2023年高考数学模拟卷01（解析版）2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

2023年高考模拟卷（一）

文科数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由,解得，

又因为，所以，

又由，可得，解得，

所以，

所以，

故选:C.

2．若，则在复平面内对应的点所在象限为（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【详解】，则，

所以对应点为，在第三象限.

故选：C

3．的一个充要条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】A：若，取，则不成立，故A不符题意；

B：若，取，则不成立，故B不符题意；

C：函数在上单调递增，

由，得，故C不符题意；

D：函数在R上单调递增，

由，得；由，得，

所以“”是“”的充要条件，故D符合题意.

故选：D.

4．已知向量，，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】解：因为向量，，

所以，

又因为，

所以，

解得，

所以，

故选：C

5．将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于点，那么的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由点在单位圆上，则，解得，

由锐角，即，则，

故，

.

故选：A.

6．中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（    ）

A．尺 B．尺 C．尺 D．尺

【答案】B

【详解】由题，设每日织布数的数列为，则为以2为公比的等比数列，

由题知，得，所以第二天织布尺数为.

故选：B.

7．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点M，过点M作椭圆C的两条切线，与该蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为41，则椭圆C的长轴长为（    ）

A．5 B．10 C．6 D．12

【答案】B

【详解】椭圆的蒙日圆的半径为.

因为，所以为蒙日圆的直径，

所以，所以.

因为，当时，等号成立，

所以面积的最大值为：.

由面积的最大值为41，得，得，

故椭圆的长轴长为.

故选：B

8．已知函数是在区间上的单调减函数，其图象关于直线对称，且f（x）的一个零点是，则的最小值为（    ）

A．2 B．12 C．4 D．8

【答案】C

【详解】因为函数的图象关于直线对称，

所以，，所以，，

根据，则，所以，

因为是在区间上的单调减函数.

所以，

所以，

即，

解得，，，

因为，所以或，

当时，，当时，；

由于，且f（x）的一个零点是，

所以，，

所以，，，

即，，.

根据或，可得，或，所以的最小值为4.

故选：C.

9．在“2，3，5，7，11，13，17，19”这8个素数中，任取2个不同的数，则这两个数之和仍为素数的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】这8个素数中，任取2个不同的数，有如下基本事件：

共有28个基本事件，

这两个数之和仍为素数的基本事件有：共4个，

所以这两个数之和仍为素数的概率是，

故选:C.

10．已知函数的图象过点与，则函数在区间上的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为函数的图象过点与，

所以，，则，

解得，，

故函数的解析式为：.

而，

当且仅当时取等号，

函数在区间上的最大值为.

故选：B.

11．已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，是边长为的等边三角形，若三棱锥体积的最大值是，则球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设外接圆的半径为，则，

设球的半径为，当三棱锥的高最大时，体积取最大值，高的最大值.

所以，即，解得.

故球的表面积是．

故选：A.

12．若存在，使得关于的不等式成立，则实数的最小值为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【详解】由两边取对数可得①，

令则，因为，所以，

则①可转化得，

因为，

因为存在，使得关于的不等式成立，

所以存在，成立，故求的最小值即可，

令

，

令

，

令，

，

所以在上单调递减，所以，

，所以在上单调递减，

所以

在上单调递减，，

，所以实数的最小值为

故选：D

第Ⅱ卷

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知，，，则__________．

【答案】

【详解】由，，，

可得，

故答案为：

14．已知都是正数，且，则的最小值为__________．

【答案】##

【详解】因为都是正数，且，则,

则

 ,

当且仅当，结合，即，时取等号，

故答案为：

15．已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，则实数c的取值范围是__________

【答案】

【详解】因为圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，

所以原点到直线 的距离为，

由点到直线的距离公式可得，

解得，

故答案为：.

16．已知，x，y满足，且，则t的取值范围是_________．

【答案】

【详解】∵，解得，

∴，

又∵，则，

对于，可知二次函数开口向上，对称轴，

故当时，取到最小值；

当时，取到最大值；

故，即t的取值范围是.

故答案为：.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．如图，在中，点在边上，，，.

(1)求边的长；

(2)若的面积是，求的值.

【详解】（1）在中，设，

由余弦定理得，

则，

整理得，

解得，故．

（2）因为，，

所以，所以为等边三角形，则，

所以，解得．

在中，由余弦定理得，得，

在中，由正弦定理得，即，解得．

18．为了检测甲、乙两名工人生产的产品是否合格，一共抽取了40件产品进行测量，其中甲产品20件，乙产品20件，分别称量产品的重量（单位：克），记重量不低于66克的产品为“合格”，作出茎叶图如图：

(1)分别估计甲、乙两名工人生产的产品重量不低于80克的概率；

(2)根据茎叶图填写下面的列联表，并判断能否有的把握认为产品是否合格与生产的工人有关？

附：

【详解】（1）设工人甲生产的产品重量不低于80克的概率为，则，

工人乙生产的产品重量不低于80克的概率为，则

（2）根据茎叶图得列联表如下：

，

故判断有的把握认为产品是否合格与生产的工人有关.

19．四棱锥中，面，，底面ABCD中，，，.

(1)若点在线段上，试确定的位置，使面面，并给出证明；

(2)若，求四棱锥的体积.

【详解】（1）当点是的中点时，面面.证明如下：

由点是的中点，得，又，，

所以，，四边形是平行四边形.

根据，得四边形是矩形，故.

因为面，面，所以，

因为，面，面，

于是面，由于面，因此面面.

（2）因为面面，面面，

所以过点作于点，面,则面，EO的长就是四棱锥的高.

因为面EBC.所以，在中，，，

由勾股定理，得，所以，

于是，，根据，得.

根据，以及，，，

得四边形ABCD的面积为，

因此四棱锥的体积.

20．已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点与点，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线，分别交直线于E，F两点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

【详解】（1）设椭圆C的方程为且，

因为椭圆C过点与点，所以，解得.

所以椭圆C的标准方程为.

（2）设直线，

由，得，

即，则.

直线的方程分别为.

令，则.

则，

，

所以

.

因为，所以.

即的取值范围为.

所以存在最小值，且最小值为.

21．已知函数，．

(1)讨论的单调区间；

(2)当时，试判断函数的零点个数解：

【详解】（1）求导得．

当时，由可知；由可知；

当时，由可知；由可知或；

当时，；

当时，由可知；由可知或．

综上可得，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；

当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，．

（2）①当时，，令，得或0，

又，所以仅有1个零点；

②当时，在上单调递减，又，，

所以仅有1个零点；

③当时，在，上单调递减，在内单调递增，

又，，所以函数仅有1个零点；

④当时，在，上单调递减，在内单调递增，又，，所以仅有1个零点，

综上可知，时，函数有且仅有1个零点．

请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)P为l上一点，过P作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，若，求点P横坐标的取值范围．

【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），

可得

由,得

,即,

曲线的普通方程为,直线的直角坐标方程为

（2）设,连接，易得，

若,则，

在中，，

,

,两边平方得,

解得,

点横坐标的取值范围为

23．已知．

(1)若，解不等式；

(2)当时，的最小值为3，若正数m，n满足，证明：．

【详解】（1）当时，不等式为，

当时，可以化为，解得；

当时，可以化为，得，不等式不成立；

当时，可以化为，解得；

综上,可得不等式的解集为.

（2）当时，

当时等号成立，由可得（舍）或，故,

由柯西不等式可得

，即得

当且仅当时，即时取等号．