山西省吕梁市2023届高三下学期二模考试数学试卷（含答案）

这是一份山西省吕梁市2023届高三下学期二模考试数学试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山西省吕梁市2023届高三下学期二模考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、已知集合，, 则 (   )A.  B.C.  D.2、已知命题,, 则p 为真命题的一个充分不必要条件是(   )A.  B.  C.  D. 3、等比数列 的前n 项和为,,, 则 为(   )A. 40 或 -36 B. -36 C. 40 D. 324、在三棱锥中, 已知 底面ABC，，, 则三棱锥外接球的体积为(   )A.  B. C. D. 5、(   )A. B. C. D.6、已知双曲线 的左、右焦点分别为,, 直线 与C 交于P,Q 两点, , 且 的面积为, 则C 的离心率是(   )A. B. C. 2 D. 37、已知 , 分别是方程 , 的根, 则 的值为(   )A. B.  C. 10 D. 58、已知,,, 则 a,b,c的大小关系为(   )A. B.  C. D.二、多项选择题9、已知i 为虚数单位, 下列关于复数的命题正确的有(   )A.B.复数 的虚部为 iC.若 , 互为共轭复数, 则 D.若复数 为纯虚数, 则 10、若函数 的最小正周期为, 则(   )A.B.在 上单调递减C.在 内有 5 个零点D.在 上的值域为 11、已知正方体的棱长为 4,E为 上靠近A 的四等分点, F为 上靠近 的四等分点, M为四边形 内一点 (包含边界), 若 平 面BEF, 则下列结论正确的是(   )A.线段 长度的最小值为 B.三棱锥 的体积为定值C.平面 D.直线EF 与平面 所成角的正弦值为12、已知椭圆 ，，分别为其左、右焦点, 椭圆 C的离心率为e, 点 M在椭圆上, 点 在椭圆内部, 则以下说法正确的是(   )A.离心率e 的取值范围为 B.不存在点M, 使得 C.当 时, 的最大值为 D.的最小值为 1三、解答题13、已知向量 , 的夹角为,,, 则_________.14、某种红糖的袋装质量X 服从正态分布, 随机抽取 5000 袋, 则袋装质量 在区间 的约有________袋. (质量单位：g)15、现有小赵、小钱、小孙、小李、小刘 5 人去北京、上海、广州三地参加研讨会, 每人 只能去一个城市, 每个城市至少去一人, 则小赵不去北京的概率为_______.16、若过点 有 3 条直线与函数 的图象相切, 则m 的取值范围 是_______17、已知正项数列 的前n 项和为, 且满足, 首项,.(1)求数列 的通项公式;(2)证明:.18、如图, 在平面四边形 ABCD中, ,,的平分线交 AD于点E, 且.(1)求 及BD;(2)若, 求 周长的最大值.19、食品安全问题越来越受到人们的重视. 某超市在购进某种水果之前, 要求食品安检部 门对每箱水果进行三轮各项指标的综合检测, 只有三轮检测都合格, 这种水果才能在 该超市销售. 已知每箱这种水果第一轮检测不合格的概率为, 第二轮检测不合格的 概率为, 第三轮检测不合格的概率为, 每轮检测只有合格与不合格两种情况, 且 各轮检测互不影响.（1）求每箱这种水果能在该超市销售的概率;（2）若这种水果能在该超市销售, 则每箱可获利 300 元, 若不能在该超市销售, 则每箱亏损 100 元, 现有 4 箱这种水果, 求这 4 箱水果总收益X 的分布列和数学期望.20、在四棱锥中, 底面ABCD 是矩形, ，E为 AB的中点, 底面 是 PC上的点.(1) 若 平面DEF, 求 的值;(2) 若F 是 PC的中点, 且二面角 的余弦值为, 求直线 PD与平面 DEF所成角的正弦值.21、已知抛物线 过点.(1)求抛物线C 的方程;(2) P,Q是抛物线 C上的两个动点, 直线AP 的斜率与直线 AQ的斜率之和为 4 , 证明: 直线 PQ恒过定点.22、已知函数.(1) 求曲线 在 处的切线在x 轴上的截距;(2) 当 时, 证明: 函数 在 上有两个不同的零点,, 且 当 时,,.
参考答案1、答案：C解析：2、答案：A解析：由题设命题为真, 即 在 上恒成立, 所以, 充分不 必要条件应该是 的一个真子集, 故选 A.3、答案：C解析：由题意知: ，，成等比数列, , 解得: 或，，.4、答案：B解析：由，, 所以 的外接圆直径, 由于 底面ABC, 所以外接球的直径, 所以外接球的体积.5、答案：A解析：由, 得, 即, 又, 所以.6、答案：B解析：如图, 若P 在第一象限, 因为, 所以, 由图形的对称性知四边形 为矩形, 因为 的面积为, 所以, 因为, 所以，, 在 中, , 解得.7、答案：D解析：在同一平面直角坐标系绘制函数，，的图象, 由题意可知 ， 的值分别为图中点，的横坐标, 则 ， 的值分别为图中点 ， 的纵坐标, 因为函数和 互为反函数, 互为反函数的图象关于直线 对称, 设直线 与 的 交点为, 易知, 结合对称性可知.8、答案：D解析：，，, 构造函数，，, 令，, 则, 所以 在 上单调递增, 所以, 所以, 所以, 所以. 令，，, 所以 在 上单调递减, 所以, 所以, 所以, 所以, 所以.9、答案：ACD解析：因为 ，A正确; 复数 的虚部为 1,B不正确; 令,,,, 所以, 故 C 正确; 若复数 为纯虚数, 则, 且, 即, 故 D 正确.10、答案：BC解析：. 由最小正周期为, 可得, 故, 对于 A, , 故 A 错误; 对于 B, 当 时, , 此时 单调递减, 故 B 正确; 对于 C, , 所以,, 当 时, 满足要求的有,,,,, 共有 5 个零点, 故 C 正确; 对于 D, 当 时, , 则, 故, 所以D 错误.11、答案： BC解析:如图, 连接,, 由题易得, 且平面 平面, 平面 平面, 取 上靠近 的四等分点G, 连接,,, 则 , 平面 ,平面BEF, 所以 平面BEF. 由题知 平面BEF, 所以点M 的轨迹为线段. 由, 在等腰 中, 当 时线段 的长度最小, 且, 故A 错误;对于 B, 为定值, M到平面 的距离等于 平面 的距离, 即, 由等体积法,, 故三棱锥的体积为定值, B 正确;对于 C, 易得 ，平面 ， 平面, 故 平面 ，C正确;对于 D, 易得, 点F 到平面 的距离为 4 , 故直线 EF与平面 所成角的正弦值为, D 错误.12、答案： ABC解析:对于A, 由已知可得, , 所以, 则,故 A 正确;对于 B, 由 可知, 点M 为原点, 显然原点不在椭圆上, 故 B 正确;对于C, 由已知 时, , 所以,. 又, 则. 根据椭圆的定义可得, 所以, 当且仅当 M,N,三点共线时, 取得等号. 的最大值为, 故 C 正确;对于 D, 因为. 所以, 当且仅当, 即 时, 等号成立. 所以, 的最小值为, 故 D 错误.13、答案： 解析:, 则, 即.14、答案： 4093解析：由题意知, ,所以，, 得所以袋装质量在区间 的约有 袋.15、答案： 解析：①若三地分配人数分别为 1,1,3 时, 共有 种安排方法; 其中小赵去北 京的安排方法有 种;②若三地分配人数分别为1,2,2  时, 共有 种安排方法; 其中小赵去北京的安排方法有 种; 故小赵不去北京的概率为.16、答案： 解析：由题意可得, 设切点坐标为 , 则切线斜率, 所以切线方程为, 将 代入得. 因为存在三条切线, 即方程 有三个不等实数根, 等价于函数 与 的图象有三个交点, 设, 则, 当 时, ，单调递增; 在 和 上, ，单调递减, ，, 当 或 时, , 要使函数 与 的图象有三个交点, 只需, 即, 即m 的取值范围是.17、答案： (1)(2)见解析解析：(1) 由, 可得, 两式相减可得:, 化简可得, 由正项数列 知, 所以, 又, 解得, 所以 是以 2 为首项， 3 为公差的等差数列, 故.(2) 证明: 由 (1) 可得, 所以, , 因此, 18、答案： (1)(2)解析：(1) 在 中, 由正弦定理得,又, 则,于是,因为 BE为角平分线, 所以, 所以, 所以,在 中, 根据余弦定理得,.(2) 令，. 在中, 由余弦定理得,即有, 即,,当且仅当 时, “=”成立.所以 周长的最大值为 19、答案： (1) (2)400解析：(1)设每箱这种水果能在该超市销售为事件A, 则, 即每箱这种水果能在该超市销售的概率为. (2) X 的所有可能取值为1200,800,400,0,-400.  因为，，，，所以X的分布列为X12008004000-400P所以.20、答案： (1)(2) 解析：(1)连接AC, 交 DE于点G, 连接FG;平面 ，平面PAC, 平面 平面,, ;，，,, 即 的值为 (2) 取 CD中点M, 连接EM;四边形ABCD 为矩形, ，,以E 为坐标原点, ，，分别为x,y,z 轴,建立如图所示空间直角坐标系,，，，平面 ABCD,平面ABCD，;，平面 ，，平面PDE;设,则，，，，,，，,设平面DEF 的法向量,则, 令, 则，，;又平面PDE 的一个法向量为,, 解得:;，，.直线PD 与平面 DEF所成角的正弦值为 21、答案： (1) (2)见解析解析:(1) A点坐标代入抛物线方程得,, 抛物线方程为.(2) 证明: 设, 将PQ 的方程与 联立得, 设,, 则,,所以,, 同理:,由题意: ，,, 即,代入直线得,故直线PQ 恒过定点.22、答案：(1) (2)见解析解析：(1), 又,所以,则曲线 在 处的切线l 的方程为,令 得, 故切线在x 轴上的截距为 (2)要证函数 在 上有两个不同的零点，, 需证方程 在 上有两个不 同的实数解, 即证方程 在 上有两个不同的实数解 .设, 则 ，当 时,; 当 时, , 所以 在 上单调递减, 在 上 单调递增,因为，, 所以存在, 使得; 又，, 所以存在, 使得. 故函数 在 上有两个不同的零点 ， 由上易知，, 两式相加得, 两式相减得,所以,则 令, 则,所以, 设,则,所以 在上单调递减 上单调递减,则,故当 时,，