四川省射洪中学2022-2023学年高二数学（理）下学期期中考试试题（Word版附解析）

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射洪中学高2021级2023年上期半期考试数学试题（理科）第I卷（选择题）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.1. 命题，，则（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】D【解析】【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题，分析即可得到答案．【详解】由题意，命题，，由全称命题的否定为存在命题，可得：为，，故选：D．2. 设，则“”是“”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据二次不等式解法解出，再根据充分条件和必要条件的概念即可判断．【详解】或，则，，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B．3. 抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为（    ）A.  B. 2 C.  D. 3【答案】C【解析】【分析】先求出准线方程，再根据抛物线的定义求解.【详解】对于抛物线 ， ， 准线方程为，点A到焦点的距离为；故选：C.4. 双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（    ）A. 5 B. 1 C. 1或17 D. 17【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的定义可求到右焦点的距离，要注意双曲线上点到焦点距离的最小值为.【详解】设双曲线的左焦点为，右焦点为，则，故，故或.由双曲线性质知，到焦点距离的最小值为，所以舍去.故选：D.5. 在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据二项式定理，展开项系数中，当n为奇数时最中间的那一项最大.【详解】依题意，第五项二项式系数最大，一共是9项，所以n=8，二项式展开项的通项公式为： ， ，∴ 的系数为 故选：C.6. 已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P是抛物线C上一动点，则线段FP的中点Q的轨迹方程是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】运用中点的坐标公式，结合代入法进行求解即可.【详解】设Q(x，y)，P(x1，y1)，则①，又F(2，0)，由Q为PF的中点，得从而代入①，得(2y)2＝8(2x－2)，即y2＝4(x－1)．故选：A7. 4名男生2名女生排成一排，要求两名女生相邻且都不与男生甲相邻的排法总数为（    ）A. 72 B. 120 C. 144 D. 288【答案】C【解析】【分析】相邻元素用捆绑法，不相邻元素用插空法即可.【详解】第一步：先排列除甲之外的三名男生，第二步：将两名女生看作一个整体与男生甲插入排好的三名男生4个空隙中的两个空隙，第三步：将两名女生内部排列，即：.故选：C.8. 已知，是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，，若C的离心率为，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率的公式进行求解即可.【详解】解：记，，由，及，得，，又由余弦定理知，得.由，得，从而，∴.∵，∴.故选:B9. 数学与生活密不可分，在一次数学讨论课上，老师安排5名同学讲述圆、椭圆、双曲线、抛物线在实际生活中的应用，要求每位学生只讲述一种曲线，每种曲线至少有1名学生讲述，则可能的安排方案的种数为（    ）A. 240 B. 480 C. 360 D. 720【答案】A【解析】【分析】先分组再分配，平均分组注意消序，最后根据分步乘法计数原理，即可得到可能的安排方案的种数.【详解】解：有四种曲线，要求每位学生只讲述一种曲线，则5名同学分成2，1，1，1四组，共有种情况，再将四组学生分配给四种曲线，一共有种情况，则可能的安排方案的种数为种，故选：A.10 已知直线与抛物线相交于、两点（其中位于第一象限），若，则（         ）A.  B.  C. -1 D. 【答案】A【解析】【分析】过作准线的垂线，垂足为，利用抛物线定义及得，利用三角形知识求出倾斜角，进一步求出直线斜率即可【详解】由题意知，直线过抛物线的焦点，准线方程为，分别过作准线的垂线，垂足为，过A作的垂线，垂足为M，如图，设，因为，所以，则，所以，即直线的倾斜角等于，可得直线的斜率为.故选：A.11. P为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为（    ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 9【答案】C【解析】【分析】画出图形，将转化为，进而化简，结合图形得到答案.【详解】如图，圆C的圆心C为（2,0），半径r=2，，则当点P位于双曲线左支的顶点时，最小，即最小.此时的最小值为：.故选：C.12. 已知椭圆:的左右焦点为，，过的直线与圆相切于点，并与椭圆交于不同的两点，，如图，若，为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】连接，由题知，，所以，再结合椭圆的定义得，进而在中结合勾股定理得，最后根据离心率的公式求解即可.【详解】如图,连接,因为，为线段的三等分点,所以在中,为中点，为中点，所以，又因为过的直线与圆相切于点，所以，因为圆的半径为，所以，由椭圆的定义得： ，所以，所以在中， ，即，整理得：，即：，所以.故选：C【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解，考查运算求解能力，数形结合思想，是中档题.本题解题的关键在于证明，，进而根据椭圆的定义得，再结合勾股定理得.第II卷（非选择题）二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知是常数，若且，则___________.【答案】3【解析】【分析】采用赋值法，取可得；取，可得，再根据已知条件即可求出值．【详解】取，则；取，则，所以，即.故答案为：3.14. 已知命题“∈[1，2]， ”是真命题，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】由题意可得2a＜x0在[1，2]的最大值，运用对勾函数的单调性可得最大值，即可得到所求a的范围．【详解】命题“∃x0∈[1，2]，x02﹣2ax0+1＞0”真命题，即有2a＜x0在[1，2]的最大值，由x0在[1，2]递增，可得x0＝2取得最大值，则2a，可得a，则实数a的取值范围为（﹣∞，）．故答案（﹣∞，）．【点睛】本题考查存在性命题的真假问题解法，注意运用分离参数法，运用对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．15. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为__．【答案】【解析】【分析】由题意可知，点，，所以直线的斜率为，设，两点的坐标分别为，，，，利用点差法可得，，从而求得的值，再代入椭圆的方程中即可得解．【详解】由题意可知，点，，所以直线的斜率为，设，两点的坐标分别为，，，，则，两式相减，整理得，，所以，解得，椭圆的方程为．故答案为：．【点评】本题考查求椭圆的方程，合理运用点差法是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．16. 在图中，从上往下读（不能跳读）构成句子“构建和谐社会，创美好未来”的不同读法种数是__________.【答案】252【解析】【分析】根据图中间每一点处的数等于它肩上两数的和，一直计算到下面最后一字即可求解.【详解】由题意可知，解本题相当于在题图中先在“构”字处标上1，再在上半部分三角形的两腰的各字处标上1，然后从上到下依次逐字累加，如图所示，图中间每一点处的数等于它肩上两数的和，一直计算到下面最后一字由此可得，共有252种不同读法.故答案为：.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17题10分，其余每题12分.17. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛．（1）如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？（2）如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？（3）如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？【答案】（1）60    （2）91    （3）14【解析】【分析】（1）用组合知识直接求解；（2）先求出若小王和小红均未入选时的选法，从而求出如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选时的选法；（3）分两种情况进行求解，再使用分类加法计数原理进行求解.【小问1详解】从5名男生中选2名，4名女生中选2人，属于组合问题，，故有60种选法；【小问2详解】若小王和小红均未入选，则有种选法，故男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，则有种选法；【小问3详解】若2个考点派送人数均为2人，则有种派送方式，若1个考点派送1人，另1个考点派送3人，则有种派送方式，故一共有8+6=14种派送方式.18. 已知命题，命题有意义．（1）若为真命题，求实数的取值范围;（2）若为假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）    （2）或．【解析】【分析】（1）先求出命题,为真命题的等价条件,为真命题,则,均为真命题,求出此时的取值范围即可;（2）由（1） ,为真命题的等价条件,要使为假命题,则为假命题,为真命题,求出此时的取值范围即可.【小问1详解】解:由题知,，解得，即,要使函数有意义,只需,，解得或，即或,若为真，则有，解得:,实数的取值范围是;【小问2详解】由(1)知,或,若为假命题，则与都为假命题，即与都为真命题，或,只需，解得或．则实数的取值范围:或．19. 已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点．（1）求双曲线的标准方程；（2）过左焦点作斜率为的弦AB，求AB的长；（3）求的周长．【答案】（1）    （2）25    （3）54【解析】【分析】（1）双曲线的焦点在轴上，设出双曲线方程，把已知条件代入解方程组即可；（2）写出直线AB的方程，与双曲线方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式求得；（3）由双曲线的定义及弦长AB得出的周长．【小问1详解】因为双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，由题意得，解得，所以双曲线方程为.【小问2详解】依题意得直线AB的方程为，设，.联立，得，，且，所以.【小问3详解】由（2）知A，B两点都在双曲线左支上，且，由双曲线定义，，从而，周长为．20. 已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为2:5.（1）求n的值；（2）系数最大的项．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）第二项与第三项的二项式系数之比为；（2）求二项式系数的最大项，即这一项大于前一项，也大于后一项，列式即可.【小问1详解】因为第二项与第三项的二项式系数之比是，则，即，解得(舍)或，所以n的值为6.【小问2详解】的展开式的通项为，令，解得，又，，展开式中系数最大的项为第项，且．21. 已知抛物线：的焦点为，点在上，且（为坐标原点）．（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线与抛物线交于点A，B两点，若为定值，求实数的值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由先表示出点坐标，代入抛物线的方程求，得出抛物线的标准方程；（2）设过的直线为，与抛物线的方程联立，得出韦达定理及判别式大于零，把韦达定理代入为定值，求出实数的值.【小问1详解】已知点在上，且，，则点在线段的中垂线上，即，把点代入抛物线的方程，则，，解得，所以抛物线的标准方程为．【小问2详解】设过的直线为，，联立，得，则，即，且，所以因为为定值，所以，，解得或（舍去）当，时，所以当为定值时，．22. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E过，直线与椭圆E交于A、B．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线TA、TB的斜率分别为，，证明：；（3）直线是过点T的椭圆E的切线，且与直线l交于点P，定义为椭圆E的弦切角，为弦TB对应的椭圆周角，探究椭圆E的弦切角与弦TB对应的椭圆周角的关系，并证明你的论．【答案】（1）    （2）证明见解析    （3），证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得，，解出a、b即可求解；（2）设，将直线l方程联立椭圆方程，利用韦达定理表示、，结合两点表示斜率公式对化简计算，即可求解；（3）设切线方程，由直线与椭圆的位置关系求出k，得出倾斜角，可得，由，得，结合三角形的外角和即可下结论.【小问1详解】由题意知，，所以，又椭圆经过T（2,1），所以，解得，，所以椭圆方程为；【小问2详解】联立直线与椭圆方程，得，所以，∴，则，解得，设，则，，所以，即；【小问3详解】椭圆E的弦切角与弦TB对应的椭圆周角相等.证明如下：设切线方程为，即，由，得，所以，，解得，则，又，所以，所以，设切线与x轴交点为Q，TA、TB分别与x交于C，D，因为，所以，又，，，所以.【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．