2023年福建省福州十九中中考数学二模试卷（含解析）

2023年福建省福州十九中中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约万度的清洁电力将万度用科学记数法可以表示为(    )

A. 度 B. 度 C. 度 D. 度

2.  年卡塔尔世界杯是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，下列四个图案是历届世界杯会徽图案上的一部分图形，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列几何体中，左视图是三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  下列说法正确的是(    )

A. 为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查
B. 任意画一个三角形，其内角和是是必然事件
C. 一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖次就有次中奖
D. 甲、乙两名射击运动员次射击成绩单位：环的平均数分别为、，方差分别为、，若，，，则甲的成绩比乙的稳定

6.  若点，都在直线上，则与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，是直径，，，，那么的长等于(    )
 

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，为与正方形网格线的交点，下列结论正确的是(    )

A.
B. ≌
C.
D.

9.  如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是(    )

A. 是的平分线 B.
C. 点在线段的垂直平分线上 D. ：：

10.  已知抛物线上有点，且是关于的方程的解，则下列说法正确的是(    )

A. 对于任意实数，都有 B. 对于任意实数，都有
C. 对于任意实数，都有 D. 对于任意实数，都有

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  正八边形一个内角的度数为______．

12.  因式分解： ______ ．

13.  不等式组的解集为______ ．

14.  已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是        ．

15.  如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，对角线、交于原点，于点，交于点，反比例函数的图象经过线段的中点，若，则的长为______ ．

16.  如图，在矩形中，，，是上一个动点，过点作，垂足为，连接，取中点，连接，则线段的最小值为        ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
已知：如图，在菱形中，，分别是边和上的点，且求证：．
 

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
中国共产党的助手和后备军中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务在中国共青团成立一百周年之际，我县各中小持续开展了：青年大学习；：学党史；：中国梦宣传教育；：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项活动参加为了解学生参与活动的情况，在全县范围内进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
在这次抽样调查中，一共抽取了______ 名学生；
补全条形统计图；
陈杰和刘慧两位同学参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求出她们俩参加同一项活动的概率．
 

21.  本小题分
已知：在中，为直径，为射线上一点，过点作的切线，切点为点，为上一点，连接、、．
Ⅰ如图，若，求的度数．
Ⅱ如图，若四边形为平行四边形，，求的长．

22.  本小题分
在年卡塔尔世界杯期间，某商店分两次购入某款纪念册和某款吉祥物两种商品进行销售，若两次进价相同，第一次购入件纪念册和件吉祥物共花费元，第二次购入件纪念册和件吉祥物共花费元．
分别求每件纪念册和每件吉祥物的进价．
为满足市场需求，商店准备第三次购入纪念册和吉祥物共件，且购入吉祥物的数量不超过纪念册数量的倍若进价不变，每件纪念册与每件吉祥物的售价分别为元、元，求购入纪念册和吉祥物分别多少件时，商店获得利润最高．

23.  本小题分
如图，四边形是矩形，以点为圆心，长为半径作，交于点．
在上求作一点，使得；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
在的条件下，延长线段交于点，若：：，求的值．

24.  本小题分
在中，，，点在边上，，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧作等腰直角三角形，连接．
如图，当时，请直接写出线段与线段的数量关系；
当时，
如图，中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
如图，当，，三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
 

25.  本小题分
抛物线的对称轴是轴，与轴交于、两点且点坐标是，与轴交于点，且．

如图，求抛物线的解析式；
如图，若，是抛物线上的两点，且求点坐标；
如图，是点右侧抛物线上的一动点，、两点关于轴对称直线、分别交直线于、两点，交轴于点，请问是定值吗？若是请直接写出此定值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
本题考查了用科学记数法表示一个数的方法：
确定：是只有一位整数的数；
确定：当原数的绝对值时，为正整数，等于原数的整数位数减；当原数的绝对值时，为负整数，的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数含整数位数上的零．
 

2.【答案】 

【解析】解：、、选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可解答．
本题主要考查了轴对称图形的概念，解决轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、正方形的左视图是正方形，故此选项不符合题意；
B、圆柱的左视图是长方形，故此选项不符合题意；
C、圆锥的左视图是三角形，故此选项符合题意；
D、三棱柱的左视图为长方形，故此选项不符合题意．
故选：．
利用左视图是从物体左面看，所得到的图形，进而分析得出即可．
本题考查了常见几何体的三视图，解题关键在于找准观察方位．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用同底数幂的乘法、积的乘方法则、单项式除以单项式运算法则和平方差公式分别判断即可得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方法则、单项式除以单项式运算法则和平方差公式是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、为了解三名学生的视力情况，应采用全面调查，故选项不符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，故选项不符合题意；
C、一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖次可能有次中奖，故原命题错误，选项不符合题意；
D、甲、乙两名射击运动员次射击成绩单位：环的平均数分别为、，方差分别为、，若，，，因为，则甲的成绩比乙的稳定，说法正确，故选项符合题意．
故选：．
根据全面调查与抽样调查、必然事件、概率的定义以及方差的意义分析解答即可．
本题考查了全面调查与抽样调查、必然事件、概率的定义以及方差的意义，解题的关键是熟练掌握相关的定义．
 

6.【答案】 

【解析】解：直线中，，
随着增大而减小，
点，都在直线上，且，
，
故选：．
根据，可知随着增大而减小，再根据，即可确定与的大小关系．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，交于点，如图，

，
，，，
，
，
，
在中，，
，
．
故选：．
连接，交于点，如图，利用垂径定理得到，，再利用互余计算出，则根据圆周角定理得到，所以，然后根据含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图可得，
，，，
，
是直角三角形，
，
∽，
，
即，
解得，
，
，故选项A错误；
由图可知，显然和不全等，故选项B错误；
，，
，故选项C错误；
，，
，故选项D正确；
故选：．
根据勾股定理可以得到、、的长，再根据勾股定理的逆定理可以得到的形状，利用相似三角形的判定与性质，可以得到的长，然后即可得到的长，从而可以得到和的关系；根据图形，很容易判断与不全等和不成立；再根据锐角三角函数可以得到和的关系．
本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理与勾股定理的逆定理、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，所以选项的结论正确；
，，
，
，
，所以选项的结论正确；
，
，
点在的垂直平分线上，所以选项的结论正确；
在中，
，
，
而，
，
：：，
：：，所以选项的结论错误．
故选：．
利用基本作图可对选项进行判断；通过角度的计算得到，，则可对选项的结论正确；利用得到，则根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理可对选项进行判断；根据含度的直角三角形三边的关系得到，则，所以：：，然后根据三角形面积公式可对选项进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线是解题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：是关于的方程的解，
，
，
，
当时，函数有最小值，抛物线上有点，
即为函数的最小值；
对于任意实数，都有；
故选：．
根据是关于的方程的解，得到，进而得到，根据二次函数的性质，即可得到为函数的最小值，可得出结论．
本题考查二次函数最值．解题的关键是确定为二次函数的最小值．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：且为整数．
首先根据多边形内角和定理：且为正整数求出内角和，然后再计算一个内角的度数．
【解答】
解：正八边形的内角和为：，
每一个内角的度数为．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集是，
故答案为：．
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
 

14.【答案】 

【解析】解：方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
先根据根的判别式的值为，进而得出等式求出即可．
本题主要考查了根的判别式，根据已知得出得出是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：在菱形中，，，，，
点，
设点，
点为的中点，
点，
反比例函数的图象经过点，
，
解得：，即点，
，
，，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
．
故答案为：．
根据菱形的性质，可得点，设点，根据点为的中点，可得点，再由反比例函数的图象经过点，可得，从而得到，，可证得为等边三角形，再根据等边三角形的性质，即可求解．
本题主要考查了反比例函数的图象和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握反比例函数的图象和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，
取的中点，连接，作于，作于，设，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，
，，
是的中点，
，，
，，
在中，
，
当时，的最小值为，
故答案为：．




取的中点，连接，作于，作于，设，分别表示出，，，，进而表示出和，进而表示出，进一步得出结果．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】证明：四边形是菱形，
，，，
，
≌，
，
，
． 

【解析】此题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是根据得出与全等．
根据菱形的性质和全等三角形的判定得出与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
 

19.【答案】解：原式


，
当时，
原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】 

【解析】解：在这次调查中，一共抽取的学生为：名，
故答案为：；
的人数为：名，
补全条形统计图如下：

画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中陈杰和刘慧参加同一项活动的结果有种，
小杰和小慧参加同一项活动的概率为．
由的人数除以所占的比例即可；
求出的人数，补全条形统计图即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．掌握公式：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
 

21.【答案】Ⅰ证明：如图，连接，

，
，
过点作的切线，切点为点，
，
；
Ⅱ解：如图，连接，，

四边形为平行四边形，
，
为直径，
，
由得，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
． 

【解析】Ⅰ利用切线的性质和圆周角定理即可证明；
Ⅱ利用平行四边形的性质，三角形内角和定理，结合Ⅰ的结论，证明是等边三角形，即可求出结论．
本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确作出辅助线．
 

22.【答案】解：设每件纪念册的进价为元，每件吉祥物的进价为元，
根据题意得，
解得，
答：每件纪念册的进价为元，每件吉祥物的进价为元；
设商店购入纪念册件，则购进吉祥物件，利润为元，
根据题意得：，
购入吉祥物的数量不超过纪念册数量的倍，
，
解得，
为正整数，
的最小值为，
，
当时，有最大值，
此时，，
购入纪念册件，吉祥物件时，商店获得利润最高． 

【解析】设每件纪念册的进价为元，每件吉祥物的进价为元，根据“购入件纪念册和件吉祥物共花费元，购入件纪念册和件吉祥物共花费元”列出方程组，解方程组即可；
设商店购入纪念册件，则购进吉祥物件，利润为元，根据总利润两种利润之和列出函数解析式，由函数的性质求出函数的最值，并求出此时得值．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组和一次函数，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
 

23.【答案】解：如图所示，点就是所求作的点，

如图，设，．
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
由勾股定理，得：，
．
：：，
，
，
，
，
． 

【解析】以为直径作交于点，连接即可；
设，利用勾股定理求出，的关系式，可得结论．
本题考查作图复杂作图，矩形的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
 

24.【答案】解：如图，当时，点在线段上，

，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
∽，
，
设，则，，
，均是等腰直角三角形，
，，
，
；
仍然成立．
理由如下：
如图，

是等腰直角三角形，
，，
在中，，，
，，
，，
，
，
，
∽，
，
仍然成立．
四边形是平行四边形．
理由如下：
当，，三点共线时，如图，过点作于点，

由旋转得：，
，，
∽，
，
，，
，
，
，
，
由知，，
∽，
，，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】本题属于相似三角形综合题，三角形综合题，考查了等腰直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，旋转的旋转等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质及等腰直角三角形性质是解题关键．
根据题意得，进而可得∽，得出，设，易得，推出，即可得出答案；
由是等腰直角三角形，，，可得∽，推出，则仍然成立；
如图，过点作于点，由旋转得：，进而得出∽，推出，再由∽，推出，可得，利用平行四边形的判定即可得出答案．
 

25.【答案】解：抛物线的对称轴是轴，
，
点坐标是，
点坐标是，
，
，
，
，
，
把代入，得，
解得：，
该抛物线的解析式为；
当时，，
，
过点作轴于点，
则，，
在中，，
过点作，使，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
连接交抛物线于点，连接交抛物线于点，

则，，，
，，
，
∽，
，即，
，，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
与抛物线联立，得：，
解得：舍去，，
当时，，
；
同理可得，直线的解析式为，
与抛物线联立，得：，
解得：舍去，，
当时，，
；
综上所述，点坐标为或；
由知：，，如图，

、两点关于轴对称，
设，则，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
同理可得：直线的解析式为，
当时，，
，
，
，，
，
故的值为． 

【解析】根据抛物线的对称性可得点坐标是，再由，可得，再运用待定系数法即可求得答案；
由题意得，过点作轴于点，过点作，使，过点作轴于点，过点作轴于点，连接交抛物线于点，连接交抛物线于点，先证得∽，得出，运用待定系数法可求得：直线的解析式为，直线的解析式为，联立方程组即可求得答案；
设，则，运用待定系数法可得：直线的解析式为，直线的解析式为，进而得出：，，即可求得答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，三角形面积，解直角三角形，二次函数的性质，解方程组等知识，利用参数列方程组是本题的关键．