2023年6月浙江省高考数学仿真模拟卷03（全解全析）

2023年6月浙江省高考仿真模拟卷03

数学·全解全析

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解指数不等式求得集合，由此求得.

【详解】，所以，

所以.

故选：A

2．已知，则z的虚部是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，结合复数的乘方及除法运算求出复数，再求出的虚部作答.

【详解】依题意，，即，

所以复数的虚部是.

故选：D

3．已知的展开式中各项的二项式系数之和为256，则展开式中的常数项为（    ）

A．-70 B．70 C．-40 D．30

【答案】B

【分析】首先由二项式系数和为，求出，再写出展开式的通项，即可求出展开式的常数项；

【详解】解：依题意可得，所以，

则展开式的通项为，

令，解得，所以展开式中常数项为；

故选：B

4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A={两次的点数均为偶数}，B={两次的点数之和为8}，则P（B|A）=

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：根据条件概率的计算公式， ，可先分别求出与．

详解：

根据条件概率的运算

所以选C

5．下列四个图中，可能是函数的图象是是

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】函数的图象可由的 图象向左平移 个单位得到，又知函数是奇函数，图象关于原点对称，所以函数图象关于对称，排除选项，当时，函数，排除选项，故选C.

6．我们通常称离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，分别为左､右､上､下顶点，，分别为左､右焦点，为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆为“黄金椭圆”的是（    ）

A． B．

C．轴，且 D．四边形的一个内角为

【答案】B

【解析】先求出椭圆的顶点和焦点坐标，对于A，根据椭圆的基本性质求出离心率判断A；对于B，根据勾股定理以及离心率公式判断B；根据结合斜率公式以及离心率公式判断C；由四边形的一个内角为,即即三角形是等边三角形，得到，结合离心率公式判断D.

【详解】∵椭圆

∴

对于A，若，则，∴，∴，不满足条件，故A不符合条件；

对于B，，∴

∴，∴

∴，解得或（舍去），故B符合条件；

对于C，轴，且，∴

∵

∴，解得

∵，∴

∴，不满足题意，故C不符合条件；

对于D，四边形的一个内角为,即

即三角形是等边三角形，∴

∴，解得∴，故D不符合条件．

故选：B．

7．设向量，则的值为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】D

【分析】由向量的数量积的坐标表示，结合三角恒等变换，可求出，结合，，可求出，，从而可求出的值.

【详解】解：

因为，

所以中，第 项和第 项和为0，即，

同理由，

可知中，第 项和第 项和为0，即，

所以.

故选：D. .

8．已知函数，若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对x分三种情况讨论，当x∈（0,1时，求得；当x∈时，求得；当x∈时，求得a≥3，综合即得解.

【详解】由题得，

取特值代入上面的不等式得a≥3，

所以，

（1）在x∈（0,1上，0＜x≤1＜，

恒有a≤3+2x-lnx成立，记g(x)=2x-lnx+3(0＜x≤1）

所以，所以

所以.

(2)在x∈上，，恒有，

所以在x∈上恒成立，

又在x∈上，的最小值为5，

所以.

(3)在x∈时，x≥，

恒有.

综上.

故选:C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．点到直线的距离可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】求出直线的必过点，利用两点间距离公式求出的最大值，进而得到的范围.

【详解】对于直线，令，解得，故直线的必过点为，设点到直线的距离为，则，所以，，而，所以，ABC正确，D错误.

故选：ABC

10．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则当时，函数一定有（    ）

A．三个不同零点 B．在上单调递增

C．有极大值，且极大值为 D．一条切线为

【答案】BC

【分析】求出函数的零点判断A；求出函数的导数，判断单调性、求出极大值判断BC；求出图象在原点处的切线方程判断D作答.

【详解】对于A，由得：，即或，

而，有，解得或，A错误；

对于B，，

当时，，，于是，且当时，则在上递增，B正确；

对于C，由选项B知，当时，单调递增，

当时，单调递减，因此当时，取得极大值，C正确；

对于D，显然函数过原点，，而，因此图象在原点处的切线方程为，

因为直线过原点，因此直线不是图象在原点处的切线，

令，，，即函数在上单调递增，

当时，，即，于是函数在上的图象总在直线的下方，

所以直线不可能为图象的切线，D错误.

故选：BC

11．如图，在正方体中，，，，分别为，，，的中点，为棱上一点，则（    ）

A．直线与是异面直线

B．直线，，交于一点

C．三棱锥的体积与点位置无关

D．存在点，使得平面

【答案】BC

【分析】说明直线与是相交直线，判断A;根据空间点线面的位置关系，说明三线，，交于一点，判断B;根据三棱锥体积公式可判断C;采用反证法可判断D.

【详解】设正方体棱长为2，

如图，作,垂足为G,则G为 中点，连接 ,连接,

设中点为H,连接,则 ,

则,过点H作底面的垂线，则垂足一定落在上，设为L,则L为中点，

连接，则L在上，

则,则,

故四边形 为平行四边形，则,

即,即三点共线，即线段的中点在上，A错误；

连接,则 ,

则四边形为梯形，故延长后必交于一点，设为Q,

则平面,故平面,同理平面,

平面平面,故 ,

即直线，，交于一点，B正确；

由于，因为的值为定值，三棱锥的高为正方体棱长，

故为定值，与点的位置无关，C正确；

假设存在点，使得平面，则 ,

设，则，

则 ，该式矛盾不成立，

故不存在点，D错误，

故选：BC

12．已知函数为定义在上的奇函数，若当时，，且，则（    ）

A． B．当时，

C． D．不等式解集为

【答案】CD

【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性与单调性，利用函数的单调性与奇偶性可判断AC选项；取可判断B选项；分、解不等式，可判断D选项.

【详解】构造函数，其中，

因为函数为定义在上的奇函数，则，

所以，，故函数为偶函数，

当时，，

所以，函数在上单调递增，在上单调递减，

因为，则，则.

对于A选项，，即，所以，，A错；

对于B选项，不妨取，则，即，此时，B错；

对于C选项，因为偶函数在上单调递减，

则，即，整理可得，C对；

对于D选项，当时，由可得，解得，

当时，由可得，解得.

综上所述，不等式解集为，D对.

故选：CD.

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知一组数据为85，87，88，90，92，则这组数据的第60百分位数为________.

【答案】89

【分析】利用百分位数的定义求解.

【详解】该组数据从小到大排列为85，87，88，90，92，共5个数据,

所以，

所以这组数据的第60百分位数为，

故答案为：89

14．若，则被12整除的余数为______.

【答案】0

【分析】根据二项式展开式中分别令和，可求出，再根据，利用二项式定理展开，从而可得为12的倍数，即可求解.

【详解】在已知等式中，取得，①

取得，②

①②得：，

因为

所以

，

所以能被12整除，

所以被12整除的余数为

故答案为：0.

15．设F是椭圆的一个焦点，A、B是椭圆C上的两个动点，且始终保持周长最大．若的最大值为，则椭圆的离心率为_______________．

【答案】或

【分析】由题意可得的周长最大值为4a，当时取得最大值，得出关系式分类讨论椭圆的交点位置，结合离心率的定义，即可求解．

【详解】由题意可得的周长最大值为4a，当时取得最大值，则，

此时AB过椭圆的另一个交点且垂直于长轴，

当时，椭圆的焦点在x轴上，

设F为椭圆的右焦点，则AB的直线方程为，则，

所以，解得，则，

当时，椭圆的焦点在y轴上，

设F为椭圆的上焦点，则AB的直线方程为，则，

所以，解得，则．

综上椭圆的离心率为或．

故答案为：或.

16．已知实数，则的最小值为_________．

【答案】

【分析】依题意可得，利用基本不等式及与的关系计算可得；

【详解】解：因为，

所以

因为，所以，

所以原式，当且仅当时取等号．

故答案为：

四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.

在中，内角，，的对边分别为，，，　　　.

（1）求角；

（2）若，，求的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）若选①：利用正弦定理和余弦定理可求出角；若选②：利用正弦定理和两角和与差公式可得角；

（2）利用余弦定理求出，代入三角形面积公式即可．

【详解】（1）若选①：

由正弦定理得，

所以，

由余弦定理得，

解得，

因为，所以.

若选②：

由正弦定理得，

即，

即，

因为，所以，所以，

所以.

（2）由余弦定理得，

得，

即，解得，

则的面积，

故的面积为.

18．在等比数列中，，且，，成等差数列.

(1)求的通项公式；

(2)若，证明：数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质，列方程求解即可.

（2）对进行分组求和，一部分利用裂项相消进行求和，一部分利用等比数列的求和公式进行求和，再对计算得到的进行不等式的放缩，即可证明不等式成立.

（1）

设数列的公比为q，

由，得，所以.

因为，，成等差数列，所以，

即，解得.

因此.

（2）

因为，

所以

.

因为，，所以.

19．如图，四棱锥的底面为筝形，于点，为的五等分点，，，，且．

(1)求证：；

(2)作出平面与平面所成二面角的任意一条棱，并求该二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)作图见解析，

【分析】（1）根据三角形相似证明，再由线面垂直的判定定理及性质定理得证；

（2）分别延长，交于点，连接，建立空间直角坐标系，利用向量法求解.

【详解】（1）由题意得．

因为，所以，．

又因为，易得，即为直角三角形，所以．

因为，，，平面，

所以，平面，

又平面，所以．

（2）分别延长，交于点，连接，则即为平面与平面所成二面角的一条棱，并且二面角为锐二面角．

由（1）可得，且平面与平面和平面三面垂直．（不知道这是什么性质，查阅网上答案也是如此，请审核老师删除此处）

如图所示建立以为轴、以为轴、以为轴的空间直角坐标系．

各点坐标如下：，，，，．

设平面的一个法向量为，因为，，所以

，令，可得，取．

设平面的一个法向量为，

因为，，

所以，令，可得，

故取．

所以，

故该二面角的余弦值即为．

20．某公司的营销部门对某件商品在网上销售情况进行调查，发现当这件商品每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过统计得到以下表：

（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合该商品销量（百件）与返还点数之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测若返回6个点时该商品每天销量；

（2）该公司为了在购物节期间对所有商品价格进行新一轮调整，随机抽查了上一年购物节期间60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表：

若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”.该营销部门为了进步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查.设为选取的3人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望.

参考公式及数据：①，；②.

【答案】（1），返回6个点时该商品每天销量约为件；（2）分布列见解析，

【分析】（1）利用已知条件，求出线性回归的对称中心的坐标，然后求解回归直线方程，，通过返回6个点时求解该商品每天销量；

（2）首先求出“非网购达人”、“网购达人”的人数，再求出分别抽出的人数，最后列出分布列求出数学期望；

【详解】解：（1）易知，，

，

，

，

则关于的线性回归方程为，

当时，，即返回6个点时该商品每天销量约为件

（2）由统计表可知，“非网购达人”有人、“网购达人”有人；现按照分层抽样从中抽取人，则“非网购达人”被抽取的有（人）、“网购达人”被抽取的有（人）；

现需从这10人中随机选取3人进行问卷调查.设为选取的3人中“网购达人”的人数，则的可能取值为、、、，

，，，，

21．已知双曲线，、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为．设过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，其中点位于第一象限内．

(1)求双曲线的方程；

(2)若直线分别与直线交于两点，证明为定值；

(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)存在，2

【分析】（1）根据题意可得，，即可求解的值，进而得到双曲线方程；

（2）设直线的方程及点的坐标，直线的方程与双曲线的方程联立，得到的值，进而得到点的坐标，计算的值即可；

（3）在直线斜率不存在的特殊情况下易得，再证明对直线存在斜率的情形也成立，将角度问题转化为斜率问题，即，，即可求解.

【详解】（1）解：由题可知：

∵，∴c＝2

∵，∴，

∴双曲线C的方程为：

（2）证明：设直线的方程为：，另设：，，

∴，

∴，

又直线的方程为，代入,

同理，直线的方程为，代入,

∴，

∴

,

故为定值.

（3）解：当直线的方程为时，解得，

易知此时为等腰直角三角形，其中 ，

即，也即：，

下证：对直线存在斜率的情形也成立，

，

∵，

∴，

∴，

∴结合正切函数在上的图像可知，，

22．已知函数，(a，b∈R)

（1）当a=﹣1，b=0时，求曲线y=f(x)﹣g(x)在x=1处的切线方程；

（2）当b=0时，若对任意的x∈[1，2]，f(x)+g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；

（3）当a=0，b>0时，若方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解x1，x2(x1<x2)，求证：x1+x2>2.

【答案】（1）（2）（3）证明见解析

【分析】（1）求出的导函数，求出函数在时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；

（2）对，，都成立，则对，，，恒成立，构造函数，求出的最大值可得的范围；

（3）由，得，构造函数，将问题转化为证明，然后构造函数证明即可．

【详解】（1）当时，时，，

当时，，

，

当时，，

曲线在处的切线方程为；

（2）当时，对，，都成立，

则对，，恒成立，

令，则．

令，则，

当，，此时单调递增；

当时，，此时单调递减，

，，

的取值范围为；

（3）当，时，由，得，

方程有两个不同的实数解，，

令，则，，

令，则，

当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，

，

，

又，（1），

，

，

只要证明，就能得到，即只要证明，

令，

则，

在上单调递减，则，

，

，

，

，

即，证毕．