63《相似》全章复习与巩固--巩固练习（提高）

《相似》全章复习与巩固--巩固练习（提高）

【巩固练习】

一、选择题

1．如图所示，给出下列条件：
　 ①；　②；③；　　④.

其中单独能够判定的个数为(    )
　　　　　　
　A．1　   B．2　   C．3 　  D．4
2．（2015•酒泉）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）

　 A． B．  C．  D． 

3．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，则下列关系式中成立的有(   ) 　

①； ②； ③ ；④CE2=CD×BC； ⑤BE2=AE×BC. 　

A．2个 　　　B．3个　　　 C．4个　　　 D．5个
　　　　　　　　

4.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA∶OC = OB∶OD，则下列结论中一定正确的是 (   )
A．①和②相似  　　B．①和③相似      C．①和④相似   　　D．②和④相似
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

5．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，其中②～⑥中与三角形①相似的是(    )
　　　　　　　　
　 A．②③④　　　 B．③④⑤　　　 C．④⑤⑥　　　 D．②③⑥

6. （2016•淄博）如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（　　）

A． B．   C． D．

7. 如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度(    )
A.增大1.5米 　　　B.减小1.5米 　　　C.增大3.5米 　　　D.减小3.5米

8. 已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，

若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（　　）

A.         B.       C.          D.  2

二、填空题

9. 如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，则AD=_________.
　　　　　　　　　

10. 如图，M是ABCD的边AB的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与ABCD的面积之比为___    __.
　　　　　　　　　　　

11. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm，则它的宽约为_______________.

12.（2014•青海）如图，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8米，与水塔相距32米，则水塔的高度为　　米．

13.正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=_______cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为__________.cm2．

14.如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为__________________．

15. 如图，ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.若△DEF的面积为a，则ABCD中的面积为       .(用a的代数式表示)

      第15题                

16. （2012•岳阳）如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，且AD=AB，DF∥BC，E为BD的中点．若EF⊥AC，BC=6，则四边形DBCF的面积为_______________.

三、解答题

17. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.

(1)求证：△EDM∽△FBM；(2)若DB=9，求BM.
　　　　

18.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN， （注解=）．

（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的自变量取值范围；

（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．
　　
　　　　　　　　图1 　　　　　　　　　　图2 　　　　　　　　　备用图
 

19.（2015•杭州）如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．

（1）若=，AE=2，求EC的长；

（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．

20. （2016•怀化）如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．

（1）求证：△AEH∽△ABC；

（2）求这个正方形的边长与面积．

【答案与解析】

一．选择题

1．【答案】C.

【解析】①②④正确，考点：三角形相似的判定.

2．【答案】D.

【解析】∵S△BDE：S△CDE=1：3，

∴BE：EC=1：3；

∴BE：BC=1：4；

∵DE∥AC，

∴△DOE∽△AOC，

∴=，

∴S△DOE：S△AOC==，故选D．

3．【答案】B.

【解析】提示：②③④成立.

4．【答案】B

5．【答案】B

6.【答案】A．

【解析】如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCF+∠ACE=90°，

∵∠BCF+∠CFB=90°，

∴∠ACE=∠CBF，

在△ACE和△CBF中，

，

∴△ACE≌△CBF，

∴CE=BF=3，CF=AE=4，

∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，

∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7

∴AB==5，

∵l2∥l3，

∴=

∴DG=CE=，

∴BD=BG﹣DG=7﹣=，

∴=．

7.【答案】D；

【解析】由题意，，

由相似，，

同理，.

8. 【答案】B.

【解析】∵AB=1，设AD=x，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴,
，
解得x1=，x2=（负值舍去），
经检验x1=是原方程的解．故选B．

二．填空题

9．【答案】6.4.

　【解析】提示：在Rt△ABC中，，
　　　　　由.

10．【答案】 .

【解析】，，
　　　　　(三角形等高，面积比等于底边比)
　　　　　，
　　　　　 阴影部分的面积与ABCD的面积之比为1：3.

11．【答案】12.36cm.

12．【答案】10.

13.【答案】.

【解析】设BM=xcm，则MC=（1-x）cm，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．

14．【答案】.

【解析】求两条线段的关系，把两条线段放到两个三角形中，利用两个三角形的关系求解．

15.【答案】12a.

【解析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用已知得出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，进而利用相似三角形的性质分别得出△CEB、△ABF的面积为4a、9a，然后推出四边形BCDF的面积为8a即可.

16.【答案】15.

三.综合题

17．【解析】(1)证明：∵E是AB的中点，
　　　　　　　    　∴AB=2EB，∵AB=2CD，∴CD=EB.
　　　　　　　    　又AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形.∴CB∥DE，
　　　　　　　   　∴

∴△EDM∽△FBM.
　　　    (2)解：∵△EDM∽△FBM，∴.
　　　　　　   　∵F是BC的中点，
　　　　　　　∴DE=2BF.∴DM=2BM.∴BM=DB=3.
18．【解析】(1) 由AE=40，BC=30，AB=50，∴CP=24，又sin∠EMP=，∴CM=26。
　       　(2) 在Rt△AEP与Rt△ABC中，∵∠EAP=∠BAC，∴Rt△AEP∽Rt△ABC，
　　      　　∴ ，即，∴ EP=x，
　　　　      又sin∠EMP=，∴tan∠EMP==，∴=，∴ MP=x=PN，
　　　　      y=BN=AB-AP-PN=50-x-x=50-x (0<x<32).
　      　(3) ① 当E在线段AC上时，由(2)知，，即，∴EM=x=EN，
　　 　　　  又AM=AP-MP=x-x=x，
　　 　　 　由题设△AME∽△ENB，∴ ，∴=，解得x=22=AP.
　　 　    ② 当E在线段BC上时，由题设△AME∽△ENB，∴ ∠AEM=∠EBN。
　　 　　　 由外角定理，∠AEC=∠EAB+∠EBN=∠EAB+∠AEM=∠EMP，
　　 　　　 ∴ Rt△ACE∽Rt△EPM，∴，即，∴CE=…①.
　　 　　　 设AP=z，∴PB=50-z，
　　 　　　 由Rt△BEP∽Rt△BAC，∴，即=，∴BE=(50-z)，
　　 　　　 ∴CE=BC-BE=30-(50-z)…②.
　　 　　　 由①，②，解=30-(50-z)，得z=42=AP.
19.【解析】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，

∴DE∥BC，

∴，

∵，AE=2，

∴EC=6；

（2）①如图1，若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线．

证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，

又∵∠CFG=∠ECD，

∴∠CGF=∠PCG，

∴CP=PG，

∵∠CFG=∠ECD，

∴CP=FP，

∴PF=PG=CP，

∴线段CP是△CFG的FG边上的中线；

②如图2，若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线．

证明：∵DE⊥AC，

∴∠EDC+∠ECD=90°，

∵∠CFG=∠EDC，

∴∠CFG+∠ECD=90°，

∴∠CPF=90°，

∴线段CP为△CFG的FG边上的高线．

③如图3，当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．

20.【解析】

（1）证明：∵四边形EFGH是正方形，

∴EH∥BC，

∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，

∴△AEH∽△ABC．

（2）解：如图设AD与EH交于点M．

∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，

∴四边形EFDM是矩形，

∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为x，

∵△AEH∽△ABC，

∴=，

∴=，

∴x=，

∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2．