浙江省台州市六校2022-2023学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附答案）

台金六校2022学年第二学期高一年级期中联考试题

数学

2023.5

考生须知：

1. 本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分150分，考试时间120分钟。

2. 考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

3. 选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，需将原填涂处用橡皮擦净。

4. 非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，答写在本试题卷上无效。

选择题部分

一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若则z=

A．  B.   C．   D.

2.若且则x=

A． -2    B．     C.    D． 10

3.学生到工厂劳动实践，利用3D打印机技术制作模型。设模型为长方体ABCD-挖去四棱锥O-EFGH所得的几何体（如图），其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用的原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量是

A． 40.5g    B． 45g    C． 49.5g     D． 54g

4.在△ABC中，，E为AD中点，则=

A．  B．   C．  D．

5.在直三棱柱中，，E是的中点，则异面直线CE与所成的角的余弦值是

A．    B.    C.    D．

6.在△ABC中，，AD平分∠BAC交BC于D点，且，则BC=

A． 2  B． 2   C．   D．

7.在正四棱锥中，Q是AB上的动点（不包含端点），M是AD上的中点，点N在线段AD上且满足，分别记的平面角为α，β，γ，则

A．  B．  C．  D.

8. 若O是△ABC的外心，且，则的最大值是

A．   B．  C．   D． 2

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列说法正确的是

A．在△ABC中，若，则

B．在△ABC中，若，则这样△ABC的有两个，

C．若，是非零向量，则在上的投影向量为

D． 若，则

10. a，b，l是不同的直线，α，β是不同的平面，下面条件中能证明的是

A．，

B．B

D．

11.在△OAB中，，点P是等边△ABC（点O与C在AB的两侧）边上的一动点，若，则有

A． 当时，点P必在线段AB的中点处   B．的最大值是

C．的最小值是-1       D.的最大值为

12.如图，在矩形ABCD中，AB=1，，E为AD的中点，将△ABE沿BE翻折成△A'BE，记二面角的平面角为θ，在翻折过程中，下列结论成立的是

A．点在平面BCDE的射影必在线段AC上

B．存在点使得

C．

D．记A'E和A'B与平面BCDE所成的角分别为α，β，则的取值范围是 [0，]

非选择题部分

三、填空题：本题 共4题，每小题5分，共20分。

13.用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图为直角边长是2的等腰直角三角形（如图），则△ABC的面积是___________。

14.圆锥的底面半径为2，表面积为10π，则该圆锥为体积为___________。

15.方山双塔位于台州市黄岩区九峰公园内紫云峰之巅。南宋宝章阁直学士章雄飞《游九峰寺》诗中赞道：“九峰突地三千丈，双塔攒空十二层”。为了测量南塔高度，某同学设计了如下测量方法：先在塔底平台A点处测得塔底中心O在北偏西方向，塔顶仰角的正切值为，再走到距离A点25米的点B处，测得点O在北偏东方向，塔顶仰角为，则该塔的高度为___________米。

16. 在三棱锥A-BCD中，底面BCD是边长为的正三角形，AB⊥面BCD，，三棱锥外接球与内切球球心分别为，则|=___________。

四、解答题：本题共6小题，共70分。

17.（本小题满分10分）

已知

（1）求与的夹角；

（2）求的值。

18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，M，N分别为PB，DC的中点。

（1）求证：MN//平面PAD；

（2）求证：面PAD⊥面ABCD．

19. （本小题满分12分）

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且与平行。

（1） 若，求C的值；

（2） 若，且，求△ABC面积的最大值。

20.（本小题满分12分）

如图，点B是AC为直径的半圆上的一动点PA⊥面ABC，。

（1）若E为PC的中点，当△ABC的面积最大时，求AE与面PBC所成的角；

（2）过点A作平面α，分别交PB，PC于点M，N，当时，求三棱锥外接球的体积。

21.（本小题满分12分）

已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足。

（1）求A角的大小；

（2）若D为AB的中点，P是AC上的动点，且。若最小值为，当取最小值时，求λ的取值范围。

22.（本小题满分12分）

如图，在三棱柱中，，点D为线段中点，侧面为矩形，。

（1） 若，求二面角的正弦值；

（2） 若，求AD与平面所成角的正弦值的取值范围。

台金六校2022学年第二学期高一年级期中联考

数学试题参考答案

一、单选题

二、多选题

三、填空题

13. 4   14.   15.    16.

四、解答题（共70分）

17.（10）分

（1） 由|知得     2分

          4分

所以，的夹角为            5分

（2）             7分

                                  10分

18.（12）分

（1）取PA中点E，连接DE，ME

因为ME是△PAB中位线，所以，且；

又ABCD是菱形，则且

所以，即MNDE是平行四边形。 3分

所以，DE⊂面PAD，MN面PAD

所以MN//面PAD． 6分

（2）取AD中点O，因为°，所以△ADB是正角形，，且；

又因为△PAD是等腰三角形，，可知

因为，由勾股定理知           10分

又因为，BO，AD⊂面ABCD，

所以PO⊥面ABCD，PO⊂面PAD，所以面PAD⊥面ABCD          12分

19.（12）分（1）由知，

由正弦定理知，得       2分

由，得          4分

由正弦定理知      6分

（2）       8分

，

由基本不等式知（仅当取等号），      10分

            12分

（其他方法酌情给分）

20.（12分）

（1）由题意知PA⊥面ABC，所以面PAB过点A作，垂足为F，BC⊥面PAB，AF⊂面

面PBC，∠AEF就是AE与面PBC所成的角。     4分

当△ABC的面积最大时，B为弧中点，，

在△PAB中，，△PAC中，

，所以           6分

（2）过A作，作面AMN，AMN即为平面α       9分

，PN⊥面AMN，将补成长方体，PA即为体对角线，即为外接球的直径，所以。

（或说明球心在PA中点，其他论证酌情给分） 12分

21.（12）分

（1）正弦定理得

）

       4分

（2）作B关于边AC的对称点，连接，并取其中点，当°，设由余弦定理知      6分

在三角形AD'B中，

，

由正弦定理知         9分

△ABC中，，设，由正弦定理

所以           12分

（其它方法酌情给分）

22.（12）分

（1）分别取的中点，连接且，所以是平行四边形，因为，所以，因为侧面是矩形，所以，即，所以BC⊥面，又因为BC⊂面ABC，面⊥面ABC        2分

延长EA，过点作，垂足为O，过O作，垂足为G，连接，由面AA1FE⊥面ABC，可知A1O⊥面ABC，的补角的平面角 4分

，设，

AE是∠CAB的平分线，，所以，二面角的正弦值为。          6分

（2）由（1）知⊥面ABC，点O在线段EA或其延长线上，且|，又，所以8分

点A到面的距离为，

射影O在∠BAC的角平分线上，∴，

∴，即，在△ACD中，

由余弦定理知，所以直线AD与平面所成的线面角α的正弦值为          10分

令，所以

所以            12分