高考数学二轮立体几何专题——内切球

专题3  多面体内切球

等体积法求内切球的半径

题设：正三棱锥求内切球半径（如图1所示）

第一步、先画出内切球的截面图如左图，、分别为两个三角形的外心．

第二步、求,，为侧面的高．

第三步、由相似于，建立等式：解出

正四面体（棱长为）的外接球半径与内切球半径之比为．

外接球半径：，内切球半径：

正三棱柱的外接圆与内切圆：外接圆与内切圆圆心在同一条高上，但不重合．

图1                         图2                               图3 

题设：正四棱锥求内切球半径（如图2所示）

第一步、先画出内切球的截面图如左图，，，三点共线．

第二步、求,，为侧面的高．

第三步、由相似于，建立等式：解出．

题设：求任意三棱锥的内切球半径：等体积法（如图3所示）

第一步、先求出四个表面的面积和整个锥体的体积．

第二步、设内切球半径为，建立等式：．

第三步、解出．

【例1】已知正四面体，为底面的中心，为外接球的球心，设棱长为，外接球半径为，内切球半径为，求．

【例2】（2013•江苏）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（     ）

【例3】正三棱锥，底面边长为，侧棱长为，则其外接球和内切球的半径是多少?

达标训练

1．如图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球是该正八面体的内切球，则球的表面积为（    ）

A．     B． C． D．

2．若某正四面体内切球的体积为，则正四面体外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

3．底面边长为的正三棱锥的内切球半径为，则其外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

4．如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，且．将此正方形沿，，切割得到四个三角形，现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，则该三棱锥的内切球的体积为　   　   ．

        第1题图                       第4题图                        第8题图

5．已知三棱锥中，底面，，，，，则该三棱锥的内切球的体积为　   　．

6．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使，则所得三棱锥的内切球的半径为　   　．

7．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào）．已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为　   　    ．

8．如图，已知正四面体的高为，则它的内切球的体积为　   　    ．

9．已知三棱锥的底面是等腰三角形，，底面，，则这个三棱锥内切球的半径为　   　    ．

10．在边长为的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的内切球的表面积为　   　    ．

1.A2.C3.A4.5.6.;7.;8.;9.;10