数学九年级下册27.2.1 相似三角形的判定学案设计

图形的相似和比例线段--知识讲解（基础）

【学习目标】

1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；

2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义；

3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.

【要点梳理】

要点一、比例线段

1．线段的比：

 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成．

2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

3．比例的基本性质：

（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；

（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．

要点二、相似图形

在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).

要点诠释：
　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
   (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；

要点三、相似多边形

相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．

要点诠释：

（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．

（2）相似多边形对应边的比称为相似比．

【典型例题】

类型一、比例线段

1.（2014•甘肃模拟）若==（abc≠0），求的值．

【答案与解析】解：设===k，

则a=2k，b=3k，c=5k，

所以===．

【总结升华】本题考查了比例的性质．解题的关键是先假设===k，得出a=2k，b=3k，c=5k，降低计算难度．

举一反三：

【变式】（2015•兰州一模）若3a=2b，则的值为（　　）

　 A． B．  C．  D． 

【答案】A

【解析】解：∵3a=2b，

∴=，

设a=2k，则b=3k，

则==﹣．

故选A．

类型二、相似图形

2.（2014•江北区模拟）下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（　　）

（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．

A.1个    B.2个    C.3个   D.4个

【答案】C.

【解析】解：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；

（2）等腰直角三角形都相似，正确；

（3）正方形都相似，正确；

（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；

（5）正六边形都相似，正确，

故符合题意的有3个．故选：C．

【总结升华】此题主要考查了相似图形，应注意：

①相似图形的形状必须完全相同；

②相似图形的大小不一定相同；

③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．

举一反三：
【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　 

【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性.

类型三、相似多边形

3. 如图，已知四边形相似于四边形，求四边形的周长.
　　　　　　　　　　　　
【思路点拨】先根据相似多边形的对应边的比相等，求出四边形的未知边的长，然后即可求出该四边形的周长

【答案与解析】∵四边形相似于四边形
　　　　      ∴，即
　　        　∴
　　　      　∴四边形的周长.

【总结升华】观察一下可以发现，周长比等于边的比.

举一反三：
【变式】如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小.
　　　　　　　　　　　　　　　　

【答案】根据题意，两个四边形是相似形，得
　　　　　 ，解得
　　　　　 .

4. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？
　　　　　　　　　　　　　　
 

【答案与解析】　解：∵矩形MFGN与矩形ABCD相似
　　　　
　　　　当时，S有最大值，最大值为.

【总结升华】借助相似，把最值问题转移到函数问题上，是解决这类题型最好方法之一.