2023年高考数学理科模拟卷02（解析版）2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

2023年高考模拟卷（二）

理科数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由得，

则，解得，

所以，则，

所以.

故选：D.

2．已知复数满足，则（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】B

【详解】由，得，

，

，

.

故选：B.

3．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由，解得：；解得，

由，∴“”是“”的的充分不必要条件．

故选：A

4．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设x＝，y＝，则的值为（    ）

A．3 B．4

C．5 D．6

【答案】A

【详解】由题意且，而x＝，y＝，

所以，

又G是△ABC的重心，故，

所以，可得，即.

故选：A

5．下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】对于A， 为奇函数，是周期函数，在定义域内不单调，不符合题意，不符合题意；

对于，定义域为 ，所以为奇函数，但在定义域内不单调，不符合题意；

对于C，，

故函数不是奇函数，不符合题意；

对于D， ，是增函数， ，是奇函数，满足题意；

故选：D.

6．数学与生活密不可分，在一次数学讨论课上，老师安排5名同学讲述圆、椭圆、双曲线、抛物线在实际生活中的应用，要求每位学生只讲述一种曲线，每种曲线至少有1名学生讲述，则可能的安排方案的种数为（    ）

A．240 B．480 C．360 D．720

【答案】A

【详解】解：有四种曲线，要求每位学生只讲述一种曲线，

则5名同学分成2，1，1，1四组，共有种情况，

再将四组学生分配给四种曲线，一共有种情况，

则可能的安排方案的种数为种，

故选：A.

7．函数的图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】由得，或，选项A，C不满足，即可排除A，C

由求导得，

当或时，，

当时，，

于是得在和上都单调递增，在上单调递减，

所以在处取极大值，在处取极小值，D不满足，B满足．

故选：B

8．已知是坐标原点，是双曲线的左焦点，平面内一点满足是等边三角形，线段与双曲线交于点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设双曲线的右焦点为，连接，

因为是等边三角形，所以，

，又，所以，

在中，，

则，则，则.

故选：A.

9．已知正三棱柱的底面边长，其外接球的表面积为，D是的中点，点P是线段上的动点，过BC且与AP垂直的截面与AP交于点E，则三棱锥的体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】外接球的表面积为，可得外接球半径为.

因为正三棱柱的底面边长，

所以,所以的外接圆半径为，

设三棱柱的侧棱长为h，则有，即侧棱，

设BC的中点为F，作出截面如图所示，

因为，,所以，所以点E在以AF为直径的圆上，

当点E在的中点时，此时点到底面ABC距离的最大，且最大值为，

因为，所以此时点P在线段上，符合条件，

所以三棱锥的体积的最大值为．

故选：A．

10．高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：，．已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由，得．又，所以数列构成以2为首项，2为公比的等比数列，

所以.

又，，…，，

叠加可得，

即，

所以.

又因为满足上式，所以.

所以.

因为，所以，

即，所以.

故.

所以.

故选：C.

11．已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】解：因为，

所以，

又因为当 时，，

因为函数在区间上有且只有两个零点，

当时，的零点只能是，

所以，

解得，

所以的取值范围为是.

故选：B.

12．已知是上的偶函数，且当时，．若， 则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】由是上的偶函数，得，

即，所以的图象关于直线对称．

当时，，由，仅在时取等号，

得在区间上为减函数，则在区间上为增函数，

根据图象的对称性，由得，

则C正确、D错误．

当异号时，则或，即或，

即选项A，B的结果不能确定，

故选：C．

第Ⅱ卷

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知，则曲线在点处的切线方程为______________．

【答案】

【详解】因为，则，

所以，，，

故所求切线方程为，即.

故答案为：.

14．在的二项展开式中，项的系数为___________

【答案】21

【详解】设的通项为：，令，则，其系数为21

故答案为：21

15．某产品的质量检验过程依次为进货检验（IQC）、生产过程检验（IPQC）、出货检验（OQC） 三个环节．已知某产品IQC的单独通过率为，IPQC的单独通过率为，规定上一类检验不通过则不进入下一类检验，未通过可修复后再检验一次（修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次），且各类检验间相互独立，则一件该产品能进入OQC环节的概率为_________．

【答案】##0.9

【详解】设表示第i次通过进货检验，表示第i次通过生产过程检验（），C表示该产品能进入出货检验环节，由题意得

．

故答案为：.

16．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，且满足AF⊥BF．设线段AB的中点到准线的距离为d，则的最小值为______.

【答案】

【详解】如图示：设AB的中点为M，分别过点 作准线l的垂线，垂足为C，D，N，

设， ，则， ，

MN为梯形ACDB的中位线，则 ，

由AF⊥BF．可得 ，故，

因为 当且仅当a=b时取等号，

故，

故答案为：.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．在中，．

(1)求；

(2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求a的值．

条件①：；条件②：；条件③：．

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

【详解】（1）因为，由正弦定理得，，

又，所以，得到，

又，所以，

又，所以，得到，

所以.

（2）选条件①：

由（1）知，，根据正弦定理知，，即，

所以角有锐角或钝角两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件.

选条件②：

因为，所以，

又，得到，代入，得到，解得，所以，

由余弦定理得，，

所以.

选条件③：

因为，所以，

由，得到，

又，由(1)知，

所以

又由正弦定理得，，得到，

代入，得到，解得，所以，

由余弦定理得，，

所以.

18．如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的直径.

(1)弦上是否存在点D，使得平面，请说明理由；

(2)若，，点，A，B，C都在半径为的球面上，求二面角的余弦值.

【详解】（1）当点D为的中点时，平面，证明如下：

取AB的中点D，连接OD，

∵O，D分别为，的中点，则，

平面，平面，

∴平面，

又∵，

平面，平面，

∴平面，

，平面，

∴平面平面，

由于平面，故平面.

（2）∵是的直径，可得，即，

且，，故，，

又∵平面，且平面，

∴，

即，，两两垂直，且点，A，B，C都在半径为的球面上，

可知该球为以、、为长、宽、高的长方体的外接球，

则，可得，

以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系，

则，，，，

得，，

设为平面的一个法向量，则，

令，则，可得，

且为平面的一个法向量，

设二面角为，

则，

所以二面角的余弦值为.

19．为了探讨学生的物理成绩y与数学成绩x之间的关系，从某校高三学生中抽取10名学生，他们的成绩（xi，yi）（i=1，2，…，10）如下表：

(1)请用相关数据说明该组数据中y与x间的关系是否可用线性回归模型拟合；

(2)求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程；（结果保留三位小数）

(3)从统计的10名学生中随机抽取2名，求至少有一名学生物理成绩不少于60分的概率.

附：参考数据与参考公式

相关系数，，.

【详解】（1）因为，而0.9964非常接近于1，所以可用线性回归模型拟合.

（2）因为，，

所以物理成绩关于数学成绩的线性回归方程为.

（3）记“从统计的10名同学中随机抽取2名，至少有一名同学物理成绩不少于60分的为事件A”，则一次试验中所含有的基本事件的个数，

事件A中所含有的基本事件的个数.

所以从统计的10名同学中随机抽取2名，至少有一名同学物理成绩不少于60分的概率为.

20．已知椭圆：的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，，四边形的周长为．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设斜率为k的直线l与x轴交于点P，与椭圆E交于不同的两点M，N，点M关于y轴的对称点为、直线与y轴交于点Q．若的面积为2，求k的值．

【详解】（1）由，得，即，

由四边形的周长为，得，即，

所以椭圆的方程为.

（2）设直线l的方程为（，），，，

则，，

联立方程组，消去y得，，

，得，

，，

直线的方程为，

令，得，

又因为，

所以，的面积，得，经检验符合题意，

所以k的值为.

21．已知函数.

(1)当时，讨论函数在上的单调性；

(2)当时，，求实数的取值范围．

【详解】（1）解：当时，，则．

令，其中，

则，则在上单调递减．

故当时，，

所以在上单调递减．

（2）解：由（1）可知当且当时，函数在上为减函数，

此时，，

则当时，，满足题意；

由，化简可得，

令，其中，则．

当时，若，则，在上是减函数，

所以当时，，不符合题意．

当时，，则在上是减函数，此时，不符合题意．

综上所述，实数的取值范围为.

【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题

（1）分离参数法

第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的最值；

第三步：根据要求得所求范围．

（2）函数思想法

第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的极值；

第三步：构建不等式求解．

请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为（t为参数）.

(1)若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)过点向直线l作垂线，垂足为Q，说明点Q的轨迹为何种曲线.

【详解】（1）解：由直线的参数方程为

∵，

∴直线l的普通方程为，即.

由得，

因为，，

所以曲线的直角坐标方程为.

（2）若，由，可知直线l的方程为，

于是过点向直线l作垂线，垂足为.

若，由直线l的参数方程可知直线l的斜率为，

∴过点且与直线l垂直的直线方程为.

联立方程组整理得，

∴点的轨迹方程为，

即，

显然，点也在上，

所以动点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆.

23．设，

(1)求的解集；

(2)设的最小值为，若求的最小值.

【详解】（1）由题知  ，

原不等式的解集；

（2）由，

所以 ， 即      

所以的最小值为3，此时