2022-2023学年山东省威海市环翠区九年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省威海市环翠区九年级（下）期中数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  与互为倒数的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月，由中国航天科技集团研制的天问一号探测器的着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区中国航天器首次奔赴火星，就“毫发未损”地顺利出现在遥远的红色星球上，完成了人类航天史上的一次壮举火星与地球的最近距离约为万千米，该数据用科学记数法可表示为米．(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  以、、三点为顶点画平行四边形，第四个顶点不可能在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5.  如图，将▱沿对角线折叠，使点落在点处，交于点，若，，则为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，的中线、交于点，连接，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，，：：，延长交于，且，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则，两港之间的距离为(    )
 

A.
B.
C.
D.

9.  如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；其中正确结论的有(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

10.  因式分解： ______ ．

11.  若代数式有意义，则实数的取值范围是______ ．

12.  计算： ______ ．

13.  在直角坐标系中，的顶点为，，，以点为位似中心，作与的位似比为的位似图形，则点的对应点的坐标为______ ．

14.  如图，在矩形中，按以下步骤作图：分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；作直线交于点若，，则矩形的对角线的长为______．

15.  如图，是边长为的等边三角形，反比例函数的图象与边、分别交于点、点不与点重合若于点，则的值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解不等式组：，并写出它的最小整数解．

17.  本小题分
已知关于的方程的两根为、，且满足求的值．

18.  本小题分
如图，在▱中，过点作于点，交于点，过点作于点，交于点．
求证：四边形是平行四边形；
已知，，求的长．

19.  本小题分
如图，已知一次函数的图象与反比例函数图象交于点和点．
求一次函数与反比例函数的解析式；
当时，直接写出自变量的取值范围；
如果在轴上找一点使的面积为，求点坐标．

20.  本小题分
A、两地的距离是千米，一辆公共汽车从地驶出小时后，一辆小汽车也从地出发，它的速度是公共汽车的倍，已知小汽车比公共汽车迟分钟到达地，求两车的速度．

21.  本小题分
图是挂墙式淋浴花洒的实物图，图是抽象出来的几何图形．为使身高的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置，花洒的最高点与人的头顶的铅垂距离为，已知龙头手柄长为，花洒直径是，龙头手柄与墙面的较小夹角，，则安装时，旋转头的固定点与地面的距离应为多少？计算结果精确到，参考数据：，，

22.  本小题分
首钢滑雪大跳台是北京冬奥会自由式滑雪大跳台和单板滑雪大跳台比赛场地，其结构如图所示已知起跳点距离地面高度为米，且起跳点的斜坡恰好能保证运动员初始速度与水平方向夹角为．

小墩同学对运动员在起跳点的初始速度与飞行的最大竖直高度相对于起跳点的高度、飞行的最远水平距离的关系非常感兴趣通过翻阅资料，得知：在忽略空气阻力且只考虑重力的情况下，若物体以一定初速度米秒斜向射出去，该物体的运动轨迹是抛物线特别地，若抛出方向与水平方向夹角为时，物体所能达到的竖直飞行最大高度米与初速度的平方成正比，具体关系为，而运动轨迹与抛物线形状相同．
假设在一次训练中，运动员飞行的最大竖直高度为米请你根据上述信息思考：
该运动员在起跳点的初速度为______ 米秒；保留根号
如图所示，以水平方向为轴，起跳点所在竖直方向为轴，建立平面直角坐标系，请你直接写出该运动员的运动轨迹解析式；
在的条件下，若着陆坡所在线段解析式为通过计算，请你说明该运动员飞行的最远水平距离能否超过米？

23.  本小题分
【基础巩固】
如图，在中，，直线过点，分别过、两点作，，垂足分别为、求证：∽．
【尝试应用】
如图，在中，，是上一点，过作的垂线交于点若，，，求的长．
【拓展提高】
如图，在▱中，在上取点，使得，若，，，求▱的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：与互为倒数的数是．
故选：．
根据倒数的意义，乘积是的两个数互为倒数．求一个分数的倒数也就是把这个分数的分子和分母调换位置．据此解答．
此题主要根据倒数的意义、求一个数的倒数的方法和分数的基本性质解决问题．
 

2.【答案】 

【解析】解：火星距离地球的最近距离约为万千米，这个数据用科学记数法可表示为千米，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选：．
直接利用单项式乘以单项式以及积的乘方运算法则和合并同类项法则分别计算得出答案．
此题主要考查了单项式乘以单项式以及积的乘方运算和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：

分三种情况考虑：
以为对角线作平行四边形，此时第四个顶点落在第一象限；
以为对角线作平行四边形，此时第四个顶点落在第二象限；
以为对角线作平行四边形，此时第四个顶点落在第四象限，
则第四个顶点不可能落在第三象限．
故选：．
令点为，点，点，以为对角线作平行四边形；以为对角线作平行四边形；以为对角线作平行四边形，从而得出点的三个可能的位置，由此可判断出答案．
本题考查了平行四边形的性质及坐标的性质，利用了数形结合的数学思想，学生做题时注意应以每条边为对角线分别作平行四边形，不要遗漏．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出的度数是解决问题的关键，由平行四边形的性质和折叠的性质，得出，由三角形的外角性质求出，再由三角形内角和定理求出，即可得到结果．
【解答】

解：，
，
由折叠可得，
，
又，
，
又，
中，，
，
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：中线、交于点，
为的中位线，
，，
∽，
，
．
故选：．
先根据三角形中位线的性质得到，，则可判断∽，利用相似比得到，然后根据比例的性质得到的值．
本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：也考查了相似三角形的判定与性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：过作交于，则∽，
，
，：：：，
，
，
．
故选：．
首先过作交于，易得∽，然后由，求得，：：：，继而求得的长．
此题考查了平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

 【分析】
根据题意得，，，，过作于，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解题关键是利用特殊角的三角函数求解．
【解答】
解：根据题意得，，，，
过作于，

，
在中，，，
，
在中，，
，
，
，两港之间的距离为，
故选B．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
由抛物线对称轴的位置判断，的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】
解：由抛物线开口向下可知，
抛物线与轴交点在轴上方可知：，
对称轴在轴的右侧，
即，，
，
故不正确；
当时，，
，
故正确；
由对称知，当时，函数值大于，
即，
故正确；
，
，
，
，
，
故不正确；
当时，的值最大，此时，，
而当时，，
所以，
故，即，
故正确．
故正确．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：
故答案为：
根据提公因式法可进行求解．
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

11.【答案】且 

【解析】解：代数式有意义，
，
由，可得，
由，可得，
由，可得，
且．
故答案为：且．
根据代数式有意义，可得，据此求出实数的取值范围即可．
此题主要考查了二次根式、分式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数；分式有意义的条件是分母不等于零．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

13.【答案】或 

【解析】解：以点为位似中心，作与的位似比为的位似图形，
而，
或，
即或．
故答案为：或．
利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的横纵坐标乘以或得到点坐标．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
由作法得垂直平分，
，
在中，，
在中，．
故答案为．
连接，如图，利用基本作图得到垂直平分，则，然后利用勾股定理先计算出，再计算出．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图，
是边长为的等边三角形，
，，

设，则，，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
、两点都在反比例函数数的图象上，
，
解得或，
当时，，此时与重合，不符题意，舍去，
，
，
故答案为：．
过点作轴于点，过点作轴于点，设，通过直角三角形和等边三角形的性质用表示出、两点的坐标，进而代入反比例函数的解析式列出的方程求得，便可求得的值．
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，等边三角形的性质，解直角三角形，关键是列出的方程．
 

16.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
则最小的整数解为． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出最小整数解即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

17.【答案】解：关于的方程的两根为、，
当，即时，方程有解，
，，
，
，解得或，
时，方程有解，
不合题意，
，
，
当时，原式． 

【解析】先根据根与系数的关系用表示出，及的值，再代入方程中求出的值，把所求分式进行化简，把的值代入即可．
本题考查的是根与系数的关系及分式的化简求值，先根据根与系数的关系求出的值是解答此题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
四边形是平行四边形；

解：四边形是平行四边形，
，
，，
，，
在和中

≌，
，
在中，． 

【解析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
只要证明，即可；
只要证明≌，可得，在中，根据勾股定理即可解决问题；
 

19.【答案】解：反比例函数图象过点，
，
反比例函数的关系式为，
把点代入得，
，
点，
把，代入一次函数得，
，
解得，
一次函数的关系式为，
答：反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为；
由两个函数的图象以及交点坐标可知，
当时，自变量的取值范围为或；
设一次函数与轴的交点为，则，
设点，则，
的面积为，即，
，
解得或，
点或． 

【解析】将点的坐标代入反比例函数关系式求出的值，确定反比例函数的关系式，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式即可；
根据图象的交点坐标以及函数的增减性进行判断即可；
根据三角形的面积公式进行计算即可．
本题考查一次函数、反比例函数的交点坐标，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
 

20.【答案】解：设公共汽车的速度为千米小时，则小汽车的速度是千米小时．
依题意，得
，
解，得
．
经检验是原方程的根，且符合题意．
．
答：公共汽车和小汽车的速度分别是千米时，千米时． 

【解析】设公共汽车的速度为千米小时，则小汽车的速度是千米小时．根据题意，知一辆公共汽车从地驶出小时后，一辆小汽车也从地出发，小汽车比公共汽车迟分钟到达地，列方程求解．
本题主要考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．此题中关键是弄清两车的时间关系．
 

21.【答案】解：如图，过点作地面的垂线，垂足为，过点作地面的平行线，交于点，交于点，
在中，，，
则，
在中，，，
则，
，
答：旋转头的固定点与地面的距离应为． 

【解析】通过作辅助线构造直角三角形，分别在和在中，根据锐角三角函数求出、，而点到地面的高度为，进而取出后即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：当时，
，
，
，
该运动员在起跳点的初速度为米秒，
故答案为：；
运动员飞行的最大竖直高度为米，起跳点距离地面高度为米，
运动员到达最高点时距离地面的高度为米，
该运动员的运动轨迹与抛物线形状相同，
设该运动员的运动轨迹解析式为，
该抛物线经过，
，
解得：负数不合题意，舍去，
，
该运动员的运动轨迹解析式为，
即：；
该运动员飞行的最远水平距离能超过米，理由：
由题意得：，
解得：，，
由题意：，
，
该运动员的落地点的坐标为，
该运动员飞行的最远水平距离米，
，
该运动员飞行的最远水平距离能超过米．
令中的，利用平方根的意义解答即可；
利用待定系数法解答即可；
通过解方程组即可得出该运动员的落地点的坐标，再利用点的坐标的实际意义即可得出结论．
本题主要考查了抛物线的性质，待定系数法确定函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，利用待定系数法解答是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽；
解：过点作于点，

由得∽，
，
，，，
，
，
，
，
；
过点作于点，过点作，交的延长线于点，

，
四边形是平行四边形，
，，
，
≌，
，，
，，
，
，
设，，，
，，
，
由得∽，
，
，
，
，
，
，，
▱的面积． 

【解析】由直角三角形的性质证得，由相似三角形的判定定理可得出结论；
过点作于点，由相似三角形的性质得出，由锐角三角函数的定义求出，则可求出答案；
过点作于点，过点作，交的延长线于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，，设，，，由得∽，得出比例线段，求出，，由平行四边形的面积公式可得出答案．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．