初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.2 相似三角形的性质习题

相似多边形及位似--巩固练习

【巩固练习】

一. 选择题

1.下面给出了相似的一些命题：

（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相

似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（　　）

A．2个     B．3个      C．4个     D．5个

2.下列说法错误的是（　　 ）.
A.位似图形一定是相似图形.
B.相似图形不一定是位似图形.
C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.

3.下列说法正确的是（　　 ）
  A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE    

是ABC放大后的图形.     
B.两位似图形的面积之比等于相似比.
C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.
D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.

4.平面直角坐标系中，有一条“鱼，它有六个顶点”，则（　　 ）
A.将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.
B.将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.
C.将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似.
D.将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似.

5.（2015•杭州模拟）如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是（　　）

A. 10     B. 12      C.      D.

6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（　　）

A. AB：AC=AC：BC    B. AC=    C.AB=   D.BC≈0.618AB

A.       B.      C.      D.2

二. 填空题

8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为___   ___.

9.已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，则这样的图形可以作出______个，它们之间的关系是__________.

10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形的周长的比值是__________．
　 　　　　　

11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.

12.（2015春•庆阳校级月考）图中的两个四边形相似，则x+y=　　，α=　　．

13.如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为__________________.

14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.

三． 综合题

15.如图，D、E分别AB、AC上的点.
　(1)如果DE∥BC，那么△ADE和 △ABC是位似图形吗？为什么？
　(2)如果△ADE和 △ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？
　　　　　　　　
　

16.（2014•南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．

（1）求证：EB=GD；

（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．

17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4．
（1）求矩形ODEF的面积；

（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
 

【答案与解析】

一、选择题

1．【答案】B

【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误；
（2）（3）（5）符合相似的定义，故正确；
（4）对应边的比不一定相等．故错误．
故正确的是：（2）（3）（5）．故选B．

2．【答案】D.

3．【答案】C.

4．【答案】C.

5．【答案】C．

【解析】∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，

∴=，

∵AB=12，CD=15，A1B1=9，

∴C1D1==．

6．【答案】D.

【解析】∵AC＞BC，
∴AC是较长的线段，
根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，AC=, AB=

AC≈0.618AB．故选D．

7.【答案】B.

【解析】∵AB=1，
设AD=x，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，
，
解得,,（负值舍去），
经检验是原方程的解．故选B．

二、填空题

8.【答案】50cm.

9.【答案】2个； 全等.

10.【答案】1：2．
　 【解析】∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′=20cm，
　　　　∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA：OA′=10：20=1：2，
　　　　∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1：2．
　　　　  故答案为：1：2．

11.【答案】 ；

【解析】由BC∥DE可得△ADE∽△ABC，所以，故.

12.【答案】63，85°.

【解析】由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，

∴ 18：4=x：8=y：6，解得x=36，y=27，则x+y=36+27=63．

∴a=360°﹣（77°+83°+115°）=85°．

故答案为63，85°．

13. 【答案】.

【解析】∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，
∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比为2：1，
∵正六角星形AFBDCE的面积为1，
∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为，
同理可得，第三个六角形的面积为：=，
第四个六角形的面积为：，
故答案为：.

14. 【答案】；

【解析】∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
又BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴∠BDC=72°，
∴BC=BD=AD，
∵D点是AC的黄金分割点，

∴BC=AD=4×=.

三．解答题

15.【答案与解析】

(1)△ADE和 △ABC是位似图形.理由是：
　  DE∥BC，所以∠ADE=∠B， ∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以.
    又因为 点A是△ADE和 △ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C

是对应点，直线BD与CE交于点A，所以△ADE和 △ABC是位似图形.
　 (2)DE∥BC.理由是：
　  因为△ADE和△ABC是位似图形，
　  所以△ADE∽△ABC
　  所以∠ADE=∠B
　  所以DE∥BC.

16.【答案与解析】

（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，

∴∠EAG=∠BAD，

∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，

∴∠EAB=∠GAD，

∵AE=AG，AB=AD，

∴△AEB≌△AGD，

∴EB=GD；

（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，

∵∠DAB=60°，

∴∠PAB=30°，

∴BP=AB=1，

AP==，AE=AG=，

∴EP=2，

∴EB===，

∴GD=．

17.【答案与解析】

（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，
∴S矩形ODEF=S矩形ABCO=×4×4=；
（2）存在．
∵OE=
所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，
设点O到AC的距离为h，
AC=

∴8h=4×4，
解得h=2，
∴当点E到AC的距离为2+2时，△ACE的面积有最大值，
当点E到AC的距离为2-2时，△ACE的面积有最小值，
S最大=

S最小=