数学九年级上册22.1.1 二次函数同步练习题

《二次函数》全章复习与巩固—巩固练习（提高）

【巩固练习】

一、选择题

1．已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线．若两条抛物线C、关于直线x＝1对称．则下列平移方法中，正确的是（   ）．

A．将抛物线C向右平移个单位    B．将抛物线C向右平移3个单位

C．将抛的线C向右平移5个单位    D．将抛物线C向右平移6个单位

2．已知二次函数的图象如图所示，则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a-2b+c，2a+b，2a-b中，其值大于0的个数为(    )．

    A．2      B．3      C．4     D．5

3．二次函数的图象如图所示，则下列关系式不正确的是(    )．

     A．    B．abc＞0    C．a+b+c＞0    D．

              第2题                第3题

4．在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是(    )

    A．   B．   C．   D．

5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（　　）

    A．函数有最小值    B．对称轴是直线x=      C．当x＜，y随x的增大而减小

D．当-1＜x＜2时，y＞0

6．（2016•梧州）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），直线x=﹣0.5与此抛物线交于点C，与x轴交于点M，在直线上取点D，使MD=MC，连接AC、BC、AD、BD，某同学根据图象写出下列结论：

①a﹣b=0；

②当﹣2＜x＜1时，y＞0；

③四边形ACBD是菱形；

④9a﹣3b+c＞0

你认为其中正确的是（　　）

A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③

7．已知一次函数的图象过点(-2，1)，则关于抛物线的三条叙述：

①过定点(2，1)；②对称轴可以是直线x＝l；③当a＜0时，其顶点的纵坐标的最小值为3．

其中所有正确叙述的有(    )．

    A．0个     B．1个     C．2个     D．3个

8．已知二次函数，下列说法错误的是(    )．

    A．当x＜1时，y随x的增大而减小

    B．若图象与x轴有交点，则a≤4

    C．当a＝3时，不等式的解集是1＜x＜3

    D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，-2)，则a＝-3

二、填空题

9．由抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式为               .

10．已知一元二次方程的一根为-3．在二次函数y=x2+bx-3的图象上有三点、、，y1、y2、y3、的大小关系是              .

11．如图，一段抛物线y=-x（x-1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为(             ).

12．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝3x2不动，而把x轴、y轴分别向上，向右平移3个单位，那么在新坐标系下，此抛物线的解析式是                    .

13．已知二次函数(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x＝1和x＝3时，函数值相等；③4a+b＝0；④当y＝-2时，x的值只能取0，其中正确的有           .（填序号）

14．已知抛物线的顶点为，与x轴交于A、B两点，在x轴下方与x轴距离为4的点M在抛物线上，且，则点M的坐标为              ．

15．（2015•繁昌县一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．下列结论：①4a+2b+c＜0；②a＜﹣1；③b2+8a＞4ac；④2a﹣b＜0．其中结论正确的有　          　．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）

16．如图所示，抛物线向右平移1个单位得到抛物线y2．回答下列问题：

 (1)抛物线y2的顶点坐标________．(2)阴影部分的面积S＝________．

(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的开口方向________，

顶点坐标________．

三、解答题

17．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨l元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．

    (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

    (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?

    (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元?根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元?

18．（2015•黔东南州）如图，已知二次函数y1=﹣x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2=kx+b．

（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；

（2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；

（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．

19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)三点．

    (1)求抛物线的解析式；

    (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m

的函数关系式，并求出S的最大值；

    (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

20. （2016•菏泽）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；

（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】C；

【解析】，

∴  其顶点坐标为，设顶点坐标为，由题意得，

∴  ，∴  的解析式为．

由到需向右平移5个单位，因此选C．

2.【答案】A；

【解析】由图象知，a＜0，c＜0，，

    ∴  b＞0，ac＞0，∴  2a-b＜0．

    又对称轴，即2a+b＜0．

    当x＝1时，a+b+c＞0；当x＝-2时，4a-2b+c＜0．

    综上知选A．

3.【答案】C；

【解析】由抛物线开口向下知a＜0，由图象知c＞0，，b＜0，即abc＞0，又抛物线与x轴有两个交点，所以．   

4.【答案】B；

【解析】抛物线，其顶点(-1，2)绕点(0，3)旋转180°后坐标为(1，4)，开口向下．

          ∴  旋转后的抛物线解析式为．

5.【答案】D；

【解析】解：A、抛物线开口向上，二次函数有最小值，所以A选项的说法正确；
B、抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（2，0），则抛物线的对称轴为直线x=，所以B选项的说法正确；
C、当x＜，y随x的增大而减小，所以C选项的说法正确；
D、当-1＜x＜2时，y＜0，所以D选项的说法错误．
故选D． 

6.【答案】C；

【解析】①∵抛物线的开口方向向上，

∴a＞0，∵对称轴为x==2＞0，又∵a＞0，∴b＜0，即a，b异号，①错误；

②∵x=1和x=3关于x=2对称，

∴当x=1和x=3时，函数值相等，②正确；

③∵x==2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，③正确；

④∵y=﹣2正好为抛物线顶点坐标的纵坐标，

∴当y=﹣2时，x的值只能取2，④正确；

⑤∵对称轴为x=2，

∴x=﹣1和x=5关于x=2对称，

故当﹣1＜x＜5时，y＜0．⑤正确.

∴②、③、④、⑤正确．故选C．

7.【答案】D．

【解析】①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），

∴该抛物线的对称轴为x=﹣=﹣0.5，

∴a=b，a﹣b=0，①正确；

②∵抛物线开口向下，且抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），

∴当﹣2＜x＜1时，y＞0，②正确；

③∵点A、B关于x=0.5对称，

∴AM=BM，

又∵MC=MD，且CD⊥AB，

∴四边形ACBD是菱形，③正确；

④当x=﹣3时，y＜0，

即y=9a﹣3b+c＜0，④错误．

综上可知：正确的结论为①②③．

故选D．

8．【答案】C；

【解析】二次函数的对称轴为x＝2，由于a＝1＞0，当x＜2时，y随x增大而减小，

因此A是正确的；若图象与x轴有交点，则△＝16-4a≥0，∴  a≤4．

当a＝3时，不等式为x2-4x+3＞0，此时二次函数，令y＝0，得x1＝1，x2＝3，当x＜1或x＞3时，y＞0，所以不等式的解集为x＜1或x＞3．抛物线平移后得，即，将(1，-2)代入解得．

二、填空题

9．【答案】y＝(x+2)2-3；

  【解析】y＝x2的顶点为(0，0)，y＝(x+2)2+3的顶点为(-2，-3)，将(0，0)先向左平移2个单位，再向下平移3个单位可得(-2，-3)，即将抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到抛物线y＝(x+2)2-3．

10．【答案】y1＜y2＜y3.

【解析】设x2+bx-3＝0的另一根为x2，则，∴  x2＝1，

∴  抛物线的对称轴为，开口向上时，到对称轴的距离越大函数值越大，

所以y1＜y3，y1＜y2＜y3，也可求出b＝2，分别求出y1，y2，y3的值再比较大小．

11．【答案】（9.5，-0.25）；

【解析】解：y=-x（x-1）（0≤x≤1），
OA1=A1A2=1，P2P4=P1P3=2，
P2（2.5，-0.25）
P10的横坐标是1.5+2×[（10-2）÷2]=9.5，
p10的纵坐标是-0.25，
故答案为（9.5，-0.25）．

12．【答案】y＝3(x+3)2-3；  

【解析】抛物线y＝3x2的顶点为(0，0)，将x、y轴分别向上，向右平移3个单位，逆向思考，

即将(0，0)向下，向左平移3个单位，可得顶点为(-3，-3)，因此，新坐标系下抛物线的

解析式是y＝3(x+3)2-3．

13．【答案】②③；

【解析】由图象知，抛物线与x轴交于点(-1，0)，(5，0)，于是可确定抛物线的对称轴为，

则，∴  4a+b＝0，故③是正确的；

又∵  抛物线开口向上，∴  a＞0，b＝-4a＜0，

∴  ①是错误的；又∵  ，即x＝1和x＝3关于对称轴x＝2对称，其函数值相等，

∴  ②是正确的；根据抛物线的对称性知，当y＝-2时，x的值可取0或4．

∴  ④是错误的．

14．【答案】(2，-4)或(-1，-4)；

【解析】∵  ，∴  |AB|＝5．

           又∵  抛物线的对称轴为直线，∴  A、B两点的坐标为(-2，0)和(3，0)．

           设抛物线的解析式为，则   解得

           ∴  抛物线的解析式为．

           当y＝-4时，，∴  ，∴  x1＝-2，x2＝-1．

          ∴  M点坐标为(2，-4)或(-1，-4)．

15．【答案】①②③④；

   【解析】由二次函数的图象可得：当x=2时y＜0，则有4a+2b+c＜0（1），故①正确；

∵二次函数的图象经过点（1，2），∴a+b+c=2（2），

由二次函数的图象可得：当x=﹣1时，y＜0，则有a﹣b+c＜0（3），

把（2）代入（1）得到2+3a+b＜0，则有a＜，

把（2）代入（3）得到2﹣2b＜0，则有b＞1，

则a＜﹣1，故②正确；

由二次函数的图象中顶点的位置，可得：＞2（4），

由抛物线开口向下，可得：a＜0，

则由（4）可得4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故③正确；

由抛物线的对称轴的位置，可得＞0，则b＞0，

又由a＜0，则有2a﹣b＜0，故④正确；

故答案为：①②③④．

16．【答案】 (1)(1，2)；  (2)2；  (3)向上；  (-1，-2)； 

【解析】抛物线向右平移1个单位，则顶点由(0，2)移到(1，2)．利用割补法，阴影部分面积恰好为两个正方形的面积．若将抛物线y2绕原点O旋转180°，则抛物线y2的顶点与点(1，2)关于原点对称．

三、解答题

17.【答案与解析】

    (1)y＝(210-10x)(50+x-40)＝-10x2+110x+2100(0＜x≤15且x为整数)．

    (2)y＝-10(x-5.5)2+2402.5，

    ∵  a＝-10＜0，∴  当x＝5.5时，y有最大值2402.5．

    ∵  0＜x≤15，且x为整数．

    当x＝5时，50+x＝55，

    y＝-10(5-5.5)2+2402.5＝2400(元)；

    当x＝6时，50+x＝56，可求出y＝2400(元)．

    ∴  当售价定为每件55元或56元，每月利润最大，最大利润是2400元．

    (3)当y＝2200时，-10x2+110x+2100＝2200，解得x1＝1，x2＝10．

    ∴  当x＝1时，50+x＝51，当x＝10时，50+x＝60．

    ∴  当售价定为每件51元或60元时，每个月的利润为2200元．

    当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元．

18.【答案与解析】

 解：（1）将A点坐标代入y1，得

﹣16+13+c=0．

解得c=3，

二次函数y1的解析式为y=﹣x2+x+3，

B点坐标为（0，3）；

（2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是x＜0或x＞4，

∴x＜0或x＞4时，y1＜y2；

（3）直线AB的解析式为y=﹣x+3，

AB的中点为（2，）

AB的垂直平分线为y=x﹣

当x=0时，y=﹣，P1（0，﹣），

当y=0时，x=，P2（，0），

综上所述：P1（0，﹣），P2（，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形．

 19.【答案与解析】

    (1)设抛物线的解析式为(a≠0)．

∵  抛物线经过点A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)，

∴    解得

    ∴  抛物线的解析式为．

    (2)过点M作MD⊥x轴于点D． 设M点的坐标为(m，n)，则AD＝m+4，

    ，．

∴ 

      ．

∴  当时，．

(3)满足题意的Q点的坐标有四个，

分别是：(-4，4)、(4，-4)、、．

20.【答案与解析】

解：（1）由题意解得，

∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2．

（2）∵y=x2﹣x+2=（x﹣1）2+．

∴顶点坐标（1，），

∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3），

∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=•3+•1=3．

（3）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，

当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0，

∴b=，

当直线y=﹣x+b经过点C时，b=3，

当直线y=﹣x+b经过点B时，b=5，

∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，

∴＜b≤3．