湖北省十堰市郧阳中学等四校联考2022-2023学年高二数学下学期5月联考试题（Word版附答案）

郧阳中学､恩施高中､随州二中､襄阳三中高二下学期五月联考

高二数学试卷

考试时间：2023年5月11日下午

试卷满分：150分

一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.某次数学竞赛获奖的6名同学上台领奖，若其中的甲､乙､丙三人上台的先后顺序已确定，则不同的上台顺序种数为（    ）

A.20    B.120    C.360    D.720

2.在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（    ）

A.4    B.8    C.16    D.32

3.近期襄阳三中在举行新团员竞选活动，已知襄阳三中优秀学生的概率约为10%，在全体学生中有20%是团员，团员中优秀学生概率约为40%，则非团员中优秀学生的概率约为（    ）

A.2.5%    B.3.2%    C.4.8%    D.2%

4.襄阳一桥全称“襄阳江汉大桥”，于1970年正式通车，在和襄阳城长达53年的相处里，于襄阳人来说一桥早已无可替代.江汉大桥由主桥架､上下水平纵向联结系､桥门架和中间横撑架以及桥面系组成，下面是一桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成.其中AB=BH，那么直线AH与直线IG所成角的余弦值为（    ）

A.    B.    C.    D.

5.衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知函数，若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.已知为椭圆上任一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（    ）

A.0    B.    C.    D.

8.已知函数，若存在两条不同的直线与函数和图像均相切，则实数的取值范围为（    ）

A.    B.

C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.

9.下列说法中正确的是（    ）

A.已知随机变量服从二项分布，则

B.“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件

C.已知随机变量的方差为，则

D.已知随机变量服从正态分布且，则

10.已知为坐标原点，为抛物线上一点，直线与交于两点，过作的切线交于点，则下列结论正确的是（    ）

A.

B.若点为，且直线与倾斜角互补，则或

C.点在定直线上

D.设点为，则的最小值为3

11.已知正四面体的棱长为2，点分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（    ）

A.直线平面

B.若，则平面

C.直线到平面的距离为

D.若取得最小值，则

12.已知是函数的零点，是函数的零点，且下列说法正确的是（    ）（参考数据：）

A.

B.若.则

C.存在实数，使得，且成等差数列

D.存在实数，使得成等比数列

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知，则__________.

14.已知，且，其中是自然对数的底数，则实数的大小关系是__________.（用“”连接）

15.如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线的一部分，设该双曲线的方程为，右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为__________.

16.有n个编号分别为1，2，...，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是__________，从第n个盒子中取到白球的概率是__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.快到采摘季节了，某农民发现自家果园里的某种果实每颗的重量有一定的差别，故随机采摘了100颗，分别称出它们的重量（单位：克），并以每10克为一组进行分组，发现它们分布在区间，，，，并据此画得频率分布直方图如下：

（1）求的值，并据此估计这批果实的第70百分位数；

（2）若重量在（单位：克）的果实不为此次采摘对象，则从果园里随机选择3颗果实，其中不是此次采摘对象的颗数为，求的分布列和数学期望.

注意：把频率分布直方图中的频率视为概率.

18.记数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）对任意，求数列的前项和.

19.如图，S为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，内接于，为的一条弦，且平面.

（1）求的最小值；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

20.某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择：

方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元；

方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元.

（1）若用方案一，求的分布列与数学期望；

（2）比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高？请说明理由；

（3）若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为100万元，为数据的方差，计算结果为225万元，若规定奖金只有贡献利润大于115万元的员工可以获得，若按方案一与方案二两种抽奖方式获得奖金的数学期望值的最大值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）参考数据：若随机变量服从正态分布，则

21.已知过点的直线l与抛物线相交于A，B两点，当直线l过抛物线C的焦点时，.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若点，连接QA，QB分别交抛物线C于点E，F，且与的面积之比为，求直线AB的方程.

22.设定义在R上的函数.

（1）若存在，使得成立，求实数a的取值范围；

（2）定义：如果实数s，t，r满足，那么称s比t更接近r.对于（1）中的a及，问：和哪个更接近？并说明理由.

郧阳中学､恩施高中､随州二中､襄阳三中高二下学期五月联考

高二数学答案

13.511    14.    15.    16.；

17.（1）解：因为频率分布直方图的组距为10，

所以，落在区间，，上的频率分别为0.20，0.32，0.18，

所以，.

因为落在区间上的频率为，

而落在区间上的频率为，

所以第70百分位数落在区间之间，设为，

则，解得，

所以估计第70百分位数为31.

（2）解：由（1）知，重量落在的频率为0.2，由样本估计总体得其概率为0.2，

因为可取0，1，2，3，且，

则，，

，，

所以的分布列为：

所以的数学期望为（或直接由）.

18.（1）因为，

所以，

当时，，

所以从第项起为以为公比的等比数列，所以，

所以数列的通项公式；

（2）由（1）知，

则①，

②，

①-②得，

化简得.

19.（1）过点作交于点，过点H作⊥，

此时满足平面，由平面几何知识易知，，当弦心距最大时，

，弦长最短，即取得最小值，因为，所以，

因为，由勾股定理得，故，

连接，则，由勾股定理得，

所以；

（2）连接，则平面ACB，因为平面ACB，故，而，，

所以平面，即有.以O为坐标原点，过点且平行的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，

设平面的法向量为，则，

令，则，故，

设直线与平面所成角的大小为，

则.

故直线与平面所成角的正弦值为.

20.（1）对于方案一，由条件可知有可能取值为3，4，5，6，

，，

，，

∴的分布列为：

期望值.

（2）对于方案二，由条件可得值为3，4，5，6，

，，

，，

∴的期望值

∵所以方案二员工获得奖金数额的数学期望值会更高.

（3）由（1）（2）可知，平均每位员工获得奖金的数学期望的最大值为，

则给员工颁发奖金的总数为（万元），

设每位职工为企业的贡献的数额为，

所以获得奖金的职工数约为

.

（人）

则获奖员工可以获得奖金的平均数值为（万元）.

21.（1）设，因为抛物线C的焦点为，

所以当直线l过C的焦点时，直线AB的方程为，

由得.

则，

，

整理得，

所以，故抛物线C的方程为.

（2）易知直线AB的斜率在且不为零，设直线AB的方程为，

由得，

则，即或，.

易知直线AQ的方程为，

由得，

设，则，

设，同理可得，

则

，

得，故直线AB的方程为.

22.（1）因为存在，使得成立，即

由题设知，，

①当时，恒成立，在R上单调递增；

即在单调递增，，不满足，

所以舍去.

②当时，令，得，

当时，单调递减，当时，单调递增；

当时，在单调递增，，不满足，所以，舍去.

当时，，在单调递减，在单调递增，所以成立，故当时成立.

综上：实数a的取值范围.

（2）令，

，在单调递减.因为

故当时，；当时，；

令，

，令，，在单调递增，

故，所以，则在单调递增，

所以，由（1）知，；

①当时，，，

令，

所以，故在单调递减，

所以，由（1）知，所以，

即，故，

所以比更接近；

②当时，，，

令，，令，

，在上单调递减，

所以，，在单调递减，

所以，由（1）知，所以，

即，故，

所以比更接近；

综上：当及，比更接近.