初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数学案及答案

这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数学案及答案，共8页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，或向下（c＜0），典型例题，总结升华，答案与解析等内容，欢迎下载使用。
二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解（提高） 【学习目标】1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式； 2．会用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0) 与的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念； 3. 掌握二次函数y=ax2(a≠0) 与的图象的性质，掌握二次函数与之间的关系；（上加下减）.【要点梳理】要点一、二次函数的概念
1.二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数. 　　若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
　　① （a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.2.二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，，为常数，）；2. 顶点式：（，，为常数，）；3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）.要点诠释：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 要点二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线。 因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.  2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.要点诠释：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c（a≠0）的图象．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质　　二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0  要点诠释：
   顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.要点三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质 1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）       （2）         2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向向上向下顶点坐标(0，c)(0，c)对称轴y轴y轴函数变化当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.最大（小）值当时，当时， 3.二次函数与之间的关系；（上加下减）.的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.要点诠释：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．    抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已． 【典型例题】类型一、二次函数的概念1. (1)当m＝________时，函数是二次函数?       (2)当m＝________时，函数是一次函数?【答案】  (1) ； (2)0或-1或.【解析】 (1)依题意有  解之得，∴  ．    故当时，函数是二次函数．    (2)若原函数是一次函数，则是一次项或常数项，从而可分三种情况考虑．    ①解得 即．    ②m+1＝0，即m＝-1．    ③2m+1＝0，即．【总结升华】此题根据二次函数和一次函数的定义，确定m的值．(1)题关键要考虑两点：一是自变量的最高次数，二是最高次项系数不为零．(2)题运用了分类讨论思想，讨论时应防止重复和遗漏．举一反三：【变式】（2014•长沙县校级模拟）若是关于x的二次函数，则a=　 　     ．【答案】-1；提示：根据题意得：3a2﹣1=2；解得a=±1；又因a﹣1≠0；即a≠1；∴a=﹣1． 类型二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质2. 二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2013在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2013在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2012B2013A2013都为等边三角形，求△A2012B2013A2013的边长．                   【答案与解析】如图所示，作B1C1⊥y轴，垂足为C1．    ∵  △A0A1B1为等边三角形，∴  ∠A0B1C1＝30°．    设A0C1＝a，则A0B1＝2a，B1C1＝．∴  B1(，)，    ∴  ，∴  ，∴  ．作B2C2⊥y轴，设A1C2＝m，则A1B2＝2m，C2B2＝m，∴  ．又．    ∴  2m2-m-1＝0，(2m+1)(m-1)＝0，∴  m＝1或(舍)．    A1B2＝2．同理可求A2B3＝3，A3B4＝4，…∴  △A2012B2013A2013的边长为2013． 【总结升华】分别在△A0A1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…中，运用勾股定理分别表示出B1、B2、B3的坐标，利用抛物线解析式建立等式，分别求出△A0A1B1，△A1A2B2，△A2A3B3的边长，然后探究规律，求出△A2012A2013B2013的边长． 类型三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质3.  有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．                                           【答案与解析】（1）由题意，设抛物线所对应的函数关系为y=ax2+6（a＜0），
∵点A（-4，0）或B（4，0）在抛物线上，
∴0=a•（-4）2+6，
16a+6=0，16a=-6，
．
故抛物线的函数关系式为.
（2）过点P作PQ⊥AB于Q，连接PB，则PQ=4.5m．
     将y=4.5代入，得x=±2．
     ∴P（-2，4.5），Q（-2，0），
     于是|PQ|=4.5，|BQ|=6，
     从而|PB|=
     所以照明灯与点B的距离为7.5m．【总结升华】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．（1）根据抛物线在坐标系的位置可设解析式：y=ax2+6，把点A（-4，0）代入即可；（2）灯离地面高4.5m，即y=4.5时，求x的值，再根据P点坐标，勾股定理求PB的值. 举一反三：【变式】(1)抛物线的开口方向        ，对称轴是         ，顶点坐标是          ． (2)抛物线与的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为             ．(3)抛物线向     平移     个单位后，得到抛物线.【答案】(1)下；y轴；（0，-5）.(2)y=3x2+1, y=-3x2+1. (3)下；10. 4.  根据下列条件求a的取值范围：    (1)函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；    (2)函数y＝(3a-2)x2有最大值；    (3)抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同；    (4)函数的图象是开口向上的抛物线．【答案与解析】(1)由题意得，a-2＜0，解得a＜2．    (2)由题意得，3a-2＜0，解得．    (3)由题意得，，解得，．    (4)由题意得，，解得a1＝-2，a2＝1，但a＞0，∴  a＝1．【总结升华】解答此类问题，要注意联想二次函数的图象和性质，抓住形状、开口、最值、增减性等特征，并结合草图去确定二次项系数的取值范围． 举一反三：【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数  的图象大致为（    ）．      【答案】B.5. （2014•江阴市校级二模）关于二次函数y=2x2+3，下列说法中正确的是（　　）A. 它的开口方向是向下；B. 当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；C. 它的对称轴是x=2；D. 当x=0时，y有最大值是3.【答案】B.【解析】A、∵二次函数y=2x2+3中，x=2＞0，∴此抛物线开口向上，故本选项错误；B、∵抛物线的对称轴x=﹣=0，∴当x＜﹣1时函数图象在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故本选项正确；C、抛物线的对称轴为x=0，故本选项错误；D、∵抛物线开口向上，∴此函数有最小值，故本选项错误．故选B．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，主要涉及开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标，最值问题，熟记二次函数的性质是解题的关键．