2022-2023学年山东省青岛二十八中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省青岛二十八中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省青岛二十八中八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知，则下列不等式一定成立的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  若等腰三角形的顶角为，则它的一个底角的度数为(    )A. 或 B.  C.  D. 4.  已知如图，，于，则的长是．(    )
 A.  B.  C.  D. 5.  如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为(    )
 A.  B.  C.  D. 6.  如图，有一张边长为的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为的正方形然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒用表示其底面积与侧面积的差，则可因式分解为(    )A.
B.
C.
D. 7.  如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是现将绕点逆时针旋转，则旋转后点的坐标是(    )
A.  B.  C.  D. 8.  如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；点与的距离为；；；其中正确的结论是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.  如果是一个完全平方式，那么的值是______ ．10.  某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为元，标价为元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于，则最低折扣是______折．11.  不等式组 有个整数解，则 的取范围是______12.  如图，等边的边长为，是边上的中线，是上的动点，是的动点，的最小值为______．
13.  如图，在长方形中进行如下作图，依据尺规作图的痕迹，则的余角等于______ ．
 14.  如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积为______ ．
 15.  如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则        ．
 16.  如图，将边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，，分别是正方形的对称中心，则个这样的正方形重叠部分的面积和为        ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
如图，已知线段，，求作等腰三角形，使，底边上的高保留作图痕迹，不要求写出作法．
 18.  本小题分
计算：
因式分解：；
因式分解：；
解不等式组并写出它的整数解；
解关于的不等式并将解集用数轴表示出来．19.  本小题分
已知，如图，是的边的中点，，，垂足分别为，，且，求证：．
20.  本小题分
“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．
根据以下信息，解答下列问题：
设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于的函数表达式；
请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．
 21.  本小题分
如图，如图，为三角形的角平分线，于点，于点，连接交于点．
求证：；
若，写出与之间的数量关系，并证明．
22.  本小题分
某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表： 进价元张零售价元张成套售价元套餐桌元餐椅商场计划购进餐桌，餐椅共张且总进价低于元，求最多能购买多少张餐桌？
若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的倍多张，且餐桌和餐椅的总数量不超过张，该商场计划将一半的餐桌成套销售一张餐桌加四张椅子为一套，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？23.  本小题分
如图，已知点，点为轴上一动点，连接，和都是等边三角形．

求证：；
如图，当点恰好落在上时．
求点的坐标；
在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，写出点的坐标；若不存在，说明理由；
如图，点是线段上的动点点，点除外，过点作于点，于点，当点运动时，的值是否发生变化？若不会变化，直接写出的值；若会变化，简要说明理由．24.  本小题分
如图：是边长为的等边三角形，是边上一动点．由点向点运动与点，不重合，是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动点不与点重合，过点作于点，连接交于点．

若设的长为，则______，______；
当时，求的长；
过点作交延长线于点，则，有怎样的数量关系？说明理由．
点，在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐个判断即可．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：、因为，
所以，
故A不符合题意；
B、因为，
所以，
故B符合题意；
C、因为，
所以，
故C不符合题意；
D、因为，
所以，
故D不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：三角形为等腰三角形，且顶角为，
底角．
故选：．
等腰三角形中，给出了顶角为，可以结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理直接求出底角，答案可得．
本题主要考查了等腰三角形的性质；等腰三角形中只要知道一个角，就可求出另外两个角，这种方法经常用到，要熟练掌握．
 4.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
根据等边对等角的性质可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
本题考查了等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：把代入得，解得，则点坐标为，
所以当时，，
因为函数的图象经过点，
所以当时，，
即不等式的解集为．
故选：．
先利用正比例函数解析式确定点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线都在直线的上方，于是可得到不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 6.【答案】 【解析】解：由图可知，底面积为，
侧面积为，
，
提取公式，
，
，
故选：．
【分析】本题考查了因式分解的应用，灵活提取公因式是解本题的关键．
先表示出底面积和侧面积，然后求它们的差，再提取公因式分解因式即可．  7.【答案】 【解析】解：如图，绕点顺时针旋转得到，旋转后点的坐标为．

故选：．
利用网格特点和旋转的性质画出绕点顺时针旋转后的图形，然后写出旋转后点的坐标．
本题考查了坐标与图形变换旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，．
 8.【答案】 【解析】解：由题意可知，，，
又，，
≌，又，
可以由绕点逆时针旋转得到，
故结论正确；
如图，连接，
，且，
是等边三角形，
．
故结论正确；
≌，．
在中，三边长为，，，这是一组勾股数，
是直角三角形，，
，
故结论正确；
，
故结论错误；
如图所示，将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点．
易知是边长为的等边三角形，是边长为、、的直角三角形，
则，
故结论正确．
综上所述，正确的结论为：．
故选：．
证明≌，又，所以可以由绕点逆时针旋转得到，故结论正确；
由是等边三角形，可知结论正确；
在中，三边长为，，，这是一组勾股数，故是直角三角形；进而求得，故结论正确；
，故结论错误；
如图，将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将转化为，计算可得结论正确．
本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数、、所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论时，将向不同方向旋转，体现了结论结论解题思路的拓展应用．
 9.【答案】或 【解析】解：，
，
解得或．
故答案为：或．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
 10.【答案】 【解析】解：设该商品打折销售，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：．
设该商品打折销售，根据利润销售价格进价结合利润率不低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：由不等式，得：，
不等式组有个整数解，
这个整数解为、、、、，
则，
故答案为：．
首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到的范围．
本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 12.【答案】 【解析】解：连接，过作于，

是等边三角形，是边上的中线，
，，
，
，当、、三点共线时，且时，有最小值，此时，
，
故答案为：．
连接，过作于，由等边三角形的性质得到，，，进而得到，当、、三点共线时，且时，有最小值，此时，利用勾股定理计算可得．
此题考查了等边三角形的性质，勾股定理的计算，正确理解等边三角形的性质是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：如图，

四边形是矩形，
，
．
由作法可知，是的平分线，
．
由作法可知，是线段的垂直平分线，
，
，
，
的余角，
故答案为：．
先根据矩形的性质得出，故可得出的度数，由角平分线的定义求出的度数，再由是线段的垂直平分线得出的度数，根据三角形内角和定理得出的度数，进而可得出结论．
本题考查的是作图基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：作，垂足为，如图，

是的角平分线，，，
，
，，
≌，
，，
≌，
，
．
故答案为：．
作，垂足为，先证明≌，≌，由此推出，从而得出．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．证明≌，≌是解此题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：，
，
绕点旋转到的位置，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，所以，然后计算即可．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
 16.【答案】 【解析】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
个这样的正方形重叠部分阴影部分的面积和为，
个这样的正方形重叠部分阴影部分的面积和为，
故个这样的正方形重叠部分的面积和为．
故答案为：．
根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和．
此题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到个这样的正方形重叠部分阴影部分的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
 17.【答案】解：如图所示：
 【解析】作出直线的垂线，在垂线上截取，进而得出点位置，再以为圆心，为半径画弧，交直线于点，，连结，得出图形即可．
此题主要考查了作图复杂作图，三角形的作法，能够通过作垂线得出点位置是本题的关键．
 18.【答案】解：，
，
，

；



；

，
由得，，
由得，，
此不等式组的解集为，
故它的整数解为：，，，；

去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化成得：，
在数轴上表示为：
． 【解析】利用平方差公式分解因式即可；
整理后，利用完全平方公式分解因式；
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的的整数解即可；
去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成即可．
本题考查了因式分解公式法，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的整数解等知识点，能求出不等式或不等式组的解集是解此题的关键．
 19.【答案】证明：如图，
是的边的中点，，，
，、均为直角三角形；
在、中，
，
≌，
，
． 【解析】首先运用定理证明≌，进而得到，运用等腰三角形的判定定理即可解决问题．
该题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题；牢固掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点是解题的基础和关键．
 20.【答案】解：设，
把点代入，可得
，
解得，
；
设，
把代入，可得
，即，
；

当时，，
解得；
当时，，
解得；
当时，，
解得；
当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算． 【解析】根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得，关于的函数表达式即可；
当时，，当时，，当时，，分求得的取值范围即可得出方案．
本题主要考查了一次函数的应用，解题时注意：求正比例函数，只要一对，的值；而求一次函数，则需要两组，的值．
 21.【答案】证明：平分，，，
，，

，
即，
，
，，
点、点在的垂直平分线上，
垂直平分，
．
解：．
理由：，平分，
，
，，
，
，
，
，
，
即． 【解析】由为的角平分线，得到，推出和相等，得到，从而可以得到垂直平分，然后即可推出结论；
由已知推出，得到，在中，由推出，即可推出结论．
本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是证明和；证明和题目比较典型，综合性强．
 22.【答案】解：设购进餐桌张，
，
解得，，
为整数，
的最大值为，
答：最多能购买张餐桌；
设购进餐桌张，利润为元，
，
，
解得，，
当时，取得最大值，此时，，
答：当购买餐桌张，餐椅张时，才能获得最大利润，最大利润是元． 【解析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题；
根据题意可以得到利润和购买餐桌的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
 23.【答案】解：证明：如图中，

和都是等边三角形，
，，，
，
即，
≌，
．

如图中，

是等边三角形，
，
，
，
设，则，
解得，
，
是等边三角形，
，
又，
．

存在．当时，是等腰三角形，
，
点的坐标为或．

如图中，的值不变．连接．

，，，
，
，，
． 【解析】证明≌可得结论．
证明，求出即可解决问题．
当时，是的等腰三角形．
利用面积法证明即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用面积法解决线段之间的关系，属于中考压轴题．
 24.【答案】解：，；
因为，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
，
理由如下：
如图，

点、速度相同，
，
是等边三角形，
，
，，，
在和中

≌，
．
的长度不变．
连接，，

≌
，
，
．
，，
，且，
四边形是平行四边形，
． 【解析】解：是边长为的等边三角形，
，
设，则，，
，
故答案为：，；
见答案；
见答案；
见答案 【分析】由线段和差关系可求解；
由直角三角形的性质可列方程，即可求的长；
由“”可证≌，可得；
连接，，由全等三角形的性质可证，由题意可证四边形是平行四边形，可得．
本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，熟练全等三角形判定是解答此题的关键．