．若 PQ OF ，则 C 的离心率为
=
2
为直径的圆与圆
A． 2
B． 3
D． 5
C．2
【答案】A
PQ x
PQ ^ x
与 轴交于点 ，由对称性可知 轴，
【解析】设
A
c
Q PQ =|OF |=c \| PA|= ,\PA
又
，
为以OF 为直径的圆的半径，
2
c
æ c c ö
è 2 2 ø
∴|OA|=
，
\
Pç , ÷
，
2
c
2
c
2
c
2
c
2
又 P 点在圆
x
2
+ y
2
= a2 上，\ +
= a2 ，即
= a
2
,\e
2
=
= 2 ．
4
4
2
a
2
\e = 2
，故选 A．
x
2
y
2
-
20．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线 C：
=1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为
4
2
PO = PF
坐标原点，若
，则△PFO 的面积为


3 2
4
3 2
2
A．
B．
C．2 2
D．3 2
【答案】A
6
【解析】由a = 2,b = 2 ,c = a
2
+b
2
= 6 ,
Q
=
\ =
PO PF , xP
，
2
b
b
2
6
2
3
y = x
y = ×x =
´
=
又 P 在 C 的一条渐近线上，不妨设为在
上，则
，
a
P
a
P
2
2
1
1
2
3 3 2
\S△PFO = OF × y = ´ 6 ´
=
，故选 A．
P
2
2
4
【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．
x
2
y
2
21．【2019·全国Ⅲ文】已知 F 是双曲线 C：
-
=1的一个焦点，点 P 在 C 上，O 为坐标原
4
5
OP = OF ，则△OPF
点，若
的面积为
3
5
A．
C．
B．
D．
2
7
2
9
2
2
【答案】B
x0
2
y
0
2
【解析】设点 (
)，则
0
P x , y
-
=1①．
0
4
5
OP = OF = 4+5 = 3，\x0
2
+ y0
2
= 9②．
又
25
9
5
1
1
5 5
由①②得
y
0
2
=
，即 y = ，\S
= OF × y = ´3´ = ，故选 B．
0
△OPF
0
3
2
2
3 2
x
2
2
- y
2
=1(a>0)的离心率是 5 ，则 a=(
22．【2019·北京文】已知双曲线
A． 6
)
a
B．4
1
C．2
D．
2
【答案】D


c
2
+
1
2
a 1
e = = 5
=
5 ，解得a =
【解析】∵双曲线的离心率
，c
=
a 1，∴
2
+
，故选 D．
a
a
23．【2019·浙江卷 】渐近线方程为 x±y=0 的双曲线的离心率是(
)
2
A．
B．1
D．2
2
C． 2
【答案】C
x± y = 0
a =b
【解析】∵双曲线的渐近线方程为
，∴
，则 c
=
a +b = 2a ，∴双曲线的离心率
2
2
c
e = = 2
．故选 C．
a
x
2
2
y
2
2
24．(2018 全国Ⅱ文理)双曲线
-
=1(a > 0,b > 0)的离心率为 3，则其渐近线方程为(
)
a
b
2
3
A． y = ± 2x
【答案】A
B． y = ± 3x
C．
y = ±
x
D． y = ±
x
2
2
c
b
a
2
2
c
2
-a
2
b
b
e = = 3
=
= e
2
-1= 3-1= 2
= 2
y = ± x
，∵渐近线方程为 ，∴
【解析】∵
，∴
，∴
a
a
2
a
a
渐近线方程为 y
= ± 2x，故选 A．
x
2
2
y
2
2
= > > (4, 0) C
1(a 0,b 0) 的离心率为 2 ，则点 到 的渐近线
25．【2018·全国Ⅲ文】已知双曲线C :
-
a
b
的距离为
3 2
2
A． 2
B．2
C．
D．2 2
【答案】D
c
b
b
Qe = = 1+( )
2
= 2 ，
\ =
x± y = 0，∴点(4,0)到渐近
1，∴双曲线C的渐近线方程为
【解析】
a
a
a
4
线的距离d =
= 2 2
，故选 D．
1+1


x
2
26．【2018 高考浙江 2】双曲线
- y
2
=1的焦点坐标是
(
)
3
A．(-
) ( 2 , 0) B．(-2 , 0), (2 ,0) C．(0 , - 2), (0 , 2) D．(0 , -2), (0 , 2)
2 , 0 ,
【答案】B
【解析】试题分析：根据双曲线方程确定焦点位置，再根据c2 = a2 +b2 求焦点坐标．
x2
Q
试题解析： 双曲线方程为
-
\
(±c , 0)．
y2 =1， 焦点坐标可设为
3
Qc
2
= a
2
2
(± )，故选 B．
+b = 3+1= 4 ,c = 2 ，\焦点坐标为
2,0
x
2
2
y
2
2
(
)
(±
) =
c , 0 c
-
= ( >
1 a 0,b 0 可得焦点坐标为
> )
a +b2 ，顶点坐标
2
【名师点睛】由双曲线方程
a
b
b
为(±a,0)，渐近线方程为
y = ± x
．
a
x2
27．【2018 高考全国 1 理 11】已知双曲线C: - y2 =1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过 F 的直线与
3
C 的两条渐近线的交点分别为M , N ．若△OMN 为直角三角形，则
=
(
)
MN
D．4
3
A．
B．3
C．2 3
2
【答案】B
【解析】【基本解法 1】(直接法)
x
2
- y =1,F(2, 0) ，∴渐近线方程为
2
∵双曲线
3
3
y = ±
x ，倾斜角分别为30 ,150o ，∴ÐMON = 60o ，
o
3
不妨设 MNO 90 ，
Ð
=
o
Ð
=
o
Ð
=
o
OF = 2
∴ OMN 30 , FON 30 ，∵
，
3
∴在 RtDFON 中，ON = OF ×cos 30o = 2´
= 3 ，
2
∴在 RtDMON 中， MN =ON ×tan 60o = 3´ 3 = 3 ．
【基本解法 2】(直接法)根据题意，可知其渐近线的斜率为±
3
(
)
，且右焦点为F 2, 0 ，
3
从而得到ÐFON =30°，∴直线MN 的倾斜角为60°或120°，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，


3
3
可以得出直线MN 的方程为 y
=
3(x-2)，分别与两条渐近线 y
=
x 和 y = -
x联立，
3
3
2
æ
ö
2
æ
ö
3
3
2
3
æ
è
3 ö
2 ø
(
)
求得M 3, 3 , N ç , -
÷ ,\ MN = 3-
+ç 3 +
÷ = 3，故选 B．
ç
÷
ç
÷
ç
÷
2
2
è
ø
è
ø
x
2
2
y
2
2
28．【2018 高考天津文理 7】已知双曲线
-
=1(a > 0, b > 0) 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴
a
b
的直线与双曲线交于 A，B 两点．设 A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为d 和d ，且d +d = 6 ，
1
2
1
2
则双曲线的方程为
(
)
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
A．
-
=1
B．
-
=1
C．
-
=1
D．
-
=1
4 12
12 4
3
9
9
3
【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点坐标为 F c,0 c 0 ，则 x = x = c ，
( )( > )
A
B
2
2
y
2
2
b
2
æ
b
2
ö æ
2
ö
b
c
由
-
=1可得： y = ± ，不妨设： Açc, ÷,Bçc,- ÷ ，
a
b
a
a
a
è
ø è
ø
双曲线的一条渐近线方程为：bx-ay = 0，
bc-b
2
bc+b
2
bc-b
2
bc+b
2
据此可得：d1
=
=
，
d =
2
=
，
+b2
c
a
2
+b
2
c
a
2
2bc
c
b
2
9
则d +d =
= 2b = 6，则b = 3,b
2
= 9 ，双曲线的离心率：e = = 1+
= 1+
= 2，
1
2
a2
a2
c
a
x
2
y
2
据此可得：a
2
= 3，则双曲线的方程为
-
=1，故选 C．
3
9
y
2
29．【2017·全国Ⅰ文】已知 F 是双曲线 C：
x
2
-
=1的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，
3
点 A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为
1
1
2
3
2
A．
C．
B．
D．
3
2
3
【答案】D
y
2
+ = 4得c = 2
b
2
F(2,0)，将 x = 2
代入 x
-
【解析】由c
2
=
a
2
，∴
2
=1，得 y
= ±3，∴| PF |=3，又
3


1
2
3
2
´3´(2-1) =
点 A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为
，故选 D．
x
2
2
30．【2017·全国Ⅱ文】若a 1，则双曲线
>
-
y2 =1的离心率的取值范围是(
)
a
A．( 2,+¥)
【答案】C
B．( 2, 2)
C．(1, 2)
D．(1, 2)
c
2
2
a
2
+1
1
1
2
=
=
=1+
，∵a 1，∴
>
1 0) 的一条渐近线被圆(x-2)
2
+ y = 4 所截得的
2
a
2
b
弦长为 2，则C的离心率为(
)
2 3
A．2
B． 3
C． 2
D．
3
【答案】A【解析】双曲线C的渐近线方程为bx±ay = 0，圆心(2,0)到渐近线的距离为
|2b+a´0| 2b
d =
=
，圆心(2,0)到弦的距离也为d = 2
2
-1= 3 ，
+b2
c
a
2
2b
c
= 3 ，又c
2
= a
2
+b
2
，所以得c = 2a
e = = 2
所以
，所以离心率
，选 A．
c
a
x
2
y
2
32．(2016 全国 I 理)已知方程
+n - 3m
-n
=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的
m
2
2
取值范围是
A．(–1，3)
B．(–1， 3)
C．(0，3)
D．(0， 3)
【答案】A【解析】由题意得(m
2
+n)(3m
2
-n) > 0，解得-m
2
< n < 3m2 ，又由该双曲线两焦点间的距离
为 4，得 Mm + n +3m -n = 4，即m
2
2
2
=1，所以-1< n < 3．
x
2
y
2
33．(2016 全国 II 理)已知 F ， F 是双曲线 E ：
-
=1的左、右焦点，点
M
在 上，MF 与 x 轴垂直，
E
1
2
a2
b2
1
1
sinÐMF F = ，则 E 的离心率为(
)
2
1
3
3
2
A． 2
B．
C． 3
D．2


c
2
2
y
2
2
b
2
F (-c,0)
1
x
= -c
-
=1，化简得 y = ±
【答案】A【解析】设
，将
代入双曲线方程，得
，
a
b
a
b
2
1
| MF1 |
b
2
c
2
-a
2
c
a
e 1
= -
2a 2c 2 2e
2
a
因为sin MF F
Ð
=
，所以
tanÐMF F =
=
=
=
=
-
=
，所
2
1
2 1
3
| FF | 2c 2ac
2ac
4
1
2
2
以e
2
-
e-1= 0，所以e = 2，故选 A．
2
x
2
x
2
+ y
2
=1(m >1)与双曲线C2 ：
- y
2
=1(n >0)的焦点重合，e1 ，
34．(2016 浙江理)已知椭圆C1 ：
e 分别为C ，C 的离心率，则
m2
n2
2
1
2
A．m > n且e1e2 >1
B．m > n且e1e2 1，∴e1e2 >1．故选 A．
m2
n2
n2
+
2 n2
n4
+
2n2
n4
+
2n2
x
2
y
2
2
35．(2015 湖南文)若双曲线
-
=1的一条渐近线经过点(3,-4)，则此双曲线的离心率为
a
2
b
7
5
4
4
3
5
3
A．
B．
C．
D．
3
b
【答案】D【解析】由已知可得双曲线的渐近线方程为 y = ± x，点(3,-4)在渐近线上，
a
b 4
16
9
25
9
c 5
2 ，∴e = = ．
a 3
∴ = ，又
a
2
+b
2
= c2 ，∴c
2
= a
2
+
a
2
=
a
a 3
y
2
36．(2015 四川文理)过双曲线
x
2
-
=1的右焦点且与 x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A,B两
3
点，则| AB|＝
4 3
A．
B．2 3
C．6
D．4 3
3
y
2
【答案】D【解析】双曲线
x
2
-
=1的右焦点为(2,0)，渐近线方程为 y = ± 3x ，将 x = 2代入 y = ± 3x
3


得 y = ±2 3 ，∴| AB|= 4 3 ．
x
2
y
2
37．(2015 福建理)若双曲线 E :
-
=1 的左、右焦点分别为 F ,F ，点 P 在双曲线 E 上，且 PF =3，
1
2
1
9 16
则 PF2 等于(
A．11
)
B．9
C．5
D．3
PF - PF = 2a = 6
3- PF2 = 6
PF2 = 9
，解得 ，故选 B．
【答案】B【解析】由双曲线定义得
，即
1
2
38．(2015 湖北理)将离心率为e 的双曲线C 的实半轴长a 和虚半轴长b (a ¹ b) 同时增加m (m > 0)个单位长
1
1
度，得到离心率为e 的双曲线C ，则
2
2
A．对任意的a, b，e1 > e2
B．当a > b时，e > e ；当a < b 时，e < e
2
1
2
1
C．对任意的a, b，e1 < e2
D．当a > b时，e < e ；当a < b 时，e > e
1 2 1 2
2
+b
2
b
(a+m)
2
+(b+m)
2
b+ m
a+ m
a
【答案】D【解析】由题意
e =
1
= 1+ ( )2 ，e2 =
= 1+(
)2 ，
a
a
a+ m
b b+m m(b-a)
a a +m a(a +m)
∵ -
=
，由于m>0，a >0，b >0，
b
b+ m
a+ m
b b+ m
(
)
2 ，
1
2
+
a
a
所以e > e ．所以当a >b时，e < e ；当a e ．
1
2
1
2
1
2
x
2
2
y
2
2
39．(2015 重庆文)设双曲线
-
=1(a > 0,b > 0) 的右焦点是 F ，左、右顶点分别是 A , A ，过 F 做 A A
1 2 1 2
a
b
的垂线与双曲线交于 B,C 两点，若 AB ^ A C ，则双曲线的渐近线的斜率为
1
2
A．±1
B．±
2
C．±1
D．± 2
2
2
【答案】C【解析】由题意，得 A (-a, 0), A (a,0),F(c,0) ，将 x =c代入双曲线方程，解得
1
2
b
2
-b
2
b
2
b
2
b
2
a
c+ a
a
c-a
y = ± ．不妨设 B(c, )，C(c,- )，则k =
,kA2C
=
，根据题意，
A B
1
a
a
a
b
2
-b
2
b
a
a
有
×
= -1，整理得 =1，∴双曲线的渐近线的斜率为±1．
c+a c-a
a


x
2
2
y
2
2
40．(2015 重庆理)设双曲线
-
=1(a > 0,b > 0)的右焦点为 F ，右顶点为 A，过 F 作 AF 的垂线与双
a
b
曲线交于 B,C 两点，过 B,C 分别作 AC, AB的垂线，两垂线交于点 D．若 D到直线 BC的距离小于
a+ a
2
+b2 ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是
A．(-1, 0)∪(0,1)
B．(-¥,-1)∪(1,+¥)
C．( 2, 0)∪(0, 2)
D．(-¥,-1)∪( 2, +¥)
b
2
b
2
【答案】A 【解析】 由题意 A(a,0),B(c, ),C(c,- ) ，由双曲线的对称性知 在 轴上，设
D x
D(x,0)
，
a
a
b
2
b
2
-0
b
4
b
4
a
a
BD ^ AC
×
= -1，解得c- x =
c-x =
< a+
a
2
+ = a+c
，
b
2
由
得
，所以
c- x a-c
a
2
(c-a)
a
2
(c-a)
b
a
4
2
b
a
2
2
b
b
所以
< c
2
- a
2
= b
2
Þ
0,b > 0)
P
的左、右焦点，双曲线上存在一点
43．(2014 重庆文理)设
分别为双曲线
2
1
a
b
9
| PF | +| PF |= 3b,| PF |×| PF |= ab,
使得
则该双曲线的离心率为
1
2
1
2
4


4
3
5
3
9
4
A．
B．
C．
D．3
【答案】B【解析】由双曲线的定义得|| PF | -| PF ||= 2a ，又| PF | +| PF |=3b ，
1
2
1
2
(| PF | +| PF |)
2
-(| PF | -| PF |)
2
= 9b -4a2 ，即4| PF || PF |=9ab ，
2
∴
1
2
1
2
1 2
b
9b
3b
-4 = 0，则( +1)(
3b
因此9b
2
-4a
2
= 9ab ，即9( )
2
-
-4)=0，解得
a
a
a
a
b 4 b
= ( = - 舍去)，则双曲线的离心率e = 1+( )
a 3 a
1
b
5
2
= ．
3
a
3
x
2
2
y
2
2
5
C
-
=1(a > 0,b > 0
C
，则 的渐近线方程为
44．(2013 新课标 1 文理)已知双曲线 ：
)的离心率为
a
b
2
1
1
1
y = ± x
y = ± x
y = ± x
D．
y = ±x
B．
C．
A．
4
3
2
c
5
5 c
4 a
2
2
a
2
+b
2
b
a
2
2
1
b
1
=
±
C
，∴ 的渐近线方程
【答案】C【解析】由题知，
，即 =
=
，∴
= ，∴ =
a
2
a
2
4
a
2
1
y = ± x
为
，故选 C．
2
p
x2
2
y2
x2
q tan q
y
45．(2013 湖北文理)已知0 0) 的渐近线方程为3x±2y = 0
a
，则 的值为
49．(2011 湖南文理)设双曲线
a
9
A．4
B．3
C．2
D．1
3
y = ± x ，故可知a = 2
【答案】C【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为
．
a
x
2
2
y
2
2
50．(2011 天津文理)已知双曲线
-
=1(a > 0,b > 0) 的左顶点与抛物线
y = 2px(p > 0) 的焦点的距
2
a
b
离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2，-1)，则双曲线的焦距为(
)
A．2 3
B．2 5
C．4 3
D．4 5
x
2
2
y
2
2
b
【答案】B【解析】双曲线
-
=1(a > 0,b > 0) 的渐近线为 y = ± x，由双曲线的一条渐近线与抛物
a
b
a
p
p
线的准线的交点坐标为(－2，－1)得- = -2，即 p = 4 ，又∵ +a = 4 ，∴a = 2，将(－2，－1)代入
2
2
b
y = x 得b =1，∴c = a
2
+b
2
= 5 ，即2c = 2 5 ．
a
x
2
2
y
2
2
51．【2020 年高考全国Ⅰ理 15】已知 F 为双曲线C :
-
= ( > > )的右焦点， A 为C 的右顶点，
1 a 0,b 0
a
b
B 为C 上的点，且 BF 垂直于 x 轴．若 AB 的斜率为3，则C 的离心率为
【答案】2
．


b
2
AF =c-a
，即可根据斜率列出等式求解即可．
【思路导引】根据双曲线的几何性质可知， BF
=
，
a
b
2
BF
AF
b
2
【解析】依题可得，
= 3，而 BF
，
AF =c-a
，即 a
，变形得c -a =3ac-3a ，
=
2
2
2
=
3
a
c-a
-3e+2=0，解得e = 2或e =1(舍去)．故答案为：2．
化简可得，e
2
x
2
2
y
2
52．【2020 年高考江苏 6】在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线
-
=1(a > 0) 的一条渐近线方程为
a
5
5
y =
x ，则该双曲线的离心率是
．
2
3
【答案】
2
x
2
2
y
2
5
【解析】由
-
= 0 得渐近线方程为 y = ±
x ，又a >0，
c 3
a
5
a
则a =2，c
2
= a
2
+5= 9 ，c =3，得离心率e = = ．
a 2
x
2
y
2
53．【2020 年高考北京卷 12】已知双曲线C :
其渐近线的距离是__________．
【答案】(3, 0)， 3
-
=1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到
6
3
x
2
y
2
-
=1，∴a
2
=6，b
2
=3，c
2
= a
2
+b =6+3=9，∴c = 3，∴右焦点坐标为
2
【解析】∵双曲线
6
3
(3, 0)，∵双曲线中焦点到渐近线距离为b ，∴b = 3 ．
y
2
xOy
中，若双曲线 x2
-
=1(b > 0)经过点(3，4)，则该双曲线 的
54．【2019·江苏】在平面直角坐标系
b
2
渐近线方程是 ▲
．
【答案】 y
= ±
2x
4
2
2
【解析】由已知得3
2
-
=1，解得b = 2 或b = - 2 ，
b
∵b >0，∴b = 2
．


∵a =1，∴双曲线的渐近线方程为
y = ± 2x．
x
2
2
y
2
5
-
=
1(a 0)的离心率为
>
55．【2018·北京文】若双曲线
【答案】4
，则a =
________________．
a
4
2
c
5
a
2
+4
5
【解析】在双曲线中c = a
2
+b
2
= a
2
+4 ，且e
= =
，∴
=
，即a =16，
2
a
2
a
2
∵a >0，∴a = 4．
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2
56．(2018 北京理 14)已知椭圆 M： +
=1(a >b > 0) ，双曲线 N： -
=1．若双曲线 N 的两条渐
a
2
b
m
2
n
近线与椭圆M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为
__________；双曲线 N 的离心率为__________．
【答案】 3 -1 ；2【解析】设椭圆的右焦点为 F(c,0)，双曲线 N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点
为 A，由题意可知 A( ,
c 3c) ，由点 A在椭圆 M 上得，
c
2
+
3c
2
2
=1，∴b
c
+3a
c
= 4a b2 ，
2
2
2
2
2
2 2
-c )c
= 4±2 3 ，∴e = 3+1(舍去)或e = 3-1，∴椭圆 M 的离心率 3 -1，
4a
2
4b
2
= a
2
-c2 ，∴(a
2
2
2
+3a
2
c
2
= 4a
2
(a
2
-c
2
) ，∴4a
4
-8a
2
c
2
+ c
4
= 0 ，∴e
4
椭
-8e
2
+4 =0，∴
椭
b
e
2
椭
椭
椭
c 3c) ，渐近线方程为 y = 3x，故双曲线的离心率e双 =
m
2
+n
2
∵双曲线的渐近线过点 A( ,
= 2．
2 2
m
2
x
2
2
y
2
2
( )
= ( > > )的右焦点 F c ,0 到
1 a 0,b 0
57．【2018 高考江苏 8】在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线
-
a
b
3
一条渐近线的距离为
c ，则其离心率的值是 ▲ ．
2
【答案】2


【解析】试题分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率．
b
( )
= ±
x即bx±ay = 0的距离为
试题解析：∵双曲线的焦点 F c,0 到渐近线 y
a
|bc±0| bc
3
3
1
1
=
= b ，\b =
c，因此
a
2
= c
2
-b
2
= c
2
- c
2
= c , a = c , e = 2
2
．
+b2
c
2
4
4
2
a
2
【名师点睛】双曲线的焦点到渐近线的距离为 b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a．
x
2
58．【2018 高考上海 2】双曲线
- y
2
=1的渐近线方程为
．
4
x
【答案】 y = ±
2
x
【解析】由已知得a
2
= 4,b =1，渐近线方程为 y = ± ．
2
【考点分析】双曲线简单的几何性质，考查运算求解能力
x
2
2
y
2
2
59．(2017 新课标Ⅰ理)已知双曲线C：
-
=1(a > 0,b > 0) 的右顶点为 A，以 A为圆心，b为半径做
a
b
圆 A，圆 A与双曲线C的一条渐近线交于 M 、 N 两点．若ÐMAN =60°，则C的离心率为________．
2 3
【答案】
【解析】如图所示， AH ^ MN ， AM = AN =b，ÐMAN =60°，
3
b
|b|
所以 HAN 30 ，又
Ð
=
o
MN
所在直线的方程为
y = x A(a,0) MN
，
到
的距离
AH =
，
a
b2
1+
a
2


|b|
b
2
1+
HA
NA
3
a2
3
a
在RtDHAN 中，有cosHAN
3 a
=
，所以
=
，即
=
，
2
b
2
2
a +b2
c 2 3
= ，所以e = =
因为c
2
= a
2
+b2 ，得
．
2
c
a
3
x
2
2
y
2
3
60．(2017 新课标Ⅲ文)双曲线
【答案】5
-
=1(a > 0) 的一条渐近线方程为 y = x ，则a= ．
a
9
5
3
y = ± x，结合题意可得a =5
【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为
．
a
x
2
2
y
2
2
61．(2017 山东文理)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线
-
=1(a > 0，b > 0) 的右支与焦点为 F 的抛
a
b
x
2
= 2py(p > 0) 交于 A， B 两点，若| AF |+| BF |= 4|OF |，则该双曲线的渐近线方程
物线
为
．
2
【答案】 y
= ±
x
2
p
p
p
| AF |+| BF |=y + + y + = 4´ Þ y + y = p
【解析】由抛物线定义可得：
，
A
B
A
B
2
2
2
ì
2
2
2
2
x
y
ï -
=1Þ a2 y2
-2pb
2pb2
2
y + a
2
2
b = 0
， ∴
y + y =
= p Þ a = 2b Þ
渐 近 线 方 程 为
∵ a
í
b
A
B
a2
ï
î x
2
= 2py
2
y = ±
x ．
2
y
2
62．(2017 北京文理)若双曲线 x
【答案】2
2
-
=1的离心率为 3 ，则实数 m=_________．
m
c
1+ m
= 3，解得m= 2．
【解析】∵a
2
=1,b
2
= m，∴ =
a
1
y
2
63．【2016 浙江文】设双曲线 x2–
=1 的左、右焦点分别为 F ，F ．若点 P在双曲线上，且△F PF 为锐角
1 2 1 2
3


三角形，则|PF | +|PF |的取值范围是_______．
1
2
【答案】(2 7,8)
．
c
=
=
3,c 2，则
=
e = = 2
P(x, y) P
是双曲线上任一点，由对称性不妨设 在
【解析】由已知得a 1,b
，设
a
1< x < 2 PF =2x+1
PF = 2x-1 ÐFPF
PF
1
2
+
PF2
2
> F1F2
2
双曲线的右支上，则
，
，
，
为锐角，则
，
1
2
1
2
7
7
即(2x+1)
2
+(2x-1)
2
> 42 ，解得 x >
< x < 2，则 PF + PF2 = 4xÎ(2 7,8) ．
1
，∴
2
2
x
2
2
y
2
2
64．(2016 山东文理)已知双曲线 E ：
-
=1 (a > 0,b > 0)，若矩形 ABCD的四个顶点在 E 上， AB ，
a
b
CD的中点为 E 的两个焦点，且2| AB|= 3| BC |，则 E 的离心率是
．
【答案】2
【解析】依题意，不妨设 AB = 6, AD = 4，作出图象如下图所示
c 2
则2c = 4,c = 2; 2a = DF - DF =5-3= 2,a =1,故离心率 = = 2
2
1
a 1
y
2
65．(2015 新课标 1 文)已知 F 是双曲线C：x -
2
=1的右焦点，P 是C左支上一点，A(0, 6 6)，当DAPF
8


周长最小时，该三角形的面积为
．
y
2
【答案】12 6 【解析】由题意，双曲线C：
M(-3, 0) ，∵ P 在C的左支上，
x
2
-
=1的右焦点为 F(3, 0) ，实半轴长a =1，左焦点为
8
∴ΔAPF 的周长l = AP| +| PF | +| AF |≥| PF | +| AF | +| AM | -| PM |
=| AF |+| AM |+2a =15+15+2 = 32 ，当且仅当 A,P,M 三点共线且 P 在 A,M 中间时取等号，此时直线
x
y
AM 的方程为
+
=1，与双曲线的方程联立得 P 的坐标为(-2,2 6)，此时，ΔAPF 的面积为
-3 6 6
1
1
´6´6 6 - ´6´2 6 =12 6 ．
2
2
x
2
2
y
2
2
66．(2015 山东文)过双曲线C :
-
= ( > > ) 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于
1 a 0,b 0
a
b
点 P ，若点 P 的横坐标为2a，则C的离心率为
．
ì
ï
2
2
x
y
-
=1
ï
a
2
+ c
2
b
a2
b2
【答案】2+ 3 【解析】设直线方程为 y = (x-c)，由í
，得 x =
，
a
b
2c
ï
y = (x-c)
ï
î
a
a
2
+c
2c
2
c
由
= 2a ，e = ，解得e = 2+ 3 (e = 2- 3 舍去)．
a
x
2
y
2
67．(2015 山东理)平面直角坐标系 xOy 中，双曲线C1 ：
-
=1 (a > 0,b > 0)的渐近线与抛物线C2 ：
a2 b2
x
2
= 2py ( p > 0)交于O, A,B，若△OAB的垂心为C 的焦点，则C 的离心率为_______．
2
1
3
2
x
2
y
2
b
【解析】C : - =1(a>0,b>0)的渐近线为 y = ± x ，
1
2
a b
2
a
2pb 2pb
2
2pb 2pb
2
p
则 A(
,
) ， B(-
,
) ，
C :x
2
=2py(p>0)的焦点 F(0, )，
2
a
a
2
2
2
a
a
2pb
2
p
-
a
b
b
2
5
c
2
a
2
+b
a2
2
9
4
c 3
，e = = ．
a 2
a
2
2
则kAF =
=
，即
= ，
=
=
2pb
a2
a2
4
a


x
2
2
y
2
2
68．(2014 山东文理)已知双曲线
-
=1(a > 0,b > 0) 的焦距为2c，右顶点为 A，抛物线
a
b
x
2
= 2py(p > 0) 的焦点为 F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且| FA|= c，则双曲线的渐近线
方程为
．
p
p
2
【答案】 y = ±x 【解析】抛物线的准线 y
= -
，与双曲线的方程联立得
x
2
= a
2
(1+
)
，根据已知得
2
4b
2
p
2
p
2
a
2
(1+
) = c2 ①，由| AF |= c得
+ a
2
= c2 ②，由①②得a = b2 ，
2
4b
2
4
即a =b，∴所求双曲线的渐近线方程为 y = ±x ．
x2
a2
y2
b2
69．(2014 浙江文理)设直线 x -3y + m = 0(m ¹ 0)与双 曲线
-
=1(a > 0,b > 0) 的两条渐近线分别 交于点
A， B ，若点 P(m,0) 满足| PA|=| PB|，则该双曲线的离心率是
．
5
b
am
bm
【答案】
【解析】联立直线方程与双曲线渐近线方程 y = ± x可解得交点为 A(
,
)，
2
a
3b-a 3b- a
am
am
bm bm
-
+
-am bm
3b+a 3b+ a
1
3b-a 3b+a 3b-a 3b+ a
B(
,
)，而k = ，由| PA|=| PB|，可得 AB 的中点(
,
) 与点
AB
3
2
2
5
P(m,0)
-
4b
2
= a ，∴e =
2
连线的斜率为 3，可得
．
2
y
2
( )
- x =1具有相同渐近线，则C的方程为________；
70．(2014 北京文理)设双曲线C经过点 2,2 ，且与
2
4
渐近线方程为________．
x
2
y
2
y
2
y
2
【答案】 -
=1 y = ±2x【解析】设与
- x
2
=1具有相同渐近线的双曲线 C 的方程为 - x
2
=k ，
3 12
4
4
x
2
y
2
( )
= -3．∴双曲线的方程为
-
=1，渐近线方程为 y = ±2x ．
将点 2,2 代入 C 的方程中，得k
3 12
x
2
2
y
2
2
71．(2014 湖南文理)设 F ，F 是双曲线 C：
-
=1(a > 0,b > 0) 的两个焦点．若在 C 上存在一点 P，
1
2
a
b
使 PF ⊥PF ，且∠PF F =30°，则 C 的离心率为_________．
1
2
1 2
【答案】 3 +1【解析】由已知可得， PF = 2ccos 30 = 3c ，
o
PF2 = 2csin 30
= c
，由双曲线的定义，
o
1


c
2
可得 3c-c = 2a ，则e = =
= 3+1．
a
3 -1
x
2
y
2
F
为双曲线C :
-
=1的左焦点，P,Q C PQ
为 上的点，若 的长等于虚轴长
72．(2013 辽宁文理)已知
9 16
的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ，则DPQF 的周长为
．
【答案】44【解析】由题意得，| FP| -| PA|= 6，| FQ|-|QA|= 6，两式相加，利用双曲线的定义得
| FP|+| FQ|= 28，∴DPQF 的周长为| FP| +| FQ| +| PQ|= 44．
x
2
y
2
-
=1的离心率为
73．(2013 陕西理)双曲线
．
16
9
5
4
b
a
2
2
9
c
2
2
25
16
5
5
=
Þ e
2
=
=
Þ e =
,所以离心率为 。
【解析】
16
a
4
4
74．(2012 辽宁文理)已知双曲线
x
1
- y = ，点 F,F 为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若 PF ^ PF ，
1 2 1 2
2
2
PF1 + PF
则
的值为
．
2
a =1,c = 2,\ PF - PF = 2a = 2,
【答案】2 3 【解析】由双曲线的方程可知
1
2
\
PF -2 PF1 PF2 PF2
2
+
2
=
4
1
^
PF , PF
\
2
+
PF2
2
=
(2c)
2
=8,\2 PF PF 4,
=
QPF
1
2
1
1
2
\( PF + PF ) =8+4 =12,\ PF + PF = 2 3
2
1
2
1 2
x
2
y
2
x
2
y
2
75．(2012 天津文理)已知双曲线C1 :
且C1的右焦点为 F( 5,0)，则a =
-
=1(a > 0,b > 0)与双曲线C2 :
-
=1有相同的渐近线，
a2 b2
4
16
b =
．
x
2
y
2
x
2
2
y
2
b
【答案】1，2【解析】双曲线的
-
=1渐近线为 y = ±2x，而
-
=1的渐近线为 y = ± x ，
4
16
a
b
2
a
b
x
2
2
y
2
=
2，b = 2a
-
=1的右焦点为( 5,0)，
∴有
，又双曲线
a
a
b
2
∴c = 5，又c
2
= a
2
+b2 ，即5 = a
2
+ 4a
2
= 5a2 ，∴a
2
=1,a =1,b = 2．
x2
y2
76．(2012 江苏文理)在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线
-
=1的离心率为 5 ，则m 的值
m m2 + 4
为
．


【答案】2【解析】由题意得m＞0，∴a= m ，b =
m
2
+ 4,\c = m + m + 4,
2
c
m
2
+ m + 4
由e= = 5 得
= 5，解得m=2．
a
m
y
2
2
x
2
-
=1(b > 0)的一条渐近线的方程为 y = 2x，则b =
．
77．(2011 北京文理)已知双曲线
b
y
2
2
y
2
2
x
2
-
=1(b > 0)得渐近线的方程为 x
2
-
= 0，即 y = ±bx，由一条渐近线的方
【答案】2【解析】由
b
b
程为 y = 2x得b = 2．
考点 94 直线与双曲线的位置关系
x
2
2
y
2
2
78．(2020·新课标Ⅱ文理 8)设O 为坐标原点，直线 x = a 与双曲线C :
-
= ( > > )的两条渐近
1 a 0,b 0
a
b
线分别交于 D , E两点，若 ODE 的面积为 8，则C 的焦距的最小值为
(
)
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】B
x
2
2
y
2
2
b
-
= ( >
1 a 0,b 0 ，可得双曲线的渐近线方程是
> )
y = ± x
x = a
，与直线 联立
【思路导引】∵C :
a
b
a
方程求得 D， E 两点坐标，即可求得| ED|，根据DODE
的面积为 ，可得ab值，根据2c = 2 a2 +b2 ，
8
结合均值不等式，即可求得答案．
2
2
y
2
2
b
x
\
y = ± x
【解析】∵C :
-
=1(a > 0,b > 0)， 双曲线的渐近线方程是
，
a
b
a
x
2
2
y
2
2
Q直线 x a
=
与双曲线C :
-
=
1(a > 0,b > 0)的两条渐近线分别交于 D， E 两点，
a
b
ìx = a
ìx = a
îy = b
ï
不妨设 D为在第一象限， E 在第四象限，联立
í
b ，解得
í
，故
D(a,b)，
y = x
ï
î
a
ìx = a
ìx = a
îy = -b
ï
联立í
b ，解得
í
，故
E(a,-b)，\ | ED|= 2b
，
y = - x
ï
î
a
1
\ DODE
S
△ODE
= a´2b = ab =8
面积为：
．
2


x
2
2
y
2
2
Q双曲线C :
-
=
>
>
\
=
+ ³ 2 2ab = 2 16 =8，当且仅当
1(a 0,b 0)， 其焦距为2c 2 a
2
b
2
a
b
a = b = 2 2 取等号，\ 的焦距的最小值： ，故选 ．
C
8
B
79．(2020·浙江卷)已知点 O(0，0)，A(–2，0)，B(2，0)．设点 P 满足|PA|–|PB|=2，且 P 为函数 y=3 4-x2 图
像上的点，则|OP|=(
)
22
4 10
5
A．
B．
C． 7
D． 10
2
【答案】D
【解析】∵| PA|-| PB|= 2< 4，∴点 P 在以 A,B
为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由
y
2
c = 2,a =1
1 x 0 ，而点 P 还在函数
= ( > )
= 4 -1=3 ，即双曲线的右支方程为 x2
-
可得， b
2
= c
2
- a
2
3
y = 3 4- x2 的图象上，∴，
ì
13
2
ì
y = 3 4- x
2
ïx
=
=
ï
ï
13 27
í
，解得í
OP =
+
= 10
．
由
，即
y
2
ïx
2
-
=1(x > 0)
ï
3 3
2
4
4
î
3
y
ï
î
x
2
2
y
2
2
y
2
= 4x的焦点为 F ，准线为l，若l与双曲线
-
=1(a > 0,b > 0)的
80．(2019 天津文理)已知抛物线
a
b
两条渐近线分别交于点 A和点 B ，且| AB|= 4|OF |(O为原点)，则双曲线的离心率为(
)
A． 2
B． 3
D． 5
C．2
【答案】D
【 解 析 】 抛 物 线
b
y
2
= 4x 的 准 线 l 的 方 程 为 x = -1 ， 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y
= ±
x ， 则 有
a
b
b
2b 2b
a +b
2
2
c
A(-1, ),B(-1,- )
AB =
= 4 ，b = 2a，∴e = =
，∴
，
= 5 ，故选 D．
a
a
a
a
a
a
【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出 AB 的长度．解答时，只
AB = 4 OF 用a,b,c
需把
表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．


x
2
2
y
2
2
81．【2018 高考全国 2 理 5】双曲线
-
=1(a > 0,b > 0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为(
)
a
b
2
3
A． y = ± 2x
【答案】A
B． y = ± 3x
C． y = ±
x
D． y = ±
x
2
2
【解析】试题分析：根据离心率得a , c关系，进而得a , b
关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果．
c
b
a
2
2
c
2
-a
2
b
Qe = = 3 ,\
=
= e
2
-1= 2,\ = 2 ．
试题解析：
a
a
2
a
b
y = ± x ,\
渐近线方程为
y = ± 2x，故选 A．
∵渐近线方程为
a
x
2
2
y
2
2
x2
a2 b2
y2
b
a
-
= Þ = ±
0
y
x．
【名师点睛】已知双曲线方程
-
=1a> 0,b> 0 求渐近线方程：
a
b
【考点】双曲线的简单几何性质(离心率、渐近线方程)
x
2
2
y
2
2
82．【2018 高考全国 3 理 11】设 F ，F 是双曲线
-
= ( > > )的左，右焦点，O 是坐标原点．过
1 a 0,b 0
C：
1
2
a
b
F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P ．若 PF = 6 OP ，则C 的离心率为
(
)
2
1
A． 3
B．2
C． 3
D． 2
【答案】C
【解析】试题分析：由双曲线性质得到 PF =b， PO = a，然后在Rt△POF 和在Rt△PFF 中利用余
2
2
1 2
弦定理可得．
试题解析：由题可知 PF =b, OF =c，\ PO = a．
2
2
PF2
b
c
| PF2 |
2
+| FF |
2
-| PF1 |
2
b
c
在 Rt△POF2 中 ，
cosÐ PF2O =
=
， \cosÐPF2O =
，故选 C．
1
2
=
，
OF2
2| PF || FF |
2 1 2
\b
2
+4c
2
-( 6a)
2
= ,\c
b
= 3a
，\e = 3
2
2
2b×2c
c
【名师点睛】本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．
x
2
2
y
2
2
-
=
> > x
1(a 0, b 0) 的离心率为2，过右焦点且垂直于 轴的直线与
83．(2018 天津文理)已知双曲线
a
b
双曲线交于 A， B 两点．设 A， B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1 和d
，且
d +d = 6
，则双曲
1 2
2


线的方程为(
)
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
-
=1
-
=1
-
=1
-
=1
A．
B．
C．
D．
3
9
9
3
4 12
12 4
【答案】A
c
2
2
y
2
b
2
-
=1可得 y = ±
【解析】设双曲线的右焦点坐标为
F(c, 0)(c > 0)，则 x = x = c
，由
，
A
B
a
b
2
a
b
2
b
2
-
)，双曲线的一条渐近线方程为
bx ay 0
-
=
，据此可得
不妨设 A(c, )， B(c,
a
a
|bc-b
2
|
|bc+b
2
| bc+b
2
bc-b2
2bc
d1 =
=
d =
2
=
d +d =
= 2b = 6，则b =3，b2
=
9，双
，
，则
+b
2
c
a
2
+b
2
c
1
2
c
a
2
2
2
9
x
2
y
2
c
b
= =
1+
= 1+
=
2，据此可得a
2
= 3，则双曲线的方程为
-
=1，故选 A．
曲线的离心率e
a
a
a
2
3
9
x
2
2
y
2
84．(2014 天津文)已知双曲线
-
=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l： y = 2x+10，双曲
a
b
2
线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为
x
2
y
2
x
2
y
2
3x
2
3y
2
3x
2
-3y2 =1
A．
-
=1
B．
-
=1
C．
-
=1
D．
5
20
20
5
25 100
100 25
ì
ïb = 2a
ï
ï
x
2
y
2
ï
【答案】A【解析】 依题意得 c 5
í =
，∴a
2
= 5，b
2
= 20，双曲线的方程为
-
=1．
ï
ïî
5
20
ï
ï = +
2
2
2
c
a
b
C
O
O
60
0
AB1
1
85．(2013 重庆文理)设双曲线 的中心为点 ，若有且只有一对相较于点 、所成的角为
的直线
AB = A B
C
分别是这对直线与双曲线 的交点，则该双曲线的离
和 A B ，使
，其中
A B
、
和
A
2
、B
2
2
1
1
2
2
1
1
2
心率的取值范围是
2 3
2 3
2 3
3
2 3
A．(
,2]
B．[
,2)
C．(
,+¥)
D．[
,+¥)
3
3
3
b
【答案】A【解析】设双曲线的焦点在 x轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率 必须满足
a
3 b
1
b
4
b
2 3
3
b
2
< ≤ 3 ，∴ < ( )
2
≤3， 0，b>0)的一条渐近线为 y= 2 x，则 C 的离心率为
86．(2020·新课标Ⅲ)设双曲线 C：
a
b
_________．
【答案】 3
x
2
2
y
2
2
-
= x y = 2x
1可得其焦点在 轴上，∵其一条渐近线为 ，
【解析】由双曲线方程
a
b
b
a
c
b
2
= 2
，e
= = 1+
= 3．
∴
a
a2
x
2
y
2
87．(2020·北京卷)已知双曲线C :
距离是_________．
-
=1，则 C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的
6
3
【答案】 (1)．( )
(2)． 3
3,0
【解析】在双曲线 C 中，a
=
6 ，b = 3
，则c
=
2
a +b
2
( )，
=3，则双曲线 C 的右焦点坐标为 3,0
2
= ±
x，即
x± 2y = 0
，
双曲线 C 的渐近线方程为 y
2
3
= 3
∴，双曲线 C 的焦点到其渐近线的距离为
．
2
1 + 2
x
2
y
2
5
88．(2020·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线
﹣
=1(a＞0)的一条渐近线方程为 y=
x，则
a
2
5
2
该双曲线的离心率是____．
3
【答案】
2
x
2
2
y
2
5
b
a
5
-
=1，故b
=
=
=
Þ a = 2，
【 解析】双曲线
5 ．由于双曲线的一条渐近线方程为 y
c 3
x ，即
a
5
2
2
=
∴c = a
2
+b
2
= 4+5 = 3，∴双曲线的离心率为
．
a 2
x
2
2
y
2
2
89．【2019 年高考全国Ⅰ理】已知双曲线 C：
-
=1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点分别为 F ，F ，过 F
1 2 1
a
b


的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点．若 F A AB ，
=
FB×F B = 0
，则 C 的离心率为____________．
1
1
2
【答案】2
F1A= AB,
F A AB.
=
OF =OF ,
F F B
的 中 位 线 ， 即
1 2
【 解 析 】 如 图 ， 由
得
又
得 OA 是 三 角 形
1
1
2
BF ∥OA,BF = 2OA. FB×F B = 0
FB ^ F B,\OA ^ F A, OB = OF ÐAOB = ÐAOF
由
，得
∴
，
，
2
2
1
2
1
2
1
1
1
ÐBOF = ÐAOF ,
又 OA 与 OB 都是渐近线，得
2
1
ÐBOF +ÐAOB+ÐAOF = π，∴ÐBOF2 = ÐAOF = Ð
=
o
BOA 60 ,
又
2
1
1
b
a
c
b
= tan 60° = 3
= = +
2
= 1+( 3) = 2．
2
又渐近线 OB 的斜率为
，∴该双曲线的离心率为e
1 ( )
a
a
4
xOy
y = x+ (x > 0)
90．【2019 江苏】在平面直角坐标系
中，P 是曲线
上的一个动点，则点 P 到直线 x+y=0
x
的距离的最小值是 ▲
【答案】4
．
4
y = x +
【解析】当直线 x+y=0 平移到与曲线
相切位置时，切点 Q 即为点 P，此时到直线 x+y=0 的距离最
x
4
¢ = -
y 1
= -1，得 x = 2(x = - 2舍)， y = 3 2 ，即切点Q( 2,3 2)
小．由
，
x
2
2 +3 2
则切点 Q 到直线 x+y=0 的距离为
= 4．
1
2
+12
x
2
91．(2017 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中 ，双曲线
- y
2
=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P ，
3
Q，其焦点是 F ， F ，则四边形 FPF Q的面积是
．
1
2
1
2
【答案】2 3


3
3 10
10
3
3 10 30) ， 则
【 解 析 】 右 准 线 方 程 为 x
3 10 - 30
=
=
， 渐 近 线 方 程 为 y = ±
x ， 设 P(
,
10
3
10
10
30
-
F ( 10, 0)
FPF Q
=
´
= 2 3．
Q(
,
)， F( 10,0)，
，∴四边形
的面积 S 2 10
1
2
1
2
10
10
10
92．(2015 江苏理)在平面直 角坐标系 xOy 中， P 为双曲线
x- y +1= 0 的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为
x
2
- y
2
= 右支上的一个动点．若点 P 到直线
1
．
2
【解析】设 P(x, y),(x ³1) ，因为直线 x - y +1= 0 平行于渐近线 x - y = 0，所以c的最大值为直线
2
1
2
x - y +1= 0 与渐近线 x - y = 0之间距离，为
=
．
2
2